2014年中考与圆有关的位置关系

考点分析

1. 掌握点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。

2. 知道内心、外心、切线的概念及相关性质。

3. 学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。

知识回顾，考点梳理

1、点与圆的位置关系：

每一个圆都把平面上的点分成三类，即（1）点在圆内；（2）点在圆上；（3）点在圆外。

点和圆的位置关系是由这个点到圆的距离与半径的数量大小关系决定的，

设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则:

点在圆内d

点在圆上d=r

点在圆外d>r

注：（1）"=>"是由已知点与圆的位置关系确定d与r的大小关系；

"<="是由已知d与r的数量关系判断点与圆的位置关系。

（2）符号“”读作“等价于”

“A B”具有两方面的含义：一方面表示A=>B,由条件A推出结论B的因果关系；另一方面表示B=>A，由条件B推出结论A的因果关系。

2、直线和圆相交、相切、相离的概念：

当直线由远而近对圆(或圆由远而近对直线)作相对运动时，会得到直线与圆的三种不同位置关系：

①直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离；

②直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。

③直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。

①相离②相切③相交

说明：直线和圆相切是指直线和圆有一个并且只有一个公共点。与“有一个公共点”的含义是不同的。要避免出现“直线和圆有一个公共点时叫做直线和圆相切”的错误。

3．直线和圆的位置关系的性质和判定：

根据直线和圆相交、相切、相离的定义结合图形(2)容易看出如果⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，那么会有下面的结论：

①直线l和⊙O相交d＜r；

②直线l的⊙O相切d＝r；

③直线l和⊙O相离d＞r。

(1)直线l和⊙O相交(2)直线l的⊙O相切(3)直线l和⊙O相离

上面三个命题的左边反映的是两个图形的位置关系，右边反映的是圆心到直线l的距离与圆的半径这两个数量的大小关系。因而它们既可作为直线与圆的各种位置关系的判定，又可以作为圆与直线位置关系的性质，换句话说直线和圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分。也可以用圆心到直线的距离与半径的大小来区分。它们是一致的。从下表中可清楚了解这种相互依从关系：

说明：根据直线与圆相交的定义，用直尺(或三角形板)在纸上移动，靠眼睛观察。当它与圆只有一个公共点时，画出直线，即为已知圆的切线。

3、圆与圆的位置关系

(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1))

(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2))

(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3))

(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4))

(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5))．两圆同心是两圆内含的一个特例． (图(6))

2、归纳：

(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点．

(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一

(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)．

并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?

结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．

3、分析、研究

1、相切两圆的性质．

让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．

这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明

2、两圆位置关系的数量特征．

设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，则两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．

两圆外切 d＝R+r；

两圆内切 d＝R-r (R＞r);

两圆外离 d＞R+r；

两圆内含 d＜R-r(R＞r);

两圆相交 R-r＜d＜R+r．

说明：注重“数形结合” 的思想．

例题讲解，变式旁通

考点一：点与圆的位置关系

例1 求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上。

已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。

求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个

圆上。

1. 若Rt△ABC的三个顶点A、B、C在⊙O上，

求证：Rt△ABC斜边AB的中点是⊙O的圆心。

考点二：直线与圆的位置关系的判定

例1 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝x，⊙O的半径为1，

问：当x在什么范围内取值时，AC与⊙O相离、相切、相交。

例2 如图，⊙O直径AB的两端点到直线MN的距离分别为m、n，AB＝6，当m、n 分别为下列长度时，MN与⊙O有怎样的位置关系？①m＝1，n＝4；②m＝1.5，n＝4.5；③m

＝4n＝4

①②③

1. 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以腰DC的中点E为圆心的圆与AB 相切，梯形的上底AD与下底BC的方程x2－10x＋16＝0的两根，求圆的半径r。

2. 如图，一个圆球放置在V 型架中。图9-2是它的平面示意图，CA 、CB 都是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，如果⊙O

的半径为，且AB ＝6cm ，求∠ACB 。

3. 如图，直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝135°，DC ＝

D 为圆心，以8个单位长为半径作⊙D ，试判定⊙D 与BC 有向几个交点？

考点三：切线的性质和判定

例1. 如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。

（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）EM ＝FM 。

例2. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。求证：AC 是⊙O 的切线。

A

B

C

O

例1图

321M F O

E D

C B

A

例2图

E

O

D C

B

A

1. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。

（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ?的值；

（3）若AD ＋OC ＝r 2

9

，求CD 的长。

考点四：圆与圆位置关系

例1. 已知两个等圆⊙O l 和⊙O 2相交于A ，B 两点，⊙O l 经O 2。求∠O l AB 的度数．

例2. 已知R 1、R 2为两圆半径，圆心距d ＝5，且R 1，R 2，R 1－R 2是方程x 3－6x 2＋11x －6＝0的三个根，试判断以R 1，R 2为半径的两圆的位置关系。

例3.已知：如图，⊙O 1和⊙O 2外切于P ，直线APC 交⊙O 1于点A ，交⊙O 2于C ，AB 切⊙O 2于B ，设⊙O 1的半径为r 1，⊙O 2的半径为r 2。求证：212

21

r r AC AB r +=

1.如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，PT 切⊙O 1于A ，交⊙O 1于P ，PB 的延长线交⊙O 1于C ，CA 的延长线交⊙O 2于D ，E 是⊙O 1上一点，且AE ＝AC ，EB 的延长线交⊙O 2于F ，连结AF 、DF 、FD 。

求证：(1) △PAD 为等腰三角形；(2) DF∥PA；(3) AF 2＝PB·EF

?例3图

3

2

1

O

D C

B

A

2. 如图⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ，过A 作直线交⊙O 1于C ，交⊙O 2于D ，M 是CD 中点，直线BM 交⊙O

1于E ，交⊙O 2于F 。求证：ME ＝MF 。

3. 已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何?

4. 已知：如图，⊙O 和⊙O 1内切于A ，直线OO 1交⊙O 于另一点B ，交⊙O 1

于另一点F ，过B 点作⊙O 1的切线，切点为D ，交⊙O 于C 点，DE⊥AB 垂足为E ．求证：

(1)CD ＝DE ；

(2)若将两圆内切改为外切，其他条件不变，(1)中的结论是否成立?请证明你的结论．

5. 已知两相交圆的半径分别为8cm 和5cm ，公共弦长为6cm ，求这两圆的圆心距．

考点五：三角形的内切圆

例1. 如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 分别和边BC ，AC ，AB 切于D ，E ，F ，?如果AF=2，

BD=7，CE=4．

（1）求△ABC的三边长；

（2）如果P为DF上一点，过P作⊙O的切线，交AB于M，交BC于N，求△BMN的周长．

1．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是DEF上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．

2．如图，△ABC中，∠A=m°．

（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；

（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；

（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．

课后巩固

一、选择题：

1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（）

A、经过半径外端点的直线是圆的切线；

B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；

C、垂直于半径的直线是圆的切线；

D 、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、在Rt △ABC 中，∠A ＝900，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为（ ） A 、ab B 、

ab b a + C 、b a ab + D 、2

b

a + 3、正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则CF ∶FD ＝（ ） A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶5 4、如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（ ）

A 、900－∠P

B 、900－

21∠P C 、1800－∠P D 、450－2

1∠P

?

第3题图

O

F

E

D

C B

A

?

第4题图

P

O F

E D

B

A

?第6题图

C O

E

D

B A

二、填空题：

5、已知PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，∠APB ＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任一点，则∠ACB ＝ 。

6、如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BC 与以AD 为直径的⊙O 相切于点E ，AB ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积为 。

7、如图，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若AD ＝6，BD ＝4，则△ABC 的面积为 。

8、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是和⊙O 相切于点B 的切线，过⊙O 上A 点的直线AD ∥OC ，若OA ＝2且AD ＋OC ＝6，则CD ＝ 。

?第7题图

F C

O

E D

B

A

?

第8题图

C

O

D

B

A

?

第9题图

C

O

D

B A

9、如图，已知⊙O 的直径为AB ，BD ＝OB ，∠CAB ＝300，请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论（除OA ＝OB ＝BD 外）：① ；② ；③ ；④ 。

10、若圆外切等腰梯形ABCD 的面积为20，AD 与BC 之和为10，则圆的半径为 。 三、计算或证明题：

11、如图，AB 是半⊙O 的直径，点M 是半径OA 的中点，点P 在线段AM 上运动（不与点M 重合），点Q 在半⊙O 上运动，且总保持PQ ＝PO ，过点Q 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点C 。

（1）当∠QPA ＝600时，请你对△QCP 的形状做出猜想，并给予证明； （2）当QP ⊥AB 时，△QCP 的形状是 三角形；

（3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P 在线段AM 上运动到任何位置时，△QCP 一定是 三角形。

12、如图，割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为?

BC 的中点，OE 交BC 于F ，DE 交AC 于G ，∠ADG ＝∠AGD 。

（1）求证：AD 是⊙O 的切线；

（2）如果AB ＝2，AD ＝4，EG ＝2，求⊙O 的半径。

第11题图

C O

B

?

第12题图

D

E

F G C

B

A

第13题图

C

B

13、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝900，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的

圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，AD ＝2，AE ＝1，求BCD S ?。

14、如图，AB 是半圆（圆心为O ）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM 于C 。

（1）求证：CD 是半圆的切线；

（2）若AB 长为4，点D 在半圆上运动，设AD 长为x ，点A 到直线CD 的距离为y ，试求出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

第14题图

M O

D

C

B

?第15题图

T

E

P

O

C B

A

15、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 的半径AO 上运动， PC ⊥AB 交⊙O 于E ，PT 切⊙O 于T ，PC ＝2.5。

（1）当CE 正好是⊙O 的半径时，PT ＝2，求⊙O 的半径；

（2）设y PT =2

，x AC =，求出y 与x 之间的函数关系式；

（3）△PTC 能不能变为以PC 为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC 的面积；若不能，请说明理由。