几何直观在小学数学运算定律教学中的应用

附件2：

【2012年东莞市小学数学教研会】参评教学论文

题目：几何直观在小学数学运算定律教学中的应用

姓名：莫衬平

单位：莞城中心小学

联系电话：139********

几何直观在小学数学运算定律教学中的应用

【摘要】

几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中新增的核心概念。小学数学中的运算定律是小学阶段的重要内容，但学生在理解和应用上有一定的困惑，特别是在应用运算定律进行简算时易出现混淆。借助几何直观的教学，了解知识的几何背景，帮助学生描述、理解运算定律；借助直观图形分析算式的意义，明确算理、辨别正误；借助直观图形引发学生思维的灵感，发现解题思路。几何直观在教学中的应用，不仅使学生更好的掌握知识，亦能使课堂教学活泼起来，激发学生的学习兴趣。

【关键词】几何直观运算定律理解思维

几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中新增的核心概念，它是指“利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”从这段话中，可以领悟到：几何直观是一种思维，这种思维由几何直观做向导；几何直观能启迪思路，使复杂问题简单化，抽象问题具体化；几何直观还能揭示知识的本质，找出知识间的关系，对学生的能力培养发挥着重要作用。

在小学四年级的运算定律教学中，借助几何直观教学，了解其几何背景，不仅帮助学生理解概念、分析及发现算式间的关系，亦能使课堂教学活泼起来，激发学生的学习兴趣，诱发对知识的进一步理解与运用。

一、借助几何直观，描述和理解运算定律

在小学，运算定律共有5条，虽然这5条运算定律并不复杂，但对于小学生来说还是比较抽象的，他们通常在表示方法上会写错，在应用上也会搞混。在教学运算定律的过程中，几乎所有的教材都是先通过具体的问题情景，从代数方面进行思考探索。具体做法：用不同的方法解决问题，通过计算，得出两种方法算出的结果是相等的，因而两个算式有相等关系；然后模仿等式的结构再列举一些算式，再通过计算说明算式结果相等，从而得出这样的结构的算式是相等的；最后观察等式结构归纳概括出规律。这种不完全归纳法对于小学领域的知识和几岁小学生的阅历当然是可行的。但也不能排除学生对知识的怀疑，在访谈中，不少

的学生理直气壮地提出疑问：左右两边的算式确实是变了，结果为什么会不变的呢？这是小学生典型的形象思维。

图形能以其生动的形象给人留下深刻的印象，更以其直观而让人信服。可以说，在数学中再没有什么别的东西比几何图形更容易进入人们脑海的了。所以，对于上面所出现的疑问，教师只用口头解释可能越让学生糊涂，借助学生熟悉的几何图形来描述或解释运算定律，那么收效就大为不同了。

教学片段：

当师生列举出若干例子后，师问：这样的算式能写完吗？用你喜欢的方式表达一下。

1．加法交换律

生：（用字母表示）a+b=b+a

师：从a+b到b+a，两道算式确实变了，为什么会是相等的呢？能有别的方法说明吗？（学生一时想不到方法，沉默）

老师出示线段图：

问：现在可以说明吗？

学生眼前一亮，无须解释，无须讨论，从图中可以直接洞察到：无论是a+b 或b+a线段的总长度不变，当然a+b=b+a。

2．加法结合律

老师提供任意三角形图：

师：请用多种方法求三角形的周长。

从图中可以看出，这个三角形的周长可用代数式表示为：(a+b)+c、a+(b+c)和(a+c) +b，从而(a+b)+c=a+(b+c)=(a+c) +b.

3．乘法交换律

乘法的规律有点复杂，笔者借助实物直观图再向抽象直观图过渡，让学生更好的理解定律的内涵：

图1 图2 图3 图4

教学中，让学生借助图描述：（图1）一行一行地数，每行4个，有3行，共有4×3个小圆；（图2）一列一列地数，每列有3个，有4列，共有3×4个，总个数不变，所以4×3=3×4。

（图3）3和4可以是一个长方形的长和宽，那么4×3和3×4都是这个长方形的面积。所以4×3=3×4。

同样的道理：（图4）a×b=b×a，交换两个因数的位置，积不变。

4．乘法结合律

直观图：

问：一共有多少个

按图（1）方法数：共有（3×2）×2 ，按图（2）方法数：共有3×（2×2）个。所以（3×2）×2=3×（2×2）。

同理，算出图（3）那样由C个小长方形组成的大长方形的面积可以：先a×b 算出一个小长方形的面积，再（a×b）×c算出大长方形的面积；也可以b×c 算出长方形的总长，再用a×（b×c）得出长方形的面积。因此：（a×b）×c=a×（b×c）

5．乘法分配律

如图：

师：请你根据上图说明a×(b+c)= a×b+a×c

以上述片段，借助生熟悉的几何直观图，形象地展示规律的内涵，使抽象的规律让学生真实地看到了，还有什么疑惑可言？正如《标准》所述“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象…..帮助学生理解数学”。同时，可以用这些简单的图形帮助学生记忆运算定律，深化理解运算定律。

（二）借助几何直观，分析算式的意义

学习运算定律后，教材安排了应用运算定律进行一些简便运算，学生由于过于关注“数”，因而对于结构相似的算式容易混淆，当然这是跟对题目的分析不无关系。如果只知一味的计算，或者死记一些结构，不知换一个思路，从几何直

观上想一想，就可能让学生走进错误的旋窝中，很难走出来。

案例一：178－(78+66) 去掉括号后学生写成178－78+66

师：下面两道算式你觉得相等吗？为什么？

178－(78+66)和178－78+66

大部分学生是通过计算来说明的，结果是当然有两种----相等与不等，对的还是对，错的还是错，谁也说服不了谁。

这时，老师提议：“用线段图表示这两道算式的意思吧，（在另一个班让学生用喜欢的图形表示出算式的意义），看看结果会是怎样的？”

生：表示结果的线段长度不一样的！第一幅图显示在一条线段中依次减去两条短线段，而第二幅图只是减去一条短线段，然后加上一条短线段。

当然不一样，178－(78+66)不等于178－78＋66；178－(78+66)而是与178－78－66相等。

案例二：用简便方法计算25×（4+8），学生写成：25×（4+8）=25×4＋8。

一看这个例子，你是否觉得很面熟呢？相信每一届的学生都会有这样的情况。那么，我们用什么方法尽量地减少学生这种错误的理解呢？就用这样一个小几何直观图：

师：还记得我们学习乘法分配律时用到的这个图形吗？现在想想两道算式所求的面积是否相同？

学生直接感知到25×（4+8）是整个长方形的面积，而25×4+8是一个面积加一条边长，或25×4个面积单位加8个面积单位，显然是不等了。

像这样的案例很多，对于关系较多、较复杂的算式，老师越是解释，学生可能越糊涂，用几何直观就能使问题简单化、形象化。更有意思的是，由于经常用这种方法分析问题，在学生的头脑中总会出现相关的图形，因此，对算式的理解更清晰了，在算式的运算中自觉地与几何图形结合起来，实现“数”与“形”的

完美统一。

（三）借助几何直观，发现算式间的关系

对算式的理解本来是比较抽象的，算式间的关系就更是抽象中的抽象了。所以在小学里，学生能计算、能知道算式的意思已经是很不错的，算式间的关系我们几乎不敢恭维。可是，在用几何直观来教学运算定律后，竟然会有惊喜出现。

在上面笔者用几何直观图帮助学生识别算式是否相等时，

学生大声说：老师我还发现178－(78+66)与178－78＋66相差2个66！

师：你怎么知道的？（惊讶）

生：有眼睛的人都会看到。

当时，笔者请他作解释，那学生走到黑板前在原图上画了两条虚线（如下图），接着全班响起了掌声。

笔者觉得挺有意思的，就来了个“一不做二不休”。让学生给这样结构的算式找出一般的关系。经过图例解释，得出：a－（b+c）与a－b＋c相差2c。这是意外收获，又一次体现出直观“未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”的作用。

又如：25×（4+8）与25×4＋8，学生通过左下图发现：25×（4+8）比

25×4＋8多24个8。

可能是有了以上的经验与观察习惯，在更为复杂的算式中，学生同样能找出两者的关系。

12÷2÷3与12÷2×3（右下图）

生1：从图中可以看出，两道算式结果不相等。

生2：我还发现12÷2×3的结果是12÷2÷3是3×3倍！

生3：当算式中的“3”换成“1”时，两算式结果是相等的、还有“0”。

一位著名的拓扑学家曾经说过：“灵感往往来自几何”，我想这几何直观图给

学生不仅带来的灵感，挖掘了学生“从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理

想的能力”

几何直观能够启迪思路，帮助理解。因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方向。甚至可以说，只有做到直观上的理解，才是真正的理解。几何直观能让你从错综复杂的关系中，发现了简单而清晰的关系，找到了解决问题的方法，在这个过程中，不仅锻炼了你分析问题的能力，而且这个过程本身，也是一次愉快而美好的享受，其乐无穷。

但是，运用几何图形直观地解决数学问题,这种意识学生绝不是与生俱有的。所以，它需要我们在日常的教学中，有意地、经常性地采用几何直观方法来分析问题，不断地进行渗透，不断地刺激学生，使学生逐步感受到这种方法的优越性，潜移默化地产生乐意尝试乃至主动运用和自学行为，最终形成几何直观的思维习惯。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准[M],北京师

范大学出版社.2011.