干 熄 焦 试 题
干熄焦试题
一. 填空题：（每空1分，共15分）
1、进入干熄炉的红焦温度约为（950—1050）℃，出干熄炉的循环气体温度为（900—980）℃。
2、干熄焦电源引自热电厂的两段母线上，电源电压（6KW），主回路采用的是（单母线分段）运行方式。
3、干熄焦吨焦气料比约（1280）m3/t焦，排焦温度小于200℃。
4、电磁振动给料器是通过改变（励磁电流）的大小来调节焦炭的排出量。
5、在干熄炉预存段设有（γ射线）和（电容式）两种料位计。
6、排焦试验要做最大量、（常用量）和最小量三种状态的试验，每种排焦量最少做三次以测平均数。
7、干熄焦系统主要由（循环气体系统）、（汽水系统）、焦炭冷却系统和除尘系统四个系统组成。
8、干熄炉自上而下分为（预存段）、斜道区和（冷却段）三部分。
9、装入装置主要由（炉盖台车）和带料斗的装入台车组成。
10、额定蒸汽温度（480）℃。
二. 选择题：
1. 在干熄焦的实际生产中，循环风量的调整以（C）为准。
A.、1500m3/次 B、2000 m3/次 C、3000 m3/次
2. 干熄焦锅炉在升压、降压过程中，锅炉汽包上、下壁温差不宜大于（B）
A.、40℃ B、50℃ C、60℃
3. 干熄炉装入红焦后，循环气体H2含量突然升高，一段时间后又恢复正常，基本上可以判断为（C）
A.、空气导入量少 B、炉管泄漏 C、水封槽漏水
4. 温风干燥的主要目的是（A）
A.、驱除砌体内的水份 B、加热耐火材料
C、缩小干熄炉内耐火材料与红焦的温差
5. 经除氧器除氧后正常水温为（C）
A.、100℃ B、110℃ C、104℃
6. 锅炉给水PH控制在（A）
A.、8.5—9.2 B、＞7 C、8—9.5
7. 干熄熄焦用（C）作为载体
A.、空气 B、CO2 C、N2
8. 干熄焦锅炉有（B）个安全阀
A.、2 B、3 C、4
9. 循环气体中必须控制的（C）组分含量。
A.、CO2 H2 O2 B、CO2 H2 CO C、CO H2 O2
10. 当除尘风机停止运行备用系统未投入运行时，此时干熄焦需要用（C）措施。
A.、可以装焦可以排焦B、停止装焦和排焦C、不可以装焦但可以排焦
11. 测量循环气体中的CO的浓度采用的仪器是（B）
A.、热传导计 B、红外线分析仪 C、磁氧分析仪
12. 二次过热器入口的蒸汽温度控制在（A）
A.、大于饱和温度B、小于饱和温度C、等于饱和温度
13. 从全焦的组成来看，干法熄焦使冶金率（C）
A.、增加 B、不变 C、减小
14. 锅炉额定压力和温度为（C）
A.、4.0MPa 430℃ B、4.3 MPa 460℃ C、4.3 MPa 480℃
15. 在干熄焦系统运行正常时（A）。
A.、提升机采用自动控制 B、提升机采用中央手动控制
C、提升机采用就地控制
三、判断题：
1. 干熄焦正压段泄漏主要指风机出口到一次除尘入口间的泄漏。（×）
2. 汽包的液位上限是在汽包中心线上150mm处。（√）
3. 对锅炉给水溶液含氧量的限制主要是为了保护省煤器。（√）
4. 干熄焦余热锅炉出口汽温越低越好。（×）
5. 干熄焦装置的严密性越好，生产能力越大。（√）
6. 在循环气体自动分析仪失效后，为了安全起见，导入空气量应少些。（×）
7. 正常运行中进行切换泵时，应先停止运行的那台泵，再起动备用泵。（×）
8. 在干熄炉预存室内的红焦不与循环气体发生热交换。（√）
9. 温风干燥时为加热循环气体温度，应减少导入空气的量。（×）
10. 调节环形烟道的开口面积时，离锅炉近的一侧调节孔的开度要大些。（×）
四、做图题
画出给水预热器的内部构造。
五、简答题，
1、除盐水：水中溶解的阴阳离子通过离子交换法处理后，将绝大部分阴阳离子除去，此时的水叫除盐水又叫纯水。
2、饱和蒸汽：当水加热到饱和温度时产生的蒸汽。
3、干熄焦主要设备有哪些？
干熄焦主要设备有电机车、焦罐车（包括焦罐和运载车）、自动对位装置、提升机、循环风机、装入装置、干熄炉、供气装置、排焦装置、干熄焦锅炉和一次、二次除尘器等。
4、存室在整个干熄焦过程中起什么作用？
⑴能够连续稳定地将红焦提供给冷却室，能保证连续均匀地向锅炉提供热源，从而保证锅炉产生参数稳定的蒸汽。
⑵红焦在预存室内，能保证焦炭温度的均匀，使部分干馏，不足的焦炭在预存室内起到在炼焦的过程，从而提高焦炭质量。
⑶可以缓解焦炉生产的波动，在装焦间隔时间内可以减少循环气体温度的变化。
六、综合题
1、锅炉定期排污操作及注意事项？
①先慢开定期排污二次阀，再快开定期排污一次阀。
②关时先快关定期排污一次阀，再慢关定期排污二次阀
③每次定期排污不超过30S，正常每班排一次。
④对同一集箱不能同时进行排污。
2、过热器损坏现象及如何处理？
现象：⑴蒸汽流量不正常且小于给水量。
⑵过热器后烟气温度降低。
⑶烟道内烟气压力增大不严密处向外喷烟气。
⑷过热器附近有异音。
处理：⑴如泄露量轻微可降低锅炉负荷，监视运行，并及时汇报相关人员，
请示停炉。⑵过热器损坏严重时，立即进行紧急停炉
干熄焦试题
一.
填空题：（每空1分，共15分）
1、干熄炉的耐火材料有粘土砖、隔热砖、（陶瓷纤维毡）、隔热浇注料和玄武岩衬板组成
2、干熄焦的操作是建立在控制炉内循环气体可燃组份的浓度上，一般规定CO含量在（6）%以下，H2含量在（3）%以下，O2含量在（1）%以下。
3、一次除尘器采用重力沉降式除尘装置。二次除尘器采用（多管旋风）式除尘装置。
4、排焦装置主要由平板闸门、（电磁振动给料器）、旋转密封阀和排焦溜槽组成。
5、平板闸门在正常的生产条件下是完全打开的，在年修或（排焦装置检修）时，关闭以切断焦炭流动。
6、额定蒸汽压力（4.3）Mpa。
7、装入装置设有现场手动操作、现场连动操作和（中央控制PLC连动）三种操作方式。
8、干熄焦电机车的制动方式分为（发电制动）、盘式制动、气闸制动三种。
9、焦罐主要由焦罐体及摆动的（底闸门）和（吊杆）组成。
10、焦罐车由焦罐、（焦罐台车）和（运载车）组成，焦罐的用途是用于（承载红焦）。
二.
选择题：
1.
干熄后的焦碳与湿熄后的焦碳相比有（A）的特点。
A.、块度均匀
B、强度减少
C、裂纹加大
2.
焦罐对开底闸门的材质（B）
A.、HT250
B、0Cr19Ni10NbN
C、KMTBCr26
3.
内层为N3，中层为A1，外层为陶瓷纤维矿棉散料填充分和浇注料是干熄炉（A）的砌体结构。
A.、预存段锥部
B、冷却段
C、斜道区
4.
焦炉煤气热值一般为（B）。
A.、4000—5000
B、3600—4400
C、17000—17600
5.
测量循环气体中的CO的浓度采用的仪器是（B）
A.、热传导计
B、红外线分析仪
C、磁氧分析仪
6.
二次过热器入口的蒸汽温度控制在（A）
A.、大于饱和温度
B、小于饱和温度
C、等于饱和温度
7.
从全焦的组成来看，干法熄焦使冶金率（C）
A.、增加
B、不变
C、减小
8.
锅炉额定压力和温度为（C）
A.、4.0MPa
430℃
B、4.3 MPa
460℃
C、4.3 MPa
480℃
9.
在干熄焦系统运行正常时（A）。
A.、提升机采用自动控制
B、提升机采用中央手动控制
C、提升机采用就地控制
10.
干熄焦余热锅炉汽包中没有（B）
A.、均气板
B、加药装置
C、连排管
11.
当余热锅炉入口温度高，应采用（A）
A.、导入N2
B、导入空气
C、增加排焦量
12.
锅炉腐蚀以（C）腐蚀为主。
A.、露点
B、结垢
C、氧
13.
循环风机轴承振动的正常值为（B）
A.、40μm
B、32μm
C、42μm
14.
仪表用压缩空气的低压报警值为（A）
A.、4kgf/cm2
B、6 kgf/cm2
C、8 kgf/cm2
15.
锅炉给水PH控制在（A）
A.、8.5—9.2
B、＞7
C、8—9.5
三、判断题：
1、红焦在干熄炉内的冷却时间仅取决于气流与焦炭的对流传热。（×）
2、干熄焦烘炉升温大致分为烘炉前的准备工作，温风干燥阶段和煤气烘炉干燥阶段。（√）
3、
煤气烘炉升温时以预存段上部温度为主要管理温度。（√）
4、
炉前装冷焦要求块度要均匀，水分要小，焦粉要少。（√）
5、
正常启泵操作时，锅炉给水泵出口门全开。（×）
6、
炉加药用的药品通常有N2H4和Na3Po4。（√）
7、
干熄焦装置发生停电时，充氮电磁阀应自动打开向系统内充氮。（√）
8、
熄炉焦罐操作时间为480秒。（×）
9、设置在循环气体管道上的防爆装置，可以在系统压力异常升高时自动泄压以保证系统安全。（√）
10、为保证干熄焦安全运行，焦罐车上设置焦罐定位及锁闭检测器。（√）
四、做图题
画出循环气体在干熄炉内的循环过程。
五、简答题，
1、临界压力：把水加热，压力升高，蒸发热降低，最后水和蒸汽没有区别，以致分不出来蒸发热，把这个状态称为临界压力。
2、汽水共腾：指锅炉蒸发面汽水升起的同时，产生大量的气泡，蒸汽与水混成一体的现象。
3、为什么预存室的压力要控制为零？
保持压力为零的目的是：
⑴防止装焦时炉内气体冒出或外界空气大量吸入；
⑵保持循环系统压力的稳定性；
⑶防止空气吸入，焦炭烧损。
4、汽压过高有什么危害？
汽压过高是很危险的，汽压过高而万一安全阀发生故障不动作，则可发生爆炸事故，对设备和人身安全都会带来严重的危害；另一方面，汽压过高时，由于机械应力大，也将危害各承压部件的长期安全性，当安全阀动作时，会造成经济损失，同时安全阀容易损坏，增加检修工作量与漏汽损失，如汽压急剧升高，上升管内产生蒸汽量就会减少，可能引起水循环恶化。
六、综合题
1、为什么要保持CDQ循环气体系统的严密性？
⑴减少焦炭烧损；
⑵防止可燃气体爆炸和回火；
⑶在正压部位防止气体外漏，造成人身中毒；
⑷防止高浓度可燃气体外漏着火；
⑸保持预存室压力稳定；
⑹防止风机长时间故障时（停机时间过长时），干熄炉底部焦炭燃烧。
2、什么定修停炉前温度要降到600℃？
当CDQ设备停止后，在一次除尘器和锅炉炉壁等内部仍积蓄着大量热量，这些热量继续传给锅炉受热面的炉管，当T6温度过高时，由于蓄热作用，将会造成炉管的超温破坏，CDQ锅炉过热器最高耐热温度为600℃左右，因此，为保证锅炉安全，在定修时，将T6温度降到600℃。
干熄焦试题
一. 填空题：（每空1分，共15分）
1、焦化厂干熄炉正常生产处理能力为（150）t/h，余热锅炉的正常产汽量为（8 0）t/h。
2、一次除尘器采用（重力沉降）式除尘装置。二次除尘器采用（多管旋风）式除尘装置。
3、旋转密封阀即可以连续定量的排除（焦炭），又具有良好的（密封性），稳定干熄炉内循环气体的压力，防止循环气体外泄。
4、干熄炉底部的供气装置由锥体、风帽、气道和（周边风环）组成，中央风帽的供气道采用十字气道形式可使干熄炉内气体分布均匀。
5、提升机具有（提升）、走行、自动操作和自动对位等功能。
6、装入装置设有现场手动操作、现场连动操作和（中央控制PLC连动）三种操作方式。
7、干熄焦电机车的制动方式分为发电制动、盘式制动、（气闸制动）三种。
8、干熄焦因采用了装入料钟、热管换热器、振动给料器及（旋转密封阀）的连续排焦系统，改善了干熄炉内（焦炭粒度分布）的均匀性，焦炭下降的均匀性及循环气体上升的均匀性。
9、循环风机的压头是根据惰性气体循环系统的（阻力）而确定的，焦化厂循环风机的全压为（11Kpa）。
10、锅炉的给水温度为（104）℃。
二. 选择题：
1. 干熄后的焦碳与湿熄后的焦碳相比有（A）的特点。
A.、块度均匀 B、强度减少 C、裂纹加大
2. 焦罐对开底闸门的材质（B）
A.、HT250 B、0Cr19Ni10NbN C、KMTBCr26
3. 内层为N3，中层为A1，外层为陶瓷纤维矿棉散料填充分和浇注料是干熄炉（A）的砌体结构。
A.、预存段锥部B、冷却段C、斜道区
4. 焦炉煤气热值一般为（B）。
A.、4000—5000 B、3600—4400 C、17000—17600
5. 下列耐火材料中，机械强度和耐磨性较好的是（A）
A.、硅砖B、缸砖C、高铝砖
6. 锅炉的定压加热是在（C）中进行。
A.、水冷壁B、省煤器C、蒸发器
7. 二次过热器采用（B）形式加热方式。
A.、顺流 B、逆流 C、混合流
8. 汽包正常液位在汽包中心线下（A）处。
A.、100mm B、150mm C、250mm
9. 锅炉连排量大小的依据（B）取决于化验结果。
A.、给水 B、炉水 C、除盐水
10. 内层为BM，中层为N3，外层为A1是属于（C）的砌体结构。
A.、预存段 B、预存室下段 C、冷却段
11. 锅炉长期不运行采用的保养方法之一是充（A）
A.、除盐水 B、硬水 C、自然水
12. 锅炉在一次过热器与二次过热器之间的是（C）
A.、**减压装置 B、**减温减压装置 C、**减温装置
13. 为了保证旋转密封阀的严密性采用（A）方式
A.、充N2 B、充压缩空气 C、充空气
14. 汽包水位三冲量调节是通过调节给水流量、汽包水位和（B）
A.、主蒸汽压力 B、主蒸汽流量 C、主蒸汽温度
15. 焦炭粒度大于（A）叫冶金焦，可用于高炉冶炼。
A.、25mm B、40mm C、60mm
三、判断题：
1、干熄焦在装红焦时，控制装料口的压力维持在-50—0mmH2O。（√）
2、熄炉稳定运行的条件之一是保持冷却段料位高度的稳定，目前主要靠设置充分的预存段来实现。（√）
3、炉产生蒸汽品质的高低，完全取决于炉水的水质。（×）
4、熄焦锅炉的给水除氧方式为大气式热力喷雾除氧。（√）
5、次除尘入口含尘量（标况下）小于8g/m3。（×）
6、化厂的焦炉周转时间大于20小时。（×）
7、炭在干熄炉内干熄时间不大于1.5小时。（×）
8、自动对位装置主要由液压站及液压缸组成。（√）
9、定修停炉前，锅炉入口温度要按规定降至500℃以下。（×）
10、干熄焦正压段泄漏主要指风机出口到一次除尘入口间的泄漏。（×）
四、做图题
画出循环气体在锅炉系统内的循环过程。
五、简答题，
1、露点：烟气中某些气体开始液化时的温度。
2、汽化潜热：单位重量的液体在沸点温度下变成同温度的干饱和蒸汽所需要的热量。
3、简述干法熄焦的优缺点？
1）干法熄焦的优点：
⑴、回收红焦的显热。
⑵、改善焦炭质量。
⑶、避免湿熄焦对环境的污染。
2）干法熄焦的缺点
⑴、投资高，工艺复杂。
⑵、焦炭含水低，除尘费用高。
⑶、运转设备多，电能消耗大。
⑷、焦炭有烧损。
⑸、粉尘率增高，冶金焦率下降。
4、简述干熄焦技术基本原理？
干熄焦是相对湿熄焦而言的，其基本原理是利用冷的惰性气体在干熄炉内与红焦换热从而冷却红焦，吸收了红焦热量的惰性气体将热量传给干熄焦锅炉，产生蒸汽，被冷却的惰性气体在由循环风机鼓入干熄炉冷却红焦。
六、综合题
1、影响预存室压力的因素有哪些？
⑴影响预存室压力调节阀动作不良；
⑵循环风量的增减；⑶排焦闸门的泄漏；
⑷常用放散阀开度；⑸装入炉盖的严密程度；
⑹排出装置与干熄炉接口及循环系统的严密程度；
⑺环境集尘吸力高速不准确；⑻装焦与排焦（料位的波动）；
⑼导入空气量的增减；⑽负压系统的泄漏。
2、风机运行时产生振动的原因有哪些？
⑴旋转失速（因流体流动引起）。
⑵转子不平衡①磨损或积灰②叶轮变形③平衡块脱落④两侧进风量不同。
⑶轴弯曲；⑷轴承损坏或轴瓦磨损；⑸中心不正；⑹叶轴与轴松弛；
⑺轴承固定螺丝或地脚螺丝松动；⑻地基不坚固，框架钢度不够；
⑼电动机振动；⑽转子与外壳或轴与密封圈摩擦相碰。
圆锥曲线的统一焦半径公式在解题中的应用
圆锥曲线的统一焦半径公式 在解题中的应用 宜昌二中 黄群星 我们在解决有关直线与圆锥曲线的关系问题时，经常会用到焦半径公式。解决这类问题，我们可以用到的公式有：平面上两点之间的距离公式，弦长公式，三种圆锥曲线的焦半径公式，和圆锥曲线的统一焦半径公式。最后一个公式往往被大家忽视，现在我想专门谈谈这个公式的使用。 一．在椭圆中的运用： 例1：已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率为2 ，过右焦点F 且斜率为k （>0）的直 线与C 相交与A,B 两点，若3AF FB =,求k 的值。 解法一：∵ 2 e = ∴12b a = 设椭圆的方程为22 221,4x y b b += 右焦点为,0)， 设直线的方程为my x =，设1122(,),(,)A x y B x y 222440x y b my x ?+-=?? =? ?222 (4)0m y b ?++-= ∵3AF FB =1122,)3(,)x y x y ?--=123y y ?=-① 122 (4)y y m -+=+ ② 2 122(4) b y y m -?=+ ③ 将①带入②得 1224y y m ?=????=-?+? ∴2221222 94(4)m b b y y m m --?==++212m ?= k>0, ∴m>0, ∴2 m k ==解法二; 由题意得3AF FB = =cos 3θ?=
∴sin tan 3 k θθ= ==即 评述：解法二应用了圆锥曲线的统一焦半径公式，从而大大简化了解题的过程。那么，在什么情况下可以用这个公式呢？ 先看这个公式的结构：1cos ep PF e θ = ±，其中，e 是离心率，P 为焦准距，θ是过焦点 的直线的倾斜角，正是由于倾斜角的存在，使得这个公式在解决有关过焦点的直线的斜率和倾斜角的问题时相当便捷，而且，公式是根据圆锥曲线的统一定义推导出来，对椭圆，双曲线和抛物线都适用，这是它的一大优越之处。 二．在双曲线中的运用： 例2：双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12,l l 于A,B 两点，已知,,OA AB OB 成等差数列，且,BF FA 同向 ① 求双曲线的离心率 ② 设直线AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程。 解：① 如图 ∵FA=b,OF=c, ∴OA=a ,∵OF 平分角∠AOB ∴OA AF OB BF = 设FB=mb,OB=m a ,则有2AB OA OB =+ 即12(1)2b m b a ma e a +=+? =∴= ② 设直线AB 的倾斜角为θ , cos b c θ= = ∴ 41c o s 1c o s e p e p e e θθ+=+- 4p p += 2 a P c c ?=-= 有∵ 6,3c a c b a ===∴= ∴ 双曲线的方程为 2 2 1369 x y -= 评述：双曲线的焦半径公式PF =a ex ±，由于正负号和绝对值符号的存在，使得这个公式在运用起来又很多不方便，而统一焦半径公式正好巧妙的解决了这一问题。 三．在抛物线中的使用： 例3：平面上一点P 到点F （1,0）的距离与它到直线x=3的距离之和为4， ① 求点P 的轨迹方程
圆锥曲线的焦半径公式及其应用
圆锥曲线的焦半径公式及其应用 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。 1.椭圆的焦半径公式 (1)若P(x 0,y )为椭圆2 2 x a +2 2 y b =1(a>b>0)上任意一点，F 1 、F 2 分 别为椭圆的左、右焦点，则 1 PF=a+e x0,2PF=a-e x0. (2) 若P(x 0,y )为椭圆2 2 y a +2 2 x b =1(a>b>0)上任意一点，F 2 、F 1 分别为椭圆的上、下焦点，则 1 PF=a+e y0,2PF=a-e y0. 2.双曲线的焦半径公式 (1)若P(x 0,y )为双曲线2 2 x a -2 2 y b =1(a>0，b>0)上任意一点，F 1 、 F 2 分别为双曲线的左、右焦点，则 ①当点P在双曲线的左支上时， 1 PF=-e x0-a,2PF= -e x0+a. ②当点P在双曲线的右支上时， 1 PF=e x0+a,2PF= e x0-a. (2)若P(x 0,y )为双曲线2 2 y a -2 2 x b =1(a>0，b>0)上任意一点，F 2 、 F 1 分别为双曲线的上、下焦点，则 ①当点P在双曲线的下支上时， 1 PF=-e y0-a,2PF= -ey0+a. ②当点P在双曲线的上支上时， 1 PF=ey0+a,2PF= ey0-a. 3.抛物线的焦半径公式
(1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2 p (2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则PF = -x 0+2 p (3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则PF = y 0+2 p (4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则PF = -y 0+2 p 下面举例说明上述各公式的应用 例1．求椭圆2 16x +225 y =1上一点M(2.4,4)与焦点F 1、F 2的距离. 解：易知a=5,e=3 5且椭圆的焦点在轴上，∴1MF = a+ey 0=5+35 ×4= 375,2MF = a-e y 0=5-35×4=13 5 。 例2.试在椭圆2 25 x +29y =1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它 到右焦点的距离的两倍． 解：由 1212 210 { PF PF PF PF =+=，得1220 3103{ PF PF = = 。 设P(x 0, y 0),则1PF =a+ex 0,即5+45 x 0=203，解之得x 0=2512 ，所以P( 25 12 , 119 4 ± ). 例3.在双曲线216x -2 9 y =1上求一点M ，使它到左、右两焦点的距
焦半径公式的证明
焦半径公式的证明 FFaa>cFFc）2到两定点|=2，）（距离之和为定值22（|【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：2121的动点轨迹（图形）. ca. 和这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数ca，就确定了椭圆的形状和大小.就确定了椭圆的位 置；再加上另一个参数比较它们的第一个参数“身，ca更“显贵”比份”来，. c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到. 之嫌cc的“题根”. 为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找，并寻找关于 一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. FcFcPxy,0)(（,0，）和）是椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦（【例1】已知点-21 a PFPFa+-|=|=；|. .点求证：|21PFPFy”即可然后利用椭圆的方程“消. .可用距离公式先将||和||分别表示出来分析【】21【解答】由两点间距离公式，可知 PF (1) ||=1．解出从椭圆方程 (2) 代（2）于（1）并化简，得 axPFa) |(-≤|=≤1 aPF xa) |≤|=≤(-同理有2通过例1，得出了椭圆的焦半径公式【说明】 ea-ex ra+exr==( ) =21Px,yrxrx的减）横坐标的一次函数. 的增函数，从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点是（是21a+ca-cx,y轴，关于原点）（关于. .从焦半径公式，函数，它们都有最大值还可得椭圆的对称性质,最小值 二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径
焦半径公式
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左准线为l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2以F2为焦点，l为准线，点P是C1、C2的一个公共点，则 F1F2/PF1-PF1/PF2= 设点P的横坐标为m， 则由焦半径公式，PF1=a+em，PF2=a-em， 因为点P又在以F2为焦点，l为准线的抛物线上，l的方程为x=-a2/c； 所以，P到l的距离d=m-(-a2/c)=m+a2/c 抛物线满足：抛物线上的点到焦点的距离=到准线的距离； 所以d=PF2 即：m+a2/c=a-em 得：m=a2(c-a)/c(a+c) 所以，em=a(c-a)/(a+c) 所以，PF1=a+em=2ac/(a+c)，PF2=2a2/(a+c) 所以，F1F2/PF1=(a+c)/a，PF1/PF2=c/a； F1F2/PF1-PF1/PF2=(a+c)/a-c/a=1； 椭圆的焦半径公式
设M（xo，y0）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和 r2分别是点M与点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离，那么(左焦半径)r1=a+ex0，(右焦半径)r2=a -ex0，其中e是离心率。 推导：r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e 可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+x0）= a+ex0，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-x0）= a-ex0。 同理：∣MF1∣= a+ex0，∣MF2∣= a-ex0。 编辑本段双曲线的焦半径公式 双曲线的焦半径及其应用： 1：定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。 2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1 点P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点P(x,y)在右支上 │PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a 编辑本段抛物线的焦半径公式 抛物线r=x+p/2 通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦 双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a^2/c-c 抛物线的通径是2p 抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2.
焦半径公式的证明
焦半径公式的证明 【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点F1，F2（|F1F2|=2c）距离之和为定值2a（2a>2c）的动点轨迹（图形）. 这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a. 第一个参数c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身份”来，c比a更“显贵”. 遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”之嫌. 为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找c，并寻找关于c的“题根”. 一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 【例1】已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦 点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -. 【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可. 【解答】由两点间距离公式，可知 |PF1|= (1) 从椭圆方程解出 (2) 代（2）于（1）并化简，得
|PF1|=(-a≤x≤a) 同理有|PF2|=(-a≤x≤a) 【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 r1=a+ex r2=a-ex (e=) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）. 二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. 【例2】P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|. 【分析】问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2. 【解答】依题意，有方程组 ②-③得 代①于④并整理得r1-r2=⑤ 联立①，⑤得 【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然. 三、焦半径公式与准线的关系
圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．？ 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．？ 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；？ 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线
（2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=， 右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有 力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，
焦半径公式
如图，F 为圆锥曲线的焦点，l 为相应于焦点F 的圆锥曲线的准线，过点F 作准线l 的垂线，垂足为k ，令||FK p =，M 为圆锥曲线上任意一点，MN l ⊥于 N ，FH MN ⊥于H ，设xFM θ∠=，依圆锥曲线的统一定义有 || || MF e MN =⑴，又||||||||||co ||s MN NH MH FK MH p MF θ=±=±=+，代入(1)有 ||cos || MF e p MF θ =+，1|c |os ep MF e θ = -⑵。 若直线MF 交圆锥曲线于另一点M '，同理可证|cos |1ep M F e θ '= +⑶，由此还可推出过焦点F 的弦长为222||||||1cos 1cos 1cos ep ep ep MM MF M F e e e θθθ''=+=+= -+-⑷，两焦半径的比为||1cos ||1cos MF e M F e θθ+='-⑸。 例1：过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ，作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别 为p 、q ，则11 p q +=4a 。 例2：已知椭圆长轴长为6， 焦距为过椭圆的左焦点1F 作直线交椭圆于M 、 N 两点，设21(0)F F M ααπ∠=≤≤，当α=566 ππ 或时，||MN 等于椭圆短轴长。 例3：过双曲线2 2 12 y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使 得||AB λ=的直线l 恰有3条，则λ= 4 。 例4：过椭圆的一个焦点作一条与长轴夹角为30?的弦AB ，若||AB 恰好等于焦点到准线距离的2倍， 则此椭圆的离心率为2 3 。 例5：1F 、2F 分别是椭圆2212 x y +=的左、右焦点，过1F 作倾斜角为4π 的直线与椭圆交于P 、Q 两点， 求2F PQ 的面积。 解：首先求出边PQ 的长度，它是过焦点1F 的弦，其倾斜角 4π ，2a =，1b =，1c =， 故2|2 |PQ == - 而2F 到直线PQ 的距离为12sin ||4 F F π =2F PQ 的面积为14 23。 例6：过椭圆22 1 3x y +=的右焦点2F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若22||:|2|AF BF =，则左焦点1F 到 直线 l 的距离d 。 例7：过双曲线222222b x a y a b -= P 、Q 两点，若OP OQ ⊥，||4PQ =，则双曲线的方程为2233x y -=。 解：设直线PQ 的倾斜角为θ，则tan θ= 23 sin 8 θ=，又设直线PQ 的方程为)y x c =-，11() ,P x y ，22(),Q x y ，OP OQ ⊥，1212 0x x y y ∴+=，即1212 0)()x x x c x c --=，化简得2121238()30c x x x x c +--=⑴，将直线方程代入双曲线方程，整理得22222222()()356350a b x a cx a c a b --++=，将上述方程的根与系数的关系代入⑴化简整理得2 2 3b a =⑵，由弦长公式④得2 22222 24|||/8| 5343ab b a ab b c =?-=-⑶，将⑵代入⑶化简，即得21a =，从而23b =，故所求双曲线方程为2233x y -=。
椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径公式及应用 . 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 一、公式的推导 设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。 证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知 ，又，所以，而 。 ∴，。 二、公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。
解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为 ，则、、。 ∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出 的值。 例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。已知P、、 是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。 解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。 由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。 由焦半径公式，得，。 （1）若∠为直角，则，即 ，解得，故。 （2）若∠为直角，则，即 = ，解得，故。
评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。 例3 已知椭圆C：，为其两个焦点，问能否在椭圆C上找 一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 解：设存在点M（），使，由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即 ＋48=0，解得，或。 因此，点M不存在。 评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简
2020年焦半径公式的证明
作者：旧在几 作品编号：2254487796631145587263GF24000022 时间：2020.12.13 焦半径公式的证明 【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点F1，F2（|F1F2|=2c）距离之和为定值2a（2a>2c）的动点轨迹（图形）. 这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a. 第一个参数c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身份”来，c比a更“显贵”. 遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”之嫌. 为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找c，并寻找关于c的“题根”. 一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 【例1】已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0) 是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -.
【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程 “消y”即可. 【解答】由两点间距离公式，可知 |PF1|= (1) 从椭圆方程解出 (2) 代（2）于（1）并化简，得 |PF1|=(-a≤x≤a) 同理有|PF2|=(-a≤x≤a) 【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 r1=a+ex r2=a-ex (e=) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）. 二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. 【例2】P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|.
焦半径公式的三角形式及其应用
焦半径公式的三角形式及其应用 重庆清华中学 张 忠 焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，故值得我们进一步总结与研究。 焦半径公式的代数形式：设21,F F 是曲线的左、右焦点，点),(00y x P 在曲线上，记 11PF r =、22PF r =为左、右焦半径。则在椭圆中：0201,ex a r ex a r -=+=；在双曲 线中：a ex r a ex r -=+=0201,；在抛物线)0(22 >=p px y 中：2 0p x r + =。 若焦点在y 轴上时，则把相应的0x 改为0y 即可。因应用情形比较常见，不再叙述。，本文介绍它的三角形式及其应用。 定理1：若椭圆的离心角为θ，则 (1)|PF 1|＝a ＋ccosθ； (2)|PF 2|＝a －ccosθ． 证明：∵ 椭圆的离心角为θ，由椭圆参数方程知点P 的横坐标为acosθ，依焦半径的代数形式知：|PF 1|＝a ＋ex p ＝a ＋ea·cosθ＝a ＋c·cosθ,|PF 2|＝a －ex p ＝a －c·cosθ． 例1. F 1、F 2是椭圆＋y 2 ＝1的左右焦点，点 P 在椭圆上运动，则|PF 1|·|PF 2|的最大值 是______， 最小值是_________． (1996年第七届“希望杯”赛) 解：设椭圆的离心角为θ，又知a ＝2，c 2 ＝3，由定理1得 |PF 1|c·|PF 2|＝a 2 －c 2 cos 2 θ＝4－3cos 2 θ ∵ 0≤cos 2 θ≤1 故知 |PF 1|c·|PF 2|max ＝4－3·0＝4 |PF 1|·|PF 2|min ＝4－3·1＝1 例2. 椭圆的左右焦点为F 1、F 2，试问此椭圆的离心率e 在什么值范围内，椭圆上恒存在点
椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径公式及应用 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
椭圆焦半径公式及应用 . 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 一、公式的推导 设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。 证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知 ，又，所以，而 。 ∴，。 二、公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。
解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。 ∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。 例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。已知P、、 是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。 解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。 由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。 由焦半径公式，得，。 （1）若∠为直角，则，即 ，解得，故。 （2）若∠为直角，则，即 = ，解得，故。 评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。
圆锥曲线的焦半径公式
圆锥曲线的焦半径公式 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。 1.椭圆的焦半径公式 (1)若P(x 0,y )为椭圆2 2 x a +2 2 y b =1(a>b>0)上任意一点，F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，则 1 PF=a+e x0, 2 PF=a-e x . (2) 若P(x 0,y )为椭圆2 2 y a +2 2 x b =1(a>b>0)上任意一点，F 2 、F 1 分别为椭圆的上、下焦点，则 1 PF=a+e y0, 2 PF=a-e y . 2.双曲线的焦半径公式 (1)若P(x 0,y )为双曲线2 2 x a -2 2 y b =1(a>0，b>0)上任意一点，F 1 、F 2 分别为双曲线的左、右焦点，则
①当点P 在双曲线的左支上时，1PF =-e x 0-a,2PF = -e x 0+a. ②当点P 在双曲线的右支上时，1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a. (2)若P(x 0,y 0)为双曲线22y a -2 2x b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 2、 F 1分别为双曲线的上、下焦点，则 ①当点P 在双曲线的下支上时，1PF =-e y 0-a,2PF = -ey 0+a. ②当点P 在双曲线的上支上时，1PF =ey 0+a,2PF = ey 0-a. 3.抛物线的焦半径公式 (1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2 p (2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则PF = -x 0+2p (3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则PF = y 0+2p (4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则PF = -y 0+2p 不能，请说明理由.(答案：点P 不存在)
圆锥曲线的焦半径公式
2 2 2 圆锥曲线的焦半径公式 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。 利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥 曲线的焦半径公式。 1. 椭圆的焦半径公式 (1) 若 P(x 0 ,y 0 )为椭圆 x y 2 a 2 + b 2 =1(a>b>0) 上任意一点， F 1 、F 2 分别为椭圆的左、 右焦点，则 PF 1 =a+e x 0 , PF 2 =a-e x 0 . (2) 若 P(x 0 ,y 0 )为椭圆 y x 2 a 2 + b 2 =1(a>b>0) 上任意一点， F 2 、F 1 分别为椭圆的上、 下焦点，则 PF 1 =a+e y 0 , PF 2 =a-e y 0 . 2. 双曲线的焦半径公式 (1) 若 P(x 0 ,y 0 )为双曲线 x y 2 a 2 - b 2 =1(a>0 ， b>0) 上任意一点， F 1 、F 2 分别为双曲线的左、右焦点，则
2 0 0 0 0 ①当点 P 在双曲线的左支上时， PF 1 =-e x 0 -a, PF 2 = -e x 0 +a. ②当点 P 在双曲线的右支上时， PF 1 =e x 0 +a, PF 2 = e x 0 -a. (2) 若 P(x 0 ,y 0 )为双曲线 y x 2 a 2 - b 2 =1(a>0 ， b >0) 上任意一点， F 2 、 F 1 分别为双曲线的上、下焦点，则 ①当点 P 在双曲线的下支上时， PF 1 =-e y 0 -a, PF 2 = -ey 0 +a. ②当点 P 在双曲线的上支上时， PF 1 =ey 0 +a, PF 2 = ey 0 -a. 3. 抛物线的焦半径公式 (1) 若 P(x 0 ,y )为抛物线 y 2 =2px(p>0) 上任意一点，则 PF = x + p 2 (2) 若 P(x 0 ,y )为抛物线 y 2 =-2px(p>0) 上任意一点，则 PF = -x + p 2 (3) 若 P(x 0 ,y )为抛物线 x 2 =2py(p>0) 上任意一点，则 PF = y + p 2 (4) 若 P(x 0 ,y )为抛物线 x 2 =-2py(p>0) 上任意一点，则 PF = -y + p 2 不能，请说明理由 .(答案：点 P 不存在) 0 0 0 0
坐标表示的焦半径公式
一．坐标表示的焦半径公式 1、椭圆（一类） 由代入整理得 , 同理， 可以假想点P在y轴右边，且x>0 帮助，显然总有符合椭圆定义。公式常见应用： （1）椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c （2）椭圆上三点A,B,C，若成等差数列，则到同一个焦点的焦半径也成等差数列。 （3）定义直线为椭圆的左右准线。 由焦半径公式，椭圆上任意一点P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e. 2. 双曲线 由代入整理得 , 由双曲线上点 , 若点P在右支上，同理， .总有 . 若点P在左支上，同理， .总有 . 公示的应用： （1）若双曲线上同一支上的三点A,B,C，有成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半径也成等差数列。 （2）定义直线为双曲线的左右准线。
由焦半径公式，双曲线上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e. 3.抛物线 公式的应用：抛物线上三点A,B,C， 若，则。 二．圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式 1、统一定义：平面上到定点F与定直线l 距离之比等于 常数e的点轨迹。若0
圆锥曲线的焦半径公式及其应用
圆锥曲线的焦半径公式及其应用 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。 1.椭圆的焦半径公式 (1)若 P(x 0,y 0)为椭圆2 2 x a +22 y b =1(a>b>0)上任意一点，F 1、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，则1PF =a+e x 0,2PF =a-e x 0. (2) 若 P(x 0,y 0)为椭圆2 2 y a +22x b =1(a>b>0)上任意一点，F 2、 F 1分别为椭圆的上、下焦点，则1PF =a+e y 0,2PF =a-e y 0. 2.双曲线的焦半径公式 (1)若 P(x 0,y 0)为双曲线2 2 x a -22 y b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，则 ①当点P 在双曲线的左支上时，1PF =-e x 0-a,2PF = -e x 0+a. ②当点P 在双曲线的右支上时，1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a. (2)若 P(x 0,y 0)为双曲线2 2 y a -22x b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 2、 F 1分别为双曲线的上、下焦点，则 ①当点P 在双曲线的下支上时，1PF =-e y 0-a,2PF = -ey 0+a. ②当点P 在双曲线的上支上时，1PF =ey 0+a,2PF = ey 0-a. 3.抛物线的焦半径公式
(1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2 p (2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则 PF = -x 0+2 p (3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则PF = y 0+2 p (4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则PF = -y 0+2 p 下面举例说明上述各公式的应用 例1．求椭圆216x +2 25 y =1 上一点M(2.4,4)与焦点F 1、F 2的距 离. 解：易知a=5,e=35且椭圆的焦点在轴上，∴1MF = a+ey 0=5+35 ×4= 37 5 ,2MF = a-e y 0=5-35×4= 13 5 。 例 2.试在椭圆225x + 2 9 y =1上求一点P ，使它到左焦点的距离是 它到右焦点的距离的两倍． 解：由 1212210 { PF PF PF PF =+=，得 1220 3103{ PF PF = = 。 设P(x 0, y 0),则1PF =a+ex 0,即5+45 x 0=20 3 ，解之得x 0= 2512 ，所以P( 2512 , 1194 ±).
焦半径公式
焦半径公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
如图，F 为圆锥曲线的焦点，l 为相应于焦点F 的圆锥曲线的准线，过点F 作准线l 的垂线，垂足为k ，令||FK p =，M 为圆锥曲线上任意一点，MN l ⊥于N ，FH MN ⊥于H ，设xFM θ∠=，依圆锥曲线的统一定义有 || || MF e MN =⑴，又||||||||||co ||s MN NH MH FK MH p MF θ=±=±=+，代入(1)有||cos ||MF e p MF θ=+，1|c |os ep MF e θ = -⑵。 若直线MF 交圆锥曲线于另一点M '，同理可证|cos |1ep M F e θ '=+⑶，由此还可推出过焦点 F 的弦长为222||||||1cos 1cos 1cos ep ep ep MM MF M F e e e θθθ ''=+= += -+-⑷，两焦半径的比为||1cos ||1cos MF e M F e θ θ +='-⑸。 例1：过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ，作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与 FQ 的长分别为p 、q ，则 11 p q +=4a 。 例2：已知椭圆长轴长为6，焦距为42，过椭圆的左焦点1F 作直线交椭圆于M 、N 两点，设21(0)F F M ααπ∠=≤≤，当α=56 6 π π 或 时，||MN 等于椭圆短轴长。 例3：过双曲线2 2 12 y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点， 若实数λ使得||AB λ=的直线l 恰有3条，则λ= 4 。 例4：过椭圆的一个焦点作一条与长轴夹角为30?的弦AB ，若||AB 恰好等于焦点到准线距离的2倍，则此椭圆的离心率为23 。 例5：1F 、2F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，过1F 作倾斜角为4 π 的直线与椭圆交于 P 、Q 两点，求2F PQ 的面积。 解：首先求出边PQ 的长度，它是过焦点1F 的弦，其倾斜角4 π ，2a =，1b =，1c =，故 22422|2 |PQ == -，而2F 到直线PQ 的距离为12sin ||24F F π =，所以2F PQ 的面积为1424223 ??=。 例6：过椭圆22 143 x y +=的右焦点2F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若22||:|2|AF BF =，则 左焦点1F 到直线l 的距离d 为25 。 例7：过双曲线222222b x a y a b -=的右焦点且斜率为 3 5 的直线交双曲线于P 、Q 两点，若OP OQ ⊥，||4PQ =，则双曲线的方程为2233x y -=。