2013高中数学精讲精练(新人教A版)第11章 统计与概率
2013高中数学精讲精练第十一章统计与概率
【方法点拨】
1、准确理解公式和区分各种不同的概念
正确使用概率的加法公式与乘法公式、随机变量的数学期望与方差的计算公式.注意事件的独立性与互
斥性是两个不同的概念，古典概型与几何概型都是等可能事件，对立事件一定是互斥事件，反之却未
必成立.
2、掌握抽象的方法
抽象分为简单的随机抽样、系统抽样、分层抽样.系统抽样适用于总体较多情况，分层抽样适用于总体
由几个差异明显的部分组成的情况.
3、学会利用样本和样本的特征数去估计总体
会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，并体会它们各自特点，特别注意频率
分布直方图的纵坐标为频率/组距；会计算样本数据平均数、方差（标准差），利用样本的平均数可以
估计总体的平均数，利用样本的方差估计总体的稳定程度.
4、关于线性回归方程的学习
在线性相关程度进行校验的基础上，建立线性回归分析的基本算法步骤.学会利用线性回归的方法和最
小二乘法研究回归现象，得到的线性回归方程（不要求记忆系数公式）可用于预测和估计，为决策提
供依据.
第1课抽样方法
【考点导读】
1. 抽样方法分为简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.
2 .系统抽样适用于总体个数较多情况，分层抽样适用于总体由几个差异明显的部分组成的情况.
【基础练习】
1．为了了解全校900名高一学生的身高情况，从中抽取90名学生进行测量，下列说法正确的是④ .
①总体是900 ②个体是每个学生③样本是90名学生④样本容量是90
2．对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为 120 .
3．高三年级有12个班，每班50人按1—50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为18的同学留下
进行交流，这里运用的是系统抽样法.
4．某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生身体情况，采用按年级分层抽样的方法，从该
校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为 50
5.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50
的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部
分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第40个号码为 0795 ．
【范例解析】
例1：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如
何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
分析简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法.
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个
数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴的直径.
解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行
第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本. 点评从以上两种方法可以看出，当总体个数较少时用两种方法都可以，当样本总数较多时，方法2优于方法1.
例2、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程.
分析按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号.
解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，59组是编号为291～295的5名学生.采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k+5L(L=0,1,2,……，58)，得到59个个体作为样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，……，288，293.
点评系统抽样可按事先规定的规则抽取样本. 本题采用的规则是第一组随机抽取的学生编号为k，那么第m组抽取的学生编号为k+5(m-1).
例3：一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.
分析采用分层抽样的方法.
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：
（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层.
（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.
300×3/15=60（人），300×2/15=40（人），300×5/15=100（人），300×2/15=40（人），300×3/15=60（人），因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60 人.
（3）将300人组到一起，即得到一个样本.
点评分层抽样在日常生活中应用广泛，其抽取样本的步骤尤为重要，应牢记按照相应的比例去抽取. 【反馈演练】
1. 一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 0.1 .
2．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有 2 个.
①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；
④样本容量为100；⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；⑥每个运动员被抽到的概率相等. 3．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为①②③④ .
①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性.
4．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型
销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 分层抽样法，简单随机抽样法 . 5.下列抽样中不是系统抽样的是 ③ .
①.从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点0i ，以后05i +，010i +（超过15则从1再数起）号入样；
②.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验；
③.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的人数为止； ④.电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相同）座位号为14的观众留下座谈．
6．为了解初一学生的身体发育情况，打算在初一年级10个班的某两个班按男女生比例抽取样本，正确的 抽样方法是 ③ .
①随机抽样 ②分层抽样 ③先用抽签法，再用分层抽样 ④先用分层抽样，再用随机数表法 7．写出下列各题的抽样过程
(1)请从拥有500个分数的总体中用简单随机抽样方法抽取一个容量为30的样本.
(2)某车间有189名职工，现在要按1：21的比例选派质量检查员，采用系统抽样的方式进行.
(3)一个电视台在因特网上就观众对某一节目喜爱的程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中
解：(1)①将总体的500个分数从001开始编号，一直到500号； ②从随机数表第1页第0行第2至第4列的758号开始使用该表；
③抄录入样号码如下：335、044、386、446、027、420、045、094、382、5215、342、148、407、349、322、027、002、323、141、052、177、001、456、491、261、036、240、115、143、402 ④按以上编号从总体至将相应的分数提取出来组成样本，抽样完毕
(2)采取系统抽样 189÷21＝9，所以将189人分成9组，每组21人，在每一组中随机抽取1人，这9人组成样本
(3)采取分层抽样 总人数为12000人，12000÷60＝200，
人余＝，余＝人，＝人，
725200
1072
126192003926167222004567
14511200
2345 =
所以从很喜爱的人中剔除145人，再抽取11人；从喜爱的人中剔除167人，再抽取22人；从一般喜爱
的人中剔除126人，再抽取19人；从不喜爱的人中剔除72人，再抽取5人
第2课 总体分布的估计
【考点导读】
1．掌握频率分布直方图、折线图表与茎叶图的做法，体会它们各自的特点. 2．会用频率分布直方图、折线图表与茎叶图对总体分布规律进行估计. 【基础练习】
1．一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为60，0.25，则n 的值是 240 2．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是 ③
①总体容量越大，估计越精确 ②总体容量越小，估计越精确 ③样本容量越大，估计越精确 ④样本容量越小，估计越精确 3． 已知某工厂工人加工的零件个数的茎叶图如右图所示 （以零件个数的前两位为茎，后一位为叶），那么工人生产 零件的平均个数及生产的零件个数超过130的比例分别是 120.5与10％ .
4
第三组的频数和频率分别是 14和0.14 . 5． 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率
分布直方图如图所示，则时速在[)50,60的汽
车大约有 60 辆.
【范例解析】
例1．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）5.89~5.79这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）. 解：（1）频率为：0.025100.25?=，频数：600.2515?=
（2）0.015100.025100.03100.005
100.75?+?+?+?=.
例2．在参加世界杯足球赛的32支球队中，随机抽取20名队员，调查其年龄为25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28.填写下面的频率分布表，据此估计全体队员在哪个年龄段的人数最多？占总数的百分之几？并画出频率分布直方图．
10 11 12 13 78
022********
0012234466788 0234
0.4
0.2 0.1 0
解： (1) (2)
（3）估计全体队员在24.5～26.5处人数最多，占总数的百分之四十. 【反馈演练】
1．对于样本频率直方图与总体密度曲线的关系，下列说法正确的是 ④
①频率分布直方图与总体密度曲线无关 ②频率分布直方图就是总体密度曲线 ③样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线
④如果样本容量无限增大,分组的组距无限的减小,那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线 2．在某餐厅内抽取100人,其中有30人在15岁以下,35人在16至25岁,25人在26至45岁,10人在46岁 以上,则数 0．35 是16到25岁人员占总体分布的 ②
① 概率 ②频率 ③ 累计频率 ④ 频数
3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15 ,17 , 14 , 10 , 15 , 17 ,17 , 16, 14 , 12． 设其平均数为a,中位数为b,众数为c ，则a, b, c 的大小关系为 a b c >>
4.已知样本：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,12则频率为0.3的范围是 ( 2 )
()[)1 5.5,7.5 ()[)27.5,9.5 ()[)39.5,11.5 ()[]411.5,13.5
5.已知10个数据如下：63，65，67，69，66，64，66, 64, 65，68.根据这些数据制作频率直方图，其 中[64.5, 6
6.5)这组所对应矩形的高为 0.2 6．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三有280人，以每人被抽取的频率为0.2，向该 中学抽取一个样本容量为n 的样本，则n = 200
(第8题)
时间(小时)
(第9题)
7. 一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下: [)10,20,2; [)20,30, 3 ; [)30,40, 4 ;
[)40,50, 5 ; [)50,60, 4 ; []60,70, 2 .则样本在区间 (),50-∞上的频率为__ 0.7 ___
8．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(2700,3000]的频率为 0.3
9．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时
间的数据，结果用右上面的条形图表示． 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 0.9小时
10.从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取15个进行检验，相关指标的检验结果为：
甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512； 乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514. (1).画出上述数据茎叶图；
(2).试比较分析甲、乙两台机器生产零件的情况. 解（1）用指标的两位数作茎，然后作茎叶图： （2）从图中可以看出，甲机器生产零件的指标
分布大致对称，指标平均在520左右，中位数
和众数均为522；乙机器生产零件的指标分布为 大致对称，指标平均在520左右，中位数和众数 分别为520和516，总的来看，甲机器生产的零 件的指标略大些..
点评 注意作茎叶图时，茎可以放两位数.
第3课 总体特征数的估计
【考点导读】
理解样本数据的方差、标准差的意义并且会计算数据的方差、标准差，使学生掌握通过合理抽样对总体稳定性作出科学的估计的思想. 【基础练习】
1．已知数据1
2
n
x x x ，，
，的平均数为5
x =，则数据1
37
x
+，2
37
x
+，…，37
n
x
+的平均数为
22 .
2．若M 个数的平均数是X, N 个数的平均数是Y,则这M+N
个数的平均数是
M X N
Y M N
++
3．数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2
，则数据2a 1，2a 2，2a 3，…，2a n 的方差为 4σ2
. 41，则下列说法正
确的是 ④ .
①甲的样本容量小 ②乙的样本容量小 ③甲的波动较小 ④乙的波动较小
8 87632 876422043 50 51 52 53 7 024668 013468
02
【范例解析】
例1.下面是一个班在一次测验时的成绩，分别计算男生和女生的成绩平均值、中位数以及众数.试分析一下该班级学习情况.
男生：55，55，61，65，68，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94；
女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97. 解：17名男生成绩的平均值是72.9分，中位数是73分，众数为55和68.
20名女生成绩的平均值是80.3分，中位数是82分，众数为73，80和82. 从上述情况来看，这个班女生成绩明显好于男生成绩.
例2.为了比较甲，乙两位射击运动员的成绩，在相同的条件下对他们进行了10次测验，测得他们的环数
解：甲x =8,乙x =8, 2甲S =3.4,2乙S =2, 所以乙更优秀
例3．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品， 称其重量，分别记录抽查数据如下： 甲：102，101，99，98，103，98，99； 乙：110，115，90，85，75，115，110． （1）这种抽样方法是哪一种方法？
（2）计算甲、乙两个车间产品的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 解：（1）采用的方法是：系统抽样； （2）1
102101999810398991007
x =++++++=甲（）；
1
110115908575115110100
7x =++++++=乙（）；
21
4114941 3.428577
S
=++++++=甲
（）；
21
100225100225625225100228.577
S
=++++++=乙
（）
∴ 22S S <乙甲 故甲车间产品比较稳定．
点评 以样本估计总体，在生产生活经常用到，发现问题，解决问题，从而更好地指导实践. 【反馈演练】
1. 下列说法中，正确的是 ④ .
① 频率分布直方图中各小长方形的面积不等于相应各组的频率 ②一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
③数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半 ④一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
2．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S 12
= 13.2，S 22
=26．26，则 ① .
①甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐 ②乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐 ③甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐
④不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度
3 ．已知样本为101 ,98, 102, 100, 99，则样本标准差为
4 .某班45人，一次数学考试，班级均分72分.已知不及格人数为5人，他们的平均成绩是52分，则及格学生的平均分为 74 .5分 .
5．高三年级1000名学生进行数学其中测试.高三年级组随机调阅了100名学生的试卷（满分为150分），
解：638410515615735889310
100
x ?+?+?+?+?+?+?+?=
=6.77
2
2222
1[6(3)8(4)10(5)15(6)60
s x x x x =
?-+?-+?-+?-
2
2
2
2
15(7)35(8)8(9)3(10)]x x x x +?-+?-+?-+?-=3.1171
6．两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件
要求.
解：先考虑各自的平均数：设机床甲的平均数、方差分别为2
11x s 、；机床乙的平均数、方差分别为2
22x s 、. 1109.81010.2
104
x +++=
=，210.1109.910
104
x +++=
=
∴两者平均数相同，再考虑各自的方差：
2
2222
11[(1010)(9.810)(1010)(10.210)]0.024s =-+-+-+-= 22
2
2
2
21[(1010)(10.110)(1010)(9.910)]0.0054
s =
-+-+-+-=
∵22
12s s >，∴机床乙的零件质量更符合要求.
第4课 案例分析
【考点导读】
1.会作两个有关联变量数据的散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.
2.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，了解回归与分析的基本思想、方法及其初步应用.
【基础练习】
1．根据下表中的数据：可求出与的线性回归方程是?0.70.1
y x
=-2．线性回归方程?y bx a
=+表示的直线必经过的一个定点是(,y)
x
3．设有一个直线回归方程为
2 1.5
y x
=-
,则变量x 增加一个单位时③ .
① y 平均增加 1.5 个单位② y 平均增加 2 个单位
③ y 平均减少 1.5 个单位④ y 平均减少 2 个单位
4．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是③ .
①都可以分析出两个变量的关系②都可以用一条直线近似地表示两者的关系
③都可以作出散点图④都可以用确定的表达式表示两者的关系
5．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是③ .
①|r|越大，相关程度越大
②|r|()
0,
∈+∞，|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大
③|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小
【范例解析】
例1．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系．
解：（1）2×2的列联表
（2
计算
2
2
124(43332721)
6.201
70546460
χ
??-?
=≈
???
因为2 5.024
γ≥，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，
即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”.
点评对两个变量相关性的研究，可先计算2
χ的值，并根据临界表进行估计与判断.
例3. 一个车间为了为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次实验，测得如下数据：
(1)y与x是否具有线性相关关系？
(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；
(3)据此估计加工200个零件所用时间为多少？
解：（1）0.998.r ≈查表可得0.05和n-2相关系数临界0.050.632r =， 由0.05r r >知y 与x 具有线性相关关系.
（2）回归直线方程为
0.66854.96y x =+ （3）估计加工200个零件所用时间189分.
【反馈演练】
1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 ④ . ①角度与它的余弦值 ②正方形的边长与面积 ③正n 边形的边数和顶点角度之和 ④人的年龄与身高
2．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立的做10次和15次试验，并且 利用线性回归方法，求得回归直线分布为1l 和2l ，已知在两人的试验中发现对变量x 的观察数据的平均值 恰好相等都为s ，对变量y 的观察数据的平均值恰好相等都为t,那么下列说法正确的是 ① . ①直线1l 和2l 有交点（s,t ） ②直线1l 和2l 相交，但是交点未必是（s,t ） ③ 直线1l 和2l 平行 ④ 直线1l 和2l 必定重合
3．下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ④ .
①正方体的棱长和体积 ②单位圆中角的度数和所对弧长 ③单产为常数时，土地面积和总产量 ④日照时间与水稻的亩产量 4．对于回归方程y=4.75x+257,当x=28时,y 的估计值为 390 .
5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
表中的数据，得到2
2
50(1320107)
4.844
23272030
χ
??-?=
≈???，因为2
3.841
χ≥，所以判定主修统计专业与性别有关系，
那么这种判断出错的可能性为 5% .
6.为了研究失重情况下男女飞行员晕飞船的情况，抽取了89名被试者，他们的晕船情况汇总如下表，根据
独立性假设检验的方法， 不能 认为在失重情况下男性比女性更容易晕船（填能或不能）
7.打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？
解：提出假设H 0：打鼾与患心脏病无关，根据数据得
2
2
1633(30135524224)
68.03.5415792541379
χ
??-?=
≈??? 当H 0成立时，2
6.635χ
≥的概率为1%，而这时
2
68.03 6.635,χ
=>所以我们有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关.
第5课古典概型
【考点导读】
1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别.
2.正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等.
【基础练习】
1.
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：事件A出现的频数n A与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率f n（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率.
解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89.
点评概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.
2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是随机事件（必然、随机、不可能）
3．下列说法正确的是③ .
①任一事件的概率总在（0.1）内②不可能事件的概率不一定为0
③必然事件的概率一定为1 ④以上均不对
3
4.一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是
8
5. 从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的
2
概率为
5
【范例解析】
例1. 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
（1）写出这个试验的基本事件；
（2）求这个试验的基本事件的总数；
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?
解：（1）这个试验的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；
（2）基本事件的总数是8.
（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.
点评一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件.
例2. 抛掷两颗骰子，求： （1）点数之和出现7点的概率；
（2）出现两个4点的概率.
解：作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S={（x ，y ）|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤6，1≤y ≤6}中的元 素一一对应.因为S 中点的总数是6×6=36（个），所以基本事件总数n=36.
（1）记“点数之和出现7点”的事件为A ，从图中可看到事件A 包含的基本事件数共6个：（6，1），（5，
2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P （A ）=
6
136
6=
.
（2）记“出现两个4点”的事件为B ，则从图中可看到事件B 包含的基本事件数只有1个：（4，4）.所以
P （B ）=
36
1.
点评 在古典概型下求P （A ），关键要找出A 所包含的基本事件个数然后套用公式
()A m
P A n
=
事件包含基本事件的个数基本事件的总数
变题 .在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求： （1）他获得优秀的概率为多少；
（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；
点拨：这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.
解：设这5道题的题号分别为1,2，3，4，5，则从这5道题中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5）， （2，4，5），（3，4，5）共10个基本事件．
（1）记“获得优秀”为事件A ，则随机事件A 中包含的基本事件个数为3，故3()10
P A =
．
（2）记“获得及格及及格以上”为事件B ，则随机事件B 中包含的基本事件个数为9，故9()10
P B =．
点评：使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.
例3. 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两 次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a 1，a 2），（a 1，b 2），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 2，a 2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品， 右边的字母表示第2次取出的产用A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则 A=[（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）] 事件A 由4个基本事件组成，因而，P （A ）=6
4=
3
2
【反馈演练】
1.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为 0.9 中10环的概率约为 0.2 . 分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为
10
9=0.9，所以中靶的概率约为0.9．
解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2． 2.一栋楼房有4个单元，甲乙两人被分配住进该楼，则他们同住一单元的概率是 0.25 . 3. 在第1,3,6,8,16路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第6 路或第16路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的 概率等于
5
2
4.把三枚硬币一起抛出，出现2枚正面向上，一枚反面向上的概率是 8
3
5.有5根细木棒，长度分别为1,3 ,5 ,7 ,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是 10
3
6. 从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字， （1）2个数字都是奇数的概率为
18
5
（2）2个数字之和为偶数的概率为 9
4
7. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为
15
8
8. A 、B 、C 、D 、E 排成一排，A 在B 的右边（A 、B 可以不相邻）的概率是
2
1
9．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是
10
7
10. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
（1）3个矩形颜色都相同的概率；（2）3个矩形颜色都不同的概率. 解：所有可能的基本事件共有27个，如图所示.
红红红红
红
红
红
红
红
红
红
红
红黄蓝黄黄黄黄
黄
黄
黄
黄
黄
黄
黄
黄
蓝蓝蓝蓝蓝蓝蓝蓝蓝蓝
蓝
蓝
（1）记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A ，由图知，事件A 的基本事件有1×3=3个，故P （A ）=91273=. （2）记“3个矩形颜色都不同”为事件B ，由图可知，事件B 的基本事件有2×3=6个，故P （B ）=
9
227
6=.
11. 甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时 掷一次.
（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少? （2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 解：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为
6
136
6=.
（2）两个玩具的数字之和共有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现12的只有一种情况，概率为
36
1.出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，
1）五种情况，所以其概率为36
5.
12.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率； （2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率． 解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z ）记录结果，则x,y,z 都有10种可能，所以试验结果有
10×10×10=103种；设事件A 为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83
种， 因此，P(A)=
3
310
8=0.512．
（2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z ），则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B 为“3件都是正品”，则事件B 包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)=
3367720
15
=．
第6课几何概型
【考点导读】
1．了解几何概型的基本特点. 2．会进行简单的几何概率的计算. 【基础练习】
1．在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 0.004
2. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是 31
3. 在1万 km 2的海域中有40 km 2
的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率 是
250
1
4. 如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则
所投的点落入小正方形内的概率是
9
4
.
5. 如下图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线落在∠xOT 内的概率是
6
1.
【范例解析】