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曲线与方程导学案1

曲线与方程

【学习目标】

1、从实例了解方程的曲线与曲线的方程的概念；

2、会用曲线和方程的概念直接判断比较简单的曲线和方程间的关系；

3、感受“数”与“形”的结合的思想.

【课前自学】

1、填空：

（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y 的二元一次方程Ax+By+C=0（A,B

满足）来表示；

（2）过点(3，-2)且平行于x 轴的直线方程是；

（3）点（1,7）（填：在或不在）直线2x-4y+1=0上；

2、阅读课本P34-P35并思考以下两个问题：

问题一：第一、三象限角平分线上的点的坐标满足方程|y|=|x|吗?是否可以得到这条直线的方程就

是|y|=|x|？

问题二：以C （a,b ）为圆心，r 为半径的圆上的点与方程(x-a)2+(y-b)2=r 2的解之间的关系是什么？

【课内探究】

一、分析特例、归纳定义：（曲线与方程之间有什么对应关系呢？）

问题一：第一、三象限角平分线上的点的坐标满足方程|y|=|x|吗?是否可以得到这条直线的方程就

是|y|=|x|？

问题二：以C （a,b ）为圆心，r 为半径的圆上的点与方程(x-a)2+(y-b)2=r 2的解之间的关系是什么？定义：

一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0f x y =之间，如果具有以下两个关系：（1）．曲线C 上的点的坐标，都是的解；

（2）．以方程(,)0f x y =的解为坐标的点，都是的点，

那么，方程(,)0f x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0f x y =的曲线．

二、解决例题、巩固定义：

例1、（1）点A （1，-2），B （2，-3），C （3，10）是否在方程x 2-xy+2y+1=0表示的曲线上？为什么？

（2）已知方程为2522=+y x 的圆过点)M m ，求实数m 的值？

总结：如果曲线C 的方程是f (x , y )＝0，点P 0(x 0, y 0)在曲线C 上 ? f (x 0, y 0)＝0；．

练习：已知方程222ax by +=的曲线经过A （0，

）和点B （1,1），则a = ，b = 。

例2、证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k

（归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤）

三、课堂练习：

1.判断下列结论的正误并说明理由

（1）△ABC 的顶点A （0，-3），B （1，0），C （-1，0），D 为BC 中点，则中线AD 的方程为x =0

（2）过A （2，0）平行于y 轴的直线方程为︱x ︱=2

2. 如果曲线C 上的点的坐标满足方程F （x ,y )=0，则以下说法正确的是（）

A.曲线C 的方程是F (x ,y )=0

B.方程F (x ,y )=0的曲线是C

C.坐标满足方程F (x ,y )=0的点都在曲线C 上

D.坐标不满足方程F （x ,y )=0的点都不在曲线C 上

四、课堂小结：

曲线C 的方程是f(x,y)=0要具备两个条件：

（1）曲线C 上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；

（2）以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上

曲线与方程的关系，反映了空间形式和数量关系之间的联系.

【课后检测】

1、“曲线C 上点的坐标都是f (x , y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x , y )＝0”的( )

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2、设圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝2，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，点P 的坐标为(2，1)，那么( )

A ．点P 在直线l 上，但不在圆M 上

B ．点P 在圆M 上，但不在直线l 上

C ．点P 既在圆M 上，又在直线l 上

D ．点P 既不在圆M 上，又不在直线l 上

3、下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是（）

A.2y y x == ；

B.1x y x y

==与

； C.220y x y x -==与； D.2lg 2lg y x y x ==与 4、若P (2，3)在方程x 2－ay 2＝1的曲线上，则a 的值为______

苏教版数学高二-湖南省邵阳市选修2-1学案曲线与方程(2)

【学习目标】 1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程．【自主学习】（认真自学课本P34-P36例2）新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线注意：1. 如果……，那么……； 2. “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3. 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4. 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试： 1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．【合作探究】例1：:（教材P35例1）证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．例2（教材P35例2）设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．

小结：求曲线的方程的步骤： ①建立适当的坐标系，用(,) M x y表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P的点M的集合{|()} P M p M =； ③用坐标表示条件P，列出方程(,)0 f x y=； ④将方程(,)0 f x y=化为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．【目标检测】 1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（）． A． 2 x y x =B ．y=C ．y=D．2log 2x y= 2. 已知方程222 ax by +=的曲线经过点 5 (0,) 3 A和点(1,1) B，则a= ，b= ． 3. 已知两定点(1,0) A-，(2,0) B，动点p满足 1 2 PA PB =，则点p的轨迹方程是． 4. 求和点(0,0) O，(,0) A c距离的平方差为常数c的点的轨迹方程．【作业布置】任课教师自定

江苏省宿迁市高中数学第2章圆锥曲线与方程第9课时双曲线的几何性质1导学案(无答案)苏教版选修1-1

第9课时双曲线的几何性质（1）【学习目标】1?了解双曲线的简单几何性质，如范围?对称性?顶点?渐近线和离心率等. 2 ?能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题. 【问题情境】 1?椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2?双曲线的两种标准方程是什么？【合作探究】双曲线的几何性质【展示点拨】 2 2 X y 例1 ?求双曲线1的实轴长和虚轴长?焦点的坐标?离心率.渐近线方程.

例2.已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16,离心率为-,求双曲线的方程. 3 变式：“焦点在y 轴上”变为“焦点在坐标轴上” 2 J 1有相同焦点且经过点(0,1)的双曲线的标准方程. 8 M,N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，求该双曲线的离心率. 【学以致用】 1 ?说出下列双曲线的顶点，焦点，焦距，实轴长，虚轴长，离心率和渐近线方程: 2 2 2 2 /八 x y , y x . (1) 1 ; (2) 1 . 9 16 4 5 例3?求与椭圆例4 ?过双曲线 X 2 a 2 2 ■y 2 1(a 0,b 0)的左焦点且垂直于 b 2 x 轴的直线与双曲线相交于

2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1) 实轴的长是10,虚轴长是8，焦点在x 轴上; (2) 焦距是10，虚轴长是8,焦点在y 轴上. 5 ，且与椭圆 —1 - 1有公共焦点，求此双曲线的标准方程. 3 40 15 5.已知F 1 , F 2是双曲线的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正 MF 1F 2，若边MR 的中点在此双曲线上，求此双曲线的离心率. 第9课时双曲线的几何性质(1) 【基础训练】 2 2 1?双曲线— y 1的焦点坐标为 49 25 2 2 2?双曲线— 1的两条渐近线的方程 16 9 3?等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为F(0，2(2)则双曲线的标准方程是 ______________ 4?双曲线的两条渐近线线互相垂直，那么它的离心率是 3?已知双曲线的两条渐近线的方程是 y 方程. 4 -x ，焦点为(5,0), (5,0)，求此双曲线的标准 3 4.双曲线的离心率为

北师版数学高二《曲线与方程》同步学案北师大

3.4.1 曲线与方程学习目标：曲线的方程和方程的曲线是解析几何的最基本的概念，是坐标法的基础，理解曲线与方程之间的一一对应关系。学习重点：曲线与方程的一一对应关系。学习难点：常见的几何模型与代数模型的转换。学习过程：一、复习：同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些？它们成立的条件是什么？学习实践中，你还发现了哪些关系？今天这节课，我们就来讨论这些问题。一、新旧知识连接：复习直线、圆、圆锥曲线的标准方程与曲线的一一对应关系。二、我能自学： 1.认识角的概念：一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程 F (x , y )=0的实数解建立了如下的关系（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么曲线C 叫做方程F (x , y )=0的曲线；方程F (x , y )=0叫做曲线C 的方程曲线的方程常称为满足某种条件的动点的轨迹方程三、巩固训练 1．22 :(3,4),5(3)(4)25,M x y -+-=证明圆心为半径为的圆的方程 (1,0),(1,0),(1,2)O A B --并判断点是否在这个圆上. 2．求直角坐标系下一三象限的角分线方程，下列方法是否正确？ 3. 求证：与两条坐标轴的距离的积等于1的点的轨迹方程是|xy |=1 例4. 甲：“曲线C 上的点的坐标都是方程 f (x ，y )=0 的解”，乙：“曲线C 是方程 f (x ，y )=0 的曲线”，则甲是乙的( )

(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 非充分也非必要条件

人教版高中数学必修2_1 2.1：曲线与方程学案(无答案)

高中二年级（上）数学选修2-1 第二章：圆锥曲线与方程——2.1：曲线与方程一：知识点讲解（一）：曲线与方程的概念 ? 在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程()0=y x f ，的实数解建立了如下的关系： ? 曲线上点的坐标都是这个方程的。 ? 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的。那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做。 ? 从点的坐标与方程的解的角度理解： ? 如果点()00y x P ，在曲线C 上，则0x x =， 0y y =适合曲线C 的方程()0=y x F ，，即()000=y x F ，。 ? 若0x x =，0y y =适合曲线C 的方程()0=y x F ，，则点()00y x P ，在曲线C 上。同时具备上述两个条件时，“曲线”与“方程”才能相互表示。 ? 从集合的角度理解：设A 是曲线C 上的所有点构成的点集，B 是所有以方程 ()0=y x F ，的实数解为坐标的点组成的点集，则由条件①B A ?；②A B ?，同时具备这两个条件，则有B A =，于是建立了曲线与方程之间的等价关系。 ? 从对应的角度理解：曲线方程定义的实质是平面曲线的点集(){}M p M |和方程 ()0=y x f ，的解集()(){}0|=y x f y x ，，之间一一对应的关系，如图所示：

例1：若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程()0=y x f ，的解”是正确的，则下列命题为真命题的是 A. 不是曲线C 上的点的坐标，一定不满足方程()0=y x f ， B. 坐标满足方程()0=y x f ，的点均在曲线C 上 C. 曲线C 是方程()0=y x f ，的曲线 D. 不是方程()0=y x f ，的解，一定不是曲线C 上的点（二）：解析几何及研究的主要问题 ? 坐标法：借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x ，y )所满足的方程()0=y x f ，表示曲线，通过研究的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫做坐标法。 ? 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何，解析几何研究的主要问题是： ? 根据已知条件，求出表示曲线的； ? 通过曲线的，研究曲线的性质。例2：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。 1) ( )若方程()0=y x F ，为曲线C 的方程，则满足()0=y x F ，的点都在曲线C 上。 2) ( )若曲线C 上所有的点都满足方程()0=y x F ，，则()0=y x F ，为曲线 C 的方程。 3) ( )方程x xy x =+2 的曲线是一个点和一条直线。 4) ( )方程21x y -=可化简为122=+y x 。 5) ( )方程x y = 与2y x =表示同一曲线。

20182019高中数学第2章圆锥曲线与方程疑难规律方法学案苏教版选修21

第2章圆锥曲线与方程 1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明． 1．求最值例1 线段AB ＝4，PA ＋PB ＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是________．解析由于PA ＋PB ＝6>4＝AB ，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A ，B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2 －c 2 ＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5. 答案 5 2．求动点坐标例2 椭圆x 29＋y 2 25＝1上到两个焦点F 1，F 2的距离之积最大的点的坐标是________．解析设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知 PF 1＋PF 2＝2a ＝10，所以PF 1·PF 2≤? ????PF 1＋PF 222＝? ?? ? ?1022＝25，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号．由? ?? ?? PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝PF 2，解得PF 1＝PF 2＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(±3,0)．答案 (±3,0) 点评由椭圆的定义可得“PF 1＋PF 2＝10”，即两个正数PF 1，PF 2的和为定值，结合基本不等式可求PF 1，PF 2乘积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标． 3．求焦点三角形面积例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 2 3 ＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求

江苏省宿迁市高中数学第二章圆锥曲线与方程第14课时曲线与方程1导学案无答案苏教版选修

第14课时曲线与方程【学习目标】 1?了解曲线方程的概念 2 ?能根据曲线方程的概念解决一些简单问题【问题情境】前面我们用f(x,y)=O或y=f(x)来表示一条曲线，例如直线的方程，圆的方程以及圆锥曲线的方程，那么什么是曲线的方程？ 1、曲线的方程，方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线 C (看作点的集合或适合某种条件的点轨迹)上的点与一个二元方程f (x, y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是___________________ ? (2) ________________________________________________ 以方程f( x, y)=0的解(x,y)为坐标的点都在_______________________________________________ ，那么，方程f (x, y)=0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x, y)=0的曲线. 1.点与曲线如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P(x o, y o)在曲线C上的充要条件是f (x o, y o)=0 ? 【合作探究】问题1:观察下表中的方程与曲线，说明它们有怎样的关系？

问题2…若曲线C的方程为k x2+2x+(1+k) y+3=0,(k € R),则曲线C过定点_____________ 问题3.方程x2+xy-x=0表示的曲线是 ________________ . 问题4?至俩个坐标轴距离相等的点所满足的方程是_____________________ .

例1?判断下列结论的对错，并说明理由： (1)过点A ( 3,0 )且垂直于x轴的直线的方程为x=3; (2)到x轴距离为2的点轨迹方程为y=2; (3)到两坐标轴距离乘积等于k的点的轨迹方程为xy=k. 例2. (1)判断点(2,2迈),(3,1)是否在圆x2y216上； (2)已知方程为x2y225的圆过点C ( *''7 , m ,求m的值. 例3.设圆C： (x 1)2y2 1，过原点0作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 变式：过P( 2,4 )作两条相互垂直的直线「J,若l i交x轴于A点，交y轴于B点, 求线段AB的中点M的轨迹方程. 例4?已知一座圆拱桥的跨度是36m圆拱高为6m,以圆拱所对的弦AB所在直线为x轴，AB的垂直 y 平分线为y轴，建立直角坐标系x O y (如图)，求圆拱的方程.*

曲线与方程(轨迹方程)

高二数学第二章曲线与方程学案学习目标： 1、理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 2、掌握求曲线的方程的方法及一般步骤；学习重点：理解曲线和方程的概念，掌握求曲线的方程的方法及一般步骤；学习难点：曲线和方程概念的理解；学习过程：完成教学目标1：理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义；新授知识：曲线的方程与方程的曲线的概念一般地，在直角坐标系中，如果其曲线C 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 例1、判断下列结论的正误并说明理由（1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3 ；（2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 ；（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 ；练习：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？ 2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C ，中线O AO (为原点）的方程是0=x 吗？为什么？ 3、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（） A.曲线C 的方程是(,)0f x y = B.方程(,)0f x y =的曲线是C C.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上 D.坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上例2、已知方程252 2=+by ax 的曲线经过点)3 5,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。练习：已知方程 2 2 25x y +=表示的曲线C 经过点)A m ，求m 的值。完成教学目标2：掌握求曲线的方程的方法及一般步骤；类型一：待定系数法求轨迹方程（设出标准方程，根据题意求出a ，b ，p ）例1：已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且0=?,||2||=,求椭圆的方程。练习：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C 的标准方程；类型二：直接法求轨迹方程（根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。注意：是否应该建立适当的坐标系）例2：已知点Ｆ（１，０），直线ｌ：x ＝－１，Ｐ为平面上的动点，过点Ｐ作直线ｌ的垂线，垂足为点Ｑ，且FQ FP QF QP ?=?,求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程； **练习：已知动点M 到定点A （1,0）与到定直线l ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(4.2)word学案

2．4.2 抛物线的几何性质 [学习目标] 1.掌握抛物线的几何性质.2.会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题． [知识链接] 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y 2＝2px (p >0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程验证？答：(1)范围：x ≥0，y ∈R ； (2)对称性：抛物线y 2＝2px (p >0)关于x 轴对称； (3)顶点：抛物线的顶点是坐标原点； (4)离心率：抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率．用e 表示，由定义可知e ＝1. [预习导引] 1．抛物线的几何性质标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) 图形性质范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R x ∈R ，y ≥0 x ∈R ，y ≤0 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴顶点 (0,0) 离心率 e ＝1 直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，AF ＝x 1＋p 2，BF ＝x 2＋p 2，故AB ＝x 1＋x 2＋p . 3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对

高中数学 2.1.1曲线与方程(1)导学案人教A版选修2-1

2.1.1 曲线与方程（1）【学习目标】 1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程．【重点难点】重点:曲线的方程、方程的曲线难点：求曲线的方程．【学习过程】一、自主预习（预习教材理P 34~ P 36，找出疑惑之处）复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．二、合作探究归纳展示探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x =，为什么？三、讨论交流点拨提升曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之

间，如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．注意：1? 如果……，那么……； 2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试： 1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．四、学能展示课堂闯关 ※ 典型例题例1. 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？例2.设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．

高二数学曲线与方程的概念导学案导学案文

高二数学曲线与方程的概念导学案导学案文一、预习导航 1、探究：下列表示平面直角坐标系下求一三象限角平分线的方程，你认为哪些是正确的？（1）（2）（3） 2、结论（1）你能说明不正确的理由是什么吗？（2）你能据此总结出曲线的方程和方程的曲线满足的两个条件吗？二、牛刀小试判断下列曲线与方程的关系，若所给出的方程不是曲线的方程，是因为不满足两个条件中的哪一条？（1）曲线C：过点（2，0）且与y轴的距离等于2的点的轨迹方程为（2）曲线C：到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹方程为。（3）曲线C：以y轴为对称轴的等腰三角形底边上的中线的方程：。三、展示自我 1、判断正误：（1）已知一个三角形的三个顶点是A（2，3）、B(0,0)、C(4,0)，它的BC边上的中线AM的方程是；（2）如图，MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(-1,0)B(1,0)的连线，使为直角的动点M的轨迹方程是：； 2、如果方程的曲线通过点A(0,-2)和B（），求a，b的值。３、求直线l：x+4y+7=0与曲线C:的公共点的坐标。四、巩固提高已知两圆,,想一想：及应该满足的条件？方程（1）时，该方程表示：

_______________________________________________（2）时，该方程表示： _______________________________________________练习：求通过两圆，的交点和点（2，1）的源的方程？五、小结你认为通过自己的学习，本节课有哪些知识没有掌握？ _________________________________________________________ ______________________ _________________________________________________________ ______________________

圆锥曲线与方程导学案(整理版)

曲线与方程 1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程．复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x =，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．注意：1? 如果……，那么……； 2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试： 1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ※ 典型例题例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？小结：求曲线的方程的步骤： ①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． ※ 动手试试练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 22 2x y x x -=- (3) log a x y a = 练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？ ※ 当堂检测

高中数学1-1(文)第二章圆锥曲线与方程学案2.2.1双曲线的定义与标准方程

§2.2双曲线知识梳理 1、双曲线及其标准方程（1）双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹. 若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. （2）.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 2、双曲线的简单几何性质（1）.双曲线 12 22 2=- b y a x 实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e ==离心率e 越大，开口越大. （2）.双曲线 12 22 2=- b y a x 的渐近线方程为x a b y ± =或表示为 02 22 2=- b y a x . 若已知双曲线的渐近线方程是x n m y ± =，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数. （3）焦半径公式2 1|()|a PF e x c =+ ，2 2|( )|a PF e x c =-. （4）双曲线的方程与渐近线方程的关系 ①若双曲线方程为 12 22 2=- b y a x ?渐近线方程： 222 2 0x y a b - =?x a b y ± =；②若渐近线方程为x a b y ± =? 0=± b y a x ?双曲线可设为 λ=- 2 22 2b y a x ；③若双曲线与 12 22 2=- b y a x 有公共渐近线，可设为 λ=- 2 22 2b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.④双曲线 222 2 1(,0)x y a b a b - =>焦点三角形面积：1 2 F PF S ?=2 cot 2 b θ，

双曲线及其标准方程--导学案

双曲线及其标准方程学习目标：掌握双曲线的定义及标准方程，进一步理解坐标法的思想；学习重点：了解双曲线的定义；学习难点：双曲线标准方程的推导过程；学习过程：一、复习与问题： 1、复习：椭圆的定义椭圆的标准方程： 2、问题：平面内与两定点的距离的和等于常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，平面内与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？二、双曲线的定义：双曲线的定义：把平面内的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的合作探究：试说明在下列条件下动点M 的轨迹各是什么图形？ ),,2,2,(212121都为正常数是两定点，c a c F F a MF MF F F ==- （1）当21MF MF -=2a 时，点M 的轨迹（2）当12MF MF -=2a 时，点M 的轨迹（3）当2a =2c 时，动点M 的轨迹（4）当2a >2c 时，动点M 的轨迹

（5）当2a =0时，动点M 的是轨迹三、双曲线的标准方程： 1、焦点在x 轴上的双曲线的标准方程建系：设点：若焦距为2c (c >0),则1F ，2F ，又设点M 与两焦点的距离差的绝对值等于常数2a ，由双曲线的定义得：（整理过程）由曲线与方程的关系知所求方程为双曲线的标准方程，双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在，焦点坐标为 2、焦点在y 轴上的双曲线的标准方程焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为，

它所表示的双曲线的焦点在，焦点坐标为思考:如何根据双曲线的标准方程确定焦点的位置？四、典例剖析例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于8，则求双曲线的标准方程. 变式1、已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5)，双曲线上一点P 到F1、F2的距离的差等于6，求双曲线的方程. 例2、求适合下列条件的双曲线的标准方程 1、焦点为（0，--6）,（0，6）,且经过点（2，5） 2、焦点在x 轴上， 3、经过两点），（），，（372B 267A --），（经过点25A ,52-=a

苏教版数学高二选修2-1学案 2.6.1 曲线与方程

2.6曲线与方程 2.6.1曲线与方程 1．了解曲线与方程的对应关系，理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念．(重点、难点) 2．理解数形结合思想，会处理一些简单的曲线与方程问题．(难点) 3．曲线与方程的对应关系．(易错点) [基础·初探] 教材整理曲线的方程方程的曲线阅读教材P60例1以上的部分，完成下列问题． 1．方程与曲线的定义在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足以下关系：如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线． 2．方程与曲线的关系

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f (x ，y )＝0就是曲线的方程．( ) (2)如果f (x ，y )＝0是某曲线C 的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．( ) (3)若曲线C 上的点满足方程f (x ，y )＝0，则坐标不满足方程f (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．( ) (4)方程x ＋y －2＝0是以A (2,0)，B (0,2)为端点的线段的方程．( ) (5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× 2．点A ? ?? ??m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，则m ＝________. 【解析】据题意，有14m 2＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或－185. 【答案】 2或－185 3．方程|y |＝|2x |表示的曲线是________．【解析】 ∵|y |＝|2x |，∴y ＝±2x ，表示两条直线．【答案】两条直线 4．已知曲线C 的方程为x 2－xy ＋2y －7＝0，则下列四点中，在曲线C 上的点有________(填序号)． ①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．【解析】把各点的坐标代入检验知，只有(－1,2)满足方程．【答案】 ① [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：

2017参数方程学案.doc

第2讲参数方程【考情分析】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．基础梳理 1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数??? x ＝f (t )，y ＝f (t )，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为??? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P → 的数量． (2)圆的参数方程??? x ＝r cos θ， y ＝r sin θ(θ为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．抛物线y 2＝2px 的参数方程为??? x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．双基自测 1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程??? x ＝－1－t ， y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )．

A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D ．圆、直线解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵??? x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 D 2．若直线??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析参数方程??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线 4x ＋ky ＝1垂直可得－32×? ???? －4k ＝－1，解得k ＝－6. 答案－6 3．二次曲线??? x ＝5cos θ， y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 2 9＝1左焦点为(－4,0)．答案 (－4,0) 4．(2011·广州调研)已知直线l 的参数方程为：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________．解析将直线l 的参数方程：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22 sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为 2－1 1＋4 ，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交．答案相交

2019-2020学年高中数学第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的综合运用导学案1 苏教版选修1-1 .doc

2019-2020学年高中数学第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的综合运用导学案1 苏教版选修1-1 学习目标：归纳圆锥曲线与其他知识点相结合的综合性问题,如:解三角形、函数、数列、平面向量、不等式、方程等,掌握其解题技巧和方法,熟练运用设而不求与点差法. 教学重点：解决圆锥曲线的应用问题的一般步骤。课前预习： 1．我国发射的第一棵人造地球卫星的运行轨道，是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面439km ，远地点B 距地面为2384km ，则卫星轨道方程是． 2．双曲线型自然通风塔的外型，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为15m ，高21m ，则自然通风塔的外型所在双曲线的标准方程为． 3．探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60cm ，灯深40cm ，则光源放置位置为灯轴上距顶点处。课堂探究：已知α是三角形的一个内角,且sinα+cosα=错误！未找到引用源。, 则方程x2tan α-αtan 2 y =-1表示 . 变式：函数y=2a －bcosx 的最大值为7，最小值为1，则曲线12 2=+b y a x 的离心率为 . 2. 已知双曲线a n-1y2-anx2=an-1an 的一个焦点为(0,错误！未找到引用源。),一条渐近线方程为 y=错误！未找到引用源。x,其中{an}是以4为首项的正数数列. (1)求数列{cn}的通项公式; (2)求数列3} { n nc 的前n 项和Sn.

高中数学第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质(2) 精品导学案苏教版选修1-1

江苏省响水中学高中数学第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质（二）导学案苏教版选修1-1 学习目标： 1. 了解圆锥曲线的共同性质并能够解决有关简单问题； 2. 能够根据圆锥曲线的标准方程求准线方程，能够熟练运用直接法和定义法求曲线方程。教学重点：圆锥曲线的准线定义与方程的求解。教学难点：用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．课前预习： 1. 已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为． 2. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于12 ，则C 的方程是． 3.已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F2且垂直x 轴的直线交C 于 A ， B 两点，且|AB|＝3，则 C 的方程为 4. 在y ＝2x2上有一点P ，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是课堂探究： 1.椭圆x225＋y29 ＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于 2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．变式：已知椭圆x24b2＋y2b2 ＝1上一点P 到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P 到左准线的距离． 2.已知椭圆x28＋y26 ＝1内有一点P(1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．变式：已知双曲线x29－y216 ＝1的右焦点为F ，点A(9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35 MF 的值最小，并求这个最小值．

变式：已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为8a ，求该双曲线的离心率。课堂检测： 1. 椭圆14922=+y x 上一点P 到左焦点的距离是4，则它到右准线的距离是． 2. 椭圆x2a2＋y2b2 ＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c ，若d1，2c ，d2成等差数列，则椭圆的离心率为． 3. 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x2m2－y2n2 ＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点 (－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是________．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下： 1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己

2020高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点学案苏教版选修2-1

2.6.2 求曲线的方程 2.6.3 曲线的交点学习目标 1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法. 3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．知识点一坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？答案不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．梳理 (1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法． (2)解析几何研究的主要问题： ①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质．知识点二求曲线的方程的步骤 1．建系：建立适当的坐标系． 2．设点：设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y )． 3．列式：列出符合条件p (M )的方程f (x ，y )＝0. 4．化简：化方程f (x ，y )＝0为最简形式． 5．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．知识点三曲线的交点已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0. (1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点?? ???? f 1(x 0，y 0)＝0.f 2(x 0，y 0)＝0， (2)求两曲线的交点，就是求方程组????? f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解． (3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点． 1．x 2＋y 2 ＝1(x ＞0)表示的曲线是单位圆．(×)

湖南地区高考数学第一轮复习曲线与方程学案(教师)

曲线与方程一、学习目标：优化设计P88考纲解读（数形转化）二、自主学习： 1.已知坐标满足方程F （x ，y ）=0的点都在曲线C 上，那么下列说法错误的是（只填序号）. ①曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x ，y ）=0 ②凡坐标不适合F （x ，y ）=0的点都不在C 上 ③不在C 上的点的坐标有些适合F （x ，y ）=0，有些不适合F （x ，y ）=0 ④不在C 上的点的坐标必不适合F （x ，y ）=0 答案 ①②③ 2.到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是 . 答案线段AB 3.动点P 到两坐标轴的距离之和等于2，则点P 的轨迹所围成的图形面积是 . 答案 8 4.（2008·北京理）若点P 到直线x=-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P 的轨迹为 (写出曲线形状即可). 答案抛物线 5.已知直线l 的方程是f （x ，y ）=0，点M （x 0，y 0）不在l 上，则方程f （x ，y ） -f （x 0，y 0）=0表示的曲线与l 的位置关系是 . 答案平行【考点梳理】见优化设计P90考点梳理三、合作探究：例3 如图所示，已知P （4，0）是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解设AB 的中点为R ，坐标为（x 1，y 1），Q 点坐标为（x ，y ），则在Rt △ABP 中，|AR|=|PR|，又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理有 Rt △OAR 中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x 21+y 21）.又 |AR|=|PR|=()21214y x +-，所以有（x 1-4）2+y 21=36-（x 21+y 21）.即x 21+y 21-4x 1-10=0. 因为R 为PQ 的中点，所以x 1=24+x ，y 1=20+y .代入方程x 21+y 21-4x 1-10=0，得 22224??? ??+??? ??+y x -4·2 4+x -10=0.整理得x 2+y 2=56.这就是Q 点的轨迹方程. 9.如图所示，已知点C 的坐标是（2，2），过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B.设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程. 解方法一（参数法）：设M 的坐标为（x,y ）.

曲线与方程导学案1

苏教版数学高二-湖南省邵阳市选修2-1学案 曲线与方程(2)

江苏省宿迁市高中数学第2章圆锥曲线与方程第9课时双曲线的几何性质1导学案(无答案)苏教版选修1-1

北师版数学高二《 曲线与方程》同步学案 北师大

人教版高中数学必修2_1 2.1：曲线与方程 学案(无答案)