反比例函数知识点整理拓展及技巧讲解
第七章、反比例函数 (1)
一、反比例函数知识要点点拨 (1)
二,、典型例题 (2)
三、反比例函数中考考点突破 (8)
四、达标训练 (10)
(一)、基础.过关 (10)
(二)、综合.应用 (11)
五、分类解析及培优 (13)
(一)、反比例函数k的意义 (13)
(二)、反比例函数与三角形合 (14)
(三)、反比例函数与相似三角形 (15)
(四)、反比例函数与全等三角形 (15)
(五)、反比函数图像上四种三角形的面积 (15)
(六)、反比例函数与一次函数相交题 (19)
1、联手演绎无交点 (20)
2、联手演绎已知一个交点的坐标 (20)
3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布 (20)
4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标 (20)
(七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 (21)
(八)、与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧 (23)
六、拓展练习 (26)
练习(一) (26)
练习（二） (28)
练习(三) (32)
本章参考答案 (35)
第七章、反比例函数
反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。
一、反比例函数知识要点点拨
1、反比例函数的图象和性质：
2、反比例函数与正比例函数
(0)y kx k =≠的异同点：
二,、典型例题
例 1
下面函数中，哪些是反比例函数？
（1）3x y -
=；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.8
1=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）．
说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，x
k
y =
)0(≠k ，它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式，（4），（5）就是这两种形式．
x y
O
x
y
O
例 2在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．
(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）；
(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）；
(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）；
(9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 （ ）； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）．
答：
说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义． 例 3 已知反比例函数6
2
)2(--=a
x a y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式．
分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题． 解 因为6
2
)2(--=a
x a y 是反比例函数，且y 随x 的增大而减小，
所以???>--=-.02,
162a a 解得???>±=.
2,5a a
所以5=
a ，解析式为x
y 2
5-=
． 例4 （1）若函数2
2
)1(--=m
x m y 是反比例函数，则m 的值等于（ ）
A ．±1
B ．1
C ．3
D ．－1
（2）如图所示正比例函数0(>=k kx y ）与反比例函数x
y 1=的图像相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ．若A B C
?的面积为S ，则：
A ．1=S
B ．2=S
C ．3=S
D ．S 的值不确定
解：（1）依题意，得???-=-≠-,
12,
012m m 解得1-=m ．
故应选D ． （2）由双曲线x
y 1
=
关于O 点的中心对称性，可知：OBC OBA S S ??=．
∴12
1
22=?=??==?AB OB AB OB S S OBA ． 故应选A ．
例5 已知21y y y +=，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，当1=x 时，4=y ；当3=x 时，5=y ，求1-=x 时，y 的值．
分析 先求出y 与x 之间的关系式，再求1-=x 时，y 的值． 解 因为1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，
所以)0(,212
211≠=
=k k x
k y x k y ． 所以x
k
x k y y y 2121+=+=．
将1=x ，4=y ；3=x ，5=y 代入，得
??
?
??=+=+.531
3,42121k k k k 解得 ???
???
?
==.821,8
1121k k 所以x
x y 821
811+=
． 所以当1-=x 时，48
21
811-=--
=y ． 说明 不可草率地将21k k 、都写成k 而导致错误，题中给出了两对数值，决定了2
1k k 、的值．
例 6 根据下列表格x 与
（1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．
解：（1）图像如右图所示．
（2）根据图像，设)0(≠=
k x
k
y ，取6,1==y x 代入，得1
6k
=
． ∴6=k ． ∴函数解析式为)0(6
>=
x x
y ． 说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性． 例 7（1）一次函数1+-=x y 与反比例函数x
y 3
=
在同一坐标系中的图像大致是如图中的
（ ）
（2）一次函数12
--=k kx y 与反比例函数x
k
y =在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（ ）
解：1+-=x y 的图像经过第一、二、四象限，故排除B 、C ；又x
y 3
=的图像两支在第一、三象限，故排除D ．∴答案应选A ．
（2）若0>k ，则直线)1(2
+-=k kx y 经过第一、三、四象限，双曲线x
k
y =
的图像两支在第一、三象限，而选择支A 、B 、C 、D 中没有一个相符；若0 )1(2+-=k kx y 经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有C 正确．应 选C ． 例8， 已知函数2 4231-?? ? ?? +=m x m y 是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，求反比例函数的解析式． 解：因为y 是x 的反比例函数，所以1242 -=-m ，所以21= m 或.21 -=m 因为此函数图像在每一象限内，y 随x 的增大而减小 ，所以031>+m ，所以3 1 ->m ， 所以21=m ，所以反比例函数的解析式为.65 x y = 说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数x k y = )0(≠k ，当0>k 时， y 随x 增大而减小，当0 例 9 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米． （1）写出用高表示长的函数关系式；（2）写出自变量x 的取值范围； （3）当3=x 厘米时，求y 的值； （4）画出函数的图像． 分析 本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式． 解 （1）因为长方体的长为y 厘米，宽为5厘米，高为x 厘米， 所以1005=xy ，所以x y 20= ． （2）因为x 是长方体的高．所以0>x ．即自变量x 的取值范围是0>x ． （3）当3=x 时，3 2 6320== y （厘米） （4 描点画图如图所示． 例 10 已知力F 所作用的功是15焦，则力F 与物体在力的方向通过的距离S 的图象大致是（ ）． 说明 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系． 解 据S F W ?=，得15=S F ?，即S F 15 =，所以F 与S 之间是反比例函数关系，故选（B ）． 例11 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.3 2如果如下图所示放在桌上，对桌面的压强是Pa 200，翻过来放，对桌面的压强是多少？ 解：由物理知识可知，压力F ，压强p 与受力面积S 之间的关系是.S F p =因为是同一物体，F 的数值不变，所以p 与S 成反比例． 设下底面是0S ，则由上底面积是03 2 S ， 由S F p = ，且0S S =时，200=p ，有.20020000S S pS F =?== 因为是同一物体，所以0200S F =是定值．所以当03 2 S S = 时，).Pa (3003 220000 === S S S F p 因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是300帕． 说明：本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的． 例12 如图，P 是反比例函数x k y =上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式． 分析 求反比例函数的解析式，就是求k 的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解． 解 设P 点坐标为),(y x ． 因为P 点在第二象限，所以0,0> 又2=-xy ，所以2-=xy ．因为xy k =，所以2-=k ． 所以这个反比例函数的解析式为x y 2- =． 说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于x k y = 中的k ． 例13. 当n 取什么值时，1 22 )2(-++=n n x n n y 是反比例函数？它的图像在第几象限内？在 每个象限内，y 随x 增大而增大还是减小？ 分析 根据反比例函数的定义)0(≠= k x k y 可知，122)2(-++=n n x n n y 是反比例函数，必须且只需022 ≠+n n 且112 -=-+n n ． 解 1 22 )2(-++=n n x n n y 是反比例函数，则 ?????-=-+≠+,11, 0222n n n n ∴?? ?-==-≠≠. 10,20n n n n 或且即 1-=n ． 故当1-=n 时，1 22 )2(-++=n n x n n y 表示反比例函数：x y 1 - =．01<-=k ， ∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y 随x 的增大而增大． 三、反比例函数中考考点突破 1、（2010甘肃兰州）已知点（-1，1y ），（2，2y ），（3，3y ）在反比例函数 x k y 12--=的图像上. 下列结论中正确的是 A ． 321y y y >> B ．231y y y >> C ．213y y y >> D ． 132y y y >> 2、（2010 嵊州市）如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线x y 2 -=交于),(),,(2211y x B y x A 两 点,则122183y x y x -的值为( ) A.-5 B.-10 C.5 D.10 3、（2010四川眉山）如图，已知双曲线(0)k y k x = <经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 A ． 12 B ．9 C ．6 D ．4 4、（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数)0(>= x x k y 的图像上。正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数)0(>=x x k y 的图像又经过A 、E 两 点，则点E 的横坐标为__________。 5、（2010内蒙赤峰）已知反比例函数x y 2 =，当－4≤x ≤－1时，y 的最大值是___________. 6、（2010 广西钦州市）反比例函数k y x = （k >0）的图象与经过原点的直线l 相交于A 、B 两点，已知A 点的坐标为（2，1），那么B 点的坐标为 ． 7、（2010广西南宁）如图7所示，点1A 、2A 、3A 在x 轴上，且32211A A A A OA ==,分别过点1A 、2A 、3A 作y 轴的平行线，与分比例函数)0(8 >= x x y 的图像分别 交于点1B 、2B 、3B ，分别过点1B 、2B 、3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C 、2C 、3C ，连 接1OB 、2OB 、3OB ,那么图中阴影部分的面积之和为 ． 8、（2010年山西15题）如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作y AB ⊥轴于点B ， 点P 在x 轴上，△ABP 面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。 【答案】x y 4= 9、（2010江苏盐城）如图，A 、B 是双曲线 y = k x (k >0) 上的点， A 、B 两点的横坐标 分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则 k= ． 10、（2010 福建德化）如图，直线43y x = 与双曲线k y x =（0x >）交于点A ．将 直线43y x =向下平移个6单位后，与双曲线k y x =（0x >）交于点B ，与x 轴交于点C ， 第6题 则C 点的坐标为___________；若2AO BC =，则k = ． 11、（2010福建南平）函数y= 4x 和y=1x 在第一象限内的图像如图，点P 是y= 4 x 的图像 上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=1 x 的图像于点B.给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面 积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA= 1 3AP. 其中所有正确结论的序号是______________. 四、达标训练 (一)、基础·过关 1．在反比例函数y= x 2 的图象上的一个点的坐标是（ ） A.（2，1) B.（－2，1) C.（2，21) D.（2 1 ,2） 2．对于函数y=x 3 ，下列判断正确的是（ ） A.图象经过点（－1，3） B.图象在第二、四象限 C.图象所在的每个象限内，y 随x 的增大而减小； D.不论x 为何值时，总有y ＞0 3．已知反比例函数y=x 6 的图象经过点（a ，b ），（c ，d ），且b ＜d ＜0，则a 与c 的大小关系是（ ） A.a ＞c ＞0 B.a ＜c ＜0 C.c ＞a ＞0 D.c ＜a ＜0 第11题 4．在反比例函数y= x k （k<0）的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1>x 2>0，则y 1－y 2的值为( ) A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 5．设反比例函数y= x m -3的图象上有两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），且当x 1<0 k 的图象上，则k=__________，在图象的每一支上，y 随x 的增大而_________. 7.若反比例函数y=x k 经过点（－1，2），则一次函数y=－kx+2的图象一定不经过第____象限. 8.正比例函数y=x 的图象与反比例函数y= x k 的图象有一个交点的纵坐标是2， 求：（1）x=－3时反比例函数y 的值；（2）当－3 6 2-a ，当x>0时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式. (二)、综合·应用 10．函数y=－ax ＋a 与y= x a -（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是图17－1－6中的（ ） 图17－1－6 11．在平面直角坐标系内，过反比例函数y= x k （k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为___________. 12.若函数y=(2m －1)x 与y= x m -3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是________. 13.在同一直角坐标系内，如果将直线y=－x+1沿y 轴向上平移2个单位后，那么所得直线 与函数y= x 2 的图象的交点共有几个？ 14.已知反比例函数y=x k 的图象经过点A （4，2 1 ），若一次函数y=x+1的图象平移后经过该 反比例函数图象上的点B （2，m ），求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标. 15、三个反比例函数:(1)y= x k 1;（2）y=x k 2;（3）y=x k 3在x 轴上方的图象如图17－1－7所示，由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系是________. 15题图 16题 图 16、两个反比例函数y= x 3,y=x 6 在第一象限内的图象如图17－1－8所示，点P 1，P 2，P 3，…，P 2 005在反比例函数y=x 6 的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2 005，纵坐 标分别是1，3，5，…，共2 005个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 分别作y 轴的平行线，与y= x 3 的图象的交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2 005（x 2 005，y 2 005），则y 2 005=____________. 17、如图17－1－9所示，已知直线y 1=x+m 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线y 2=x k （k<0）分别交于点C 、D ，且C 点坐标为（－1，2）. （1）分别求直线AB 与双曲线的解析式； （2）求出点D 的坐标； （3）利用图象直接写出当x 在什么范围内时，y 1>y 2. 17题 图 18．已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=x 8 的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2，求： （1）一次函数的解析式；（2）△AOB 的面积. 五、分类解析及培优 (一)、反比例函数k 的意义 代数意义：给出反比例函数图象上一点坐标（x 、y ），则k=xy （1） 当x 、y 变为-x 、-y 时，k 不变，可知双曲线的两支关于原点对称。 几何意义： （1）过反比例函数图象上一点分别作x 轴、y 轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的面积为 k （2）过图象上的任一点P 作x 轴(或y 轴)的垂线，连接OP ，则垂线段、OP 、x 轴(或y 轴)围成三角形的面积为 2 1k . （3）k ?0,双曲线的两支分别在一、三象限，在每一象限y 随x 的增大而减小；k ?0,双曲线的两支分别在二、四象限，在每一象限y 随x 的增大而增大； 我们抓住反比例函数 k 的意义可以快解题。 A 、 快得解析式 例1、某反比例函数的图象过点M （1,3）,则此反比例函数的解析式为＿＿＿＿。 解析：由代数意义知k=1×3=3则解析式为y=x 3 B 、 快判断点是否在图象上。 例2、在平面直角坐标系中有六个点A （1，5）,B （-3，-35）,C （-5,-1）D （-2，25），E （3，3 5）,F （ 2 5 ,2） 其中有五个点在同一反比例函数的图象上，不在这个反比例函数图象上的点是＿＿＿＿。 解析:由代数意义分别求出k ，除D 点的k=-5外，其它都为5，因而点D 不在这个反比例函数图象上 C 、快确定图象所在的象限 例3、已知反比例函数y= x k 的图象经过p(-1,2)，则这个函数的图象位于第_____象限。 解析: k=-1?2=-2，所以双曲线的两支分别在二、四象限。 D 、快比较大小 例4、若A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），C （3x ，3y ）是y=x k （k ?0） 上的三点，且1x ?2x ?0?3x ，则从小到大排列 1y 、2y 、3y 为_____ 解析: 1x ?2x ?0，k ?0，在第二象限，k ?0,y 随x 的增大而增 大，所以 1y ?2y ?0；0?3x ，k ?0，所以3y ?0 所以3y ?2y ?1y E 、快得图形的面积 例5、如图，直线y=mx 与y=x k 交于A 、B 两点，过A 作AM 垂直x 轴，垂足为M ，连接BM ，若k =2,则 S ABm ?=___. 解析：双曲线的两支关于 原点对称。所以O 为AB 的中点，又OAM S ?=1，则 S ABm ?=2. 例6、如图，y= x k 经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为_____ 解析：S △DOA=2 1 k ，四边形ECOF 的面积为k ，由 S △DOA+S DBCE 梯形=S 矩形ＡＢＣＯ，则2 1 k +3=2k ；解得k =2 F 、 快得图象上的两点与原点构成三角形面积。 如图1，由几何意义知S △COA=S △DOB,则不重叠的两部分面积相等。 例7、已知A （1,2），B （4,b ）在同一反比例函数的图象上，求S △AOB. 解析：由代数意义知y= x 2,b=2 1 ,如图2，过分别A 、B 作AD ⊥x 轴,BE ⊥x 轴,AD 交OB 于C,由几何意义知S △AOC=S 四边形BCDE 则S △AOB=S 梯形ABED = 21(21+2)（4-1）=21×2 5×3= 4 15 (二)、反比例函数与三角形合 反比例函数与不同的三角形结合，展示出许多趣味横生的妙题。本文对这一问题进行了归纳，仅供同学们学习时参考。 1、反比例函数与直角三角形 例1、如图1所示，P 是反比例函数y= 6 x 在第一象限分支上的一个动点，PA ⊥x 轴， 随着x 的逐渐增大，△APO 的面积将（ ） A 、增大 B 、减小 C 、不变 D 、无法确定 （09年德城）。 分析：设点P 的坐标是（a ，b ）， 所以ab=6，根据坐标与线段长度的关系，知道OA=a ，AP=b ， 所以，三角形AOB 的面积是： AO AP ??21=2 1 ab=3， 因此，三角形的面积是不变的定值。解：选C 。 2、反比例函数与底边是定长的动态三角形 例2、如图2，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是 双曲线3 y x = （0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时， OAB △的面积将会：A ．逐渐增大 B ．不变 C ．逐渐减小 D ．先增大后减 小（兰州市2009年） 分析：三角形OAB 的面积是： 2 1 ×OA ×h ，因为，点A 是x 轴正半轴上的一个定点， 所以，OA 是一个定长，所以，三角形OAB 的面积有OA 上的h 决定，而这里的h 恰好是点B 的纵坐标，根据反比例函数的性质，当k 大于0时，y 随x 的增大而减小， 所以，当点B 的横坐标增大时，其纵坐标将逐渐减小。解：选C 。 (三)、反比例函数与相似三角形 例3、如图3所示，在直角坐标系中，△OBA ∽△DOC ，边OA 、OC 都在x 轴的正半轴上， 点B 的坐标为（6，8），∠BAO =∠OCD =90°，OD =5．反比例函数(0)k y x x =>的图象经过点D ，交AB 边于点E ．（1）求k 的值．（2）求BE 的长．（09年长春市） 分析： 解答时，要用好相似三角形的性质，处理好线段长与点的坐标的关系。这是问题获得解决的两个关键点。 解：（1）因为，△OBA ∽△DOC ， 所以，OC BA DC OA =因为，B (6，8)，∠BAO =90?，所以，84 63OC DC ==． 在Rt △COD 中，OD =5，所以，OC =4，DC =3．所以，D (4，3)． 因为，点D 在函数k y x =的图象上，所以，34k =．所以，12k =． （2）因为，E 是12(0)y x x =>图象与AB 的交点，所以，AE =12 6 =2．所以，BE =8－2=6． (四)、反比例函数与全等三角形 例4、如图4所示，在平面直角坐标系中，直线AB 与Y 轴和X 轴分别交于点A 、点8，与反比例函数y= x m 在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，n)．过点C 作CE 上y 轴于E ， 过点D 作DF 上X 轴于F ． (1)求m ，n 的值；(2)求直线AB 的函数解析式；(3)求证：△AEC ≌△DFB ． 分析： (五)、反比函数图像上四种三角形的面积 反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。 A 、三角形面积的四个结论 结论1、过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。 如图1所示， 设P （a ，b ）是反比例函数y= x k （k ≠0）图像上的一点，过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ，三角形PAO 的面积是S ，则|k|=2S 。 结论2、过反比例函数图像上一点，向y 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。 如图2所示， 设P （a ，b ）是反比例函数y= x k （k ≠0）图像上的一点，过点P 作PB ⊥y 轴，垂足为B ，三角形PBO 的面积是S ，则|k|=2S 。 结论3、正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y= x k （k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。如图3所示。 证明1： 因为，正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与 反比例函数y= x k （k ＞0）的图像交于A 、B 两点， 所以， x k x k 1=，所以，x=±111k kk k k =， 当x= 1 1k kk 时，y= k 1x=1kk ，所以，点A 的坐标是（ 1 1k kk ， 1kk ）， 当x =- 1 1k kk 时，y= k 1x =-1kk ，所以，点B 的坐标是（- 1 1k kk ，-1kk ），所以，OC 的长度是 1 1k kk ，三角形ABC 的面积=三角形AOC 的面积+三角形BOC 的面积 = 21×OC ×AC+2 1 ×OC ×BD = 21×11k kk ×1kk +21×11k kk ×|-1kk | = 21k+2 1 k=k 。所以，与k 1无关。 证明2、根据结论1，知道三角形AOC 的面积是 2 1k ， 三角形BOC 的面积=21×OC ×BD 2 1 1 1k kk |-1kk |= 2 1 k ， 所以，三角形ABC 的面积= k 。 结论4、正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y= x k （k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，过B 点作BC ⊥y 轴，两线的交点是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。如图4所示。 因为，正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与 反比例函数y= x k （k ＞0）的图像交于A 、B 两点， 所以， x k x k 1=，所以，x=±111k kk k k =， 当x= 11k kk 时，y= k 1x=1kk ，所以，点A 的（ 1 1k kk 1kk ）， 当x =- 1 1k kk 时，y= k 1x =-1kk ，所以，点B 的坐标是（-1 1k kk ，-1kk ）， 所以，OC 的长度是1 1k kk ，三角形ABC 的面积=三角形AOE 的面积+三角形BOD 的面积 +矩形ODCE 的面积 = 21×OE ×AE+2 1 ×OD ×BD+OD ×DC = 21×11k kk ×1kk +21×|-11k kk |×|-1kk |+11k kk ×|-1kk | = 21k+2 1 k+k=2k 。所以，与k 1无关。 B 、结论的具体应用 这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说明。 例1、如图5，若点A 在反比例函数(0)k y k x = ≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ．（08年巴中市） 分析：根据结论1，知道面积S 与k 之间有如下的关系：|k |=2S ，S=3，所以，|k |=6，所以，k=6或者k=-6，因为图像分布在二、四象限，所以，k ＜0，所以 k=-6.解：k =-6. 例2、两个反比例函数y= x k 和y=x 1 在第一象限内的图象，如图6所示，点P 在y=x k 的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交 y= x 1的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y=x 1的图象于点B ，当点P 在y=x k 的图象上运动时，以下结论： ① △ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点． 其中一定正确的是 （08年湖北省咸宁市） 分析：因为，点A 、B 都在反比例函数y= x 1 的图像上，根据结论1和结论2，知道; △ ODB 与△OCA 的面积相等,所以，①是正确的； 如图7所示，连接OP ， 根据结论1知道，三角形POC 的面积为21k ，是个常数，三角形OAC 的面积是2 1， 所以，三角形PAO 的面积是 21k-2 1 ，是个常数， 根据结论2知道，三角形POD 的面积为21k ，是个常数，三角形OBD 的面积是2 1 ， 所以，三角形PBO 的面积是21k-2 1 ，是个常数， 所以，四边形PBOA 的面积等于三角形PAO 的面积+三角形PBO 的面积=21k-21+21k-2 1 =k-1，是一个定值，所以②是正确的； 设点P 的坐标为（m ，n ），因为，点P 在k y x =的图象上，反比例函数在第一象限内， 所以，mn=k ，m ＞0，n ＞0，因为，PC ⊥x 轴于点C ，交1 y x =的图象于点A ， 所以，点A 的横坐标为m ，所以，点A 的纵坐标为m 1，即点A 的坐标为（m ，m 1 ）； 因为，PD ⊥y 轴于点D ，交1 y x =的图象于点B ，所以，点B 的纵坐标为n ，所以，点A 的横坐标为 n 1，即点B 的坐标为（n 1，n ），PA=PC-AC=n-m 1=m mn 1-,PB=PD-BD=m-n 1=n mn 1-， 分数的分子是相同的，但是，分母不同，只有当m=n 时，PA=PB 才能成立，所以，即③是 不正确的；当点A 是PC 的中点时，有PA=AC 即 m mn 1-=m 1 ，所以，mn=2，即k=2， 所以，点P 的坐标为（m ，m 2），即点B 的坐标为（2m ，m 2 ），所以，点B 是PD 的中 点，所以，当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．即④是正确的；因此，一定正 确的是①②④. 例3、如图8，一次函数1 22 y x = -的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)k y k x =>的图象于Q ，3 2 OQC S ?=， 则k 的值和Q 点的坐标分别为_________________________.（08年荆州市） 简析：根据结论1知道：因为k 是大于0的，所以，k=2S=2 × 23=3，即y=x 3 ，设Q 的坐标为（m ，n ），则mn 因为，一次函数1 22 y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ， 所以，点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，-2）， 所以，线段OA =4,因为，PC 为△AOB 的中位线， 所以，点C 是线段OA 的中点，所以，OC=2,即点Q 的横坐 标为m =2，所以，n=23，所以点Q 的坐标为（2，2 3 ）。 例4、如图9，反比例函数y=x 5 的图象与直线y=kx （k ＞0） 相交于A 、B 两点，AC ∥ BC ∥轴，则△ABC 的面积等 于 个面积单位。 简析：因为，反比例函数y= x 5 中k=5，根据结论4，所以，△ABC 的面积等于2k=10。本题的最大特点是吧，把几何中的三角形全等问题引入函数的图像中，充分体现数形的完美组合。 解：（1）因为，点c(1，6)在反比例函数y=x m 的图像上，所以，1×6=m ，所以，m=6， 因为，点D(3，n) 在反比例函数y= x m 的图像上，所以，3×n=6，所以，n=2； （2）设设直线AB 的解析式是y=kx+b ， 所以，? ??=+=+236b k b k ，解得：k=-2，b=8所以，直线AB 的解析式是y=-2x+8。 （3）因为，直线AB 的解析式是y=-2x+8，令x=0，得y=8，即直线与y 轴的交点坐标是（0， 8），即A 的坐标是（0，8），所以，OA=8,令y=0，得x=4，即直线与x 轴的交点坐标是（4，0），即B 的坐标是（4，0），所以，OB=4,又因为，点C(1，6)、点D(3，2)，所以，CE=1,OE=2,OF=3,DF=2,所以，AE=OA-OE=8-6=2,BF=OB-OF=4-3=1，因此，AE=DF ，CE=BF, 因为,∠AEC=∠DFB ＝90°,所以,△AEC ≌△DFB ． (六)、反比例函数与一次函数相交题 反比例函数与一次函数，就象一对孪生姐妹，在考题中常常是成对出现，且每次出场都具有不同的色彩。本文就给出四例，让同学们一起欣赏它们联手的精彩。 1、联手演绎无交点 例1、函数x k 1y -= 的图象与直线x y =没有交点，那么k 的取值范围是： A 、1k > B 、1k < C 、1k -> D 、1k -<(2008年扬州市) 分析：反比例函数y=x k （k ≠0）与正比例函数y=ax （a ≠0）要想没有交点，函数的图像必须不能分布在 相同的象限内，具体应满足如下的两种情形：①如果反比例函数的图像分布在一、三象限，则正比例函数的图像必须分布在二、四象限，即k ＞0，则a ＜0；②如果反比例函数的图像分布在二、四象限，则正比例函数的图像必须分布在一、三象限，即k ＜0，则a ＞0。 解：因为，函数x k 1y -= 的图象与直线x y =没有交点，且正比例函数的图像分布在一、三象限， 所以，反比例函数的图像必须分布在二、四象限，所以，1-k ＜0，所以，k ＞1，所以，选择A 。 2、联手演绎已知一个交点的坐标 例2、已知直线 mx y =与双曲线x k y = 的一个交点A 的坐标为（-1，-2）．则m =_____；k =____；它们的另一个交点坐标是______．（08梅州） 分析:函数的交点坐标，一定同时满足两个函数的解析式。这是骄傲点坐标的一个最大的特点。 所以，在具体的解答过程中，同学们只需把交点的坐标分别代入两个函数的解析式。 在求另一个交点的坐标时，建立起方程就可以。 解：因为，直线 mx y =与双曲线x k y = 的一个交点A 的坐标为（-1，-2），所以，-2=m ×（-1）,-2=1-k ， 解得：m=2，k=2，所以，函数的解析式分别是：y=2x 和y=x 2；令：2x=x 2 ，所以，x 2 =1，所以，x=-1，或 x=1；当x=1时，y=2，所以，另一个交点的坐标是（1，2）。 3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布 例3、已知反比例函数 y =x a (a ≠0)的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，则一次函数 y =-a x +a 的图象不经过．．． （ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 （08茂名） 分析：因为，反比例函数 y =x a (a ≠0)的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，所以，a ＞0，因 此，-a ＜0，所以，y=-ax+a 一定经过二、四象限，和第一象限，因此，函数的图像一定不经过的是第三象限。选C 。 4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标 例4、在平面直角坐标系xoy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数k y x = 的 反比例函数知识点归纳 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为， 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解 析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面 积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点； 当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意 义列函数解析式． （五）充分利用数形结合的思想解决问 题． 反比例函数知识点归纳 重点 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] .人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构 （二） （三）（二）学习目标 （四）1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反 比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数． （五）2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点． （六）3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题． （七）4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型． （八）5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法． （九）（三）重点难点 （十）1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用． （十一）2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． （十二）二、基础知识 （十三）（一）反比例函数的概念 （十四）1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； （十五）2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； （十六）3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （十七）（二）反比例函数的图象 （十八）在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （十九）（三）反比例函数及其图象的性质 （二十）1．函数解析式：（） （二十一）2．自变量的取值范围： （二十二）3．图象： （二十三）（1）图象的形状：双曲线． （二十四）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （二十五）（2）图象的位置和性质： （二十六）与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． （二十七）当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 反比例函数知识点总结 李苗 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比 例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 （k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时， x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系 数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数知识点总复习 一、选择题 1．如图，若直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()2 0y x x =- <交于点(),1A m ，则AOB V 的面积为（ ） A ．6 B ．5 C ．3 D ．1.5 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据题意求出A 点坐标，再求出一次函数解析式，从而求出B 点坐标，则问题可解. 【详解】 解：由已知直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()2 0y x x =-<交于点(),1A m ∴2 1m =- 则m=-2 把A （-2,1）代入到2y x n =-+，得 ()122n =-?-+ ∴n=-3 ∴23y x =-- 则点B （0，-3） ∴AOB V 的面积为1 32=32 ?? 故应选：C 【点睛】 本题考查的是反比例函数与一次函数的综合问题，解题关键是根据题意应用数形结合思想． 2．如图, 在同一坐标系中（水平方向是x 轴），函数k y x =和3y kx =+的图象大致是（ ） A．B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【详解】 解：A、由函数y=k x 的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确； B、由函数y=k x 的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误； C、由函数y=k x 的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误； D、由函数y=k x 的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误． 故选A． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 3．已知反比例函数 2 y x - =，下列结论不正确的是（） A．图象经过点（﹣2，1）B．图象在第二、四象限C．当x＜0时，y随着x的增大而增大D．当x＞﹣1时，y＞2 反比例函数知识点归纳 九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题 一、基础知识 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： 则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析 1．反比例函数的概念 （1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．y=3x B． C．3xy=1 D． （2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．B．C．D． 反比例函数知识点归纳和典型例题 （一）知识结构 （二）学习目标 1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数． 2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点． 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题． 4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型． 5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．（三）重点难点 1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用． 2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． 二、基础知识 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴 PBO的面积都是）． 于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 反比例函数知识点总结 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y = (k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①x k y = （0k ≠), ②1 kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠)； ⑸函数x k y = （0k ≠)与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。 (k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =,就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y = （0k ≠)中，只有一个待定系数，因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 知识点２用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = (0k ≠)中，只有一个待定系数，因此,只要一组对应值，就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值 0y ≠,所以它的图像与ｘ轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永 远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取; ②列表时选取的数值越多,画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线； ④画图像时,它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数知识点归纳和典型例题 知识点归纳 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称 点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三 角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线 与双曲线的关系： 当 时，两图象没有交点； 当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． 平面直角坐标系 1、定义： 1、定义： 平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。 2、各个象限内点的特征： 2、各个象限内点的特征： 第一象限：（+，+），点P（x，y），则x>0，y>0； 第二象限：（-，+），点P（x，y），则x<0，y>0; 第三象限：（-，- ），点P（x，y），则x<0，y<0; 第四象限：（+，-）， 点P（x，y），则x>0，y<0; 3、坐标轴上点的坐标特征： 3、坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零； y轴上的点，横坐标为零； 原点的坐标为（0，0）。 两坐标轴的点不属于任何象限。 4、点的对称特征： 4、点的对称特征： 已知点P（m, n）, 关于x轴的对称点坐标是（m，-n），横坐标相同，纵坐标相反; 关于y轴的对称点坐标是（-m, n），纵坐标相同，横坐标相反; 关于原点的对称点坐标是（-m, -n），横、纵坐标都相反。 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点P（x,y）的几何意义： 7、点P（x,y）的几何意义： 点P（x，y）到 x 轴的距离为 |y| ， 点P（x，y）到 y 轴的距离为 |x|。 点P（x，y）到坐标原点的距离为 8、两点之间的距离： 8、两点之间的距离： 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 1、解析式：() 0≠= k x k y 其他形式：①k xy = ②1 -=kx y 例1．下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y = （2）x y 2-=（3）xy ＝21（4）25+=x y （5）x y 23-=（6）31 +=x y 例2.当m 取什么值时，函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数？ 例3．函数2 2 )12(--=m x m y 是反比例函数，且它的图像在第二、四象限， m 的值是_____ 例4．已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5 （1） 求y 与x 的函数关系式 （2）当x ＝－2时，求函数y 的值 2.反比例函数图像上的点的坐标满足：k xy = 例1．已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为 例2．下列函数中，图像过点M （-2，1）的反比例函数解析式是( ) x y A 2.= 2 .B y x =- x y C 21.= x y D 21.-= 例3.如果点（3，－4）在反比例函数k y x =的图象上，那么下列各点中，在此图象上的 是（ ）A .（3,4） B . （－2，－6） C .（－2，6） D .（－3，－4） 例4.如果反比例函数x k y =的图象经过点（3，－1），那么函数的图象应在（ ） A ． 第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、二象限 D ．第三、四象限 二、反比例函数的图像与性质 1、基础知识 0>k 时，图像在一、三象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而减小； 0 一次函数知识点总结: 函数性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0） 当x增加m，k（x+m)+b=y+km, km/m=k。 2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 3.当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4.一次函数的图像：直线 5.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数 图像性质 1．作法与图形：通过如下3个步骤： （1）列表. （2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。 一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。 （3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）. 2．性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 4．k，b与函数图像所在象限： y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。 y=kx+b时： 当k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限； 当k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 当k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限； 当b>0时，直线必通过第一、二象限； 当b<0时，直线必通过第三、四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。 当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。 反比例函数 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称 （3）反比例函数与一次函数的联系． 第十七章 反比例函数 一、基础知识 1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y = 还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函 数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4 5. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用二、例题 【例1】如果函数2 22 -+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值 是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k y = ，（0≠k ） 即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0 反比例函数知识点归纳总结与典型例题 （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ；其中是y 关 于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24， (二)反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________； （2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x 6 -）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 例题讲解： 反比例函数的图象和性质： （1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ． （2）若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （3）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． （4）已知反比例函数2 y x -= 的图象上有两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且12x x <， 人教版初中数学反比例函数知识点 一、选择题 1．如图，一次函数1y ax b =+和反比例函数2k y x = 的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( ) A ．20x -<<或04x << B ．2x <-或04x << C ．2x <-或4x > D ．20x -<<或4x > 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】 观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<， 故选B ． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键. 2．如图，直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y ＝k x 的图象在第一象限相交于点C ．若AB ＝BC ，△AOB 的面积为3，则k 的值为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．18 【答案】C 【解析】 【分析】 设OB ＝a ，根据相似三角形性质即可表示出点C ，把点C 代入反比例函数即可求得k ． 【详解】 作CD⊥x轴于D， 设OB＝a，(a＞0) ∵△AOB的面积为3， ∴1 2 OA?OB＝3， ∴OA＝6 a ， ∵CD∥OB， ∴OD＝OA＝6 a ，CD＝2OB＝2a， ∴C(6 a ，2a)， ∵反比例函数y＝k x 经过点C， ∴k＝6 a ×2a＝12， 故选C． 【点睛】 本题考查直线和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键． 3．已知点A（﹣2，y1），B（a，y2），C（3，y3）都在反比例函数 4 y x 的图象上，且﹣ 2＜a＜0，则（） A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据k＞0，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可． 【详解】 ∵反比例函数y=4 x 中的k=4＞0， 反比例函数知识点梳理一 一、基础知识 1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y =还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 4. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① ② 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ③ ④ 描点（有小到大的顺序） ⑤ ⑥ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4．反比例函数性质如下表： k 的取值 图像所在象限 函数的增减性 o k > 一、三象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而减小 o k < 二、四象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而增大 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用 人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构 （二）学习目标 1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式 （k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数． 2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点． 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题． 4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型． 5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法． （三）重点难点 1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用． 2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． 二、基础知识 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，） 新人教版九年级数学下册第26章反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构 （二） （三）（二）学习目标 （四）1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数． （五）2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点． （六）3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题． （七）4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型． （八）5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法． （九）（三）重点难点 （十）1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用． （十一）2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． （十二）二、基础知识 （十三）（一）反比例函数的概念 （十四）1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； （十五）2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； （十六）3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（十七）（二）反比例函数的图象 （十八）在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （十九）（三）反比例函数及其图象的性质 （二十）1．函数解析式：（） （二十一）2．自变量的取值范围： （二十二）3．图象： （二十三）（1）图象的形状：双曲线． （二十四）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越 1 反比例函数的复习 一、反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 例1、（1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11 +=x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x = ；其中是y 关 于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2)2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 练习：（1）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （2）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （4）反比例函数(0k y k x = ≠）的图象经过（—2，5）和（2， n ）， 求（1）n 的值；（2）判断点B （24，2-）是否在这个函数图象上，并说明理由 （5）已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值． 二、反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________； （2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取 互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x 6 -）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 例题讲解： （一）反比例函数的图象和性质： 例2、（1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ． （2）若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （3）已知0k >，函数y kx k =+和函数k y x =在同一坐标系内的图象大致是（ ） （4）正比例函数2x y =和反比例函数2 y x =的图象有 个交点． （5）正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A （1，a ）， 则a ＝ ． 例3、（1）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． （2）已知反比例函数2 y x -= 的图象上有两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且12x x <， 则12y y -的值是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．不能确定 （3）若点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）和（3x ，3y ）分别在反比例函数2 y x =- 的图象上，且 1230x x x <<<，则下列判断中正确的是（ ） A ．123y y y << B ．312y y y << C ．231y y y << D ．321y y y << （4）在反比例函数x k y 1 += 的图象上有两点11()x y ，和22()x y ，， 若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是 ． （5）正比例函数y=k 1x(k 1≠0)和反比例函数y= 2 k x (k 2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________. （6）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质: 甲:函数的图象经过第二象限; 乙:函数的图象经过第四象限; 丙:在每个象限内,y 随x 的增大而增大. 请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: . （二）反比例函数与三角形面积结合题型。 例4、（1）矩形的面积为6cm 2 ，那么它的长y （cm ）与宽x （cm ）之间的函数关系用图象表示为（ ） o y x y x o y x o y x o x y O x y O x y O x y O A B C D初三数学反比例函数知识点归纳
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