排列组合解题技巧
排列组合解题技巧
方志清
（潜山县黄铺中学，fangzhiqingwangjiang@https://www.wendangku.net/doc/0d7642010.html,）
摘要：本文重点阐述排列组合解题技巧
引言：在学到排列组合的时候，很多同学觉得学起来较为困难，原因是这一章节要求学生的逻辑性很强。我想谈谈个人对于排列组合教学的看法。
一、理解排列组合、两个计数原理的概念。
（1）首先要区分“分类计数原理”和“分步计数原理”。使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”，要根据我们完成某件事采取的方式而定。如果是可以分类来完成这件事，就用“分类计数原理”，而如果需要分步来完成这件事时就得使用“分步计数原理”。那么，怎么样确定是“分类”还是“分步”呢？“分类”最重要的特征是其中任何一类都可以独立完成某件事，而“分步”必须把各步骤都完成了才能完成某件事。
（2）排列问题常常通过画“树图”，“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径。
例1:3男3女共6个同学排成一行
①女生都排在一起，有多少种排法？
②女生与男生相间，有多少种排法？
③任何两个男生都不相邻，有多少种排法？
这就是典型的排列问题。解题技巧：①将3名女生排列，有A33种排法，再将这3名女生看成一个整体与另外3个男生，有A44种排法，所以共有A33 A44=144种排法。②中男生自己排，女生也自己排，各有A33种排法，然后相间插入有2种插法，所以共有2 A33 A33=72种排法。③中女生先排，有A33种排法，女生之间及首尾共有4个间隙，任取其中3个安插男生，有A43种方法，所以共有A33A43=144种排法。
（3）排列与组合定义相近，要分别理解它们的定义，还要会区别它们。而它们最主要的区别是是否与顺序有关。具体来说就是排列与顺序有关，组合与顺序无关。在处理时要根据条件做出正确判断。
例2：一个小组有20人，假期中每2个人互通电话一次，各通信一次，共通了多少次电话，写了多少封信？前者甲与乙通话即是乙与甲通话，因此与顺序无关，故是组合问题。而后者甲给乙写一封信与乙给甲写一封信是两回事，因此是排列问题。
二、排列组合问题的解的技巧。在解排列组合问题时，我总结了以下几点解题技巧，供大家参考：
（1）特殊元素“优先安排法”：对于特殊元素的排列组合问题，一般优先考虑特殊元素。
例3：用0、1、2、3、4、5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又0不能排在首位，故0就是其中的特殊元素，应该优先安排，按0排在末位和不排在末位分为两类：①0排末位时，有A42个。②0不排在末位时，则有C21A31A31个，由分类计数原理，共有偶数A42+
C21A31A31=30个。
（2）“捆绑法”：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先把相邻的n个元素排好，再将它们当成一个整体，然后再考虑这个整体与其它元素的排列。
例4：有8本不同的书，其中3本数学书，若将数学书排在一起，共有多少种排法？把数学书排好，有A33种排法，再把这3本数学书捆绑在一起，看成是一个元素，它与其它5本书共6个元素共有A66种排法，根据分步计数原理有A33A66=450种排法。
（3）“插空法”：有些不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开，解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的间隙及两端位置，故称插空法。
例5：要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？这个问题可以分为两步：第一步先把6个歌唱节目排列，有A66种排法，第二步把4个舞蹈节目插在7个空位上，有A74种排法，由乘法原理，共有A66A74=604800种不同的排法。
（4）顺序固定用除法：对于某几个元素按固定顺序排列，可先把这几个元素与其它元素一同进行全排列，然后用总的排列数除以这几个数的全排列数。
例6：7个人坐在一排照相，其中甲、乙、丙三人的顺序固定有多少种排法？首先这7个人的全排列有A77种排法，另外，甲乙丙三人有A33种排法，所以共有A77/ A33=420种排法。
（5）排除法：对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答需要进行复杂讨论，可以考虑“排除法”：将总体中不符合条件的排列和组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法。
例7：从5名男同学4名女同学中选3人参加活动，则至少有一名女同学的选法共有多少种？总的有9名同学，从这9名同学中选3人有C93种选法，若选中的同学都是男生，有C53种，所以至少有一名女同学的选法共有C93－C53=69种。
（6）构造模型“隔板法”：对于较复杂的排列组合问题，可通过设计一种情景，构造一个隔板模型解决问题。
例8、有8个相同的小球，装到4个不同的盒子中，要求每个盒子至少装一个小球，共有多少种不同的装法？把8个相同的小球排成一列，在它们之间的7个间隙中插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得4堆球各堆球的数目，对应装到4个不同的盒子中，故共有C74=35种装法。
总之，在解决排列组合的综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与性质，掌握它们的基本规律，我总结为以下16个字：分类相加、分步相乘、排组分清、加乘明确、有序排列、无序组合、正难则反、间接排除。