一次函数也有“顶点式”

一次函数也有“顶点式”

四川省隆昌县乐只中学 642169 叶勇

“一次函数也有‘顶点式’”？当你看到这个标题时，可能有一份惊讶，是的，一次函数是没有“顶点式”之说的，不过我们今天讨论的“顶点式”是相对于二次函数的顶点式而说的。

我们都知道，二次函数的顶点式是()k h x a y +-=2，这里，顶点坐标是()k h ,。它在解决抛物线的平移、待定系数法求解析式、二次函数的最大（小）值、画二次函数的图象等问题时，都有很大的用途。

例如：把抛物线23x y -=向上平移2个单位，得到232+-=x y 的图象，再向左平移32个单位，得到23232

+??? ??--=x y 的图象。 分析：这里通过变化h 和k 的值来达到平移图象的目的。向上平移n 个单位，则k 值加n ；向下平移n 个单位，则k 值减n 。向左平移m 个单位，则h 值加m ；向右平移m 个单位，则h 值减m 。

请你试一下：把抛物线()5122-+=x y 向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是 。（答案：()2122--=x y ）

有了以上的准备知识，我们研究一次函数的“顶点式”也就有基础了。在一次函数中的图象平移问题，同学们往往感到比较困难。这里我们先用一般待定系数法来求一下关于直线()0≠+=k b kx y 平移的问题。

例如：把直线321-=x y 向上平移5个单位，可得到直线 。 分析：先求出直线321-=x y 在y 轴上的交点坐标（0，－3），如果向上平移5个单位，则平移后的直线经过点（0，2）。又由于平移后的直线与原直线平行，则“k 值”相等，即可设平移后的直线解析式为b x y +=21

，把点（0，2）坐标代

二次函数顶点式练习题

二次函数专题训练 1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值 y= 。. 3、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大. 4、 函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=2 1x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单 位得到. 5.已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是 。 6.如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ） A 、 x>3 B 、x<3 C 、x>1 D 、x<1 7.已知函数()3232 +--=x y . 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； 当x= 时，抛物线有最 值，是 . 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； 求出该抛物线与y 轴的交点坐标； 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； 该函数图象可由2 3x y -=的图象经过怎样的平移得到的 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.

※8..如图是二次函数y=a （x+1）2+2图象的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 _________ ． 9.根据图像求二次函数的解析式. ※10.抛物线y =(x －1)2+n 与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴负半轴交于C （0，-3）。 (1) 求抛物线的解析式; （2）点P 为对称轴右侧抛物线上一点，以BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M 落在对称轴上，求P 点、M 点的坐标。 M y x P O C B A

二次函数顶点式练习

二次函数k h x a y +-=)(2 （顶点式）习题课 一、知识体系 1、解析式：()()02≠+-=a k h x a y 2、图像与性质： 对称轴：x=h 顶点：（h ，k ） 3、抛物线的平移： 自变量加减左右移（左加右减），函数值加减上下移（上加下减） 4、抛物线与直线的交点： 设立方程组c bx ax b kx c bx ax y b kx y ++=+????++=+=22，化简为一元二次方程，看△ （1）有两组不同解（△＞0）：有两个交点 （2）只有一组解（△=0）：只有一个交点 （3）无解（△＜0）：没有交点 5、抛物线的开口大小由a 决定： （1）a 越大，抛物线的开口越小 （2）a 越小，抛物线的开口越大 （3）a 相等时，两函数图像的形状和大小相同 二、知识巩固 一、复习 1、二次函数4)1(-22++=x y 的图象的开口方向________，顶点坐标是________， 对称轴是_________. 当x ______时,y 随着x 的增大而增大, 当x ______时, y 随着x 的增大而减少.当x =_____时，函数有最_______值是_________. 2、二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到.

二、求函数表达式 例1、已知一个二次函数的图像的顶点在原点，且经过点（1，3），求这个二次函数的表达式. 例2、已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2)，且经过点（0，1），求这个二次函数的表达式. 例3、已知二次函数当x=3时有最大值4，并且图象经过点（4，－3），求这个二次函数的表达式. 例4、已知抛物线的对称轴为直线1 x ,且经过（1，2）和（-2，5），求这个二次函数的表达式. 三、实际应用 例5、一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． ⑴求实心球行进的高度y (米)与行进的水平距离x (米)之间的函数关系式； ⑵如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生 在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 3.624y x O

二次函数顶点式图像特点

二次函数顶点式图像及其特点教学设计 【教材】人教版九年级 22.1 二次函数的图象及其特点 （第4课时） 【教学对象】九年级学生 【授课教师】珠海市斗门区城南学校 孔志坚 【教材分析】 本节的学习内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y=ax 2、y=ax 2+h 的图像和性质的基础上，运用图像变换的观点把二次函数y=ax 2的图像经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h)2+k (h ≠0，k ≠0)的图像。二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图像性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一。教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究。这是教学发现与学习的常用方法，同学们应注意学习和运用。另外，在本节内容学习中同学们还要注意 “类比”前几节的内容学习，在对比中加强联系和区别，从而更深刻的体会二次函数的图像和性质。 【教学目标】 ◇ 知识技能 （1）会用描点法画出二次函数 ()2 h x a y -= 、()k h x a y +-=2 的图象， 通过图象了解它们的 图象特征和性质． （2）观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现它们之间的关系。 ◇过程与方法 （1）在用描点法画出二次函数的图象过程中，体会数形结合的思想； （2）通过观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现图像之间的关系，发展数学的化归思维； （3）在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思想的过程和探究的结果。 ◇情感态度与价值观 （1）通过画二次函数的图象，感受数学美，激发学习热情； （2）在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。 【教学重点】观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质 【教学难点】观察对比图象发现它们之间的关系 【教学方法】引导探索、讨论交流 【教学手段】PPT 、几何画板 【教学过程设计】 一、教学流程安排

《二次函数顶点式》教学设计

二次函数y ＝(x －h)2 +k 的图象 学习目标： 1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质； 3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题． 重点：会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象. 难点：掌握二次函数a (x －h)2＋k 的性质。 一、课前小测 1．函数24(2)y x =-的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______， 当x ＝_________时，有最_________值是_________． 2．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口向下抛物线解析式__________________． 写出一个顶点坐标为（－3，0），开口向下抛物线解析式__________________． 二、探索新知 1、问题一：提出问题，创设情境 画出函数y ＝－1 2 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值 观察图象得： （1）函数y ＝－1 2 (x ＋1)2－1的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______，当x ＝_________时，有最_________值是_________． （2）把抛物线y ＝－1 2 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______ 个单位，就得到抛物线y ＝－1 2 (x ＋1)2－1． 3、问题二：应用法则 探索解题.

例1．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝1 2x 2相同的解析式为 （） A．y＝1 2(x－2) 2＋3 B．y＝ 1 2(x＋2) 2－3 C．y＝1 2(x＋2) 2＋3 D．y＝－ 1 2(x＋2) 2＋3 三、作业：A组： 1．填表 2 3．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________． B组： 1．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______，当x＝_______时，y有最________值是________． 2．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________。 3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（） A B C D 4．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为___________________________．（任写一个）

二次函数的图像(顶点式)

2、5次函数y=a(x-h)2+k 的图像 执笔人：刘红梅 时间：2009年12月3日 学习目标: 会用描点法画出函数y=a(x-h)2+k 的图像 学习重点: 1．会用描点法画出二次函数 的图像； 2．知道抛物线 的对称轴与顶点坐标； 学习难点:确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。 学习方法:三五三教学模式法。 一、自主探究： 1、在同一坐标系中画出函y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 的图像 解：列表： 描点连线： 2、观察图像完成下表： 1、观察函数y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2的图像，回答问题 （1）它们的形状_________，位置____________. (2)函数y= x 2与函数y=(x-1)2+2有什么联系？ 2、归纳总结： 1、二次函数y=a(x ±h)2+k 图像的性质 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 y 随x 的增大而减小 y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 抛物线 开口方向 对称性 顶点坐标 最值 y 随x 的减小而减小 y=a(x+h)2+k （a>0） y=a(x-h)2+k (a<0)

2、函数y=a(x ±h)2+k （a ≠0）的图像可以看作是y=ax 2向左或向右平移_________ 个单位，再向上或向下平移___________个单位得到的. 三、巩固练习： 1、指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值及y 随x 增大而减小的x 取值范围。 （1）y=－6(x-2)2 (2)y=3x 2－6 (3)y=3－x 412 (4) y=x 5 1 2 (5) y=2(x+3)2+7 (6) y=4－2(x+4)2 2、抛物线的y=－4（x －6）2－3向左或向右平移_________ 再__________ 平移___个单位得到y=－4x 2. 四、延伸迁移： 如图，某公路的隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，，底部宽OM 的 为12米，建立如图所示的直角坐标系。 （1） 直接写出M 及抛物线顶点P 的坐标； （2） 求这条抛物线的解析式。 五、达标检测：1、课本53页知识技能1 2、抛物线y=3（x+h ）2 +k 的顶点坐标是（1，5），则h=_____ k=_____ 六、学习收获

二次函数练习顶点式练习题.doc

二次函数图像和性质练习 1、二次函数y=2x1 2-4的顶点坐标为,对称轴为。 2、二次函数y = -2(x + 3尸—1 由y = -2(x-1)2+1 向平移 个单位，再向平移个单位得到。 3、抛物线y = 3(x + 2)2—3可由抛物线y = 3(x + 2)2 +2向平移 个单位得到. 4、将抛物线y = -(x-3)2+2向右平移3个单位，再向上平移2个单位， 6 得到的抛物线是 5、把抛物线y = —3 — 1)2 —1向平移个单位，再向平移 个单位得到抛物线y = -(x + 2)2-3. 6、抛物线y = l(x + 4)2-7的顶点坐标是_________________ ,对称轴是直 2 线,它的开口向,在对称轴的左侧，即当XV 时, y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而; 当x=时，y 的值最, 最值 是。 7、将抛物线y=3x2向左平移6个单位，再向下平移7个单位所得新抛物线的解析式为。 8、若一抛物线形状与y=-5x2+2相同，顶点坐标是(4, 一2),则其解析式是. 9、两个数的和为8,则这两个数的积最大可以为，若设其中一个数为x,积 为y,则y与x的函数表达式为. 10、一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积 最大, 边长分别为 . 11、若两个数的差为3,若其中较大的数为x,则它们的积y与x的函数表 达式为,它有最值，即当x= 时，y=_ 12、边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片, 剩下的四方框铁片的面积y (cm2)与x (cm)之间的函数表达式为 13、等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为

【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式

二次函数一般式、顶点式、交点式 这节课我们学什么 1. 会用待定系数法求二次函数的解析式； 2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象； 了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 3. 根据交点求解解析式．

知识点梳理 1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质 2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质 1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可； 3、一般式2y ax bx c =++的性质 对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？ 将一般式配方成顶点式： 2y ax bx c =++=2 ()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a +++- =222424b b ac a x a a -??+= ?? ? 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；

用顶点式求二次函数解析式

一、 用顶点式求二次函数解析式。 例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0） 解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2 )( 把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y 把点（3,0）代入得：03)13(2 =+-a 解得：43 - =a ∴抛物线解析式为：3)1(4 32 +--=x y 练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5） 2．已知抛物线y ＝ax 2 经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 4．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛 物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7．把抛物线y ＝(x －1)2 沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式． 8．已知二次函数m x x y +-=62 的最小值为1，求m 的值． 9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝5 3 ， 求这条抛物线的解析式； 10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。 二、 用三个点求二次函数解析式 例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2 把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ???? ?=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：??? ??=-==5 32c b a ∴抛物线解析式为：5322 +-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式

广东省广州市 人教版 九年级上 数学 二次函数一般式化顶点式题目方法及练习题-精选学习文档

二次函数一般式2y ax bx c =++化成()2y a x h k =-+的形式 一．基础知识： 1.（1）完全平方公式：22 2a ab b ±+=()2a ±—— （2）()2 26_____x x x ++=+ （3）()223______x x x -+=- （4）()222____x x x ++=+ （5）()2 24____x x x -+=- 二、基础知识练习 1.类型一：1,a b ==偶数 例1.用配方法将抛物线261y x x =-+-化成顶点式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。 举一反三：用配方法将抛物线281y x x =-+化成()2 y a x h k =-+的形式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。 类型二：1,a b ==奇数 例2.求抛物线21y x x =++的顶点坐标。 举一反三：求抛物线232y x x =-+的顶点坐标。 类型三：1a ≠ 例3.求二次函数221210y x x =-+-的最大值 举一反三：求二次函数23123y x x =--的最小值。 例4.求抛物线21232 y x x =- -+的顶点坐标。 举一反三：求抛物线23+12y x x =-+的顶点坐标。 三、过关练习： 1.求抛物线2 43y x x =--的顶点坐标 2.将抛物线22y x x =-化成()2y a x h k =-+的形式为（ ） A.()211y x =-+ B. ()211y x =-- C. ()214y x =++ D.()2 14y x =-- 3.已知抛物线228y x x =+。 （1）化成顶点式为_________ (2)顶点坐标为_________

人教版初三数学上册二次函数顶点式

22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质（3） 凤台四中牛井梅 教学目标： 1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。 重点难点： 重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。 难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x －h)2＋k的性质是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? (函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的) 2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系? 3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 二、试一试 你能填写下表吗? y=2x2向右平移 的图象1个单位y=2(x－1)2向上平移 1个单位y=2(x－1)2＋1的图 象 开口方向向上 对称轴y轴 顶点(0，0) 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗? 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；

二次函数顶点式的教案

二次函数顶点式的教案 一．知识要点 1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式（a≠0）求解析式。 2. 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式，其中（h，k）为顶点坐标。 3. 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标 二. 重点、难点： 重点：求二次函数的函数关系式 难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。 三. 教学建议： 求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。 典型例题 例1. 已知某二次函数的图象经过点A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式。 分析：设，其图象经过点C（0，－5），可得，再由另外两点建立关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。 解：设所求二次函数的解析式为 因为图象过点C（0，－5），∴ 又因为图象经过点A（－1，－6），B（2，3），故可得到： ∴所求二次函数的解析式为 说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为，然后确定a、b、c的值即得，本题由C（0，－5）可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。 例2. 已知二次函数的图象的顶点为（1，），且经过点 （－2，0），求该二次函数的函数关系式。 分析：由已知顶点为（1，），故可设，再由点（－2，0）确定a的值即可 解：，则 ∵图象过点（－2，0）， 说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设，再根据其他条件确定a 的值。本题虽然已知条件中已设，但我们可以不用这种形式而另设这种形式。因为在这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。 例3. 已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。 分析：依题意，可知顶点坐标为（－3，2），因此，可设解析式为顶点式 解：设这个二次函数的解析式为 ∵图象经过（－1，0）， ∴所求这个二次函数的解析式为 即： 说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。 例4. 已知二次函数的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是__________________。图1

二次函数顶点式图像与性质

2.2二次函数的图象与性质（3） 教学目标 (一)教学知识点 1．能够作出函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与 y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响． 2．能够正确说出y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (二)能力训练要求 1．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解． 2．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力． (三)情感与价值观要求 1．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 2．让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的作法和性质的过程． 2．能够作出y＝a(x—h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响． 3．能够正确说出y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．教学难点 能够作出y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能够理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响． 教学方法 探索——比较——总结法． 教具准备 投影片四张 第一张：(记作§2．4．1A) 第二张；(记作§2．4．1B) 第三张：(记作§2．4．1C)

第四张：(记作§2．4．1D) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境、引入新课 [师]我们已学习过两种类型的二次函数，即y＝ax2与y＝ax2＋c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值．顶点都是原点．还知道y＝ax2＋c的图象是函数y＝ax2的图象经过上下移动得到的，那么y＝ax2的图象能否左右移动呢？它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢？本节课我们就来研究有关问题． Ⅱ．新课讲解 一、比较函数y＝3x2与y＝3(x－1)2的图象的性质． 投影片：(§2．4A) (1)完成下表，并比较3x2和3(x－1)2的值，它们之间有什么关系？ (2)在下图中作出二次函数y＝3(x－1)2的图象．你是怎样作的？ (3)函数y＝3(x－1)2的图象与y＝3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？ (4)x取哪些值时，函数y＝3(x－1)2的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，函数y＝3(x－1)2的值随x值的增大而减小？ [师]请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结．[生](1)第二行从左到右依次填：27，12，3，0，3，12，27，48；第三行从左到右依次填48，27，12，3，0，3，12，27． (2)用描点法作出y＝3(x－1)2的图象，如上图．

二次函数之配方法求顶点式以及与一元二次方程的关系

§6.2二次函数的图像与性质⑸ 【课前自习】 1. 根据y 2 2.抛物线y ＝2(x ＋2)2＋1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线y ＝－2(x －2)2－1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3与抛物线 关于x 轴成轴对称； 抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3 与抛物线 关于y 轴成轴对称； 抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3与抛物线 关于原点对称. 5. y ＝a (x ＋m )2＋n 被我们称为二次函数的 式. 一、探索归纳： 1.问题：你能直接说出函数y ＝x 2＋2x ＋2 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ . 2.你有办法解决问题①吗？ y ＝x 2＋2x ＋2的对称轴是 ，顶点坐标是 . 3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质. 练习1.用配方法把下列二次函数化成顶点式： ①y ＝x 2－2x －2 ②y ＝x 2＋3x ＋2 ③y ＝2x 2＋2x ＋2

④y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 4.归纳：二次函数的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以被整理成顶点式： ， 说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 . 练习2.用公式法把下列二次函数化成顶点式： ①y ＝2x 2－3x ＋4 ②y ＝－3x 2＋x ＋2 ③y ＝－x 2－2x 二、典型例题： 例1、用描点法画出y ＝1 2x 2＋2x －1的图像. ⑴用 法求顶点坐标： ⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： ⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ，与x 轴有 个交点. 例2、已知抛物线y ＝x 2－4x ＋c 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上 ，求抛物线的顶点坐标.

用顶点式求二次函数解析式

例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0） 解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2 )( 把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y 把点（3,0）代入得：03)13(2 =+-a 解得：43 - =a ∴抛物线解析式为：3)1(4 32 +--=x y 练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5） 2．已知抛物线y ＝ax 2 经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 4．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7．把抛物线y ＝(x －1)2 沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式． 8．已知二次函数m x x y +-=62 的最小值为1，求m 的值． 9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝5 3 ， 求这条抛物线的解析式； 10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。 一、 用三个点求二次函数解析式 例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2 把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ???? ?=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：??? ??=-==5 32c b a ∴抛物线解析式为：5322 +-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式

二次函数的顶点式

二次函数的顶点式 一、教学目标： 1、经历把二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c通过配方化成顶点式y＝a(x－h)2＋k的过程，推导出顶点坐标公式，并求其开口方向、对称轴、顶点坐标与最值。 2、在探索过程中，学生经历了知识的产生过程，从而培养勇于探究、积极进取的精神。 二、重难点： 重点：将二次函数一般式通过配方化成顶点式，并求其有关性质。 难点：运用配方法把二次函数一般式化成顶点式。 三、教学过程： （一）承上启下，自然导入 通过提问的方式进行复习，讲完第3、4题后，引导学生回忆二次函数y＝a(x －h)2＋k的性质，再出示： （二）提出问题，启发思考 师：下面，我们思考一个问题：如何把二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式？ 生：两边加上一次项系数一半的平方。 生：不对，这里只有一边。 生：加上并减去就可以了。 出示： 师：看看，解答过程正确吗？

学生很快发现了：应该是y=(x-2)2+1，这里是完全平方差公式。 师：我们总结一下：二次项系数是1的二次函数应该如何配方？ 生：加上并减去一次项系数一半的平方。 （三）探索——我行 师：如果二次项系数不是1呢？ 出示课件： 学生进入了思考、讨论的状态…… 待学生完成后，出示： 师：我们把它这个结果化简一下，看能否得到y＝3x2－6x＋5？ 学生马上运算，不一会儿就纷纷表示：不能。 师：错在哪里？ 生：没有把二次项系数提取出来，配方时二次项系数要先化为1。 师：对！二次项系数要先化为1，这是用配方法的前提条件。做错的同学请重新做一遍。接着出示： 师：这个解答过程正确吗？我们把结果化简一下，看能否得到y＝3x2－6x＋5？ 学生马上运算，不一会儿就纷纷表示：不能。 师：错在哪里？ 生：运用乘法分配率时，3没有乖以－12。 出示：

二次函数的图像与性质(顶点式)培优训练

第三节：y=a(x-h)2+k 的图像与性质 一、知识形成： 在坐标系中画出下列函数草图。并判断开口、对称轴、顶点、增减性与最值 （1） y=﹣（x ﹣5）2+3， (2) y ＝－21(x ＋ 1)2－1 （3）y=(x+2)2-3 (4)y=3(x-1)2+2 【观察图像思考归纳】：对于y=a(x-h)2+k （1）开口方向 （2）对称轴 （3）顶点 （4）增减性 （5）最值 二、例题与练习 例题1、如图是二次函数y=a （x+1）2+2图象的一部分，该图在 y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 _________ ． 例题2求二次函数的解析式.

例题3：y ＝a (x －1)2＋4与x 轴交于A 、B , 与y 轴正半轴交于C 点, D 为顶点, 对称轴交x 轴于E 点, DE ＝AB , 求解析式. 【练习】一、解析式的求法（顶点式） 1、y ＝－94 (x －2)2＋m , 顶点为M , MH ⊥x 轴于H , sin ∠MOH ＝55 2, 求解析式. 2、 已知: 如图1, 二次函数y ＝a (x －1)2－4的图象交x 轴负半轴于 点A , 交x 轴正半轴于点B , 交y 轴负半轴于点C , 且OB ＝3OA . (1) 求二次函数的解析式; 3、如图（1），在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线 y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)， 与y 轴交于点C （0，-3），其顶点为M,且cos ∠BCO＝3 1010. (1)求此抛物线的函数表达式； 4、已知: 二次函数y ＝a (x +6)2－3的图象交x 轴负半轴于点A ,B 两点，直线DE ⊥x 轴于点E , 交Y 轴于点C ,D 为顶点。 且AE 2= 3DE. (1) 求二次函数的解析式; 5、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2429y (x ) c =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴的正半轴于点C ，其 顶点为M ，MH ⊥x 轴于点H ，MA 交y 轴于点N ，sin∠MOH ＝ 5 52． （1）求此抛物线的函数表达式； 图（1） y x A O B M C

顶点式法求二次函数解析式1

顶点式法求二次函数解析式1 ①二次函数y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)用配方法可化成：y=a(x-h)2+k ，顶点是(h,k) 配方: y=ax 2+bx+c=____________=_______________=______________＝（x+a b 2）2 +a b a c 442-,对称轴是x=a b 2，顶点坐标是（a b 2-，a b ac 442-）, h=-a b 2，k=a b a c 442-, 所以，我们把y=a(x-h)2+k 叫做二次函数的顶点式 ②已知二次函数图象的顶点坐标（h ，k ）或者对称轴方程x=h 或者最大值k ，最小值k ，当然还要知道抛物线上 的一个一般点时，通常设函数解析式为y=a(x-h)2+k(a ≠0)，再将那个一般点的坐标带入，求出a 的值，最后写 出函数解析式再化成一般式就行了，有时可能需要两个一般点列方程组求出a 的值或h 或k 的值。 例：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y 轴交点为（0，－5），求抛物线的解析式 解：设所求的二次函数为 y=a 〔x-（-1）〕2-3=a （x+1）2 -3，由条件得：点( 0,-5 )在抛物线上，a-3=-5, 得a=-2，故所求的抛物线解析式为 y=－2(x ＋1)2-3，即：y=－2x 2-4x －5 例：已知二次函数y=ax2+bx+c 的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求此二次函数的解析式 解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上，∴当y=2时， x=1。 故顶点坐标为（ 1 ， 2），所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2，又∵图象经过点（3，-6），∴-6=a (3-1)2+2 ，得a=-2，故所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2，即：y=-2x 2+4x 例：如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB?的宽为20m,如果水位上升3m 时,水面CD 的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km 的速度开往乙地,当行驶1小时时,?忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD 处,当水位达到桥拱最高点O 时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,?要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米? 解：因为抛物线的顶点为（0,0），所以可设抛物线解析式为y=a （x-0）2+0，即y=ax 2，桥拱最高点O 到水面 CD 的距离为hm,则D(5,-h),B(10,-h-3). ∴25,100 3.a h a h =-??=--? 解得1,251.a h ?=-???=? 抛物线的解析式为y=-125x 2. (2)水位由CD 处涨到点O 的时间为:1÷0.25=4(小时). 货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车速度提高到xkm/h.当4x+40×1=280时,x=60. ∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h. 练一练： ①抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)，求这个二次函数的解析式

二次函数一般式用配方法化成顶点式教学案例

二次函数一般式用配方法化成顶点式教学案例 二次函数一般式用“配方法”化成顶点式教学案例二次函数的图象是研究二次函数的重要工具把握好二次函数图象的特点对称轴、开口方向、顶点坐标对研究二次函数的性质和解决实际问题帮助很大而对于一般式二次函数的图像与性质常利用配方法将函数关系式化为、为常数形式再进行研究。在教学过程中存在如下问题。一、设计方面学生拿到学案后做了复习引入第2题后就束手无策后面的题目不知用什么方法解决了后经老师提示对于一般式的二次函数要用配方法化成顶点式学生才有点头绪学案在复习引入部分可以加以提示讲评。二、典型错误复习引入3、二次函数的图像也是抛物线你能写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标吗错解剖析学生把用配方法解一元二次方程和用配方法把二次函数配成顶点式混淆从错解中可知学生对配方法的思想还是很清楚的因此我利用他们对配方法的认识分别讲了下面两种方法供学生参考学生通过对比都能顺利的找到方法进行配方。三、反思过程、剖析教法、发展自己。经过反思我发现我犯了以下几个错误一、备课的时候我自以为按经验办事一定错不了但却没有意识到单纯靠经验即便是多年的教学经验也不能够准确地把握我所面临的教学现象首先学生本身已经发生了极大的变化无论是知识背景数学活动经验还是认知手段都与原来旧版教材时的学生有很大的不同现在的学生是在自主学习探究为主导的环境下成长起来的他们需要的不是简单的死记硬背而是建立在本身知识体系上的理解和掌握其次在新课标的环境下学习数学的意义也在发生变化学生不应该为了升学或考试而学习数学而教师也应该把数学当作是一种与生活息息相关的技能来进行教学尤其是一些重要的数学方法如配方法。若像我现在这样把一个重要的数学方法让学生死记硬背学生以后做配方法这种题目时可能得到满分。但若遇到这种题目的变式时他们将不能融会贯通永远不理解配方法的知识根源。二、在讲课的时候我自以为学生做的不错已经掌握但是却没有想到学生只是在机械的记忆没有在理解的层面上掌握新知识自己的讲解并没有很好的针对学生原有的知识水平。并没有从根本上解决学生存在的问题只是一味的想要他们按照某个固定的程序去解决问题。尽管学生当时作对了却并不真正的理解问题的本质性的东西如完全平方式的概念完全平方公式的构成恒等式的变形等等。由于我没有在学生原有的知识水平和经验的基础上帮助他们进行构建配方思想并引导学生注意新知识中的某些关键点因此使得学生的思维过程无法连续进行新知识的联系不牢固表面上看是掌握了配方其实他们还是没有真正理解配方的内容。反思整个教学环节这恐怕在平时教学中是一个经常出现的问题难怪学生总是觉得数学难学。三、培优扶困方面当学生问问题的时候我只是完成任务似的把他的问题解决并没有去了解他的问题出在哪里没有有针对性的解决学生的问题而且在讲解中我没有发挥他的主观能动性没有给足够的时间让学生进行思考无开展合作交流学习一切都自己包办。看上去好像题目解出来了实际上这是重复课堂上原本不恰当的讲解这不仅不能解决学生的根本问题时间久了还会造成他们对教师的依赖和对学数学的倦怠和反感。总之通过本次二次函数一般式用“配方法”化成顶点式教学反思在以后的教学中一定要分析学生的情况根据学生具体的知识背景结合新课标的目标认真备教法、备学生再发挥自己的人格魅力想方设法的做到使自己上的课学生爱听听得懂肯学喜欢学。那么我相信数学学习不会再成为学生的负担他们终将会在学习中享受在享受中学习.

二次函数顶点式练习题

图6（1） 图6（2） 1.两条抛物线2y x =与2 y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值 2.在抛物线2 y x =-上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ）A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ≠0 D ．x ≥0 3.二次函数y ＝x 2 的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A. y ＝x 2 +3 B. y ＝x 2 －3 C. y ＝（x+3）2 D. y ＝（x －3）2 4.二次函数y ＝－（x －1）2 +3图像的顶点坐标是（ ） A. （－1，3） B. （1，3） C. （－1，－3） D. （1，－3） 5.二次函数2 y ax =的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ） A ．y=a 2(2)x -＋3 B ．y=a 2 (2)x -－3 C ．y=a 2(2)x +＋3 D ．y=a 2 (2)x +－3 6.对抛物线y=22(2)x -－3与y=－2 2(2)x -＋4的说法不正确的是（ ） A ．抛物线的形状相同 B ．抛物线的顶点相同 C ．抛物线对称轴相同 D ．抛物线的开口方向相反 7.函数y=a 2 x ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ） 8. 8.图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线 的关系式是（ ）A ．22y x =- B ．2 2y x = C ．212y x =- D ．2 12y x = 9. 若 () m m x m m y -+=22是二次函数， m=______。 10.二次函数y=2x 2 -4的顶点坐标为________，对称轴为__________。 11.将抛物线2)3(6 5 2+-= x y 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 . 12.二次函数1)3(22 -+-=x y 由1)1(22 +--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到。 13.抛物线21 (4)72 y x = +-的顶点坐标 是 ，对称轴是直线 ，它的开口向 ，在对称轴的左侧，即当x< 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即当x> 时，y 随x 的增大而 ；当x= 时，y 的值最 ，最 值是 。 14.若一抛物线形状与y ＝－5x2＋2相同，顶点坐标是(4，－2)，则其解析式是__________________. 15.抛物线21 (2)43 y x = ++关于x 轴对称的抛物线的解析式为_______ 16.如图所示,在同一坐标系中,作出①2 3x y =② 2 2 1x y = ③2x y =的图象,则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是_______(填序号) 17.若抛物线y ＝x 2 －bx ＋9的顶点在y 轴上， 则b 的值为______ 18.已知一个二次函数的图像过点（0，1），它的顶点 x y o