2020年广西玉林市中考数学试卷及答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确答案的标号填(涂)在答题卡内相应的位置上. 1.(3分)(2020?泸州)2的倒数是( ) A .1
2
B .?1
2
C .2
D .﹣2
2.(3分)(2020?玉林)sin45°的值是( ) A .1
2
B .
√2
2
C .
√32
D .1
3.(3分)(2020?玉林)2019新型冠状病毒的直径是0.00012mm ,将0.00012用科学记数法表示是( ) A .120×10﹣
6
B .12×10﹣3
C .1.2×10﹣4
D .1.2×10﹣
5
4.(3分)(2020?玉林)如图是由4个完全相同的正方体搭成的几何体,则( )
A .三视图都相同
B .俯视图与左视图相同
C .主视图与俯视图相同
D .主视图与左视图相同
5.(3分)(2020?玉林)下列计算正确的是( ) A .8a ﹣a =7
B .a 2+a 2=2a 4
C .2a ?3a =6a 2
D .a 6÷a 2=a 3
6.(3分)(2020?玉林)下列命题中,其逆命题是真命题的是( ) A .对顶角相等
B .两直线平行,同位角相等
C .全等三角形的对应角相等
D .正方形的四个角都相等
7.(3分)(2020?玉林)在对一组样本数据进行分析时,小华列出了方差的计算公式:s 2=
(2?x)2
+(3?x)2
+(3?x)2
+(4?x)
2
n
,由公式提供的信息,则下列说法错误的是( ) A .样本的容量是4 B .样本的中位数是3
C .样本的众数是3
D .样本的平均数是3.5
8.(3分)(2020?玉林)已知:点D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 的中点,如图所示.
求证:DE ∥BC ,且DE =12
BC .
证明:延长DE 到点F ,使EF =DE ,连接FC ,DC ,AF ,又AE =EC ,则四边形ADCF 是平行四边形,接着以下是排序错误的证明过程: ①∴DF ∥=
BC ;
②∴CF ∥=
AD .即CF ∥=
BD ;
③∴四边形DBCF 是平行四边形; ④∴DE ∥BC ,且DE =1
2BC . 则正确的证明顺序应是:( )
A .②→③→①→④
B .②→①→③→④
C .①→③→④→②
D .①→③→②→④ 9.(3分)(2020?玉林)如图是A ,B ,C 三岛的平面图,C 岛在A 岛的北偏东35°方向,B 岛在A 岛的北偏东80°方向,C 岛在B 岛的北偏西55°方向,则A ,B ,C 三岛组成一个( )
A .等腰直角三角形
B .等腰三角形
C .直角三角形
D .等边三角形
10.(3分)(2020?玉林)观察下列按一定规律排列的n 个数:2,4,6,8,10,12,…,若最后三个数之和是3000,则n 等于( ) A .499
B .500
C .501
D .1002
11.(3分)(2020?玉林)一个三角形木架三边长分别是75cm ,100cm ,120cm ,现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为60cm 和120cm 的两根木条.要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有( ) A .一种
B .两种
C .三种
D .四种
12.(3分)(2020?玉林)把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的解析式为y=﹣a(x﹣1)2+4a,若(m﹣1)a+b+c≤0,则m的最大值是()A.﹣4B.0C.2D.6
二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填在答题卡中的横线上.13.(3分)(2020?玉林)计算:0﹣(﹣6)=.
14.(3分)(2020?玉林)分解因式:a3﹣a=.
15.(3分)(2020?玉林)如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD菱形(填“是”或“不是”).
16.(3分)(2020?玉林)经过人民中路十字路口红绿灯处的两辆汽车,可能直行,也可能向左转,如果这两种可能性大小相同,则至少有一辆向左转的概率是.17.(3分)(2020?玉林)如图,在边长为3的正六边形ABCDEF中,将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处,此时边AD′与对角线AC重叠,则图中阴影部分的面积是.
18.(3分)(2020?玉林)已知:函数y1=|x|与函数y2=
1
|x|的部分图象如图所示,有以下结
论:
①当x<0时,y1,y2都随x的增大而增大;
②当x<﹣1时,y1>y2;
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2;
④函数y=y1+y2的最小值是2.
则所有正确结论的序号是.
三、解答题:本大题共8小题,满分共66分.解答应写出证明过程成演算步骤(含相应的文字说明).将解答写在答题卡上.
19.(6分)(2020?玉林)计算:√2?(π﹣3.14)0﹣|√2?1|+(√9)2. 20.(6分)(2020?玉林)解方程组:{x ?3y =?22x +y =3
.
21.(8分)(2020?玉林)已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围;
(2)若方程的两个不相等的实数根是a ,b ,求
a a+1
?
1
b+1
的值.
22.(8分)(2020?玉林)在镇、村两委及帮扶人大力扶持下,贫困户周大叔与某公司签订了农产品销售合同,并于今年春在自家荒坡上种植了A ,B ,C ,D 四种不同品种的果树苗共300棵,其中C 品种果树苗的成活率为90%,几个品种的果树苗种植情况及其成活情况分别绘制在如图图①和图②两个尚不完整的统计图中. (1)种植B 品种果树苗有 棵; (2)请你将图②的统计图补充完整;
(3)通过计算说明,哪个品种的果树苗成活率最高?
23.(8分)(2020?玉林)如图,AB 是⊙O 的直径,点D 在直径AB 上(D 与A ,B 不重合),CD ⊥AB ,且CD =AB ,连接CB ,与⊙O 交于点F ,在CD 上取一点E ,使EF =EC . (1)求证:EF 是⊙O 的切线;
(2)若D 是OA 的中点,AB =4,求CF 的长.
24.(8分)(2020?玉林)南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设.玉林良睦隧道是全线控制性工程,首期打通共有土石方总量为600千立方米,设计划平均每天挖掘土石方x千立方米,总需用时间y天,且完成首期工程限定时间不超过600天.
(1)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)由于工程进度的需要,实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米,工期比原计划提前了100天完成,求实际挖掘了多少天才能完成首期工程?
25.(10分)(2020?玉林)如图,四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且OA=
OB=OC=OD=√2
2AB.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)若H是边AB上一点(H与A,B不重合),连接DH,将线段DH绕点H顺时针旋转90°,得到线段HE,过点E分别作BC及AB延长线的垂线,垂足分别为F,G.设四边形BGEF的面积为s1,以HB,BC为邻边的矩形的面积为s2,且s1=s2.当AB=2时,求AH的长.
26.(12分)(2020?玉林)如图,已知抛物线:y1=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A,B两点(A 在B的左侧),与y轴交于点C.
(1)直接写出点A,B,C的坐标;
(2)将抛物线y1经过向右与向下平移,使得到的抛物线y2与x轴交于B,B'两点(B'在B的右侧),顶点D的对应点为点D',若∠BD'B'=90°,求点B'的坐标及抛物线y2的解析式;
(3)在(2)的条件下,若点Q在x轴上,则在抛物线y1或y2上是否存在点P,使以B′,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有符合条件的点P的坐标;
如果不存在,请说明理由.
2020年广西玉林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确答案的标号填(涂)在答题卡内相应的位置上. 1.(3分)(2020?泸州)2的倒数是( ) A .1
2
B .?1
2
C .2
D .﹣2
【解答】解:2的倒数是12
. 故选:A .
2.(3分)(2020?玉林)sin45°的值是( ) A .1
2
B .
√2
2
C .
√32
D .1
【解答】解:sin45°=√2
2
.
故选:B .
3.(3分)(2020?玉林)2019新型冠状病毒的直径是0.00012mm ,将0.00012用科学记数法表示是( ) A .120×10﹣
6
B .12×10﹣3
C .1.2×10﹣4
D .1.2×10﹣
5
【解答】解:0.00012=1.2×10﹣
4. 故选:C .
4.(3分)(2020?玉林)如图是由4个完全相同的正方体搭成的几何体,则( )
A .三视图都相同
B .俯视图与左视图相同
C .主视图与俯视图相同
D .主视图与左视图相同
【解答】解:如图所示:
,
故该几何体的主视图和左视图相同.
故选:D.
5.(3分)(2020?玉林)下列计算正确的是()
A.8a﹣a=7B.a2+a2=2a4C.2a?3a=6a2D.a6÷a2=a3
【解答】解:A.因为8a﹣a=7a,
所以A选项错误;
B.因为a2+a2=2a2,
所以B选项错误;
C.因为2a?3a=6a2,
所以C选项正确;
D.因为a6÷a2=a4,
所以D选项错误.
故选:C.
6.(3分)(2020?玉林)下列命题中,其逆命题是真命题的是()
A.对顶角相等
B.两直线平行,同位角相等
C.全等三角形的对应角相等
D.正方形的四个角都相等
【解答】解:A,其逆命题是:两个相等的角是对顶角,故是假命题;
B,其逆命题是:同位角相等,两直线平行,故是真命题;
C,其逆命题是:对应角相等的两个三角形是全等三角形.大小不同的两个等边三角形虽然对应角相等但不全等,故是假命题;
D,其逆命题是:四个角都相等的四边形是正方形,故是假命题;
故选:B.
7.(3分)(2020?玉林)在对一组样本数据进行分析时,小华列出了方差的计算公式:s 2=
(2?x)2
+(3?x)2
+(3?x)2
+(4?x)
2
n
,由公式提供的信息,则下列说法错误的是( ) A .样本的容量是4 B .样本的中位数是3
C .样本的众数是3
D .样本的平均数是3.5
【解答】解:由题意知,这组数据为2、3、3、4, 所以这组数据的样本容量为4,中位数为3+32
=3,众数为3,平均数为
2+3+3+4
4
=3,
故选:D .
8.(3分)(2020?玉林)已知:点D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 的中点,如图所示. 求证:DE ∥BC ,且DE =1
2
BC .
证明:延长DE 到点F ,使EF =DE ,连接FC ,DC ,AF ,又AE =EC ,则四边形ADCF 是平行四边形,接着以下是排序错误的证明过程: ①∴DF ∥=
BC ;
②∴CF ∥=
AD .即CF ∥=
BD ;
③∴四边形DBCF 是平行四边形; ④∴DE ∥BC ,且DE =1
2BC . 则正确的证明顺序应是:( )
A .②→③→①→④
B .②→①→③→④
C .①→③→④→②
D .①→③→②→④ 【解答】证明:延长D
E 到点
F ,使EF =DE ,连接FC ,DC ,AF , ∵点D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 的中点, ∴AD =BD ,AE =EC , ∴四边形ADCF 是平行四边形, ∴CF ∥=
AD .即CF ∥=
BD ,
∴四边形DBCF 是平行四边形, ∴DF ∥=
BC ,
∴DE∥BC,且DE=1
2BC.
∴正确的证明顺序是②→③→①→④,
故选:A.
9.(3分)(2020?玉林)如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东35°方向,B 岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西55°方向,则A,B,C三岛组成一个()
A.等腰直角三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等边三角形
【解答】解:如图,过点C作CD∥AE交AB于点D,
∴∠DCA=∠EAC=35°,
∵AE∥BF,
∴CD∥BF,
∴∠BCD=∠CBF=55°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=35°+55°=90°,
∴△ABC是直角三角形.
∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=90°﹣55°,=35°,
∵CD∥AE,
∴∠EAC=∠ACD=35°,
∴∠CAD=∠EAD﹣∠CAE=80°﹣35°=45°,
∴∠ABC=∠ACB﹣∠CAD=45°,
∴CA=CB,
∴△ABC是等腰直角三角形.
故选:A.
10.(3分)(2020?玉林)观察下列按一定规律排列的n个数:2,4,6,8,10,12,…,若最后三个数之和是3000,则n等于()
A.499B.500C.501D.1002
【解答】解:由题意,得第n个数为2n,
那么2n+2(n﹣1)+2(n﹣2)=3000,
解得:n=501,
故选:C.
11.(3分)(2020?玉林)一个三角形木架三边长分别是75cm,100cm,120cm,现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有()
A.一种B.两种C.三种D.四种
【解答】解:长120cm的木条与三角形木架的最长边相等,则长120cm的木条不能作为一边,
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm,ycm(x+y≤120),
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应,否则x、y有大于120cm,
当长60cm的木条与100cm的一边对应,则x
75=
y
120
=
60
100
,
解得:x=45,y=72;
当长60cm的木条与120cm的一边对应,则x
75=
y
100
=
60
120
,
解得:x=37.5,y=50.
答:有两种不同的截法:把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成
37.5cm、50cm两段.
故选:B.
12.(3分)(2020?玉林)把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的解析式为y=﹣a(x﹣1)2+4a,若(m﹣1)a+b+c≤0,则m的最大值是()
A.﹣4B.0C.2D.6
【解答】解:∵把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的解析式为y=﹣a(x﹣1)2+4a,
∴原二次函数的顶点为(1,﹣4a),
∴原二次函数为y=a(x﹣1)2﹣4a=ax2﹣2ax﹣3a,
∴b=﹣2a,c=﹣3a,
∵(m﹣1)a+b+c≤0,
∴(m﹣1)a﹣2a﹣3a≤0,
∵a>0,
∴m﹣1﹣2﹣3≤0,即m≤6,
∴m的最大值为6,
故选:D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填在答题卡中的横线上.13.(3分)(2020?玉林)计算:0﹣(﹣6)=6.
【解答】解:原式=0+6
=6.
故答案为:6.
14.(3分)(2020?玉林)分解因式:a3﹣a=a(a+1)(a﹣1).
【解答】解:a3﹣a,
=a(a2﹣1),
=a(a+1)(a﹣1).
故答案为:a(a+1)(a﹣1).
15.(3分)(2020?玉林)如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD是菱形(填“是”或“不是”).
【解答】解:如图,
∵AB ∥CD ,AD ∥BC , ∴四边形ABCD 是平行四边形, 作AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥DC 于点F , ∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起, ∴AE =AF ,
∴S 平行四边形ABCD =BC ?AE =DC ?AF , ∴BC =DC , ∴?ABCD 是菱形. 故答案为:是.
16.(3分)(2020?玉林)经过人民中路十字路口红绿灯处的两辆汽车,可能直行,也可能向左转,如果这两种可能性大小相同,则至少有一辆向左转的概率是 34
.
【解答】解:画树状图如下:
由树状图知,共有4种等可能结果,其中至少有一辆向左转的有3种等可能结果, 所以至少有一辆向左转的概率为3
4,
故答案为:3
4
.
17.(3分)(2020?玉林)如图,在边长为3的正六边形ABCDEF 中,将四边形ADEF 绕顶点A 顺时针旋转到四边形AD 'E 'F ′处,此时边AD ′与对角线AC 重叠,则图中阴影部分的面积是 3π .
【解答】解:∵在边长为3的正六边形ABCDEF中,∠DAC=30°,∠B=∠BCD=120°,AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA=30°,
∴∠ACD=90°,
∵CD=3,
∴AD=2CD=6,
∴图中阴影部分的面积=S四边形ADEF+S扇形DAD′﹣S四边形AF′E′D′,
∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处,
∴S四边形ADEF=S四边形AD′E′F′
∴图中阴影部分的面积=S扇形DAD′=30?π×62
360
=3π,
故答案为:3π.
18.(3分)(2020?玉林)已知:函数y1=|x|与函数y2=
1
|x|的部分图象如图所示,有以下结
论:
①当x<0时,y1,y2都随x的增大而增大;
②当x<﹣1时,y1>y2;
③y1与y2的图象的两个交点之间的距离是2;
④函数y=y1+y2的最小值是2.
则所有正确结论的序号是②③④.
【解答】解:补全函数图象如图:
①当x<0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小;
故①错误;
②当x <﹣1时,y 1>y 2; 故②正确;
③y 1与y 2的图象的两个交点之间的距离是2; 故③正确;
④由图象可知,函数y =y 1+y 2的最小值是2, 故④正确.
综上所述,正确的结论是②③④. 故答案为②③④.
三、解答题:本大题共8小题,满分共66分.解答应写出证明过程成演算步骤(含相应的文字说明).将解答写在答题卡上.
19.(6分)(2020?玉林)计算:√2?(π﹣3.14)0﹣|√2?1|+(√9)2. 【解答】解:原式=√2×1﹣(√2?1)+9 =√2?√2+1+9 =10.
20.(6分)(2020?玉林)解方程组:{x ?3y =?22x +y =3.
【解答】解:{x ?3y =?2①
2x +y =3②,
①+②×3得:7x =7, 解得:x =1,
把x =1代入①得:y =1, 则方程组的解为{x =1
y =1
.
21.(8分)(2020?玉林)已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k =0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若方程的两个不相等的实数根是a,b,求a
a+1?
1
b+1
的值.
【解答】解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴△=b2﹣4ac=4+4k>0,
解得k>﹣1.
∴k的取值范围为k>﹣1;
(2)由根与系数关系得a+b=﹣2,a?b=﹣k,
a a+1?
1
b+1
=
ab?1
ab+a+b+1
=
?k?1
?k?2+1
=1.
22.(8分)(2020?玉林)在镇、村两委及帮扶人大力扶持下,贫困户周大叔与某公司签订了农产品销售合同,并于今年春在自家荒坡上种植了A,B,C,D四种不同品种的果树苗共300棵,其中C品种果树苗的成活率为90%,几个品种的果树苗种植情况及其成活情况分别绘制在如图图①和图②两个尚不完整的统计图中.
(1)种植B品种果树苗有75棵;
(2)请你将图②的统计图补充完整;
(3)通过计算说明,哪个品种的果树苗成活率最高?
【解答】解:(1)300×(1﹣35%﹣20%﹣20%)=300×25%=75(棵).
故答案为:75;
(2)300×20%×90%=54(棵),
补全统计图如图所示:
(3)A 品种的果树苗成活率:84300×35%
×100%=80%,
B 品种的果树苗成活率:
6075
×100%=80%,
C 品种的果树苗成活率:90%,
D 品种的果树苗成活率:
51300×20%
×100%=85%,
所以,C 品种的果树苗成活率最高.
23.(8分)(2020?玉林)如图,AB 是⊙O 的直径,点D 在直径AB 上(D 与A ,B 不重合),CD ⊥AB ,且CD =AB ,连接CB ,与⊙O 交于点F ,在CD 上取一点E ,使EF =EC . (1)求证:EF 是⊙O 的切线;
(2)若D 是OA 的中点,AB =4,求CF 的长.
【解答】(1)证明:连接OF ,如图1所示: ∵CD ⊥AB ,
∴∠DBC +∠C =90°, ∵OB =OF , ∴∠DBC =∠OFB , ∵EF =EC , ∴∠C =∠EFC ,
∴∠OFB+∠EFC=90°,
∴∠OFE=180°﹣90°=90°,∴OF⊥EF,
∵OF为⊙O的半径,
∴EF是⊙O的切线;
(2)解:连接AF,如图2所示:∵AB是⊙O的直径,
∴∠AFB=90°,
∵D是OA的中点,
∴OD=DA=1
2OA=
1
4AB=
1
4
×4=1,
∴BD=3OD=3,
∵CD⊥AB,CD=AB=4,
∴∠CDB=90°,
由勾股定理得:BC=√BD2+CD2=√32+42=5,∵∠AFB=∠CDB=90°,∠FBA=∠DBC,
∴△FBA∽△DBC,
∴BF
BD =
AB
BC
,
∴BF=AB?BD
BC
=4×35=125,
∴CF=BC﹣BF=5?12
5
=135.
24.(8分)(2020?玉林)南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设.玉林良睦隧道是全线控制性工程,首期打通共有土石方总量为600千立方米,设计划平均每天挖掘土石方x千立方米,总需用时间y天,且完成首期工程限定时间不超过600天.
(1)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)由于工程进度的需要,实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米,工期比原计划提前了100天完成,求实际挖掘了多少天才能完成首期工程?
【解答】解:(1)根据题意可得:y=600 x,
∵y≤600,
∴x≥1;
(2)设实际挖掘了m天才能完成首期工程,根据题意可得:
600 m ?
600
m+100
=0.2,
解得:m=﹣600(舍)或500,
检验得:m=500是原方程的根,
答:实际挖掘了500天才能完成首期工程.
25.(10分)(2020?玉林)如图,四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且OA=
OB=OC=OD=√2
2AB.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)若H是边AB上一点(H与A,B不重合),连接DH,将线段DH绕点H顺时针旋转90°,得到线段HE,过点E分别作BC及AB延长线的垂线,垂足分别为F,G.设四边形BGEF的面积为s1,以HB,BC为邻边的矩形的面积为s2,且s1=s2.当AB=2时,求AH的长.
【解答】(1)证明:∵OA=OB=OC=OD,
∴AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形,
∵OA=OB=OC=OD=√2
2AB,
∴OA2+OB2=AB2,
∴∠AOB=90°,
即AC⊥BD,
∴四边形ABCD是正方形;
(2)解:∵EF⊥BC,EG⊥AG,
∴∠G=∠EFB=∠FBG=90°,
∴四边形BGEF是矩形,
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°,得到线段HE,∴∠DHE=90°,DH=HE,
∴∠ADH+∠AHD=∠AHD+∠EHG=90°,
∴∠ADH=∠EHG,
∵∠DAH=∠G=90°,
∴△ADH≌△GHE(AAS),
∴AD=HG,AH=EG,
∵AB=AD,
∴AB=HG,
∴AH=BG,
∴BG=EG,
∴矩形BGEF是正方形,
设AH=x,则BG=EG=x,
∵s1=s2.
∴x2=2(2﹣x),
解得:x=√5?1(负值舍去),
∴AH=√5?1.