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圆的有关计算

，则图中阴影部分的面积是

，请你帮助他们计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积

的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面（不计接缝），那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是

、如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6ｍ的正三角

为半

209

厘米,

和为

初中数学：与圆有关的计算练习

初中数学：与圆有关的计算练习命题点1扇形弧长、面积的有关计算 1.在半径为6 cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长是________cm. 2. 已知扇形的半径为6 cm,面积为10πcm2,则该扇形的弧长等于________． 3. 如图所示,在3×3的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,点O、A、B均为格点,则扇形OAB的面积大小是________．第3题图第4题图 4. 如图,直线y＝3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B,当直线绕点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时,点B运动的路径的长度是________．命题点2 圆锥的有关计算 5. 若圆锥底面圆的周长为8π,侧面展开图的圆心角为90°,则该圆锥的母线长为________． 6. 已知圆锥的母线长为5 cm,高为4 cm,则该圆锥的侧面积为________cm2(结果保留π)．第6题图第7题图 7. 如图,这是某同学用纸板做成的一个底面直径为10 cm,高为12 cm的无底圆锥形玩具(接缝忽略不计),则做这个玩具所需纸板的面积是________cm2(结果保留π)．命题点3 正多边形与圆 8. 下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是()

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 9. 如图,正六边形ABCDEF内接于半径为3的⊙O,则劣弧AB的长度是________．第9题图第10题图 10. 我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”,认为圆内接正多边形边数无限增加时,周长就越接近圆周长,由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r的圆内接正n 边形的周长为L,圆的直径为d,如图所示,当n＝6时,π≈L d＝ 6r 2r＝3,那么当n＝12时, π≈L d＝________．(结果精确到0.01,参考数据：sin15°＝cos75°≈0.259) 命题点4 阴影部分面积的计算 11. 如图所示,边长为a的正方形中阴影部分的面积为() A. a2－π(a 2) 2B. a2－πa2 C. a2－πa D. a2－2πa 第11题图第12题图 12. 如图,在半径为4的⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,垂足为点E,∠AOB ＝90°,则阴影部分的面积是() A. 4π－4 B. 2π－4 C. 4π D. 2π

与圆有关的计算

与圆有关的计算典例1如图，已知⊙O的周长等于8π cm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为 A．2 cm B． cm C．4 cm D． cm 【答案】B 【解析】如图，连接OC，OD， ∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD=60°， ∵OC=OD，OM⊥CD，∴∠COM=30°，∵⊙O的周长等于8π cm，∴OC=4 cm， ∴OM cm），故选B．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键． 1．若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是__________．2．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．

典例2如图，A 、B 、C 是圆O 上三个不同的点，且//AO BC ，20OAC ∠=o ，若1OA =，则?AB 长是 A ．1 18π B ．19π C ．29 π D ．718 π 【答案】C 【解析】∵AO ∥BC ，∴∠ACB=∠OAC=20°，由圆周角定理，得：∠AOB=2∠ACB=2×20°=40°．∴?AB 的长为 401180π??=2 9 π，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了弧长的求解，解题的关键是熟知圆周角定理和平行线的性质．典例3 如图，一段公路的转弯处是一段圆弧?AB ，则?AB 的展直长度为 A ．3π B ．6π C ．9π D ．12π 【答案】B 【解析】?AB 的展直长度为： 10810 180 π?=6π（m ）．故选B ．【名师点睛】此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．

圆的计算有关公式

圆的计算有关公式1、同一个圆中半径与直径的关系。（1）半径是直径的一半。 1d 用字母表示：r= 2 （2）直径是半径的2倍。用字母表示：d=2r 2、圆的周长的计算有关公式。（1）圆的周长=圆周率×直径。用字母表示：c=兀d （2）圆的周长=圆周率×半径×2。用字母表示：c=2兀r （3）圆的半径=圆的周长÷圆周率÷2。用字母表示：r=c÷兀÷2 （4）圆的直径=圆的周长÷圆周率。用字母表示：d=c÷兀 3、半圆的周长的计算有关公式。（1）半圆的周长=圆周率×直径÷2+直径。用字母表示：c=兀×d÷2+d （2）半圆的周长=圆周率×半径+半径×2。用字母表示：c=兀×r+2r （3）圆的半径=半圆的周长÷(圆周率+2)。用字母表示：c=c÷(兀+2)

（4）圆的直径=半圆的周长÷(圆周率+2)×2。用字母表示：c=c÷(兀+2) ×2。 n+半径×2。 4、扇形的周长=圆的周长× 360 n+2r 用字母表示：c=2兀r× 360 (n表示圆心角的度数) 5、环形的周长=大圆的周长+小圆的周长。用字母表示：c=2兀R+2兀r=2兀×(R+r) 6、圆的面积=圆周率×半径的平方。用字母表示：S=兀r2 7、半圆的面积=圆周率×半径的平方÷2。用字母表示：S=兀r2÷2 n。 8、扇形的面积=圆周率×半径的平方× 360 n 用字母表示： S=兀r2× 360 (n表示圆心角的度数) 9、环形的面积=大圆的面积-小圆的面积。用字母表示：S =2兀R2-2兀r2=2兀×(R2-r2) 10、时钟先问题。 (1)一昼夜=一天=24小时 (2) 时针一昼夜转2圈 (3)分针一昼夜转24圈 (4)秒针一昼夜转1440圈

与圆有关的计算

中考数学第一轮复习与圆有关的计算 ?课前热身 1. O O的内接多边形周长为3,0 O的外切多边形周长为3.4 , 则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ 6cm,圆心角的度数为120°若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ 4n cm,母线长是6cm,则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 A . 40° C. 120° D. 150° 4.艳军中学学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为【参考答案】 1. 2. 3. 4. ?考点聚焦 1.理解正多边形的有关概念，？并能熟练完成正多边形的有关计算及画出正多边形. 中相关公式的理解记忆及其灵活运用是本节重点之一. 2 .灵活求解圆周长、弧长以及圆、扇形、弓形和简单的组合图形的面积. A. 4 n cm2 C 2 6 n cm C - 2 9 n cm ._ 2 12 n cm B 米，所对的圆心角为100°,则弧长是米.(n ~ 3) 2.如图已知扇形AOB的半径为 3.若一个圆锥的底面圆的周长是 B. 80° 1.8 ?其中求组合

图形和不规则图形的周长和面积是本节的难点. 3 .能进行圆柱、圆锥的侧面积、全面积的计算，了解它们的侧面展开图, 的重点和中考热点. ?备考兵法本节出现的面积的计算往往是不规则图形，不易直接求出, S扇形= 6.正多边形: 正多边形和圆的关系，把圆分成n (n》3)等份. (2)经过各分点作圆的切线，？以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的与正多边形有关的概念: ?这也是本节 ? 所以要将其转化为与其面积相等的规则图形，等积转化的一般方法是: (1)利用平移、？旋转或轴对称等图形变换进行转化；(2) ?根据同底(等底)同高(等高)的三角形的面积相等进行转化; (3)利用几个规则图形的面积和或差求不规则图形的面积. 常考题型：圆中的计算问题多以选择题、填空题的形式出现，通过作图、识图、?阅读图形，探索弧长、扇形及其组合图形的面积计算方法和解题规律, 正确区分圆锥及侧面展开图中各元素的关系是解决本节问题的关键. ?考点链接 1. 圆的周长,1°的圆心角所对的弧长为,n°的圆心角所对的弧长为，弧长公式为 2. 圆的面积,1°的圆心角所在的扇形面积为n°的圆心角所在 3. 4. 5. 的扇形面积为S= 2 XJI R2 圆柱的侧面积公式：S=2兀rl .(其中r为圆锥的侧面积公式：S^rl .(其中r为扇形面积公式: (1) n°圆心角的扇形面积是S扇形= 的半径，1为的半径，1为的高) 的长) ;(2)弧长为L的扇形面积是正多边形的定义: 相等, .也相等的多边形叫做正多边形. (1)依次连结各所得的多边形是这个圆的 (1)正多边形的中心：正多边形(或)的圆心; (2)正多边形的半径：正.多边形的的半径; (3)正多边形的边心距：？.?到正多边形一边的.距离，？也是正多边形

正多边形和圆及圆的有关计算

正多边形和圆及圆的有关计算一、知识梳理： 1、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。定理：把圆分成n （n ＞3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。正n 边形的每个中心角等于n 360 正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。 2、正多边形的有关计算正n 边形的每个内角都等于n n 180)2(- 定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。 3、画正多边形 (1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。正五边形的近似作法(等分圆心角) 4、圆周长、弧长（1）圆周长C ＝2πR ；（2）弧长180R n L π= 5、圆扇形，弓形的面积（l ）圆面积：2R S π=；（2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：3602R n S π=扇形注意：因为扇形的弧长180 R n L π=。所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形（3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三

初三数学与圆有关的计算

初三数学与圆有关的计算考点回顾: 1、如果弧长为l,圆心角的度数为n,弧所在的圆的半径为r,那么弧长的计算公式为; 2、设扇形的圆心角为n°,扇形的半径为r,扇形的面积为s,则扇形的面积的计算公式为 (其中l表示扇形的弧长); 3、圆柱的侧面展开图为矩形,圆锥的侧面展开图就是扇形; 4、设圆柱的底面半径为R,圆柱的高为h,则圆柱的侧面积为S＝2πRh,圆柱的全面积为S＝2 πR2＋2πRh; 5、设圆锥的底面半径为r,母线长为a,则圆锥的侧面积为S＝πar,圆锥的全面积为 S＝πr2＋πar. 考点精讲精练: 例1、如图,在矩形ABCD中,AD＝2,以B为圆心,BC长为半径画弧交AD于F. (1)若弧CF长为,求圆心角∠CBF的度数; (2)求圆中阴影部分的面积(结果保留根号及π的形式). 变式练习1、如图,半径OA＝6cm,C为OB的中点,∠AOB＝120°,求阴影部分面积. 例2、如图,AB切⊙O于点B,,AB＝3,弦BC∥OA,则劣弧的长为() 变式练习2、如图,AB为⊙O的切线,半径OA＝2,OB交⊙O于点C,∠B＝30°,则劣弧的长就是__________. 例3、如图,一个圆锥的侧面展开图就是半径为1的半圆,则该圆锥的底面半径为() A、1 变式练习3、如果圆锥的底面周长为20π,侧面展开后所得扇形的圆心角为120°,则圆锥的母线长为________. 例4、如图,已知AB为⊙O的直径,CD为弦,AB⊥CD于E,OF⊥AC于F,BE＝OF. (1)证明:△AFO≌△CEB; (2)若EB＝5cm,,设OE＝x,求x的值及阴影部分的面积. 变式练习4、如图,在⊙O中,弦BC垂直于半径OA,垂足为E,D就是优弧上一点,连BD,AD,OC,∠ADB＝30°.(1)求∠AOC的度数;(2)若弦BC＝6cm,求图中阴影部分的面积.

全国各地中考数学专题26与圆有关的计算

2012年全国各地中考数学解析汇编26 与圆有关的计算 1. （2012山东泰安，18，3分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若 ABC ∠=120°，OC=3，则?BC 的长为（） A.π B.2π D.3π D.5π 2.（2011山东省聊城，14，3分）在半径为6cm 的圆中，60o圆心角所对的弧长为 cm. (结果保留π) 3．(2012重庆，14，4分)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为___________（结果保留π） 4．(2012山东德州中考,12,4,)如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________． 5．（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝3分图形的面积为 A ．4π B ．2π C ．π D ． 2π 3 6.（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB=2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C=45°，则（1）BD 的长是；（5分）（2）求阴影部分的面积. （5分） A B D C O 图2 第23题图 A O B D C

7. (2012山东省临沂市，13，3分）如图，AB是⊙O的直径，点E是BC的中点，AB=4，∠BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（） A.1 B. 2 3 C. 3 D. 3 2 8 . （2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上, 点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°. （1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长. 9．（2012江苏盐城，26，10分）如图所示，AC⊥AB，AB=22，AC=2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=α，（00＜α＜900）．（1）当α=180时，求?BD的长. （2）当α=300时，求线段BE的长. （3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是（直接写出答案）． 10.(2012四川省南充市，9，3分) 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（） A．120° B．180° C．240° D．300° 11. （2012浙江省衢州，9，3分）用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如 O B C D E 第26题图

初中数学专题复习与圆有关的计算问题(含答案)

热点21 与圆有关的计算问题（时间：100分钟总分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知圆心角为120°，所对的弧长为5 cm ，则该弧所在圆的半径R=（） A ．7.5cm B ．8.5cm C ．9.5cm D ．10.5cm 2．一条弦分圆周为5：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为（） A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．以上均不正确 3．⊙O 的半径，直线L 与圆有公共点，且直线L 和点O 的距离为d ，则（） A ．．d ．．4．如图1，A B 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD=8cm ，那么A ，?B?两点到直线CD 的距离之和为（） A ．12cm B ．10cm C ．8cm D ．6cm （1）（2）（3）（4） 5．如图2，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，AB=4，CD=2，AB?的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（） A ．3：2 B 2 C ．5：4 6．正三角形的外接圆的半径为R ，则三角形边长为（） A ． 2 R C ．2R D ．12R 7．已知如图3，圆内一条弦CD 与直径AB 相交成30°角，且分直径成1cm 和5cm 两部分，则这条弦的弦心距是（） A ． 1 2 cm B ．1cm C ．2cm D ．2.5cm 8．∠AOB=30°，P 为OA 上一点，且OP=5cm ，若以P 为圆心，r 为半径的圆与OB 相切，则半径r 为（） A ．5cm B ．52 cm D

初中数学总复习《与圆有关的计算》

《与圆有关的计算》复习课（教案）一、三年中考命题分析及2016年命题趋势二、学习目标：

1、理解圆的弧长和扇形的面积公式。 2、能运用弧长公式解决一些路径问题，和运用扇形面积公式等解决一些阴影部分面积的问题。三、知识要点归纳知识点一：弧长的相关计算【注意】(1)题目中没有明确给出精确度，可用含“π”的数表示弧长；(2)应区分弧，弧长这两个概念，弧长相等的弧不一定是等弧．知识点二: 扇形面积的相关计算知识点三: 特殊图形面积的计算扇形面积：S ＝n πr 2360＝1 2 lr

1、弓形 2．特殊图形面积的常用计算方法 (1)整体做差法：将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体作差法求解． (2)等面积变换法(割补法)：利用图形在平移、旋转、对称变换前后面积不变的性质，可将阴影部分的面积转化为规则图形的面积进行计算．四、中考讲练考点1：弧长的相关计算【例1】 (2014·南充)如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是( ) A ．25 2π B ．13π C ．25π D ．25 2 变式训练：（2013?遵义）如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为（）思维点拨：本题考查了弧长的计算，以及勾股定理的应用．连接BD ，B ′D ，首先根据勾股定理计算出BD 的长，再根据弧长计算公式计算出，对应劣弧的弓形对应优弧的弓形对应半圆弓形 S 弓形＝S 扇形－S 三角形 S 弓形＝S 扇形＋S 三角形 S 弓形＝1 2 πR 2＝S 扇形 B / B //

与圆有关的计算

与圆有关的计算（一）一、关于弦长的计算。在圆中，关于弦长、弦心距的计算，通常是利用垂径定理构造出由半径、弦心距以及半弦组成的直角三角形，再根据勾股定理，直角三角形中的边角关系来求未知量。 1．已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且BC=BD ，，EB=2，则弦CD 的长为。 2 ．四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ， AB=6cm ，CD=8cm ，则梯形的高为。 3．在以O 为圆心，半径分别为5cm 和8cm 的两个圆中有点 Q ，OQ=4cm 。过点Q 分别作大圆的弦AB ，小圆的弦EF ，则AB 的最大值与EF 的最小值的和为。 4．如图1，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=7cm ，EB=3cm,∠BED=30°，则CD 的长为。 5．如图2，⊙O 的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上一点，点D 平分BC ，OD 交BC 于E,DE=2cm ，则弦AC= 。 6．如图3，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于D ，则AD 的长为。 7．如图4，一弓形弦AB 的长为cm 64，弓形所在圆的半径为7cm ，HG 为⊙O 的直径，求弓形的高为。 8．如图5，已知AB 是⊙O 的直径，过A 、B 分别作弦EF 的垂线交直线EF 于C 、D ，AC=2cm ，BD=4cm ，⊙O 的半径为5cm ，则EF 的长为。 9．如图6，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC 的平分线交⊙O 于D ，交AC 于E ，AB=7，AE=3，DE=1，则AD 的长为。 10．如图7，已知AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，它们相交于圆内一点P ，圆的半径是5，两条弦长均为8，则OP 的长为。图6 图7 图5 图2 图1 图3 图4

圆的有关证明与计算题专题

A B 《圆的证明与计算》专题研究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. ` (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： } （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①要证直线垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线；（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线. （3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线. ，（4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线. \ 2、与圆有关的计算：（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所

与圆有关的证明与计算

与圆有关的证明与计算 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 的边上，以AF 为直径的⊙O 恰好经过点D 、E ，且DE ＝EF. (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若∠B ＝30°，求CE CD 的值．第1题图(1)证明：如解图，连接OD ，OE ， DF ，∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴DF ∥BC ， ∵DE ＝EF ， ∴DE ︵＝EF ︵， ∴OE ⊥DF ， ∴OE ⊥BC ， ∵OE 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线；第1题解图 (2)解：∵∠B ＝30°，且OE ⊥BC ， ∴∠BOE ＝60°， ∵OE ＝OF ， ∴△OEF 是等边三角形， ∴∠OEF ＝60°，又∵DE ＝EF ，OE ⊥DF ， ∴∠OED ＝∠OEF ＝60°， ∴∠CED ＝30°， ∴∠CDE ＝60°，在Rt △CDE 中， ∵tan ∠CDE ＝tan60°＝CE CD ＝3，

∴CE CD ＝ 3. 2．如图，在Rt△BGF中，∠F＝90°，AB是⊙O的直径，⊙O交BF于点E，交GF于点D，AE⊥OD 于点C，连接BD. (1)求证：GF是⊙O的切线； (2)若OC＝2，AE＝43，求∠DBF的度数．第2题图 (1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，又∵∠F＝90°， ∴∠AEB＝∠F，∴AE∥GF， ∵AE⊥OD，∴OD⊥GF， ∵OD是⊙O的半径， ∴GF是⊙O的切线； (2)解：∵OD⊥AE， ∴AC＝CE＝1 2 AE＝23， ∵OA＝OB， ∴OC是△ABE的中位线， ∴BE＝2OC＝4， ∴在Rt△AOC中，OA＝OC2＋AC2＝22＋（23）2＝4， ∵∠CEF＝∠DCE＝∠F＝90°， ∴四边形CDFE是矩形， ∴DF＝CE＝23，EF＝CD＝OD－OC＝4－2＝2， ∴BF＝BE＋EF＝4＋2＝6， ∴tan∠DBF＝DF BF ＝23 6 ＝3 3 ， ∴∠DBF＝30°. 3．如图，点C是⊙O的直径AB的延长线上一点，点D在⊙O上，且∠DAC＝30°，∠BDC＝1 2 ∠ABD. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若OF∥AD分别交BD、CD于点E、F，BD＝2，求OE、CF的长．

有关圆的计算的知识点

与圆计算有关的知识点 1.三角形：三角形中位线定理，三角形相似，三角形的内切圆与外切圆（1）内切圆：三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，三角形内接圆圆心叫内心。圆心到三角形各个边的垂线段相等。内切圆半径是三角形三个角的角平分线的交点到三角边的距离。PS：在直角三角形的内切圆中1、r=(a+b-c)/2（注：r是Rt△内切圆的半径，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）2、r=ab/ (a+b+c) （2）外切圆：三角形的任意两边的垂直平分线的交点是外接圆圆心。三角形外接圆圆心叫外心。圆心到三角形各个顶点的距离都相等。外接圆半径是三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离。外接圆半径R：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC 2.与正多边形有关的概念：（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。（2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。（3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。（4）正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。（注：正n边形有n个中心角，这n个中心角相等且每个中心角为。）（5）圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角（6）圆的外切四边形的两组对边的和相等 3.圆弧 1、圆弧的弧长：L=2πRn/360°=πRn/180(R=半径，n=圆弧的角度的绝对值） 2、扇形的面积：S=1/2L*r(L=圆弧的弧长，r=圆弧所在圆的半径) 3、圆周角定理：（1）同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 (3)如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆做多边形的外接圆。 4、圆周角性质 (1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； (2)圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半； (3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 4.梯形的面积，中位线（梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。）

圆的有关计算教学案

第26课时圆的有关计算班级姓名学号复习目标 1，能用垂径定理、圆心角、弧、弦之间关系定理，圆周角定理及推论，弧长公式、扇形的面积公式及正多边形与圆的关系等进行简单的运算。 2，会用折叠、旋转、圆的对称性及分类讨论的思想方法，将有关弦长、半径的实际计算问题转化成解直角三角形问题解决。过程设计一、知识回顾 1．一个扇形的圆心角为60o，半径为2，则这个扇形所对的弧长为，扇形的面积为 . 2．⊙O 的弦AB 所对的劣弧为圆的3 1，圆的半径为4cm 则AB= cm. 3. ΔABC 中，∠A=30o，∠C=90o，BC=3，则ΔABC 的外接圆的半径为________________. 4.一个边长为4的正n 边形，它的一个内角为120°，其外接圆的半径为 . 5.一个正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r 时，大圆的半径为 . 6．圆的内接四边形ABCD 中,四个角的度数比可顺次为 ( ) A. 4:3:2:1 B. 4:3:1:2 C 4:2:3:1 D.4:1:3:2 7．一个圆锥的轴截面是一个边长为6cm 的等边三角形，圆锥的侧面积是 . 8．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，且与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝30°，点P 是直线l 上的一个动点(与圆心O 不重合)，直线CP 与⊙O 相交于另一点Q ，如果QP ＝QO ，则∠OCP ＝___________． 9.在Rt △ABC 中，∠C=90o，AB ＝5, BC ＝4，以AC 所在直线为轴旋转一周所得的圆锥的侧面积是 . 10.下列叙述错误的是（） A 、圆的内接平行四边形为矩形 B 、圆内接梯形为等腰梯形 C 、度数相等的弧是等弧 D 、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 11.如图, (1)若点O 是△ABC 的外心, ∠A=70o,则∠BOC= o. (2)若点O 是△ABC 的内心, ∠A=70o,则∠BOC= o. 12、母线为5cm 的圆锥的全面积为14∏cm 2,则这个圆锥的底面半径为 cm. 13．如图,庆祝祖国六十华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 夹角为 120°，AB 的长为30cm ，贴布部分BD 的长为20cm ，则贴布部分的面积约为____________2cm ．（π取3）二、例题解析

与圆有关的计算

与圆有关的计算辅导教案学生姓名性别年级九年级学科数学授课教师上课时间第（）次课共（）次课课时：3课时科组长签名教学主任签名教学课题与圆有关的计算教学目标掌握圆的基本性质与计算教学重点与难点圆的基本性质的应用一、知识点讲解考点1 正多边形与圆如果正多边形的边数为n ，外接圆半径为R ，那么边长a n =2Rsin 180n ? 周长C=2nRsin 180n ? 边心距r n =Rcos 180n ? 考点2 圆的弧长及扇形面积公式如果圆的半径是R ，弧所对的圆心角度数是n ，那么弧长公式弧长l=180n R π 扇形面积公式 S 扇=2360n R π=12 lR 考点3 圆锥的侧面积与全面积图形圆锥简介 (1)h 是圆锥的高，r 是底面半径； (2)l 是圆锥的母线，其长为侧面展开后所得扇形的① ； (3)圆锥的侧面展开图是半径等于② 长，弧长等于圆锥底面③

的扇形. =④ 圆锥的侧面积S 侧 =⑤ 圆锥的全面积S 全 1.牢记圆的有关计算公式，并灵活处理好公式之间的转换，当出现求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解. 2.圆锥的侧面问题转化为平面问题，如最短路线问题. 二、重点题型讲解命题点1 正多边形与圆例1 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的( ) A.6，32 B.32，3 C.6，3 D.62，32 方法归纳：解决正多边形与圆的问题通常是将正多边形分解成三角形，利用正多边形的边长、外接圆半径、内切圆半径之间的关系来解决. 1.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于( ) A.30° B.45° C.55° D.60° 2.正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是( ) A.3 B.2 C.3 D.23 3.半径为r的圆内接正三角形的边长为(结果可保留根号). 命题点2 弧长与扇形面积的计算例2 如图，水平地面上有扇形AOB，半径OA=6 cm，∠AOB=60°,且OA与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，此时O点移动的距离为cm，则此扇形的面积为cm2.(结果保留π)

专题六与圆有关的计算

专题六与圆有关的计算【基础自测】 1. 已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（） A ．6 B ．12 C ．63 D ．123 2.如图已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（） A ． 24πcm B ． 26πcm C ． 29πcm D ． 2 12πcm 3.若一个圆锥的底面圆的周长是 4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 A ．40° B ．80° C ．120° D ．150° 4.某中学礼堂门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为1.8米，所对的圆心角为100°，则弧长是米．(π≈3) 【要点梳理】 1.弧长公式为： . 2.扇形面积为：① .② . 3. 圆柱的侧面积公式： . 圆柱的表面积公式： . 4. 圆锥的侧面积公式： . 圆锥的表面积公式： . 5.正多边形：（1）正多边形的中心：正多边形_________（或_____）的圆心；（2）正多边形的半径：正多边形的_________的半径；（3）正多边形的边心距：?_________?到正多边形一边的距离，?也是正多边形_______的半径；（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角．（5）正多边形的半径、和构成了一个直角三角形. 【典例精析】 120 B O A 6cm

O B A C A B 例1圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（）． A ．36π B ．48π C ．72π D ．144π 例2如图，在Rt ABC △中，9042C AC BC ===∠°，，，分别以AC .BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）例3如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为 . 【考题精练】一、选择题 1.如图，已知O ⊙的半径6OA =，90AOB ∠=°，则AOB ∠所对的弧AB 的长为（） A ．2π B ．3π C ．6π D ．12π 2.将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 ( ) A ．10cm B ．30cm C ．40cm D ．300cm 3.若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（） A ．1.5 B ．2 C ．3 D ．6 4.现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm ，小红打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（）． A.9° B.18° C.63° D.72° 5.已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，则底面半径与母线的比值为（） A. 125 B.135 C.1310 D.13 12 二、填空题 1.如图，在半径为5，圆心角等于450的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D .E 在OB 上，点F 在AB 上，则阴影部分的面积为（结果保留 π） .

与圆有关的计算资料

与圆有关的计算导学案基础知识知识点一、弧长的计算公式 1．圆周长公式：C ＝2πr 或C ＝πD． 2. 弧长公式：在半径为r 的圆中，n°圆心角所对的弧长计算公式：180 2360r n r n l ππ= ?=. 知识点二、扇形及其面积计算 1. 扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形叫做扇形．扇形的周长：扇形的周长等于弧长与两条半径的长之和． 2. 圆面积公式：2 r S π=圆（r 为圆的半径）． 3. 扇形的面积计算公式： ①36036022 r n r n S ππ=?=扇形，其中r 为半径，n 为扇形的圆心角度数. ②lr S 2 1 = 扇形，其中为扇形的弧长，r 为半径．知识点三、圆锥的侧面积和全面积 1. 圆锥的侧面展开图：沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，其侧面展开图是一个扇形，这个立体图形转化为平面图形的过程中，有三个不变的关系，需要关注： ① 扇形的半径等于圆锥的母线长； ② 扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长； ③ 扇形的面积等于圆锥的侧面积． 2. 圆锥的表面积：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的侧面积lr r l S ππ=?= 22 1 侧全面积分别为2 r lr S S S ππ+=+=底侧全．典型例题解析例1. （广元）半径为R ，圆心角为300°的扇形的周长为（） A. 253R π B.53R π C.(513π+)R D.(523 π+)R 答案：D 解析：本题考查了扇形弧长的计算，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．根据扇形的圆心角和半径大小求出弧长，再加上两条半径得周长. 故选择D .

圆的有关计算

第四节圆的有关计算【回顾与思考】【例题经典】有关弧长公式的应用例1 如图，Rt△ ABC的斜边AB=35，AC=21，点0在AB 边上，OB=20 , —个以0为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC于D、E两点，求D E的长度. 【分析】求弧长时，只要分别求出圆心角和半径，特别是求半径时，要综合应用所学知识解题，如此题求半径时，就用到了相似. 有关阴影部分面积的求法例2 （xx年济宁市）如图，以BC为直径，在半径为2圆心角为90° 的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是囲的有关计算 ■時盏IT M为圆馆母线出 g"（厂为底面圆半径厢上）正多边形和圆

图形求解. 求曲面上最短距离例3 （xx 年南充市）如图，底面半径为 1,母线长为4的圆锥，？一只小蚂蚁若从 A 点出发，绕侧面一周又回到 A 点，它爬行的最短路线长是（） A . 2 B . 4 .2 C . 4.3 D . 5 【分析】在曲面上不好研究最短距离问题，可以通过展开图把曲面问题转化成平面问题，利用两点之间，线段最短”来解决问题. 【考点精练】 1、基础训练 1.已知扇形的圆心角为 120 °半径为2cm ，则扇形的弧长是 ______________ cm ，扇形的面积是 _______ cm 2. 2.如图1,两个同心圆中，大圆的半径 0A=4cm ，/ AOB= / BOC=60°，则图中阴影部分的面积是 ______ cm 2. (1) 3.如图2,圆锥的底面半径为 6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的侧面积是 ______ cm 2. B . -2 1 C . -1 2 1 D . -2 2 【分析】有关此类不规则图形的面积问题，一般采用割补法”化为几个已学过的规则

圆的有关计算(例题+练习+详解)

知识框架知识点一：扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180 n R l π= ；（2）扇形面积公式： 21 3602 n R S lR π= = n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积 2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图 2S S S =+侧表底=2 22rh r ππ+ （2）圆柱的体积：2 V r h π= 3 .圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2 Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：2 13 V r h π= 知识点二：圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?中进行： ::1:3:2OD BD OB =；（2）正四边形 S l B A O 母线长底面圆周长 C 1 D 1D C B A B1 R r C B A O D C B A O E C B A D O

D(B ')A(A ') D ' C 'C B C B D O A 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?中进行，::1:1:2OE AE OA =：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?中进行，::1:3:2AB OB OA =. 【例题经典】考点1：圆的周长、弧长中考中对圆的周长及弧长公式的考查内容难度较小，常以填空选择题出现。 [例1]如图,一块边长为8cm 的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点A 按逆时针方向旋转至A ′B ′C ′D ′的位置,则顶点C?从开始到结束所经过的路径长为( ) A.16cm B.162cm C.8πcm D.42πcm [例2] 如图，Rt △ABC 的斜边AB=35，AC=21，点O 在AB 边上，OB=20，一个以O 为圆心的圆，分别切两直角边边BC 、AC 于D 、E 两点，求DE 的长度．【分析】求弧长时，只要分别求出圆心角和半径，特别是求半径时，要综合应用所学知识解题，如此题求半径时，就用到了相似．考点2：扇形及不规则图形的面积求不规则图形的面积一直是历年来中考考查的主要内容，一般方法是运用割补法和整体减局部的方法把不规则图形转化为规则图形，从而利用扇形公式等计算，从而达到考查目的。 [例3]如图,⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 相互外离,?它们的半径都是1,顺次连结四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)?的面积之和是( ) A.2π B. π C. 23π D. 2 π [例4] 如图3,扇形AOB 中,∠AOB=60°,AD=3cm,CD=3πcm,则图中阴影部分的面积为( ) A. 92πcm 2 B. 152πcm 2 C. 21 2 πcm 2 D.21πcm 2 [例5]如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形． B A O C B D A

圆的有关计算

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