若用以下表达式作为目标规划的目标函数

习 题

4.1 若用以下表达式作为目标规划的目标函数，其逻辑是否正确？为什么？

}max{)1(+-+d d }max{)2(+--d d }min{)3(+-+d d }min{)4(+--d d }max{)5(-+-d d }min{)6(-+-d d

4.2 用图解法解下列目标规划问题：

（1） ??

??

??

?=≥=-+=-+=-++++-+-+

-+-++

+-)

3,2,1(0,,,40401502..}

),2(,min{2133222111211323211i d d x x d d x d d x d d x x t s d P d d P d P i i （2） ????

?????=≥=-+=-+=-++=-+++++-+-+

-+-+

--

--+++)

4,3,2,1(0,,,15

3010040

..)}

5.1(,,),(min{214

42331222111214342312431i d d x x d d x d d x d d x x d d x x t s d d P d P d P d d P i i

4.3 用单纯形法解下列目标规划问题：

（1） ???

????=≥=-+=-+=-+++++-+

-+

-+-+

+-++-)3,2,1(0,,,1400

32500

5800..}

335(,,),(min{2133222111212343322111i d d x x d d x d d x d d x x t s d d P d P d P d d P i i

（2） ????

?????=≥=-+=-+=-++=-++++-+-+

-+-+

-+-

-+-)

4,3,2,1(0,,,45

7090

80

..}

),(,,min{214

4233122211121144332211i d d x x d d x d d x d d x x d d x x t s d P d d P d P d P i i

4.4 某成品酒有三种商标（红、黄、蓝），都是由三种原料酒（等级Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）兑制而成。三种等级的原料酒的日供应量和成本见表4—13，三种商标的成品酒的兑制要求和售价见表4—14 。决策者规定：首先必须严格按规定比例兑制各商标的酒；其

次是获利最大；再次是红商标的酒每天至少生产2000kg。试列出该问题的数学模型。

4.5 公司决定使用1000万元新产品开发基金开发A,B,C三种新产品。经预测估计，开发A,B,C三种新产品的投资利润率分别为5%、7%、10%。由于新产品开发有一定风险，公司研究后确定了下列优先顺序目标：

第一，A产品至少投资300万元；

第二，为分散投资风险，任何一种新产品的开发投资不超过开发金额的35%；

第三，应至少留有10%的开发基金，以备急用；

第四，使总的投资利润最大。

试建立投资分配方案的目标规划模型。

4.6 已知单位牛奶、牛肉、鸡蛋中的维生素及胆固醇含量等有关数据见表4—15 。如果只考虑这三种食物，并且设立了下列三个目标：

第一，满足三种维生素的每日最小需要量；

第二，使每日摄取的胆固醇最少；

第三，使每日购买食品的费用最少。

要求建立问题的目标规划模型。

表4-15

4.7 美林电器公司生产彩色电视机，公司有甲、乙两条生产线，甲生产线每h生产2台，乙生产线每h生产1.5台。甲、乙两条生产线每周正常工作时间都是40h。据估计，每台彩色电视机的利润是100元。公司经理有下列目标和优先权结构。

P：每周生产180台彩色电视机。

1

P：限制甲生产线的加班时间为10h。

2

P：保证甲、乙生产线的正常生产，避免停工（根据两条生产线的生产率不同给与不3

同的权）。

P：甲、乙两生产线的加班时间之和加以限制（根据加班的相对费用给予权，假定两4

队的代价是一样的。）

要求：（1）建立问题的目标规划模型。

（1）如果公司经理把每周获得利润19000元作为第1优先目标。上述4个目标往后顺延。问模型会怎样改变。

（2）如果公司经理只有一个利润最大的目标，同时要满足甲、乙两条生产线正常开工。重新建立目标规划模型。

4.8 金源公司生产三种产品，其整个计划期分为三个阶段。现需编制生产计划，确定各阶段各种产品的生产数量。

计划受市场需求、设备台时、财务资金、稀有材料供应、生产费用等方面条件的约束，有关数据如表4—16和表4—17所示。假设计划期初及期末各种产品的库存量皆为零。

表4—16 单位：台

表4—17

P：及时供货，保证需求，尽量减少缺货，并且第3种产品及时供货的重要性相当于1

第1种、第2种产品的2倍；

P：尽量使加工设备负荷均衡；

2

P：流动资金占用量不超过限额；

3

P：稀有材料消耗量不超过限额；

4

P：产品的库存费用不超过限额。

5

要求建立目标规划的模型。

MOP多目标规划

多目标规划 multiple objectives programming 数学规划的一个分支。研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为VMP。在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。1896年法国经济学家V.帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克尔、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。 1947年，J.冯·诺伊曼和O.莫根施特恩从对策论的角度提出了有多个决策者在彼此有矛盾的情况下的多目标问题。1951年，T.C.库普曼斯从生产和分配的活动中提出多目标最优化问题，引入有效解的概念，并得到一些基本结果。同年，H.W.库恩和A.W.塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题，引入库恩-塔克尔有效解概念，并研究了它的必要和充分条件。1963年，L.A.扎德从控制论方面提出多指标最优化问题，也给出了一些基本结果。1968年，A.M.日夫里翁为了排除变态的有效解，引进了真有效解概念，并得到了有关的结果。自70年代以来，多目标规划的研究越来越受到人们的重视。至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定义，所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。 化多为少 即把多目标规划问题归为单目标的数学规划（线性规划或非线性规划）问题进行求解，即所谓标量化的方法，这是基本的算法之一。 ①线性加权和法对于多目标规划问题（VMP），先选取向量 要求λi>0(i=1,2，…,m) 作各目标线性加权和

多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现

多目标线性规划的若干解法及MATLAB 实现 一．多目标线性规划模型 多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函 数,其数学模型表示为： 11111221221122221122max n n n n r r r rn n z c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x =+++??=+++?? ??=+++? （1） 约束条件为： 1111221121122222112212,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x +++≤??+++≤?? ??+++≤?≥?? （2） 若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。我们记:()ij m n A a ?=,()ij r n C c ?=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ， 12(,,,)T r Z Z Z Z = . 则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为: max Z Cx = 约束条件：0 Ax b x ≤?? ≥? （3） 二．MATLAB 优化工具箱常用函数[3] 在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为： ①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下 限和上限, fval 求解的x 所对应的值。 算法原理：单纯形法的改进方法投影法 ②.[x,fval ]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub ） fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束

Excel规划求解工具在多目标规划中的应用

Excel规划求解工具在多目标规划中的应用 摘要：多目标决策方法是从20世纪70年代中期发展起来的一种决策分析方法。该方法已广泛应用于人口、环境、教育、能源、交通、经济管理等多个领域。文章采用多目标决策方法中分层序列法的思想，应用excel的规划求解工具，对多目标规划问题进行应用研究，并以实例加以说明。 abstract： multi-objective decision method is a kind of decision analysis method from the mid 1970s. the method has been widely used in population， environment， education，energy， traffic， economic management， and other fields. this paper uses the lexicographic method of multi-objective decision method and makes some researches on the multi-objective problem using the excel solver tool and an example to illustrate. 关键词： excel规划求解；多目标规划；分层序列法 key words： excel solver；multi-objective programming；the lexicographic method 中图分类号：tp31 文献标识码：a 文章编号：1006-4311（2013）21-0204-02 0 引言 excel中的规划求解工具只能对单目标的问题进行求解。当遇到多目标问题时，可以把多目标问题先转化为单目标问题，然后求解。

§18运用目标达到法求解多目标规划

§18. 运用目标达到法求解多目标规划 用目标达到法求解多目标规划的计算过程，可以通过调用Matlab软件系统优化工具箱中的fgoalattain函数实现。 在Matlab的优化工具箱中，fgoalattain函数用于解决此类问题。其数学模型形式为： minγ F(x)-weight ·γ≤goal c(x) ≤0 ceq(x)=0 A x≤b Aeq x=beq lb≤x≤ub 其中，x，weight，goal，b，beq，lb和ub为向量；A和Aeq为矩阵；c(x)，ceq(x)和F(x)为函数。 调用格式： x=fgoalattain(F,x0,goal,weight) x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b) x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq) 134

x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2) [x,fval]=fgoalattain(…) [x,fval,attainfactor]=fgoalattain(…) [x,fval,attainfactor,exitflag,output]=fgoalattain(…) [x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda]=fgoalattain(…) 说明：F为目标函数；x0为初值；goal为F达到的指定目标；weight为参数指定权重；A、b为线性不等式约束的矩阵与向量；Aeq、beq为等式约束的矩阵与向量；lb、ub为变量x的上、下界向量；nonlcon为定义非线性不等式约束函数c(x)和等式约束函数ceq(x)；options中设置优化参数。 x返回最优解；fval返回解x处的目标函数值；attainfactor返回解x处的目标达到因子；exitflag描述计算的退出条件；output返回包含优化信息的输出参数；lambda返回包含拉格朗日乘子的参数。 例1：教材第6章第4节第二小节，即生产计划问题： 某企业拟生产A和B两种产品，其生产投资费用分别为2100元/t和4800元/t。A、B两种产品的利润分别为3600元/t和6500元/t。A、B产品每月的最大生产能力分别为5t和8t；市场对这两种产品总量的需求每月不少于9t。试问该企业应该如何安排生产计划，才能既能满足市场需求，又节约投资，而且使生产利润达到最大最。 135

多目标规划帕累托解算例

Pareto: In the single objective case, one attempts to obtain the best solution, which is absolutely superior to all other alternatives. 在单目标的情况下，一个试图以获得最佳的解决方案，这是绝对优于所有其他的替代品。 In the multiple objective case, there does not necessarily exist a solution that is best with respect to all objectives because of incommensurability and conflict among objectives. 在多个目标的情况下，不存在必然存在着一个解决方案，最好是不可通约性和目标之间的的冲突，因为所 有的目标。 There usually exist a set of solutions; nondominated solutions or Pareto optimal solutions, for the multiple objective case which cannot simply be compared with each other. 通常存在的一整套解决方案;非支配的解决方案或帕累托最优的解决方案，为多个目标的情况下，不能简单 地互相比较。 For a given nondominated point in the criterion space Z, its image point in the decision space S is called efficient or noninferior. A point in S is efficient if and only if its image in Z is nondominated. 对于一个给定的的标准空间z的非支配点，其形象在决定空间S点是所谓的效率或劣。非支配当且仅当其 在Z的形象是一个S点是有效的。 Definition 1: For a given point z0€Z, it is nondominated if and only if there does not exist another point z€Z such that, for the maximization case,where, z0 is a dominated point in the criterion space Z. Definition 2: For a given point x0€S, it is efficient if and only if there does not exist another point x€S such that, for the maximization case,where, x0 is inefficient.定义1：对于一个给定的点Z0属于Z，它非支配当 且仅当不存在另一点于属于z的，最大化的情况下，其中，Z0是在标准空间Z.的主导点 定义2：对于一个给定的点x0属于S，它是有效的当且仅当不存在另一点x属于S，最大化的情况下，其 中，X0是低效的。 Example 1: Two-objective (bicriteria) linear programming 例1：两个目标（bicriteria）线性规划 m ax We can observe that both regions are convex and the extreme points of Z are the images of extreme points of S. 我们可以观察到，这两个地区是凸的并且极端点的Z是极值点S的的图像。 The extreme points in the feasible region S of the decision space are shown in Fig. 4.1: 在可行区域的决策空间小号的极端点如图.4.1：

基于MATLAB的多目标线性规划_理想点法求解程序代码

%多目标线性规划的求解方法及MA TLAB实现 %利用理想点法求解 %eg： %max f1(x)=-3x1+2x2 %max f2(x)=4x1+3x2 %s.t.: 2x1+3x2<=18 % 2x1+x2<=10 % x1,x2>=0 %解：先对单目标求解 %1,求解f1(x)最优解的MA TLAB程序为 f1=[3;-2]; A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; lb=[0;0]; [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f1,A,b,[],[],lb) %结果输出为：x=0.0000 6.0000 最优解; fval =-12.0000 最优值; %exitflag = 1 收敛; output = iterations: 6 迭代次数; % algorithm: 'large-scale: interior point'所使用规则lambda.ineqlin %ans = % 0.6667 % 0.0000 lambda.lower %ans = % 4.3333 % 0.0000 %不等约束条件1以及第1个下界是有效的 pause %2,求解f2(x)最优解的MA TLAB程序为 f2=[-4;-3]; A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; lb=[0;0]; [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f2,A,b,[],[],lb) %结果输出为：x=3.0000 4.0000 最优解; fval =-24.0000 最优值; %即最优解是24 %于是得到理想点（12，24）。 pause %3,然后求如下模型的最优解 %min fi[f(x)]={[f1(x)-12]^2+[f2(x)-24]^2}^(1/2) %s.t.:… … … A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; x0=[1;1];