机械能守恒问题答案

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机械能守恒问题

1．如图，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中（）

A. 小球动能和弹簧弹性势能之和不断增大

B. 小球重力势能和弹簧弹性势能之和保持不变

C. 小球重力势能和动能之和增大

D. 小球重力势能、动能与弹簧弹性势能之和保持不变

【答案】AD

【解析】对于小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能这三种形式的能量相互转化，没有与其他形式的能发生交换，也就说小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之和保持不变．对于小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，小球的重力势能一直减小，则小球动能和弹簧弹性势能之和不断增大，故A正确；在刚接触弹簧的时候这个时候小球的加速度等于重力加速度，在压缩的过程中，弹簧的弹力越来越大，小球所受到的加速度越来越小，直到弹簧的弹力等于小球所受到的重力，这个时候小球的加速度为0，要注意在小球刚接触到加速度变0的工程中，小球一直处于加速状态，由于惯性的原因，小球还是继续压缩弹簧，这个时候弹簧的弹力大于小球受到的重力，小球减速，直到小球的速度为0，这个时候弹簧压缩的最短．所以小球的动能先增大后减小，所以重力势能和弹性势能之和先减小后增加．故B错误．弹簧是一直被压缩的，所以弹簧的弹性势能一直在增大．因为小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之和保持不变，重力势能和动能之和始终减小．故C错误．对于小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能这三种形式的能量相互转化，没有与其他形式的能发生交换，也就说小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之和保持不变．故D正确．故选AD．

点睛：根据能量守恒小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之和保持不变．其中一个能量的变化可以反映出其余两个能量之和的变化．

2．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是 ( )

A. 甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒

B. 乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒

C. 丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒

D. 丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒

【答案】CD

【解析】甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，除重力做功外，弹簧的弹力对A做负功，则A机械能不守恒，选项A错误；乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，此时A将向后运动，则A对B的弹力将对B做功，则物体B机械能不守恒，选项B错误；丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，只有系统的重力做功，则A、B组成的系统机械能守恒，选项C正确；丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球动能和势能均不变，机械能守恒，选项D正确；故选CD.

点睛：此题考查对机械能守恒条件的理解；只有重力做功时，物体的动能和势能相互转化，此时机械能守恒.

3．如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，A球的质量为m，B球的质量为2m，此杆可绕穿过O点的水平轴无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置由静止释放，则在杆从释放到转过90°的过程中

A. A球的机械能增加

B. 杆对A球始终不做功

C. B球重力势能的减少量等于B球动能的增加量

D. A球和B球的总机械能守恒

【答案】AD

【解析】A球向上加速，动能增加，重力势能也增加，则A球的机械能增加．故A正确．由于A球的机械能增加，则根据功能原理知，杆对A球做正功，故B错误．根据系统的机械能守恒知，B球重力势能的减少量等于B球动能的增加量、A球动能的增加量和A球重力势能增加量之和．故C错误．对于AB组成的系统，只发生动能和重力势能的转化，系统的机械能守恒．故D正确．故选AD.

点睛：本题是轻杆连接的模型问题，对系统机械能是守恒的，但对单个小球机械能并不守恒，运用系统机械能守恒及除重力以外的力做物体做的功等于物体机械能的变化量进行研究即可．

4．如图所示，轻杆长为L，可绕轴O无摩擦地转动，在杆上距离轴O点L/3的A点和端点B各固定一质量均为m的小球，使杆从水平位置无初速度释放摆下。下列说法正确的是（）

A. 当杆转到竖直位置时A

B. 当杆转到竖直位置时B

C. 从开始下落至杆转到竖直位置的过程中杆对球A做负功

D. 从开始下落至杆转到竖直位置的过程中杆对球B做功1

5 mgL

【答案】BCD

【解析】在转动过程中，A、B两球的角速度相同，设A球的速度为v A，B球的速度为v B，则有

v A =

13

v B ；以A 、B 和杆组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律，并选最低点为零势能参考平面，则有：E 1=mgL+mgL=2mgL ， 222211322

A B E mg L mv mv =?++ 解得：

A v =；

B v =； 在此过程中轻杆对A 球做的功即为小球A 的机械能变化量：

2211325

KA A E mgL mv mgL mgL +-=-＝，选项C 正确；在此过程中轻杆对B 球做的功即为小球B 的机械能变化量： 21125

KB B E mv mgL mgL -=＝，选项D 正确；故选BCD. 点睛：本题关键是系统内部只有重力势能和动能相互转化，机械能守恒，根据守恒定律列方程求解出速度，再计算机械能的变化量。

5．如图所示，一足够长、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳的两端各系一个小球a 和b 。a 球的质量为m ，静置于水平地面；b 球的质量为M ，用手托住，距地面的高度为h ，此时轻绳刚好拉紧。从静止释放b 后，a 达到的最大高度为，则M 与m 的比值为（ ）

A. 8：5

B. 5：3

C. 4：1

D. 3：2

【答案】C

【解析】设a 球到达高度h 时两球的速度v ，根据机械能守恒，b 球的重力势能减小

转化为a 球的重力势能和a 、b 球的动能．即： 21)2

M m gh M m V -=+（）（

解得两球的速度都为： V =

此时绳子恰好松弛，a

同样根据动能定理有： 210.602

mg h mV -?=-

解得ab 球质量关系为： 4M m =，故C 正确。 点睛：在a 球上升的全过程中，a 球的机械能是不守恒的，所以在本题中要分过程来求解，第一个过程系统的机械能守恒，在第二个过程中只有a 球的机械能守恒。 6．如图所示，一根全长为l 、粗细均匀的铁链，对称地挂在光滑的小滑轮上，当受到轻微的扰动，求铁链脱离滑轮瞬间速度的大小( )

【答案】B

【解析】试题分析：链条在下滑的过程中，对链条整体而言，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律求出链条的速度．

铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为： 111244

L L L -=，在链

条下落过程中，其机械能守恒，则得21142mg L mv ?

=，解得： v =B 正确． 7．半径为r 和R （r ＜R ）的光滑半圆形碗固定在水平面上，其圆心均在同一水平面上，如图所示，质量相等的两物体分别自半圆形碗左边缘的最高点无初速地释放，在下滑过程中两物体（ ）

A. 机械能均逐渐减小

B. 经最低点时动能相等

C. 均能到达半圆形槽右边缘最高点

D. 机械能总是相等的

【答案】CD

【解析】试题分析：A 、圆形槽光滑，两小球下滑过程中，均只有重力做功，机械能均守恒．故A 错误．

B 、根据机械能守恒定律，得

mgr=mv 12E K1="mgr" 同理 E K2=mgR

由于R ＞r ，则 E K1＜E K2故B 错误；

C 、根据机械能守恒可知，均能到达半圆形槽右边缘最高点．故C 正确．

D 、取圆形槽圆心所在水平面为参考平面，则在最高点时，两球机械能均为零，相等，下滑过程中机械能均守恒，机械能总是相等的．故D 正确． 故选：CD

8．半径为r 和R （r ＜R ）的光滑半圆形槽，其圆心均在同一水平面上，如图所示，质量相等的两小球分别自半圆形槽左边缘的最高点无初速地释放，在下滑过程中两小球

( )

A. 机械能均逐渐减小

B. 经过最低点时动能相等

C. 机械能总是相等的

D. 在最低点时向心加速度大小不相等

【答案】C

【解析】A 、圆形槽光滑，两小球下滑过程中，均只有重力做功，机械能均守恒，故A 错误，C 正确．

B 、根据机械能守恒定律，得mgr =12mv 12，E K1=mgr ，同理 E K2=mgR ，由于R ＞r ，则E K1＜E K2，故B 错误；

D 、两个物体在运动的过程中，机械能都守恒，由mgR =12mv 2得，v 2=2gR ，所以在最低点时的向心加速度的大小为，a =v 2R =2gR R =2g ，所以在最低点时的加速

度的大小与物体运动的半径的大小无关，即两个物体在最低点时的加速度的大小相等，所以D 错误。

点睛：根据机械能守恒的条件可以判断两小球在光滑圆形槽中下滑过程中机械能是守恒的．由机械能守恒定律，求出小球经过最低点时速度大小，就能比较动能的大小关系．利用向心力知识求出在最低点时，轨道对小球的支持力，进而求出加速度的大小．取圆心所在水平面为参考平面，两小球在水平面上时，机械能均为零，下滑过程中机械能都不变，故确定在最低点时它们的机械能是相等的。

9．如图所示，轻杆长为3L ，在杆的A 、B 两端分别固定质量均为m 的球A 和球B ，杆上距球A 为L 处的O 点装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动．在转动的过程中，忽略空气的阻力。若球B 运动到最高点时，球B 对杆恰好无作用力，则下列说法正确的是（ ）

A. 此时A 、B 的动量相同

B. 球B 在最高点时速度为零

C. 球B 在最高点时，杆对A 的作用力为

D. 球B 转到最低点时，其速度为B v = 【答案】C

【解析】球B 运动到最高点时，两球的动量的方向不同，则动量不同，选项A 错误；球B 运动到最高点时，球B 对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有

2

2v mg m L

=，解得v ，故B 错误；因为AB 同轴转动，B 的半径是A 的两

倍，所以有：v A =12v B ，对球B ，则2A v F mg m L -=，解得F=，选项C 正确； 在转动过程中，两球系统机械能守恒，以最低点为参考平面，根据机械能守恒定

律，有()()222211113422222A B v mg L mv mv mg L mv mgL m ??++=+++ ???

联立解得： B v ，所以D 错误．故选C ．

点睛：本题中两个球组成的系统内部动能与重力势能相互转化，机械能守恒，同时两球角速度相等，线速度之比等于转动半径之比，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律联立列式求解．

10．如图所示，m 1>m 2，滑轮光滑且质量不计，空气阻力不计。开始用手托着m 1，手移开后，在m 1下降一定距离d 的过程中，下列说法正确的是（ ）。

A. m 1的机械能增加

B. m 2的机械能增加

C. m 1和m 2的总机械能增加

D. m 1和m 2的总机械能不变

【答案】BD

【解析】两个物体组成的系统中只有动能和重力势能相互转化，机械能总量守恒； 1m 重力势能减小，动能增加， 2m 重力势能和动能都增加，故1m 减小的重力势能等于2m 增加的重力势能和两个物体增加的动能之和， 1m 机械能减少量等于2m 机械能增加量，故BD 正确．

11．（多选）如图(a)所示，小球的初速度为v 0，沿光滑斜面上滑，能上滑的最大高度为h ，在图(b)中，四个小球的初速度均为v 0。在A 图中，小球沿一光滑内轨向上运动，内轨半径大于h ；在B 图中，小球沿一光滑内轨向上运动，内轨半径小于h ；在图C 中，小球沿一光滑内轨向上运动，内轨直径等于h ；在D 图中，小球固定在轻杆的下端，轻杆的长度为h 的一半，小球随轻杆绕O 点无摩擦向上转动。则小球上升的高度能达到h 的有

A. A 图

B. B 图

C. C 图

D. D 图

【答案】AD

【解析】试题分析：小球沿光滑斜面上滑，能上滑的最大高度为h ，知道小球到达最高点时的速度为零．通过判断选项中各图最高点的速度能否为零来判断上升的高度能否到达h ．

小球沿一光滑内轨向上运动，内轨半径大于h ，小球上升h 时，速度为零，未超过四分之一圆周，故A 正确；小球沿一光滑内轨向上运动，内轨半径小于h ，小球上升h 时，速度为零，超过四分之一圆周，要想做圆周运动，在h 高处速度不能为零，知还

未上升到h 高度已离开轨道，故B 错误；小球沿一光滑内轨向上运动，内轨直径等于h ，在最高点有最小速度，知小球未到达最高点已离开轨道，故C 错误；小球固定在轻杆的下端，轻杆的长度为h 的一半，小球随轻杆绕O 点向上转动．最高点的最小速度为零，小球能够达到最高点，故D 正确．

12．如图所示，在地面上以速度o v 抛出质量为m 的物体，抛出后物体落在比地面低h 的海平面上，若以地面为零势能参考面，且不计空气阻力。则：

A. 物体在海平面的重力势能为mgh

B. 重力对物体做的功为mgh

C. 物体在海平面上的动能为2012

m mgh υ+ D. 物体在海平面上的机械能为2012

m mgh υ+ 【答案】BC

【解析】试题分析：整个过程中不计空气阻力，只有重力对物体做功，物体的机械能守恒，应用机械能守恒和功能关系可判断各选项的对错．

以地面为零势能面，海平面低于地面h ，所以物体在海平面上时的重力势能为mgh -，故A 错误；重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为h ，并且重力做正功，所以整个过程重力对物体做功为mgh ，故B 正确；由动能定理21k k W E E =-，则得，物体在海平面上的动能221012

k k E E W mv mgh =+=+，故C 正确．整个过程机械能守恒，即初末状态的机械能相等，以地面为零势能面，抛出时的机械能为2012mv ，所以物体在海平面时的机械能也为2012

mv ，故D 错误． 13．如图所示，一个铁球从竖立在地面上的轻弹簧正上方某处自由下落，在A 点接触弹簧后将弹簧压缩，到B 点物体的速度为零，然后被弹回，下列说法中正确的是（ ）

A. 铁球的机械能守恒

B. 物体从B 上升到A 的过程中，动能不断增大

C. 物体从B 上升到A 的过程中动能和弹性势能之和不断减小

D. 物体从A 上升到B 的过程中铁球的重力势能和弹性势能之和先减小后增大

【答案】CD

【解析】A 、铁球除了重力做功以外，弹簧的弹力也做功，所以铁球的机械能不守恒，但是铁球和弹簧组成的系统机械能守恒，故A 错误；

B、物体从A下落到B的过程中，弹簧的弹力不断增大，弹簧的弹力先小于重力，后大于重力，铁球先向下加速，后向下减速，则在AB之间某点弹力等于重力，铁球的动能最大，在B点弹力大于重力，物体从B上升到A的过程中，弹簧的弹力先大于重力，后小于重力，铁球先向上加速，后向上减速，所以动能先变大后变小，故B错误；

C、铁球从A到B的过程中，重力势能减小，则铁球的动能和弹簧的弹性势能之和不断增大，故C正确；

D、铁球刚接触A的一段时间内，弹簧弹力较小，小于重力，a方向向下，铁球加速，根据mg F ma

-=，可见随着F变大，a减小，当a减小到零时速度达到最大，之后铁球继续压缩弹簧，弹簧弹力大于重力，加速度方向向上，铁球做减速运动，

F mg ma

-=，F变大则a变大，即铁球做加速度逐渐增大的减速运动，直到速度减为零时到达最低点，可见在A到B过程中，速度先增大后减小，则动能先增大后减小，所以铁球的重力势能和弹簧的弹性势能之和先变小后变大，故D正确。

点睛：本题主要考查了机械能守恒定律的直接应用，关键是知道在运动过程中，铁球的机械能不守恒，但是铁球和弹簧组成的系统机械能守恒，能抓住下落过程中弹簧弹性势能和铁球重力势能变化求解。

14．一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为M和m的长方形物块，且

M>m，开始时用手握住M，使系统处于如图示状态。求：

（1）当M由静止释放下落h高时的速度（h远小于绳长，绳与滑轮的质量不计）。（2）如果M下降h刚好触地，那么m上升的总高度是多少？

【答案】（1（2）2Mm M m

+

【解析】（1）M由静止释放下落h高过程，m、M只受重力和绳子弹力T 作用，且两者所受的绳子弹力相等，m、M的速度始终相同，故两者的加速

度相等，那么：

Mg T T mg

a

M m

--

＝＝，所以，

M m

a g

M m

-

+

＝

则当M由静止释放下落h高时的速度v；

（2）如果M下降h刚好触地，之后m继续上升，绳子的弹力为零，m只受重力作用，故应用机械能守恒可得m继续上升的高度为h′，则有：mgh′

＝1

2

mv2，

所以，

2

'

2

v M m

h h

g M m

-

+

＝＝；

所以，m上升的总高度H＝h+h′＝

2Mh M m

+

15．如图所示，位于竖直面内的曲线轨道的最低点B的切线沿水平方向，且与一位于同一竖直面内、半径R=的光滑圆形轨道平滑连接。现有一质量m=的滑块（可视为质点），从位于轨道上的A点由静止开始滑下，滑块经B 点后恰好能通过圆形轨道的最高点C。已知A点到B点的高度h=，重力加速度g=10m/s2，空气阻力可忽略不计，求：

(1)滑块通过C点时的速度大小；

(2)滑块通过圆形轨道B点时对轨道的压力大小；

(3)滑块从A点滑至B点的过程中，克服摩擦阻力所做的功。

【答案】(1) v C=s (2) F N′= (3) W f =

【解析】(1)因滑块恰能通过C点，即在C点滑块所受轨道的压力为零，其只受到重力的作用。设滑块在C点的速度大小为v C，根据牛顿第二定律，对滑块在C点有

mg=mv C2/R

解得v C

(2)设滑块在B点时的速度大小为v B，对于滑块从B点到C点的过程，

根据机械能守恒定律有1

2

mv B2=

1

2

mv C2＋mg2R

滑块在B点受重力mg和轨道的支持力F N，根据牛顿第二定律有 F N－mg=mv B2/R 联立上述两式可解得 F N=6mg=

根据牛顿第三定律可知，滑块在B点时对轨道的压力大小F N′=

(3)设滑块从A点滑至B点的过程中，克服摩擦阻力所做的功为W f，对于此过程，

根据动能定律有 mgh－W f=1

2

mv B2

解得W f=mgh－1

2

mv B2=

16．质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为米，如图所示．若摩擦力均不计，从静止开始放手让它们运动．（斜面足够长，g取10m/s2）求：

（1）物体A 着地时的速度；

（2）物体B 在斜面上到达的最大离地高度．

【答案】（1）2 m/s （2）

【解析】（1）设A 落地时的速度为v ，系统的机械能守恒：

()21sin 2

mgh mgh m m v α-=+ 代入数据得：v=2 m/s ．

（2）A 落地后，B 以v 为初速度沿斜面匀减速上升，设沿斜面又上升的距离为S ， 由动能定理得： 21-sin 02

mgS mv α?=- 代入数据得：S=．

所以物体B 在斜面上到达的最大离地高度为H=(h+S )sin30°=

17．质量均为m 的两个小球P 和Q ，中间用轻质杆固定连接，杆长为L ，在离P 球3

L

处有一个光滑固定轴O ，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q 球顺时针摆动到最低点位置时，求：

(1)小球P 的速度大小；

(2)在此过程中小球P 机械能的变化量。

【答案】（1）p v =（2）25

E mg gL ?=? 【解析】（1）对于P 球和Q 球组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，则有： mg?23L-mg 13L=12mv P 2+12

mv Q 2 两球共轴转动，角速度大小始终相等，由v=rω得：v Q =2v P ；

联立解得： p v = （2）小球P 机械能的变化量为：

△E P =mg 13L +12mv P 2=25

mgL 点睛：本题是轻杆连接的问题，要抓住单个物体机械能不守恒，而系统的机械能守恒是关键．注意两球之间线速度的关系．

18．如图所示，物块A 和B 通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为m A =2 kg 、m B =1 kg 。初始时A 静止于水平地面上，B 悬于空中。先将B 竖直向上再举高h = m （未触及滑轮）然后由静止释放。一段时间后细绳绷

直，A 、B 以大小相等的速度一起运动，之后B 恰好可以和地面接触。取g =10 m/s 2。

空气阻力不计。求：

（1）B 从释放到细绳刚绷直时的运动时间t ；

（2）A 的最大速度v 的大小；

（3）初始时B 离地面的高度H 。

【答案】（1）0.6s t = ； （2）2m/s v = ； （3）0.6m H =

【解析】（1）B 从释放到细绳刚绷直前做自由落体运动，有： 212

h gt = 解得： 0.6s t =

（2）设细绳绷直前瞬间B 速度大小为v B ，有06m/s v gt ==

细绳绷直瞬间，细绳张力远大于A 、B 的重力，A 、B 相互作用，总动量守恒： ()0B A B m v m m v =+

绳子绷直瞬间，A 、B 系统获得的速度： 2m/s v =

之后A 做匀减速运动，所以细绳绷直瞬间的速度v 即为最大速度，A 的最大速度为2 m/s

（3）细绳绷直后，A 、B 一起运动，B 恰好可以和地面接触，说明此时A 、B 的速度为零，这一过程中A 、B 组成的系统机械能守恒，有：

()212

A B B A m m v m gH m gH ++= 解得，初始时B 离地面的高度0.6m H =

点睛：本题的难点是绳子绷紧瞬间的物理规律——是两物体的动量守恒，而不是机械能守恒。

19．物块A 的质量为m ＝2kg ，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝，水平面光滑．坡道顶端距水平面高度为h ＝1m ，倾角为θ＝37°.物块从坡道进入水平滑道时，在底端O 点处无机械能损失，将轻弹簧的一端连接在水平滑道M 处并固定墙上，另一自由端恰位于坡道的底端O 点，如图所示．物块A 从坡顶由静止滑下，重力加速度为g ＝10m/s 2，sin37°＝，cos37°＝，求：

(1)物块滑到O 点时的速度大小；

(2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能；

(3)物块A 被弹回到坡道后上升的最大高度．

【答案】(1)2m/s (2)4J (3) 19

m

【解析】 (1)由动能定理得21tan 2

mgh mgh mv μθ-＝

解得v =， 代入数据得v ＝2m/s (2)在水平滑道上，由机械能守恒定律得

12mv 2＝E p 代入数据得E p ＝4J

(3)设物块A 能够上升的最大高度为h 1，物块被弹回过程中由动能定理得

21110=-2tan mgh mv mgh μθ

-- 代入数据解得h 1＝19

m. 20．如图所示是一个横截面为半圆、半径为R 的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系着物体A 、B ，且m A ＝2m B ，由图示位置从静止开始释放A 物体，当物体B 达到圆柱顶点时，求物体A 的速度．

【解析】由于柱面是光滑的，故系统的机械能守恒，系统重力势能的减少

量等于系统动能的增加量，系统重力势能的减少量为ΔE p ＝m A g 2

R π－m B gR 系统动能的增加量为ΔE k ＝12

(m A ＋m B )v 2

由ΔE p ＝ΔE k 得v