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集合的基础知识

一、概述

集合——近代数学最基本内容之一．主要内容有集合、子集、全集、补集、交集和并集．集合是我们掌握和使用数学语言的基础，也是我们学习后续内容的基础和工具.第一部分主要是学习集合的概念，表示方法等；后一部分在介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系的基础上，引出子集的概念以及集合的基本运算．

二、重点知识归纳及讲解

1．集合的有关概念

一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素

⑴集合中的元素具有以下的特性

①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.

例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；

而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的.

②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.

③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.

（2）集合的元素

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.

（3）集合的分类：有限集与无限集.

（4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.

列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.

描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.

使用描述法时，应注意六点：

①写清集合中元素的代号；

②说明该集合中元素的性质；

③不能出现未被说明的字母；

④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；

⑤所有描述的内容都要写在大括号内；

⑥用于描述的语句力求简明、确切.

图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.

如：A={1，2，3，4}

例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值．

分析：

欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac 且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况．

解析：

（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．

（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得：2ac2-ac-a=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去

a=0．∴2c2-c-1=0，即c=1或，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，∴．

点评：

两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真．

（5）常用数集及专用记号

（1）非负整数集（或自然数集）N={0，1，2，……}

（2）正整数集N*（或N＋）={1，2，3，……}

（3）整数集Z={0，?1，?2，……}

（4）有理数集Q={整数与分数}

（5）实数集R={数轴上的点所对应的数}.

强调：实数集不可记为{R}或{实数集}，0≠≠{} ，≠{0}，≠{空集}.

强调：排除0和负数的数集也可表示为R*、Z*、Q*或R

＋、Z

＋

、Q

＋

．

2．基本运算

1. 交集

（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集．记作，即

{，且}

（2）交集的图示

上图阴影部分表示集合A与B的交集．

（3）交集的运算律

，，，

2. 并集

（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作，即{，或} （2）并集的图示

以上阴影部分表示集合A与B的并集．

（3）并集的运算律

，，，

3、补集

（1）定义：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）.记作，即C S A=

（2）补集的图示

4、常用性质

A A=A，AΦ=Φ，A B=

B A，A B A，A B B．

A A=A，AΦ=A，A B=

B A，A B A，A B B．

，

例2、集合{，且}，A U，B U，且{4，5}，{1，2，3}，

{6，7，8}，求集合A和B．

分析：利用集合图示较为直观．

解：由{4，5}，则将4，5写在中，

由{1，2，3}，则将1，2，3写在集A中，

由{6，7，8}，则将6，7，8写在A、B之外，

由与中均无9，10，则9，10在B中，

故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．

5、容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有

card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．

三、难点知识剖析

1、要注意区分一些容易混淆的符号

（1）与的区别：表示元素与集合之间的关系，例如1N，-1N等；表示集合与集合之间的关系，例如N R，等．

（2）a与{a}的区别：一般在，a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．例如，0{0},{1}{1,2,3}等，不能写成0={0}，{1}{1,2,3}，1{1,2,3}．

（3）{0}与Φ的区别：是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．

例3、已知集合M={x|x≤3}，集合P={x|x<2}，设，则下列关系式中正确的一个是（）

A、P∈M

B、a∈M

C、P M

D、{a－3}P

解析：

集合M、P都是部分实数组成的集合，而a是一个具体的实数，故M、P间的关系应用“包含”，“不包含”来确定，

而对a与集合M、P的关系只能用“属于”，“不属于”来确定，比较实数的大小，易判断C正确.

小结：正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键．

2．理解集合所表示的意义

（1）对由条件给出的集合，要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．如{y R|y=}表

示的为函数y=中y的取值范围，故{y R|y=}={y R|y};而{x R|y=}表示

y=的x的取值范围，故{x R|y=}=R．

（2）用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或韦恩图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用韦恩图表示，容易被忽视，如在关系式B A中，易漏掉B=Φ的情况．

例4、设A=，B=

（1）若A B=B，求的值；

（2）若A B=B，求的值．

分析：

明确A B=B和A B=B的含义，根据问题的需要，将A B=B和A B=B转化为等价的关系式：和

，是解决本题的关键．

解析：首先化简集合A，得A={-4，0}

（1）由于A B=B，则有可知集合B或为空集Φ，或只含有根0或-4．

①若B=Φ，由得

②若，代入得：，

当时，B=，合题意．

当时，B=，也符合题意．

③若，代入得：，

当时，②中已讨论，合题意

当时，B=不合题意．

由①、②、③得，．

（2）因为A B=B，所以，又A={-4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B．

由（1）知，

【点评】：

一般对于A B=B和A B=B这种类型的问题，都要注意转化为等价的关系式：和，且在包含

关系中，注意不要漏掉B=的情况．

并且当A、B中的元素的个数相同时，还存在或的情况时，只有A=B这一种情况．

子集

（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。

记作：读作：A包含于B或B包含A

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：A B或B A．

性质：①（任何一个集合是它本身的子集）

②（空集是任何集合的子集）

【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？

【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．

因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的．

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

例：，可见，集合，是指A、B的所有元素完全相同．

（3）真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：

（或），读作A真包含于B或B真包含A。

【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”

集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B．

【提问】

（1）写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。

（2）判断下列写法是否正确

① A ② A ③④A A

性质：

（1）空集是任何非空集合的真子集。若 A ，且A≠，则A；

（2）如果，，则．

例1 写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．

解：集合的所有的子集是，，，，其中，，是的真子集．

【注意】（1）子集与真子集符号的方向。

（2）易混符号

①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如R，

{1} {1，2，3}

②{0}与：{0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合。

如：{0}。不能写成={0}，∈{0}

例3 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．

（1）表示空集；

（2）空集是任何集合的真子集；

（3）不是；

（4）的所有子集是；

（5）如果且，那么B必是A的真子集；

（6）与不能同时成立．

解：（1）不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；

（2）不正确．空集是任何非空集合的真子集；

（3）不正确．与表示同一集合；

（4）不正确．的所有子集是；

（5）正确

（6）不正确．当时，与能同时成立．

例4 用适当的符号（，）填空：

（1）；；；

（2）；；

（3）；

（4）设，，，则A B C．

解：（1）0 0 ；

（2）＝，；

（3），∴；

（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C．

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集合-基础知识点汇总与练习-复习版

集合知识点总结一、集合的概念教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．：一)主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3 种表示方法； 3. 若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n 1，非空子集有2n 1个，非空真子集有2n 2个．二、集合的运算教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法. 教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用. 一)主要知识： 1. 交集、并集、全集、补集的概念； 2. AI B A A B，AUB A A B； 3. C U AI C U B C U (AUB)，C U AUC U B C U(AI B). 二)主要方法： 1. 求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；

2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．考点要点总结与归纳一、集合有关概念 1. 集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。 2. 集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C,…表示，元素常用小写字母a b、c, …表示。 3. 集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。 (1)确定性：一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合,绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山 (2)互异性：集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素只能出现一次。如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} ( 3)无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。女口：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 4. 元素与集合的关系 (1)元素a是集合A中的元素，记做a€ A，读作“ a属于集合A”； (2)元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。 5. 集合的表示方法：自然语言法, 列举法,描述法,图示法。 ( 1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2 且小于等于8 的偶数

集合基础练习题

^ 高一数学第一章集合基础练习题知识框架 1．某些指定的对象集在一起就成为一个集合。集合元素具有性，性和性。 2．常用符号及其适用范围： “∈”用于与之间，而“?”应用于与之间。 # “ ”与“?”的区别在于。非负整数集记作；正整数集记作；整数集记作；有理数集记作；实数集记作；空集记作。 3．常用的集合表示方法有：，，。 4．对于两个集合A 和 B ，如果就称A 包含于B ，记作，也说集合A 是集合B 的子集。不含任何元素的集合叫做，记作。它是的真子集。 5．一般地，由所有的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ，即A B={x ∣ }。(若用图示法表示，它指的是集合A 与B 的公共部分。) ） 6.由所有的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A B,即A B={x ∣ }。(若用图示法表示，它指的是集合A 与B 合并到一起得到的集合。） 7．若集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集, 全集通常用U 表示。设A 是S 的一个子集（即A ?S ）,由的元素组成的集合，叫做A 在集合S 中的补集（或余集），记作实际就是集合S 中除去集合A 中元素之后余下来元素组成的集合。 8.若A B ，则A B = ；A B = ，()u C B A = . 集合部分习题： A 组题一． : 二．选择：１．若集合Ａ＝｛（0,2）,（0,4）｝，则集合Ａ中元素的个数是（）（Ａ）１个（Ｂ）２个（Ｃ）３个（Ｄ）４个２．下列关系中正确的是（） (1){0}＝?;（2）０∈?；（3）??{a}；（4）{a}∈{a,b};(5){a}?{a} （A ）(1)（2）（3） (B)（3）(5) (C)（3）(4) (5) (D) (1)（2）(5) 》３．适合条件｛１，2｝ M ?{1，2，3，4}的集合M 的个数为 ( ) （Ａ）2 （Ｂ）3 （Ｃ）4 （Ｄ）5 4．满足{1，2}{1,2,3}M =的所有集合M 有（）（Ａ）1个（Ｂ）2个（Ｃ）3个（Ｄ）4个 5．集合A={1,2,3,4,},它的非空真子集的个数是（）

必修一基础知识复习.doc

人教版高中语文（必修一）复习【必修■第■单元诗歌却识复习】一、根据拼音写出汉字。 qin (_）园春分mi(）百聽（）zheng (）睞寥kud () 万户hou () 挥斥方qili (_)man ()江man( )骂xie (）來浪。（）飞舟漪lUn () pang (）徨寂1i do () 惆chang ()凄wan () 颓pY ()青xlng ( ) 浮z6o () 长gao (）hao 草（）枯gao() 斑ldn () 流ldn() sheng (）箫青tai () 漫sti ( )M ji() 火bo ()niD ( )怩麦zao () 发j iao() dtin ()肉团Ji() 凌wO (_ )chi（_）骂跌n cha （_）_ dud(）手qiong ()音春wG ()窗fei () 彳chu() 雾诚)和di () 二、辨析下列汉字的字形沁香分泌谩骂漫江惆怅苍茫沧桑阻遏碣石彷徨惶然稠密惋惜哀婉颓圮祭祀沉淀纸锭绽放彷徨牌坊惆怅为虎作偎丝绸无耻澜言斑斓波澜朔风追溯挑衅河畔碾碎辗转杞人忧天堤堰握苗助长偃旗息鼓凌侮陵墓棱角忸怩纽扣枢纽心扉雨書駆駆三、掌握下面词语的词义峥喋：天伦：挥斥方遒：颓圮：激扬：瓦菲：彷徨：凌侮：典押：四、近义词辨析 1、寥廓：（天空）高原空旷。辽阔：（土地海洋等）辽远广阔。 2、意气：意志和气概，志趣和性格。也指因主观偏激而产生的情绪，如意气用事、意气相投。义气：山于私人关系而甘于承担风险或牺牲自己利益的气概。如讲义气。 3、遏制：制止，控制（一般只能是一定程度上的效果）。遏止：用力阻止住。例如：（）不住胸中的怒火。滚滚洪流，不可（）。（）对方的攻势。 9?沉淀：指沉到溶液底层的难以溶解的物质，比喻凝聚，积累。积淀：指长时间积累起來的习俗、文化。 5、彷徨：犹疑不决的走來走去。倘佯：自山自在地走來走去。 6、养育：抚养和教育。养活：供给东两使生活。五、文学常识诗歌：古代文学体裁之一，起源于古代劳动。《》是我国第一部诗歌总集,开创了我国诗歌 ______________ 的源头。战国时期出现的楚辞体代表作《》开创了我国诗歌 _________ 的先河。以“五四”新文化运动为界，诗歌分为新体诗和。"五四”以前的诗歌统称为，其屮旧体诗乂以唐代为界分为古体诗和。唐代以前的诗歌统称为古体诗，近体诗从唐代才开始兴起。古体诗和近体诗的主要区别在__________________________________________ 方面——即能否押韵、讲究平仄、对仗。近体诗又分为 ________ 绝句和排律。律诗都是_________ 的，冇七言律诗和 ________ :绝句都是__________ 的，冇七言绝句和五言绝句。五四以后兴起的新体诗也冇格律诗和自山诗之分，其中用IU格律填写新内容的称为格律诗，像毛泽东的《沁园春?长沙》；其它的称为自山诗，像徐志摩的《再别康桥》、戴里舒的《南巷》和艾青的《大堰荷一一我的保姆》等。词：是诗歌的一种。词的全名为___________ ，是与曲调相谐利的唱词。词起源于隋唐Z际，隋代已冇声腔，曲调，但不见曲子词。到了唐五代开始出现发间曲子，也就是有了乐谱后而按谱写词，名为曲子词，后简称为词。现存最早的民间曲子词是在敦煌莫高窟藏经室中发现的敦煌曲子词。现存最早的文人词是李口的《忆秦娥》和《菩萨蛮》。因而李白被尊为“百代词曲之祖”。词发展于五代，到了宋代发展到顶峰。根据风格特点，词有________________ 和 ______ Z分；按照字数，词有小令、 ________ 和 ______ 之分。戴望舒（1905——1950）,浙江杭县人，中国现代著名诗人。1925年入上海震旦大学学习法文，开始受到法国象

1.1.1集合的含义和概念

集合的含义和概念在生活中，我们常常把具有相似性质的对象放在一起分析研究，例如，班上所有参加运动会的同学；图书馆中所有的工具书；网袋完好的篮球架。在数学学习中，我们也接触过一些这样的处理方式，例如：对100进行因数分解，需要列举1-10所有的素数；到定点距离相等的点组成的图形是圆；介于1和3的实数，在数轴上是一条两个单位长的线段。我们称被研究的个体对象，例如一个同学，2，圆上的一个点，为元素；这些元素组成的整体，例如运动会名单，{2,3,5,7},圆，为集合显然4不是1到10的素数，圆外的点也不属于圆这个集合集合中的元素应当是确定的，不能模棱两可。含混不清的描述会导致在处理一些对象时不知所措，这种抽象便失去了意义。 1.下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过20的非负数； (3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)3的近似值的全体． 2.下列所给的对象能构成集合的是________． (1)所有正三角形； (2)必修1课本上的所有难题； (3)比较接近1的正整数全体； (4)某校高一年级的16岁以下的学生．

元素和集合的关系也就是说给定一个集合，那么任意一个元素，要么在这个集合中，要么不在，不可能出现既在，又不在的情况，这也是集合的确定性的一种表述。关系概念记法读法属于如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A a ∈A a 属于集合A 不属于如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A a ?A a 不属于集合A 常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号 N N * 或N ＋ Z Q R 3.设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A ；广州________A (填∈或?)．答案 ? ∈ 4.所给下列关系正确的个数是( ) ①－12 ∈R ；②2?Q ；③0∈N *；④|－3|?N * .

集合知识点归纳定稿版

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集合的基础知识一、重点知识归纳及讲解 1．集合的有关概念一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素 ⑴集合中的元素具有以下的特性 ①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了. 例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的. ②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}. ③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合. （2）集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ. （3）集合的分类：有限集与无限集. （4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.

列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集. 描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集. 使用描述法时，应注意六点： ①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质； ③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”； ⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语句力求简明、确切. 图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示. 如：A={1，2，3，4} 例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值．分析：欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况．解析：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但 c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．

集合基础训练A组及答案

集合基础训练A组及答案一、选择题 1下列各项中，不可以组成集合的是（） A所有的正数B等于的数 C接近于的数D不等于的偶数 2下列四个集合中，是空集的是（） A B C D 3下列表示图形中的阴影部分的是（） A B C D 4下面有四个命题：（1）集合中最小的数是；（2）若不属于，则属于；（3）若则的最小值为；（4）的解可表示为；其中正确命题的个数为（） A个B个C个D个

5若集合中的元素是△的三边长，则△一定不是（） A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等腰三角形 6若全集，则集合的真子集共有（）A个B个C个D个二、填空题 1用符号“”或“”填空（1）______, ______, ______ （2）（是个无理数）（3）________ 2若集合，，，则的非空子集的个数为 3若集合，，则_____________ 4设集合,,且，则实数的取值范围是 5已知，则_________ 三、解答题 1已知集合，试用列举法表示集合 2已知，，,求的取值范围 3已知集合，若，求实数的值

4设全集，，（数学1必修）第一章（上）[基础训练A组]参考答案一、选择题 1C元素的确定性； 2D选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项D中的方程无实数根； 3A阴影部分完全覆盖了C部分，这样就要求交集运算的两边都含有C部分； 4A（1）最小的数应该是，（2）反例：，但（3）当,（4）元素的互异性 5D元素的互异性； 6C，真子集有二、填空题 1是自然数，是无理数，不是自然数，；当时在集合中2，，非空子集有； 3，显然 4，则得 5，三、解答题 1解：由题意可知是的正约数，当；当；

人教版必修一基础知识清单

必修一重要知识清单 1、生命活动离不开细胞：细胞是生物体结构和功能的基本单位。 ①病毒：由蛋白质和核酸构成的；生活方式：只能寄生在活细胞中才能生存，单独存在时无法生存；遗传物质是DNA或RNA；繁殖方式是增殖 ②单细胞生物：只有一个细胞，可独立进行摄食、运动、繁殖等生命活动；如：细菌、蓝藻、酵母菌、霉菌、草履虫、变形虫等 ③多细胞生物：生长、发育、反射、生殖等生命活动也要靠多个细胞共同完成。 2、生命系统的结构层次：细胞→组织→器官→系统→个体→种群_→群落→生态系统→生物圈 ①病毒：不属于（属于、不属于）生命活动的结构层次； ②单细胞生物：属于细胞或个体层次，并参与构建种群、群落、生态系统； ③多细胞生物：植物没有系统层次；动物包含细胞、组织、器官、系统、个体结构层次； 3、细胞的多样性与统一性：结构差异体现了多样性；相同结构体现了统一性。 ①原核细胞：其结构包括细胞膜、细胞质、核糖体、拟核等；无核膜包被的细胞核；其 DNA是裸露的，分布在拟核和细胞质基质。细菌：同化类型大多为异养型，个别为自养型，如硝化、光合细菌；蓝藻：同化类型属于自养型，举例：衣藻、发菜、念珠藻、蓝球藻等；（某些原核细胞能进行光合作用的原因是：_具有光和作用相关色素及酶_） ②真核细胞：有核膜包被的细胞核，核DNA与蛋白质结合构成染色体；有多种细胞器；植物细胞有细胞壁；（植物细胞的细胞壁与原核细胞的一样吗？） 4、细胞学说：建立者施耐登和施旺意义：通过对动植物细胞的研究而揭示了细胞统一性和生物体结构统一性_ 内容：（1）细胞是一个有机体，一切动植物都由细胞发育而来，并由细胞和细胞产物_所构成（2）细胞是一个_相对独立_的单位，既有它自己的生命，又对与其他细胞共同组成的整体的生命起作用

集合的概念

集合的概念一、集合的有关概念由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素。定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。 1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作（3）整数集：全体整数的集合记作（4）有理数集：全体有理数的集合记作（5）实数集：全体实数的集合记作 3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A a? 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如元素通常用小写的拉丁字母表示，如 ⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写二、集合的表示方法 1.列举法：将所给集合中的元素出来，写在里，元素与元素之间用分开适用情况：（1）集合是有限集，元素又不太多；例如：15的所有正因数构成的集合表示为：（2）集合是有限集，元素较多但有一定规律；例如：不大于100的正整数的全体构成的集合表示为：（3）有规律的无限集；例如： 2.描述法：将所给集合中元素的共同特征和性质用文字或符号语言描述出来。其一般格式如下：{x|x适合的条件}大括号内竖线左边的x表示：；大括号内竖线右边表示：； 3.Venn图三、集合的基本关系 1.子集一般地，对于两个集合，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作A ?B.读作“A包含于B”或“B包含A”.这时说集合A是集合B的子集.

高中数学集合基础知识及题型归纳复习

集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征：例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数例：下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合；（3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素；（4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系元素集合的关系：∈?或集合与集合的关系=?或例：下列式子中，正确的是（） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集）例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ；（2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-

集合练习题及答案-经典

集合期末复习题12.26 姓名班级________________ 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是（） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有个（） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=-的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是（） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{ 12x x <<，B=}{ x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是（） A }{ 2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{ 2a a ≤ 9、满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有（） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={} 22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人.

高中生物必修一基础知识总结

高中生物必修一基础知识总结一、病毒：病毒没有细胞结构，由核酸和蛋白质组成，只有依赖活细胞才能生活。病毒只有一种核酸：DNA或RNA，有DNA病毒、RNA病毒和逆转录病毒之分。病毒还可分为动物病毒（如乙肝病毒）、植物病毒（如烟草花叶病毒）和细菌病毒（如噬菌体）。二、生命活动离不开细胞的三点表现： 1、病毒没有细胞结构，只有依赖活细胞才能生活。 2、单细胞生物单个细胞就能完成各种生命活动（如草履虫、变形虫等）。 3、多细胞生物依赖各种分化的细胞密切合作，共同完成一系列复杂的生命活动。三、生命系统的结构层次细胞→组织→器官→系统→个体→种群→群落→生态系统→生物圈种群：一定区域内，同种生物的所有个体的总和。群落：一定区域内，所有生物个体的总和（或：一定区域内所有种群的总和）。生态系统：生物群落及其无机环境相互作用的统一整体。四、原核细胞和原核生物根据核膜的有无，细胞可分为原核细胞和真核细胞两大类。原核细胞有细菌、蓝藻、放线菌、衣原体、支原体等。细菌和蓝藻（也叫蓝细菌）属原核生物。细菌有球形、杆（梭）形、螺旋形三种，少数呈弧形，可依次统称为∽球菌、∽杆（梭）菌、∽螺旋菌、∽弧菌。细菌有细胞壁（但其成分不是纤维素和果胶！）、核糖体、环状DNA,但无染色体。有的细菌有鞭毛，有的细菌有荚膜，有的细菌在不良环境中能形成芽孢。细菌以二分裂方式增加数目。营腐生生活的细菌是分解者，营寄生生活的细菌是消费者，硝化细菌是生产者。蓝藻是一个生物类群，包括蓝球藻、念珠藻、颤藻、发菜等。蓝藻细胞内含有藻蓝素和叶绿素，能进行光合作用，属于自养生物。

五、细胞学说建立者：施莱登和施旺。要点：1、细胞是一个有机体，一切动植物都由细胞发育而来，并由细胞和细胞产物所构成。 2、细胞是一个相对独立的单位，既有它自己的生命，又对与其它细胞的共同组成的整体的生命起作用。 3、新细胞可以从老细胞中产生。建立过程：（重要事件） 1、1543年，比利时的维萨里发表巨著?人体构造?，揭示了人体在器官水平的结构。 2、法国的比夏指出器官由组织构成。 3、1665年，英国的虎克发现细胞。 4、18世纪，德国的施莱登和施旺提出细胞是构成动植物体的基本单位。 5、1858年德国的魏尔肖指出细胞通过分裂产生细胞。六、细胞中的元素大量元素：C、H、O、N、P、S、K、Ca、Mg(9种) 微量元素：Fe、Mn、B、Zn、Cu、Mo（6种）占人体细胞鲜重百分比前四位的元素：O、C、H、N 占人体细胞干重百分比前四位的元素：C、O、N、H 七、细胞中的化合物无机物：水、无机盐有机物：糖类、脂质、蛋白质、核酸按鲜重百分比从大到小排序：水、蛋白质、脂质、无机盐（糖类和核酸）占细胞干重百分比最大的化合物：蛋白质。八、蛋白质组成元素：C、H、O、N、(S、Fe少) 基本单位：氨基酸氨基酸分子结构共同点： 1、至少都含有一个氨基和一个羧基。

集合有关概念和集合间地基本关系

年级高一学科数学内容标题集合有关概念和集合间的基本关系编稿老师丁学锋一、学习目标： 1. 了解集合的含义及元素与集合的“属于”关系； 2. 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题； 3. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 4. 在具体情境中，了解全集与空集的含义； 5. 理解两个集合中的交集的含义，会求两个简单集合的交集. 二、重点、难点： 1. 重点：集合的表示方法，元素和集合的关系，集合与集合之间的关系 2. 难点：有关?∈,的理解和应用三、考点分析：本讲的内容是中学数学最基本的内容之一，基础问题往往体现集合的概念、运算及简单的运用，经常作为工具广泛地运用于函数、方程、不等式、三角函数及区间、轨迹等知识中，在高考中占有重要地位. 1. 集合（1）集合的分类???----含有无限个元素的集合无限集含有有限个元素的集合有限集（2）集合的元素特性：确定性、互异性、无序性（3）集合的表示方法： ①列举法—把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法； ②描述法—把集合中元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法. （4）常见集合的符号表示: 数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号 N *N Z Q R 文字语言符号语言

属于∈ 不属于? 2. 集合间的基本关系：表示关系文字语言符号语言相等集合A等于集合B B A= 子集集合A是集合B的子集B A? 真子集集合A是集合B的真子集B A≠? 空集空集φ 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集. 知识点一：集合的基本概念例1. 在以下六种写法中，错误写法的个数是（） {}{}{}{}{} {}{}{}0 6 )5( , 0)4(,1,0,1 1,1 ,0 )3(,0 )2(,1,0 )1( = = ∈ - ? - ? ∈≠ ）（），（全体整数,0 Z φ φ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 思路分析：题意分析：本题主要考查集合中的有关基本概念及集合中的两个符号? ∈和的区别.对写法（1）、（2）、（3）、（5）、（6）考查集合与集合间符号的运用，对写法（4）考查元素与集合之间符号的运用. 解题思路：对写法（1）是要理解集合的大小，写法（2）是表示空集与任意集合的关系，写法（3）表示集合相等的概念，写法（4）是表示实数0与空集的关系，写法（5）是集合的表示，写法（6）是对集合中元素的认识. 解答过程：（1）是两个集合的关系，不能用“∈”；（2）空集是任何非空集合的真子集，故写法正确；（3）集合中的元素具有无序性，只要集合中的所有元素相同，两个集合就相等；（4）φ表示空集，空集中无任何元素，所以应是φ ? 0，故写法不正确；（5）集合符号“{}”本身就表示全体元素之意，故此“全体”两字不应写；（6）等式左边集合的元素是平面上的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等. 故本题选B 题后思考：本题考查集合的有关基本概念，尤其要注意区别? ∈和两个符号的不同含义. 例2. 已知{}3 3 , )1 (,22 2+ + + + =a a a a A，若A ∈ 1，求实数a的值.

高一数学集合练习题及答案(人教版)

一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是（） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有个（） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是（） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是（） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤

9、满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有（） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式

高中语文必修一基础知识复习(修订版)教案资料

高中语文必修一基础知识复习一、根据拼音写出汉字。第一单元 q ìn （沁）园春分m ì(泌) màn（漫）江 m àn (谩)骂百g ě（舸）寥ku ò（廓） xié（携）来 zh ēng （峥）嵘挥斥方qi ú（遒）万户h óu( 侯 ) 浪è（遏）飞舟 páng（彷）徨寂liáo（寥）彳chù(亍) 惆ch àng（怅）凄w ǎn （婉）颓pǐ（圮）青x ìng （荇）浮z ǎo（藻）漫sù（溯）长gāo（篙） h āo 草 (蒿 ) 枯g ǎo (槁 ) 斑l án（斓） sh ēng （笙）箫青tāi（苔）荆jí（棘）火bō（钵） ni ǔ（忸）怩麦z āo（糟）发jiào (酵 ) dùn (炖) 肉团jī(箕) 凌w ǔ（侮） ch ì（叱）骂踟chú(蹰 ) 第三单元 li áo （寥）落长歌d àng(当)哭 fěi (菲)薄桀ào (骜) di é（喋）血立P ū（仆）风尘p úp ú（仆仆） l ìn(赁)屋 àn(黯)然 è（噩）耗尸h ái （骸） chu āng(创)伤浸z ì(渍) g àn （干）练 zh ǎn(辗)转 y ǔn (殒)身不x ù (恤) 作y ī (揖) t ǎng(倘)使解p ōu (剖) 步l ǚ(履) 谦x ùn (逊) ji ǒng(迥)乎不同 b ǐng(屏)息叱zh à(咤)风云 ch à(诧)异 l ì(莅)临第四单元紫j īng (荆) 花易zh ì (帜) 停b ó (泊) 超z ài (载) 登z ǎi (载) m ēng 骗(蒙) m ěng 古 (蒙) 婆su ō (娑) è梦(噩) x ī(嬉)笑 zhu àn 写(撰) ch ú菊(雏) zh ì息(窒) 绿树成y īn （阴） b ō夺(剥) b āo(剥)果皮夏y ǎn (衍) l òng 堂(弄) 游shu ì (说) q ì据(契) ǎo 断(拗) ào 口(拗) 执ni ù (拗) d ìng(锭)壳 h ǒng 骗(哄) 起h òng (哄) 气h ōngh ōng (哄洪) ru ò（偌）大污mi è(蔑) chu ǎi 测(揣) chu āi(揣)着挣chu ài (揣) y ì年(翌) h éng(横)亘 h èng(横)财酝ni àng (酿) zu ō(作)坊一鼓zu ò气(作) 二、辨析下列汉字的字形第一单元沁香分泌谩骂漫江惆怅为虎作伥苍茫沧桑阻遏碣石彷徨惶然惋惜哀婉颓圮杞人忧天祭祀沉淀纸锭绽放彷徨牌坊惆怅稠密丝绸无耻谰言斑斓波澜朔风追溯挑衅河畔碾碎辗转堤堰揠苗助长偃旗息鼓凌侮陵墓棱角忸怩纽扣枢纽心扉雨雪霏霏第三单元 ???捍卫精悍 ???陨石殒身不恤 ???邮戳屠戮 ???翻译演绎 ???赡养瞻仰 ???暴躁枯燥 ?????姹紫嫣红叱　咤诧　异 ?????编辑缉拿作揖 ?????赡养瞻仰屋檐 ?????屐　齿如弃敝屣步　履???????箪食壶浆殚精竭虑肆无忌惮弹冠相庆 ???????间谍通牒影碟喋血第四单元撤离车辙清澈步履木屐废墟嘘寒问暖谄媚陷阱循着遁世黯然谙熟

集合的有关概念及运算

第一章集合与简易逻辑学习札记第一单元集合的有关概念及运算【背景材料】康托儿与集合论的产生现代数学中将研究集合的理论称为集合论，它是数学的一个基本分支，在数学中占据着极其独特的地位，其基本概念已经渗透到数学的所有领域．如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说，集合论正是构成这座大厦的基石．集合论的创始人是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家康托儿（德国数学家，集合论的创始者．1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷），他也以其集合论的成就被誉为二十世纪数学发展影响最深的学者之一． 17世纪数学中出现了一门新的分支：微积分，并且在以后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕的成果．由于微积分的快速发展使人们来不及检查和巩固它的基础理论，在19世纪初，许多迫切问题得到解决后，就出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托儿开始了集合论的研究，1874年，康托儿给出了“集合”的定义：把若干确定的有区别的事物（无论是具体的或抽象的）合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．这和我们今天的集合的概念基本一致，我们会感觉很自然和简单，但是康托儿的研究道路却布满荆棘，并使他承受了强烈的外界压力和刺激，导致他患上了精神分裂症并最终因此病逝．数学与无穷的关系可谓紧密，但如何看待无穷却是数学家们很头疼的问题，他们始终持怀疑和回避的态度，形象地将“无限”解释为：无限可看作是永远延伸着的，一种变化着成长着的东西．按照这种解释，无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的而不是实在的．这种观念称为潜无限思想．18世纪数学王子高斯（德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．高斯1777年4月30日生于不伦瑞克，1855年2月23日卒于格丁根）就持此观点：“我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的．所谓无穷，只是一种说话方式……”．而康托儿首先把全体自然数看作了一个集合，称为自然数集，用字母N表示．事实上就是把一个无限的整体作为了一个构造完成了的东西，进而就肯定了作为一个整体的无穷是可以完成的，这种观念称为实无限思想．由于潜无限思想已经在微积分的基础重建中取得了全面胜利，康托儿的实无限思想遭到了一些数学家的强烈批评和攻击，但他没有就此止步，而是继续正面探讨无穷，在实无限思想观念的基础上，进一步得出一系列的结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论．这些理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界．最能显示他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究．他在研究过程中关注了这样一个问题：像自然数集那样的无穷集合与像实数集那样的无穷集合之间存在着怎样的关系？1873年11月29日，康托儿在给戴德金的信中将上述问题以更明确的形式提了出来：全体正整数集合N与全体实数集合R能否建立一一对应？这个问题看起来似乎不成问题，因为N是离散的，R是连续的．但康托儿认为问题也许并不那么简单，不能过分相信直觉．他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，

高考集合知识点总结与典型例题

集合一．【课标要求】 1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?；记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作N *或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R 。 2．集合的包含关系：（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；（2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；（2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集；（3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集：