高一数学复习 二次函数
第四讲 二次函数
一．二次函数的定义和解析式 二次函数的解析式常见的三种形式：
①一般式：c bx ax ++=2y （a,b,c 是常数，且0≠a ） ②顶点式：k h x a +-=2)y （ （a,h,k 是常数，且0≠a ）
③交点式：))((21--=x x x a y （0≠a ，21x 、x 是抛物线与x 轴交点的横坐标） 例1．若()2
f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．
例2．若二次函数()2
f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，
则（） A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c ===
C ．3,6,11a b c ==-=
D ．3,12,11a b c ==-=
例3．若()()2
23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像关于x =1对称，则c =_______．
例4．若二次函数()2
f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，
且2212269
x x +=
，问该二次函数的图像由()()2
31f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 练习：（1）当m 取何值时，函数34)2(y +--=x x m m
是关于x 的二次函数？
（2）已知二次函数222
2
2
1
,21,2,2x y x y x y x y -==
-==，它们的图像的共同特点是（ ） A ．都关于原点对称，开口方向都向上 B ．都关于x 轴对称，y 随着x 的增大而增大
C ．都关于y 轴对称，y 随着x 的增大而减小
D ．都关于y 轴对称，顶点都是原点 （3）已知抛物线经过()()3,0,0,1-B A ,且对称轴为2=x ，试求该函数的的关系式。 二．二次函数的图象和性质： 1．单调性
例5．（1）若函数52
++=x mx y 在[2,)-+∞上是增函数，求m 的取值范围。
（2）已知函数()2
f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．
练习：（1）已知函数()2
42f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A ．3a ≥
B ．3a ≤
C ．3a <-
D ．3a ≤-
（2）已知函数()()2
15f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，那么()2f 的范围__ __.
2．图像及对称性
例6二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
A ．a <0，b <0，c >0，b 2－4ac >0;
B ．a >0，b <0，c >0，b 2－4ac <0;
C ．a <0，b >0，c <0，b 2－4ac >0;
D ．a <0，b >0，c >0，b 2
－4ac >0; 例7．已知函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )
例8．函数()2
f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()
1f
的大小关系是( ) A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-<
C ．()()()101f f f <<-
D ．()()()101f f f -<<
例9．已知函数)(|2|)(2
R x b ax x x f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；② 当
)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x =1对称；③ 若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a ，
＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2
b a -． 其中正确的序号是________． 练习：（1）二次函数b ax y +=2
与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为
( )
（2）指出函数2
23y x x =-++的单调区间．
（3）设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题： ①当c =0时，)(x f y =是奇函数； ②当b =0，c >0时，方程0)(=x f 只有一个实根； ③)(x f y =的图象关于点（0，c ）对
D ．
C ．
x y
O x
y
O
O
O x
y
x
y
A ．
B ．
称；④方程0)(=x f 至多有两个实根．提示：1,0b c =-=；()||f x x x x =-；显然方程
||0x x x -=有三个根，上述命题中正确的序号为 ．
3．二次函数平移问题
例10．已知k h x a y +-=2)(是由抛物线2
2
1x y -=向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线，求出k 、、h a 的值。
练习：抛物线c bx x y ++=2
图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322
--=x x y ，则b= 、c= 。 4．二次函数最值问题
例11．分别在下列范围内求函数322--=x x y 的最大值或最小值: （1）0 例12．求12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最大值和最小值。 例13．已知22)(2 +-=x x x f 在区间]1,[+t t 上的最小值为)(t g （1）求)(t g ； （2）做)(t g 图像并求最)(t g 小值。 例14．已知函数()2 23f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 A ．[)1,+∞ B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．(),2-∞ 练习:(1) 函数()2 ()2622f x x x x =-+-<<的值域是C A ．]2 2 3,20 [- B ．()20,4- C ．]29,20(- D ．)29,20(- (2)已知函数)22(44)(2 2 +-+-=a a ax x x f 在闭区间]2,0[上有最小值3，求实数a 的值。 5．恒成立问题 例15．已知函数2 ()3f x x ax a =++-，[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 例16．如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上. (1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD 边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为ym 2,当x 取何值时,y 的最大值是多少? 练习: 已知函数 f (x ) = lg (a x 2 + 2x + 1) ． (1)若函数 f (x ) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； (2)若函数 f (x ) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围． 练习题 1．若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( C ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 2．若f (x )＝x 2 －ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是( A ) A ．a >2或a <－2 B ．－2 C ．a ≠±2 D ．1 3．若f (x )＝x 2 －x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值为( B ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．与m 有关 4．已知函数f (x )＝x 2 ＋ax ＋b ，且f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72 )的大小关系是( A ) A ．f (52)＜f (1)＜f (72) B ．f (1)＜f (72)＜f (52) C ．f (72)＜f (1)＜f (52) D ．f (72)＜f (5 2)＜f (1) 5.当x ∈(1,2)时，不等式x 2 +mx+4＜0恒成立，则m 的取值范围是 )5,(--∞ . 6.已知函数f (x )＝x 2 －2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝__2______. 7．已知定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2 －2kx 的最大值为3，那么实数k 的值为 -3或1 8.若对于任意a ∈[-1,1], 函数f (x ) = x 2 + (a －4)x + 4－2a 的值恒大于零, 则x 的范围 是 , 9.若函数f(x)=|4x-x 2 |+a 有4个零点，求实数a 的取值范围___ __ 10．求下列二次函数的解析式： ①图象顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)； ②已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，且f (x ＋1)－f (x )＝2x . ③开口方向，形状与抛物线2 2 1x y -=相同且与x 轴交于A ()0,1-、B ()0,3两点． 11．已知函数2 ()23f x x ax =++,x ∈[－4,6]. ①当a ＝－2时，求()f x 的最值； ②求a 为何值时，使区间[－4,6]上单调； ③当a ＝1时，求(||)f x 的单调区间. 12.已知函数f (x )＝x 2 －4ax ＋2a ＋6(a ∈R)． ①若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值； ②若函数值为非负数，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ） ； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的 对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； [A 基础达标] 1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( ) A ． (0，5] B ．[0，5] C ．[5，9] D ．(0，9] 解析：选D.f (x )＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9(0≤x <5)，当x ＝2时，f (x )最大＝9；当x >0且x 接近5时，f (x )接近0，故f (x )的值域为(0，9]． 2．已知函数y ＝x 2－6x ＋8在[1，a )上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤3 B ．0≤a ≤3 C ．a ≥3 D ．10时，f (x )的对称轴为x ＝12a ，在????－∞，12a 上是递减的，由题意(－∞，2)?? ???－∞，12a ， 所以2≤12a ，即a ≤14 ，综上，a 的取值范围是????0，14. 4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12 ，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D. 5．设二次函数f (x )＝－x 2＋x ＋a (a <0)，若f (m )>0，则f (m ＋1)的值为( ) 高中数学常见函数图像1. 2.对数函数： 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ） A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3 高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18) 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 若a >b ，则下列正确的是( ) A. a 2>b 2 B. ac >bc C. ac 2>bc 2 D. a ?c >b ?c 2. 不等式?2x 2+x +3≤0的解集是( ) A. {x|?1≤x ≤3 2} B. {x|x ≤?1或x ≥3 2} C. {x|x ≤?3 2或x ≥1} D. {x|?3 2≤x ≤1} 3. 下列各函数中，最小值为2的是( ) A. y =x +1 x B. y =sinx +1 sin x ，x ∈(0,π 2) C. y =2√x 2+2 D. y =x ?2√x +3 4. 下列四个结论中正确的个数是( ) (1)对于命题p:?x 0∈R 使得x 02?1≤0，则?p:?x ∈R 都有x 2?1>0； (2)已知X ～N(2,σ2)，则P(X >2)=0.5 (3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ?=2x ?3； (4)“x ≥1”是“x +1 x ≥2”的充分不必要条件． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知集合A ={y |y =1 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∪B = A. (0,2) B. (?2,2) C. (?1,+∞) D. (?2,+∞) 6. 函数f(x)=?x 2+3x ?2a ，g(x)=2x ?x 2，若f(g(x))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取 值范围为 A. (?∞,?2] B. (?∞,?1] C. (?∞,0] D. (?∞,1] 7. 已知函数f(x)=xe x +1 2x 2+x +a ，g(x)=xlnx +1，若存在x 1∈[?2,2]，对任意x 2∈[1 e 2,e]， 都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A. [?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2] B. (?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2) C. [e ?3?2e 2,3 2] D. (e ?3?2e 2,3 2) 8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =4，A =π 3，则该三角形面积的最 大值是( ) A. 2√2 B. 3√3 C. 4√3 D. 4√2 高中数学常见函数图像 1.指数函数： 定义 函数 (0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 2.对数函数： 定义 函数 log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数 图象 1a > 01a << 定义域 (0,)+∞ 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数 x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y =x y O (1,0) 1 x =log a y x =x y O (1,0) 1 x =log a y x = 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 4. 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ? ?++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 高一数学第二单元一二次函数知识点及测试题 一次函数二次函数知识点： 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 1、已知01,1a b <<<-,则函数 x y a b =+的图像必定不经过………………………（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、函数 (0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（ ） 3、设1a >，函数x y a =的图像形状大致是（ ） 4、将指数函数()x f 的图象向右平移一个单位，得到如图的()x g 的图象， 则()=x f （ ） A B C D A. x ??? ??21 B. x ??? ??31 C. x 2 D. x 3 5、下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1，4/3] C ．[0，3/2) D ．[1,2] 6、已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）．（Ⅰ）若函数()f x 在[23]， 上的最大值与最 小值的和为2，（1）求a 的值；（2）将函数()f x 图象上所有的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数图象不经过第二象限，求a 的取值范围． 7、把函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象1C 向左平移一个单位，再把所得图象上每一个点的纵坐标扩大为原来的2倍，而横坐标不变，得到图象2C ，此时图象1C 恰与2C 重合， 则 a 为（） A ．4 B ．2 C ．1 2 D ．14 8、已知函数31()()log 5x f x x =-，若0x 是函数()y f x =的零点，且100x x <<， 则1()f x ( A ) A ．恒为正值 B ．等于0 C ．恒为负值 D ．不大于0 9、关于x 的方程0|34|2=-+-a x x 有三个不相等的实数根，则实数a 的 值是_________________。 10、已知关于x 的方程 012=-+-a x x 有四个不等根，则实数a 的取 值范围是________ 11、若存在负实数使得方程 11 2-=-x a x 成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．),2(+∞ B. ),0(+∞ C. )2,0( D. )1,0( 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：()n n a a =；当 n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时， (0) || (0) n n a a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y = 二次函数 1．解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且 2212269 x x += ，试问该二次函数的图像由()()2 31f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +?? = ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关 系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2 f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．）单调性 已知函数()2 2f x x x =-，()()2 2[2,4]g x x x x =-∈． (1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值． 变式1：已知函数()2 42f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是 A ．3a ≥ B ．3a ≤ C ．3a <- D ．3a ≤- x y O 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0 第1课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。 分析：将)(x f 配方，得顶点为???? ? ?--a b ac a b 4422，、对称轴为a b x 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值： ； （1）当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是a b ac a b f 4422 -= ?? ? ??-， )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 （2）当),(2m a b -∞∈- 时，)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f （3）当),(2+∞∈-n a b 时，)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f 当0 二次函数综合问题例谈 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知f x ax bx ()=+2 ，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2 ，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f . 1.指数函数 0(>=a a y x 且)1≠a 图像： 性质：恒过定点（0,1）； 当0=x 时，1=y ； 当1>a 时，y 单调递增，当)0,(-∞∈x 时，)1,0(∈y ；当),0(+∞∈x 时，),1(+∞∈y . 当10<=a x y a 且)1≠a 对数运算法则： N M MN a a a log log log += N M N M a a a log log log -= M n M a n a log log =)(R n ∈ N N a a =log （对数恒等式） a N N b b a log log log = （换底公式） 图像 x ) 1>(=a y x 性质：恒过定点（1,0）； 当1=x 时，0=y ； 当1>a 时，y 单调递增， 当)1,0(∈x 时，)0,(-∞∈y ；当),1(+∞∈x 时，),0(+∞∈y . 当10<a x ) 10(< 指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶 性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a ＞1时，图像在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，图像在R 上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法： 1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1). 因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2 1x,y=log 10 1x 的草图 《第一次测试：函数》 1 下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ） A 2x y = B x x y 2 = C )10(log ≠>=a a a y x a 且 D x a a y log = 2．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ） A ．2-≥b B ．2-≤b C ．2->b D ． 2-k B ．21 - 高一数学一次函数、二次函数练习题 一、选择题 1.已知一次函数23)2(2--+-=m m x m y ，它的图象在y 轴上的截距为4-，则m 的 值为（ ） A.4- B.2 C.1 D.2或1 2.已知一次函数y ＝kx ＋b ，x ＝1时，y ＝－2，且在y 轴上的截距为－5，那么它的解析式是（ ） A ．y ＝3x ＋5 B ．y ＝－3x －5 C ．y ＝－3x ＋5 D ．y ＝3x －5 3．一次函数k kx y -=，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过 （ ） A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 4.已知函数[]355,5y x x =-∈-，则其图象的形状为 （ ） A.一条直线 B.一条线段 C.一系列点 D.不存在 5.如果ab>0，bc<0，那么ax ＋by ＋c ＝0的图象的大致形状是 （ ） 6.二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如右图所示，则( ) A ．a>0，b>0 B ．a>0，c>0 C ．b>0，c>0 D ．a 、b 、c 均 小于0 7.函数()23f x ax bx =++在(],1-∞-上是增函数，在[)1,-+∞上是 减函数，则（ ） A.00b a ><且 B.20b a =< C.20b a => D.,b a 的符号不定 8.已知函数()()2123f x m x mx =-++为偶函数，则()f x 在区间()5,2--上是（ ） A.增函数 B.减函数 C.部分增部分减 D.无法确定单调性 9.若二次函数b x a ax x f +-=2242)(对任意的实数ｘ都满足)3()3(x f x f -=+，则实数ａ的值为 （ ） Ａ．23 Ｂ．－2 3 Ｃ．－３ Ｄ．３ §2.7函数的图象 1．描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域．(2)化简函数的解析式．(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)．(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换 (2)对称变换 ①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )．②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )．③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． ④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称 y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换 ①y ＝f (x )――――――――――――――――――――→ a >1，横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变 01，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0 概念方法微思考 1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？ 提示f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)． 2．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(x)，g(x)的关系是g(x)＝2b－f(2a －x)． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(×) (2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×) (3)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(×) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)题组二教材改编 2．函数f(x)＝x＋1 x的图象关于() A．y轴对称B．x轴对称 C．原点对称D．直线y＝x对称 答案C 解析函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选C. 3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是________．(填序号) 答案③高中数学二次函数分类讨论经典例题
人教版高一数学必修一基本初等函数解析
北师大版数学高一必修1练习 二次函数的性质
高中数学常见函数图像
高中数学必修1第二章基本初等函数测试题(含答案)人教版
高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18)-200708(解析版)
高中数学常见函数图像
高一数学函数一二次函数知识点测试题
高一数学函数图象练习题(精编)
高中数学基本初等函数知识点梳理
高一数学《二次函数》试题
高中常见函数图像及基本性质
高一数学《二次函数在闭区间上的最值》练习题
高中数学专题-二次函数综合问题例谈
高中数学常用函数图像及性质
高中函数图像大全
高中数学必修一《基本初等函数测试题》
高一数学一次函数二次函数练习题
高一数学函数的图象
- 高一数学二次函数的图像与性质
- 高一数学二次函数在闭区间上的最值练习题
- 高中数学二次函数知识点总结
- 高中数学二次函数分类讨论经典例题
- 高一数学二次函数题型复习总结
- 高一数学必修一二次函数练习题及
- 高一数学二次函数的图像
- 高一数学二次函数求最值
- 高中数学二次函数专题
- 高中数学专题-二次函数综合问题例谈
- 高一数学二次函数
- 高一数学二次函数的综合问题人教版.doc
- 高一数学 二次函数在闭区间上的最值课件
- 高一数学二次函数的综合问题人教版
- 高一数学二次函数的图像
- 高一数学二次函数图象及性质复习
- 高中二次函数知识点总结
- 高一数学函数一二次函数知识点测试题
- 高一数学二次函数题型复习总结
- 高一数学二次函数、最简分式函数