高一数学上学期期末考试试题(含答案)

高一上学期期末考试

一、填空题

1．集合{10},{0,1},{1,2})A B C A B C ===－，，则(=___________. 2． 函数()f x =)12(log 2

1-x 的定义域为

3．过点（1，0）且倾斜角是直线013=--y x 的倾斜角的两倍的直线方程是 ．

4．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是_______________ 5．点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 .

6．已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是

_________

7．以点C （－1，5）为圆心，且与y 轴相切的圆的方程为 ．

8．已知点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且AB =,则实数x 的值是_________. 9．满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A 的个数是_____.

10．函数y=x 2＋x (－1≤x ≤3 )的值域是 _________． 11．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则2a －b 的值是_________． 12．函数142+--=mx x y 在[2,)+∞上是减函数，则m 的取值范围是 .

13．函数()(01)x

f x a a a =>≠且在[1,2]上最大值比最小值大

2

a

，则a 的值为 .

14． 已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是 .

二．解答题

15、（1）解方程:lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 ; （2）解不等式:4

1

2

21>-x

; 16．（本小题12分）二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1．

⑴求f (x )的解析式；

⑵当x ∈[－1，1]时，不等式：f (x ) 2x m >+恒成立，求实数m 的范围．

17. 如图，三棱柱111A B C A B C -，1A A ⊥底面ABC ，且ABC ?为正三角形，

16A A AB ==，D 为AC 中点．

(1)求三棱锥1C BCD -的体积； (2)求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ；

(3)求证：直线1//AB 平面1BC D ．

18．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点 A (1，0)． （1）若1l 与圆C 相切，求1l 的方程； （2）若1l 的倾斜角为

4

π

，1l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 的中点M 的坐标； （3）若1l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 的面积的最大值，并求此时1l 的

直线方程．

A

B

C

A 1

B 1

C 1

D

19. （本题14分）已知圆M ：22(2)1x y +-=，定点A ()4,2在直线20x y -=上，点P 在

线段OA 上，过P 点作圆M 的切线PT ，切点为T ．(1)若MP =PT 的方程；(2)经过,,P M T 三点的圆的圆心是D ，求线段DO 长的最小值L .

20．已知⊙C 1：5)5(22=++y x ，点A(1,－3)

（Ⅰ）求过点A 与⊙C 1相切的直线l 的方程；

（Ⅱ）设⊙C 2为⊙C 1关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P

？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．

参考答案

一、填空题

1．}{3,9 2．),1(+∞ 3．1 4．6 5．2370x y -+= 6．045 7． 22(1)(1)2x y -+-=

8．异面 9．π8 10． 相交 11．π12 12．3

4π

13．(A) (2)(4) (B)①③ 14．(A)

4

15

(B) (1,32) 二、解答题：

15．设35212,x x y a y a +-==，（其中01a a >≠且）。

（1）当12y y =时，求x 的值； （2）当12y y >时，求x 的取值范围。 答案：（1）1x =-；（2）当01a <<，(),1-∞-；1a >时，()1,-+∞

D 1

A 1

C 1

B 1

D

A

C

B

16. 在正方体1111ABCD A B C D -中。（1）求证：11BD AAC C ⊥平面；（2）求二面角1C BD C --大小的正切值。 答案：

（1）1,BD AC BD AA ⊥⊥， 证到

11BD AAC C ⊥平面

（2）1C OC ∠是二面角的平面角

在1Rt C OC ?中，1tan C OC ∠17. 已知圆C ：()2

219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点。

（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45o时，求弦AB 的长。

解：（

1）220x y --=；（

2）直线L 方程为0x y -=，圆心到直线L 的距离为

2

d =

可以计算得：AB =18. 如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a ，DC=a ， F 是BE 的中点。

求证：(1) FD ∥平面ABC ；(2) 平面EAB ⊥平面EDB 。 证明：（1）取AB 中点G ，连CG ，FG

四边形DFGC 是平行四边形，得到//DF CG

DF ABC ?平面，CG ABC ?平面

所以FD ∥平面ABC ；

A

（2）可以证明EAB CG ⊥平面， 又//DF CG ，所以EAB DF ⊥平面

DF EBD ?平面，所以，平面EAB ⊥平面EDB

另：可以用AF EBD ⊥平面，证明：平面EAB ⊥平面EDB

19. （A ）已知圆M ：22(2)1x y +-=，定点A ()4,2在直线20x y -=上，点P 在线段

OA 上，过P 点作圆M 的切线PT ，切点为T ．(1)若MP =

线PT 的方程；(2)经过,,P M T 三点的圆的圆心是D ，求线段DO 长的最小值L 。

答案：（1）先由

MP =

(2,1)P

直线2x =与圆不相切，设直线PT ：1(2)y k x -=-，即：120kx y k -+-= 圆心(0,2)M 到直线距离为1，得：4

0,3

k k ==-或 直线方程为：143110y x y =+-=或

（2）设(2,)P t t (02)t ≤≤，经过,,P M T 三点的圆的圆心为PM 的中点

D 1

,12t t ??

+ ??

? 所以，2

222

151124

OD t t t t ??=++=++

???，(02)t ≤≤ 0t =时，得OD 的最小值1L =

（B ）已知圆M ：22(2)1x y +-=，设点,B C 是直线l ：20x y -=上的两点，它们的横坐标分别是,4()t t t R +∈，点P 在线段BC 上，过P 点作圆M 的切线PA ，切点为

A ．(1)若0t =，MP =

PA 的方程；(2)经过,,A P M 三点的

圆的圆心是D ，求线段DO 长的最小值()L t ．答案：（1）先由

MP =

(2,1)P

直线2x =与圆不相切，设直线PT ：1(2)y k x -=-，即：120kx y k -+-= 圆心(0,2)M 到直线距离为1，得：4

0,3

k k ==-或 直线方程为：143110y x y =+-=或 （2）设1(,)2

P x x (4)t x t ≤≤+，

经过,,P M T 三点的圆的圆心为PM 的中点D 1

1

,124

x x ??

+ ??

?

所以22

2

221151544

114416

21655OD x x x x x ????=++=++=++ ? ?????，(4)t x t ≤≤+ 讨论得：

45244() 55245

t L t t ?

>-???

=-≤≤-?????

20. (A) 定义在D 上的函数()f x ，如果满足；对任意x D ∈，存在常数

0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为

函数()f x 的上界。已知函数()124x

x

f x a =++，12()12

x

x

g x -=+。 （1）当1a =时，求函数()f x 在(0,)+∞上的值域，并判断函数()f x 在

(0,)+∞上是否为有界函数，请说明理由；

（2）求函数()g x 在[0,1]上的上界T 的取值范围；

（3）若函数()f x 在(,0]-∞上是以3为上界的函数，求实数a 的取值范围。

解：（1）当1a =时，()124x x f x =++，设2x t =，(0,)x ∈+∞，所以：()1,t ∈+∞

21y t t =++，值域为()3,+∞，不存在正数M ，使(0,)x ∈+∞时，|()|f x M ≤成

立，即函数在(0,)x ∈+∞上不是有界函数。

（2）设2x t =，[]1,2t ∈，12

111t y t t

-=

=-++在[]1,2t ∈上是减函数，值域为1,03??-????

要使|()|f x T ≤恒成立，即：13

T ≥

（3）由已知(],0x ∈-∞时，不等式()3f x ≤恒成立，即：1243x x a ++≤ 设2x t =，(]0,1t ∈，不等式化为213a t t ++≤ 方法（一）

讨论：当012

a <-≤即：20a -≤<时，21134

a -≥-且23a +≤得：20a -≤< 当012

2a a -≤-≥或即：20a a ≤-≥或时，323a -≤+≤，得5-201a a -≤≤≤≤或 综上，51a -≤≤ 方法（二）

抓不等式213at t ++≥-且213at t ++≤在(]0,1t ∈上恒成立，分离参数法得

4a t t -≤+且2

a t t

-≥-在(]0,1t ∈上恒成立，得51a -≤≤。

(B) 定义在D 上的函数()f x ，如果满足；对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()

f x 的上界。已知函数()124x

x

f x a =++，12()12x x

m g x m -=+。

（1）当1a =时，求函数()f x 在(0,)+∞上的值域，并判断函数()f x 在

(0,)+∞上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数()f x 在(,0]-∞上是以3为上界的函数，求实数a 的取值范围；

（3）若0m >，求函数()g x 在[0,1]上的上界T 的取值范围。

解：（1）当1a =时，()124x x f x =++，设2x t =，(0,)x ∈+∞，所以：()1,t ∈+∞

21y t t =++，值域为()3,+∞，不存在正数M ，使(0,)x ∈+∞时，|()|f x M ≤成

立，即函数在(0,)x ∈+∞上不是有界函数。

（2）由已知(],0x ∈-∞时，不等式()3f x ≤恒成立，即：1243x x a ++≤ 设2x t =，(]0,1t ∈，不等式化为213a t t ++≤ 方法（一）

讨论：当012

a <-≤即：20a -≤<时，21134

a -≥-且23a +≤得：20a -≤< 当012

2a a -≤-≥或即：20a a ≤-≥或时，323a -≤+≤，得5-201a a -≤≤≤≤或 综上，51a -≤≤ 方法（二）

抓不等式213at t ++≥-且213at t ++≤在(]0,1t ∈上恒成立，分离参数法得

4a t t -≤+且2

a t t

-≥-在(]0,1t ∈上恒成立，得51a -≤≤。

（3）当(0,]2m ∈时，T 的取值范围是1[,)1m

m -+∞+；

当,)2

m ∈+∞时，T 的取值范围是??

?

???+∞+-,1212m m

宁可累死在路上，也不能闲死在家里！宁可去碰壁，也不能面壁。是狼就要练好牙，是羊就要练好腿。什么是奋斗？奋斗就是每天很难，可一年一年却越来越容易。不奋斗就是每天都很容易，可一年一年越来越难。能干的人，不在情绪上计较，只在做事上认真；无能的人！不在做事上认真，只在情绪上计较。拼一个春夏秋冬！赢一个无悔人生！早安！—————献给所有努力的人