高考复数知识点精华总结

复 数

1．复数的概念：

（1）虚数单位i ；

（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；

（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集

整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环

小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ??????=?????+∈????≠?≠??=??

3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算

若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，

（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；

（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；

（3）乘法：z1〃z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；

（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；

（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：

① n i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；

③ 若ω=-21+23

i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.

5．共轭复数与复数的模

（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).

（2）复数z=a+bi 的模|Z|=22a b +, 且2||z z z ?==a 2+b 2.

6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为

a+bi=c+di a c b d =???=?. 由这个定义得到a+bi=0

?00a b =??=?. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

4．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。

如(a+bi)(a －bi)= a 2+b 2

6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi ≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即22()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d ++-++-==++-+.

7．复数a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。

（二）典型例题讲解

1．复数的概念

例1．实数m 取什么数值时，复数z=m+1+(m －1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

（4）对应的点Z 在第三象限？

解：复数z=m+1+(m －1)i 中，因为m ∈R ，所以m+1，m －1都是实数，它们分别是z 的实部和虚部，

∴ （1）m=1时，z 是实数； （2）m ≠1时，z 是虚数；

（3）当1010m m +=??-≠?时，即m=－1时，z 是纯虚数；

（4）当1010m m +

例2．已知(2x －1)+i=y －(3－y)i ，其中x, y ∈R ，求x, y.

解：根据复数相等的意义，得方程组211(3)x y y -=??=--?，得x=25, y=4.

例4．当m 为何实数时，复数z ＝22232

25m m m ---+(m2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．

解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

（1）z 为实数，则虚部m2+3m －10=0，即

223100250m m m ?+-=?-≠?， 解得m=2，∴ m=2时，z 为实数。

（2）z 为虚数，则虚部m2+3m －10≠0，即223100250m m m ?+-≠?-≠?

， 解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数．22223203100250m m m m m ?--=?+-≠??-≠?，

解得m=－21, ∴当m=－21

时，z 为纯虚数．

诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．

例5．计算：i ＋i2＋i3+ (i2005)

解：此题主要考查in 的周期性．

或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住in 的周期及合理分组．

例8．使不等式m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m ＝ . 解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．

∵ m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，

∴2221030430m m m m m ?

当m ＝3时，原不等式成立．

诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

例9．已知z=x ＋yi(x ，y ∈R)，且

222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，求z ． 解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．

∵ 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y +?-=?=-?，∴32x y xy +=??=?，

解得21x y =??=?或12x y =??=?, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ．

诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）

例10．已知x 为纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y)i ，求x 、y 的值．

解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i 的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法． 设x ＝ti (t ∈R ，且t ≠0），则2x －1＋i ＝y －(3－y)i 可化为

2ti －1＋i ＝y －(3－y)i ，即(2t ＋1)i －1=y －(3－y)i ，

∴21(3)1t y y +=--??-=?, ∴y=－1, t=－25, ∴ x=－25i.

2．复数的四则运算

例1．计算：

（1）22(1)(1)(1)n

n i i -+-，n ∈N+；

（2）若ω=－21+23i ，ω3=1，计算6633()()22i i +-++；

（3）2(32)(52)(53)(23)(25)

i i i i i +++--；

（4）S=1+2i+3i2+4i3+ (100i99)

解：（1）22(1)(1)(1)n n i i -+-=2

212(1)2[](1)()(2)(1)2(1)2n n n i i i i i i i ++?-=?-=-?-- =221,22,i n k k N i n k k N +

+?=-∈?-=∈?.

=－2.

（3）由于3223i i i +=-, 5225i i

i +=-,

∴

2

(32)(52)(53)(23)(25)i i i i i +++--=222|(53)||(53)|(53)i i i i ??+=+=+ =8.

（4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99

=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99) =(1+2i －3－4i)+(5+6i －7－8i)+……+(97+98i －99－100i)

=25(－2－2i)=－50－50i.

例2．已知复数z 满足|z －2|=2，z+4

z ∈R ，求z.

解：设z=x+yi, x, y ∈R ，则 z+4z =z+22222244()44()z x yi x y x yi x y i zz

x y x y x y -=++=++-+++， ∵ z+4z ∈R ，∴

224y y x y -+=0， 又|z －2|=2, ∴ (x －2)2+y2=4, 联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，

当y ≠0时, 13x y =???=±?

?, z=1±3, ∴ 综上所得 z1=4，z2=1+3i ，z3=1－3i.

例3．设z 为虚数，求证：z+1

z 为实数的充要条件是|z|=1.

证明：设z=a+bi (a, b ∈R ，b ≠0)，于是 z+1z =(a+bi)+2222221()()a bi a b a bi a b i a bi a b a b a b -=++=++-++++,

所以b ≠0, (z+1z )∈R ?b －22b

a b +=0?a2+b2=1?|z|=1.

例4．复数z 满足(z+1)(z +1)=|z |2，且1

1z z -+为纯虚数，求z.

解：设z=x+yi (x, y ∈R)，则 (z+1)(z +1)=|z |2+z+z +1=|z |2，∴ z+z +1=0，z+z =－1，x=－21.

11z z -+=22(1)(1)||1(1)(1)|1|z z z z z z z z -++--=+++=2221

|1|x y x yi x yi z +++-+-+为纯虚数，

∴ x2+y2－1=0, y=±23, ∴ z=－21+23i 或z=－21－23

i.

整理得(4x －12y)－(8x+2y)i=4－34i.

∴ 41248234x y x y -=??+=?, 解得41x y =??=?, ∴ z=4+i.

例6．设z 是虚数，ω=z+1

z 是实数，且－1<ω<2，

（1）求|z|的值及z 的实部的取值范围；（2）设u=11z

z -+，求证u 为 纯虚数；

（3）求ω－u2的最小值。

解：（1）设z=a+bi (a, b ∈R, b ≠0)，则

ω=

2222()()a b a b i a b a b ++-++，由于ω是实数且b ≠0，∴ a2+b2=1， 即|z|=1，由ω=2a, －1<ω<2, ∴ z 的实部a 的的取值范围是(－21

, 1).

（2）u=11z z -+=222211221(1)1a bi a b bi bi a bi

a b a -----==-+++++，由于a ∈(－21

, 1), b ≠0， ∴ u 是纯虚数。

（3）ω－u2=2a+

22221122221(1)(1)11b a a a a a a a a a --=+=-=-+++++ =

12[(1)]31a a ++-+, 由于a ∈(－21

, 1)，∴ a+1>0，则ω－u2≥2×2－3=1，

当a+1=1

1a +, 即a=0时，上式取等号，所以ω－u2的最小值为1.

例7．证明：i z

i z +-＝1．

解：此题考查复数的运算、模的定义，共轭复数的性质等．

设z ＝a ＋bi ，(a, b ∈R)，则 i z

i z +-=2222(1)(1)1(1)(1)a b i a bi a b i i a bi a b i a b +-+-+-===---+-+-.

解2：∵ i z i z i z +=+=-+，∴ i z i z +-=()1i z i z i z i z -+--==--.

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高考文科数学知识点总结

原命题若p 则q 逆命题 若q 则p 互为逆否 互 逆否互 为逆 否否 互 集合与简易逻辑 知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论； 2 （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反；

（2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 函数 知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 4. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： 指数函数与对数函数 指数函数及其性质 2 212221212 2 2 22121) ()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-= +- += -）（

2020年高考语文必背知识点汇总(精选)

2020年高考语文必背知识点汇总（精选） 高考语文必背知识点：文学常识及名段名句 文学常识： ①朱自清(1898～1948)，原名自华，字、，号秋实。祖籍浙江绍兴。朱自清是诗人、散文家、学者，又是民主战士、爱国知识分子。毛泽东称他“、”。 ②郁达夫(1896～1945)，原名郁文，现代小说家、散文家，浙江富阳人。1922年与郭沫若、成仿吾等组织了“创造社”。1930年参加中国左翼作家联盟。主要作品有短篇小说《沉沦》《、》等，在不同程度上揭露了旧社会的罪恶，向封建道德大胆挑战，有一定的积极意义，但也有颓废色彩。散文以游记著称，情景交融，自成一家。 ③陆蠡(1908—1942)现代散文作家、翻译家。他以散文诗集《海星》步上文坛，崭露头角。后来又出版了散文集《竹刀》和《、》。太平洋战争爆发后，日军进驻上海租界，由于在沦陷后的上海坚守文化工作岗位，他于1942年4月13日被捕，刑审数月，惨遭杀害，时年34岁。 名段名句 (1)曲曲折折的荷塘上面，弥望的是田田的叶子。……遮住了，不能见一些颜色;而叶子却更见风致了。(学习作者运用的比喻、排比

和通感的修辞手法，并学习合理安排描写顺序。平时养成细心观察周围事物的习惯。) (2)秋天，无论是什么地方的秋天，总是好的;可是啊，北国的秋，却特别地来得清，来得静，来得悲凉。(学会使用“文眼”，总领全文。) (3)南国之秋，当然是也有它的特异的地方的，譬如廿四桥的明月，钱塘江的秋潮，普陀山的凉雾，荔枝湾的残荷等等，可是色彩不浓，回味不永。比起北国的秋来，正像是黄酒之与白干，稀饭之与馍馍，鲈鱼之与大蟹，黄犬之与骆驼。(学会使用对比的手法，突出要描写的事物。) (4)从槐树叶底，朝东细数着一丝一丝漏下来的日光，或在破壁腰中，静对着像喇叭似的牵牛花的蓝朵，自然而然地也能感觉到十分的秋意。说到了牵牛花，我以为以蓝色或白色者为佳，紫黑色次之，淡红者最下。最好，还要在牵牛花底，教长着几根疏疏落落的尖细且长的秋草，使作陪衬。(描写景物要细致，要有自己的主观感受。) 高考语文必背知识点：字词、成语 字词：沉闷、梦幻、嫦娥、诞生、落伍、翌年、酝酿、苛刻、横亘、辉煌、蓊蓊郁郁、弥望、袅娜、羞涩、渺茫

高考复习函数知识点总结

高考复习 函数知识点总结 一．函数概念的理解以及函数的三要素 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则（函数关系式）也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ； 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ； 满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [,)a b ，(,]a b ； 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b < ． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① 分式的分母不为0； ② 偶次根式下被开方数大于0； ③ 0y x = ，则有0x ≠ ； ④ 对数函数的真数大于0，底数大于0切不等于1 注意：①解析式为整式的函数定义域为R ； ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则

其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集； ③对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知() f x的定义域 为[,] a g x b ≤≤解出． f g x的定义域应由不等式() a b，其复合函数[()] （4）求函数的值域或最值 常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=，则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时，由于,x y为实数，故必须有 2()4()()0 ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值． b y a y c y ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代 数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的 值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． （5）函数解析式 ①换元法；（用于求复合函数的解析式） ②配凑法；（用于求复合函数的解析式）

(完整版)名词单复数总结,推荐文档

小学英语不规则名词单复数 一般情况下，直接加s，如：apple-apples, pig-pigs, book-books等。 一、以f 和fe结尾的单词规则：变f或fe为“ves”。 单数复数词义单数复数词义wolf wolves狼wife wives妻子，太太half halves半个knife knives小刀，刀子calf calves小牛life lives（个人的）性命sheaf sheaves捆，束，扎thief thieves贼 leaf leaves叶子 二、结尾是o的单数词，无生命的，加s就成复数词 单数复数词义单数复数词义piano pianos钢琴photo photos照片，相片radio radios收音机bamboo bamboos竹子 zoo zoos动物园kangaroo kangaroos 袋鼠 三、结尾是o的有生命力的词，一般加“es”口诀：黑人英雄吃西红柿马铃薯。 单数复数词义单数复数词义negro negroes黑人hero heroes英雄 tomato tomatoes西红柿potato potatoes土豆，马铃薯mango mangoes芒果 四、以s，x，ch，sh结尾的词名词变复数时，要在词尾加es 单数复数词义单数复数词义 bus buses公共汽车class classes班级 box boxes盒子fox foxes狐狸 match matches火柴，比赛lunch lunches午餐 brush brushes画笔，刷子 五、以man结尾表示一类人的，变man为men 单数复数词义单数复数词义man men男人woman women女人，妇女policeman policemen警察fireman firemen消防员

高考理科数学知识点整理

高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 （答：，，）-? ?? ???1013 3. 注意下列性质： （3）德摩根定律： 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

10. 如何求复合函数的定义域？ 义域是_____________。[] - a a （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域） 13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； 14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ ∴……）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ∴a的最大值为3） 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

高考数学高考必备知识点总结

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高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数： )()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 二、指数函数与对数函数 x 且对数函数y=log a x （a>0且a ≠1）的图象和性质:

高考函数知识点总结

高中函数大全 一元二次函数 定义域区间 定 义 对应法则一元二次不等式 值域 指 根式分数指数 映射数 函 数指数函数的图像和性质 指数方程 对数方程 函 数 性 质奇偶性 单调性 对数的性质 积、商、幂与周期性 根的对数 对数 反函数互为反函数的 函数图像关系 对 数 对数恒等式 和不等式 函 数常用对数 自然对数 对数函数的图像和性质 函数概念 （一）知识梳理 1．映射的概念 设 A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的 元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f:A B，f表示对应法则 注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2．函数的概念 (1)函数的定义： 设 A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一 确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y f(x),x A (2)函数的定义域、值域 在函数y f(x),x A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y f(x)的定义域；与x的值相对应的y值

叫做函数值，函数值的集合 f(x)x A称为函数y f(x)的值域。 (3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 （1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4．分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 （二）考点分析 考点1：映射的概念 例1．（1）A R，B{y|y0}，f:x y|x|； （2）* A{x|x2,x N}，B y|y0,y N， 2 f:x y x2x2； （3）A{x|x0}，B{y|y R}，f:x y x． 上述三个对应是A到B的映射． 例2．若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B 的函数有个 例3．设集合M{1,0,1}，N{2,1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与 它在 N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是（） (A)8个(B)12个(C)16个(D)18个 考点2：判断两函数是否为同一个函数 例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1） 2 f(x)x， 3 3 g(x)x； （2） x f(x)， x g(x) 1 1 x x 0, 0; （3）212 1 n x n f(x)， 2n x) 12n1 *）；g(x)(（n∈N 2 （4）f(x)x x1，g(x)x x； 2x2t （5）()2 1 f x x，g(t)t2 1 考点3：求函数解析式

英语语法 名词单复数总结

名词与名词词组——重点是名词的“数” 名词的数(number)——单数(singular number)和复数(plural number)

英语名词复数的思维规律，及与汉语名词复数的区别 名词的可数与不可数这一区分反映了中国人与英美人在看待客观物质世界时所持的两种不同的世界观。在本栏目接下来的几期内容中,笔者就要和大家一起来探讨“老外”看待物质世界的四大思维规律,帮助大家从英语思维的高度来理解并区分英文名词的可数与不可数。下面笔者首先来分析第一个规律:不可分隔的物质与可分隔的个体物品。该规律包含四个方面的内容,本期先着重讨论第一、二方面的内容。 物质名词表示个体物品时转化为可数名词 在英文中,一个名词若表示无法分隔的物质,或者说被分隔之后各个部分与原先整体没有本质差别,我们就无法用数目来计量它,只能将其看作一个整体,此时该名词是不可数名词。但如果在特定的语境中,这个名词表示能够分隔的个体物品,则转为可数名词。比如说我们每时每刻都需要呼吸的“空气”(air),是无法被分隔成个体的,或者说被分隔之后的各个部分的空气与原先整体的空气没有本质差别,依然还是空气,我们无法用数目1、2、3等来计量它,因而air表示“空气”时是不可

数的。下面举几个例句来说明: 1. Let’s go out and get some fresh air. 让我们出去呼吸些新鲜空气。 在上面这个例子中,air前面没有加不定冠词an修饰,因为air在这个语境中用作不可数名词,不能被不定冠词修饰。值得注意的是,air除了表示大家熟悉的“空气”这个意思之外,还可以指人的外表、神态、气质,或者指周围环境的氛围、气氛。此时,air表示某一种特定的神态、气质或氛围、气氛,是可以数的,因而成了一个可数名词,前面需要加不定冠词an修饰,比如: 2. There was an air of tension at the meeting.会上的气氛有点紧张。 再如下面这个例子,air指人所具有的某种具体的气质、神态: 3. John set about his task with an air of quiet confidence. 约翰悠然自信地开始了自己的工作。 当air表示“空气”这样的物质名词时是不可数的,这从我们汉语的思维角度也能理解,因为在汉语思维里,“空气”也是无法用具体数目去计量的。不过,还有很多物质名词在汉语里是可以用数目计量的,但在英文里是不可数的,这时就需要我们理解英语思维是如何看待这些物质名词的。比如,让我们中国人难以理解的是“纸”(paper)在英文里为什么是不可数的,因为我们汉语里可以说“一张纸”“两张纸”。那么英文思维又是如何看待“纸”是不可数的呢?原来,在英文思维中,“纸”被看做是一种可以无限分割的物质,比如大家拿出一张A4的纸,将它裁成两半、四半、八半等,你可以一直这样无限裁下去,但它还是一张张纸——虽然大小不同,但每张被裁的小纸片与原先A4大小的纸张在物质材料方面是没有区别的。从这个角度来看,“纸”就是不可数的。因此,“两张纸”在英语里不可以直接说“two papers”,而要说成“two pieces of paper”或“two sheets of paper”,比如下面的例句: 4. We send to China little pieces of paper for their goods. 中国人生产产品给美国人用,而我们只给了他们一些小纸片。 这是美国“股神”巴菲特日前批评美国高负债的政策时说的一句话。这里的“小纸片”指的是美国国债。不过,当把paper作为个体的物品,比如作为“报纸”“论文”或“考卷”来讲时,则是可数的。这时我们就可以说“two papers”,但不表示“两张纸”,而是表示“两份报纸”“两篇论文”或“两张考卷”,比如: 5. a. I have a term paper to write on weekend. 我周末有一篇学期论文要写。 b. I bought a paper to read news. 为了了解新闻,我买了一份报纸。 在a句中,paper的意思是“论文”,为可数名词;在b句中,paper相当于newspaper,表示“报纸”,为可数名词。 从以上例子我们看到,随着词义不同,paper的可数性也不同。与此类似的名词还有glass,该词表示“玻璃”时是不可数名词,但表示“玻璃杯”时则是可数名词,请看例句: 6. a. He broke a glass. 他打碎了一个玻璃杯。 b. He broke a piece of glass. 他打碎了一块玻璃。

关于高考数学高考必备知识点总结归纳精华版

高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称； c.求)(x f -； d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 二、指数函数与对数函数 指数函数 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 对数函数y=log a x （a>0且a ≠1）的图象和性质:

高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结 （1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是 顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值

③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称 （1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 （2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

英语单复数总结含习题及答案

1. 基本变化规则 ①一般在名词后加s,变成复数。如boy→boys, pen→pens等。 ②以s, x, sh, ch结尾的,在后面加es。如class→classes, fox→foxes,box→boxes, brush→brushes, watch→watches。但stomach(胃)的复数为stomachs。 ③“以辅音字母+y”结尾的,y变为i,然后再加es。如baby→babies, family→families, country→countries, city→cities.像以元音字母加y结尾则直接加s,例如boy→boys, toy→toys, way→ways。另外以y结尾的专有名词,则直接加s变复数,如the Henrys(亨利一家)。 ④以o结尾的名词,除有生命的“两人两物”Negro(黑人), hero, tomato, potato在后面加es外,一般是在后面直接加s。如kilo→kilos, photo→photos, zoo→zoos, radio→radios, piano→pianos, video→videos. ⑤以f或fe结尾的名词英语中共有100多个,其中直接加s的有90多个,但这些绝大多数不常用,如, belief→beliefs,roof→roofs等;把f或fe改为v, 再加es的只有十几个,但13个都是常用的名词,如half→halves, knife→knives, leaf →leaves, wolf→wolves, wife→wives, life→lives, thief→thieves 等 2. 不规则变化 名词单数变复数的不规则变化要注意以下几点: ①含man的名词,一般变man为men。如woman→wom en, policeman→policemen, Englishman→Englishmen。但German→Germans除外。 ②将oo改为ee的有foot→feet, tooth→teeth, goose→geese等。

关于高考数学高考必备知识点总结归纳

关于高考数学高考必备知 识点总结归纳 Last revision on 21 December 2020

高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 二、指数函数与对数函数 指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质

高中部分三角函数知识点总结

★高中三角函数部分总结 1.任意角的三角函数定义： 设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r += ，则： )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值： sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值 3.同角三角函数公式： αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式： （1）)(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos( ,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限）

复数知识点精心总结

复数知识点 考试内容： 复数的概念． 复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充． 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． 1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ； ④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则ο1若021φz z +，则21z z -φ.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] ο2若21z z π，则021πz z -.（√） ②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-， 0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=. 其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程.

[全国通用]高中数学高考知识点总结

[全国通用]高中数学高考知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-?????? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 的取值范围。

()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335305555015392522∈--

整理全面《高中数学知识点归纳总结》

整理全面《高中数学知识点归纳总结》

教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用

英语名词单数变复数口诀总结

英语名词单数变复数口诀 (一) 规则变化 名词单数变复数，直接加-s 占多数； s, x, z, ch, sh 来结尾，直接加上-es； 词尾是f 或fe，加-s 之前先变ve； 辅母+ y 在词尾，把y 变i 再加-es； 词尾字母若是o，常用三个已足够， 要加-es 请记好，hero, tomato, potato。 (二) 不规则变化 男人女人a 变e，鹅足牙oo 变ee； 老鼠虱婆也好记，ous 变ic； 孩子加上ren，鱼鹿绵羊不用变。 注：1．以s，sh，ch，x等结尾的词加“es”，如bus→buses，peach→peaches box → boxes class → classes 2.以辅音字母＋y结尾的词，变y为i加es，如family→families ， library →libraries 以元音字母＋y结尾的名词变复数时，直接加s变复数，如monkey→monkeys，toy→toys 3．以o 结尾的名词变复数时加es的名词有：口诀：英雄爱吃西红柿、土豆和芒果。 hero →heroes tomato→tomatoes potato→potatoes mango→mangoes 4．以f或fe结尾的名词变复数时： a）加s的名词有： belief→beliefs roof→roofs等 b）去掉f，fe 加ves的名词有： 口诀：小偷的妻子用树叶做小刀杀了一匹狼把它劈成了两半挂在了架子上，从此过上幸福生活。 thief→thieves wife→wives leaf→leaves knife→knives wolf→wolves half→halves shelf→ shelves life→lives 5. 名词复数的不规则变化需要特别记忆。例如：man →men, woman →women, goose →geese, foot →feet, tooth →teeth, mouse →mice,child →children, fish →fish, deer (鹿) →deer, sheep →sheep 等。 6.表示“某国人”的名词复数形式变化可通过歌诀记忆：中日不变英法变，其余-s 加后面。例如：Chinese →Chinese, Japanese →Japanese；Englishman →Englishmen, Englishwoman →Englishwomen, Frenchman →Frenchmen, Frenchwoman →Frenchwomen；American →Americans, Rusian →Rusians, Arab →Arabs, German →Germans 等。 7. 不可数名词一般只有单数形式，没有复数形式。有些不可数名词可借助单位词表示一定的数量。例如：a cup of tea 一杯茶, two piece of paper 两张纸, an item of news 一则新闻。