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利率期限结构理论的最新研究述评

孙甜

（上海财经大学金融学院，上海200433）

摘要：文章对现代利率期限结构理论进行了梳理，重点介绍了这一领域的最新发展动态，即以决定期限结构变动特征的隐含因子为主要研究对象的，在无套利仿射模型和Nelson-Siegel模型基础上发展起来的扩展模型。并且总结出利率期限结构理论“形成假说—静态拟合—动态建模—一般化扩展—宏微观勾连”的基本发展脉络。

关键词：利率期限结构；研究综述；仿射模型；Nelson-Siegel模型；隐含因子

中图分类号：F224.7文献标识码：A文章编号：1002-6487（2009）04-0159-02利率期限结构理论的最新研究述评

随着1978年Black-Scholes期权定价模型的提出，金融理论开创出了以衍生产品定价为主的数量化研究领域。利率期限结构理论也从传统的定性研究方法发展到了以随机量化分析、静态拟合、动态构建为主要特点的现代阶段，对利率变动随机性进行拟合和估计的利率模型层出不穷，这些模型主要可划分为静态模型和动态模型两大类。

１现代利率期限结构理论概述

1.1利率期限结构的静态估计

静态模型主要是作为一种利率期限结构的拟合工具被提出的。由于现实中交易的债券往往多为附息票债券，零息票债券数量不足以直接推导利率期限结构，所以，静态模型的核心思想就是使用不同类型的数学函数近似地描述整条利率期限结构曲线。近似的函数包括多项式函数Chambers，Carleton，and Waldman（1984），分段函数Ronn（1987），Cole-man&Fisher（1987），分段线性函数Fama&Bliss（1987），指数函数Vasicek&Fong（1982），Nelson&Siegel（1987）,Svenson （1994），以及三次样条函数McCulloch（1975），Lizenberg-er&Rolfo（1984），Fisher，Nychka&Zervos（1995）等。针对静态模型对利率期限结构的拟合优度问题，Bliss（1996）做出了系统的比较分析，他从模型的稳定性以及样本外拟合优度标准出发，认为非平滑的Fama－Bliss模型表现最为出色，而平滑函数类则推崇Nelson-Siegel模型（1987）。

1.2利率期限结构的动态模型

动态模型的主要运用领域是为利率衍生品定价，由于这类模型建模的假设前提是市场均衡或者无套利假设成立，因此，严格的约束与复杂的形式在很大程度上限制了其在衍生品定价之外的应用。根据动态模型对利率期限结构推导过程的不同，我们可以将动态模型划分为均衡模型（equilibrium models）和无套利模型（no arbitrage models）。

1.2.1均衡模型

在均衡模型中，利率的变动必须遵循一个根据市场均衡求出的条件，相关经济变量和利率的期限结构是输入变量，利率水平是输出变量。Vasicek模型和CIR模型属于这一类型。

（1）Vasicek模型

Vasicek（1977）模型是一个Ornstein-Uhlenbeck过程，它假设瞬时利率的动态变化服从：dr=k(θ-r)dt+σdw其中，θ是一个临界值，当r<θ时，r有向上运动的趋势，当r>θ时，r有向下运动的趋势，这就体现了利率均值回复的特征。Vasicek 模型假设所有参数都不随时间变化，没有考虑利率水平对波动率产生的影响以及波动率本身的GARCH效应，同时，模型中负利率出现的概率也大于零，与实际情况不符。

（2）CIR模型

CIR模型是由Cox、Ingersoll和Ross于1985年提出的一般均衡模型，它通过对经济中的生产过程、投资者偏好等作出一系列假设，导出均衡条件下瞬时利率应该服从的方程：dr=k(θ-r)dt+σr

姨dW。该模型中瞬时利率不小于零，且波动率是r的增函数，当r的值比较高时，波动率也比较大，从而较好地描述了利率运动变化的水平效应。

1.2.2无套利模型

无套利模型采取的是相对定价原理，能够较为精确地拟合当前的利率期限结构，模型结果与观察到的收益曲线基本保持一致。Hull-White模型、Ho-Lee模型和HJM模型属于此类。

（1）Hull-White模型

该模型由Hull和White于1990年提出，发展了Vasicek 和CIR模型的扩展形式：dr=(θ-kr)dt+σdW，其中，k和σ是常数，θ随时间变化并可以通过初始的期限结构求出函数形式。Hull-White模型也具有均值回复特征，并具有时间依赖回复水平。

（2）Ho-Lee模型

1986年Ho和Lee提出的Ho-Lee模型是一个可解析的马尔可夫模型，其实质是Hull-White模型中k=0的特例。公式为dr=θdt+σdW，其中σ是常数，θ随时间变化。该模型认为初始期限结构已经包含了利率预测所需的所有信息，因而其变化是可测的，但是，模型不具有均值回复特征，并且模型

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假设瞬时标准差σ恒定是与事实不符的。

（3）HJM模型

HJM模型是Heath,Jarrow和Morton于1992年提出，它是Ho-Lee模型的推广：df(t，T)=θ(t,T)dt+σ(t,T)dW，其中f(t,T)表示远期利率，σ(t,T)是波动率，模型通过一个无风险资产和N个风险资产的组合构造资产市场上的所有资产，从期限结构的波动率入手得到债券定价的全部信息。但是由于HJM 模型一般不具有马尔可夫性，使得利率具有路径依赖，在构造二叉树或者三叉树模型时计算和模拟变得非常复杂，一般要通过蒙特卡罗模拟方法或非重合树图方法来处理。

1.2.3动态模型的拓展

（1）跳-扩散模型（Jump-diffusion model）

Baz和Das在1996年提出的跳-扩散模型中对假设利率服从扩展的Vasicek跳-扩散过程：dr=k(θ-r)dt+σdW+JdN，其中，N(t)服从强度为λ的泊松分布，即dt时间内发生跳的概率是λdt。

（2）仿射模型（Affine model）

多因子仿射模型是是由Duffie和Kan在1996年提出来的，Dai和Singleton在2000年和2002年分别对这一模型进行了进一步梳理和细化。该模型分析的起点是给出状态变量的随机微分方程：dr t=f(r,t)dt+ρ(r,t)dW(t)，其中W(t)是概率空间(Ω,F,P)上的标准布朗运动。在任意一时点上，瞬时利率dr t 的变化可以分解为f(r,t)dt和ρ(r,t)dW(t)两部分，f(r,t)dt称为漂移项，是非随机的；ρ(r,t)dW(t)称为扩散项，是随机的。仿射模型是一个一般化的通用模型，它将一系列利率期限结构模型包含在其中。

（3）机制转换模型（Regime switching model）

Hamiltion在1989年提出的Markov机制转换模型,可以在利率期限结构模型中假设某一内生性的结构性转变,捕捉经济或金融的时变状态变化，Bansal和Zhou(2001)运用半参数法和有效据估计得到两因子机制转换模型的拟合效果最好。针对Markov机制转换模型状态间转移概率不变的情况，Bernadell、Coche和Nyholm（2005）进行了扩展，得出了假设转移概率依赖于某些变量变化的BCN机制转换模型。

２利率期限结构理论的最新发展及研究成果

利率模型种类和形式的纷繁复杂，主要是由于模型本身是为了满足不同的需要而产生的，比如对研究微观金融的人而言，远期利率是一系列风险调整后的即期利率的期望，如何准确地对即期利率进行拟合和估计是核心问题；而对于宏观政策的制定者而言，他们关注的重点是作为政策工具的短期利率如何影响长期利率变动从而对实体经济产生作用。以前的很多文献主要以主成分分析为手段研究宏观经济对利率期限结构的影响，该方法将利率期限结构解释为由几个互相正交的因子，并直接用横截面数据估计出来。从2002年之后（以Duffie(2002)为时间分隔点），利率期限结构理论的最新发展则为了在微观金融和宏观经济之间搭建起一个桥梁，其核心思想是将债券价格和宏观经济变量中所含的信息全部吸收到模型中来，而具体的做法是将对利率期限结构的刻画转化为对决定利率期限结构特征的因子的变动进行刻画和预测，即所谓的隐含因子模型。不同模型的差异主要表现在隐含因子的构建方法上，具体有两种：

第一种是以无套利仿射模型为典型代表的发展。采用动态利率模型的函数形式，规定隐含因子及其载荷服从某种仿射函数形式，并加入无套利约束条件。由于加上了严格的无套利约束，一开始Duffee(2002)的预测效果并不理想，随后Ang&Piazzesi（2003）通过将瞬时利率表示为受宏观变量和状态变量共同影响的因子，将宏观变量成功的引入了标准的仿射期限结构模型。Hordahl、Tristani&Vestin（2006）进一步放开了前文对宏观变量的正交约束，并且允许利率期限结构受到的冲击也能反馈给宏观经济，构建了新的无套利模型。

第二种是以Nelson－Siegel模型为基础发展起来的用固定函数形式的参数作为隐含因子的方法。它与主成分分析的最大区别是将决定因子视为状态变量，对其不加约束，而对载荷进行一定的约束。这种方法最早是由Diebold&Li在2002年的手稿中提出的，该文于2006年发表在Journal of Econometrics上，他们的实证结果说明N-S模型的三个参数分别与实证意义上的水平、斜率和曲度因子高度相关，可以对三个状态变量构造AR模型。

原始的Nelson－Siegel模型：y(τ)=β1+β2（1-e-λτ）+β3e-λτ

扩展的Nelson－Siegel模型：y(τ)=L t+（1-e-λτ

λτ

）S t+(1-e-λτ

λτ-e-λτ)C t

其中，

L t

S t

C t

a11a12a13

a21a22a23

a31a32a33

L t-1

S t-1

C t-1

ηLt

ηst

ηct

在Diebold、Rudebusch&Aruoba（2004）的进一步研究中，将预测模型写成状态空间形式并使用kalman滤波进行估计，并且用方差分解、脉冲反应研究了宏观变量与三个状态变量的关系。Diebold,Li&Yue（2008)的最新成果中将模型引入开放经济环境，把国家之间的宏观变量和流动性因素吸收到状态空间中，并对美国、英国、德国和日本的利率期限结构进行了实证研究。Bernadell、Coche、Nyholm（2005）也利用了N-S模型的框架，运用Markov机制转换模型引入CPI和GDP数据作为划分不同经济状态的标准，使用kim滤波和kalman滤波估计出了模型参数。

总的来说，基于无套利仿射模型和基于Nelson－Siegel模型的两种方法都在一定程度上达到了勾连宏观与微观的作用，并且将静态模型和动态模型在某种程度上进行了融合。在具体应用中，扩展的Nelson－Siegel模型容易估计且拟合和预测效果较好，因此被很多从事经济政策制定和进行实证研究的人所使用；而无套利的仿射模型虽然在估计和数值计算上较为复杂，但是模型引入的无套利约束条件和仿射模型本身对利率模型的包容性非常强，因此常常被理论研究者所引用。为了能够将两者的优点相结合，模型的提出者们在隐含因子模型的基本框架下，分别进行了两方面拓展：一方面是在扩展的Nelson－Siegel模型中引入无套利条件，如Chris-tensen,Diebold&Rudebusch。(2008b)和Diebold,Li&Yue

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统计与决策2009年第4期（总第280期）

秦伶俐，王生喜

（新疆财经大学应用数学学院，乌鲁木齐830012）

摘要：对于具有分红性质的保险产品或是进行了股份制改革的保险公司来说，一个需要研究

的问题是如何确定其红利策略，使得投保人或股东利益最大化。在实际中，关于个体索赔额分布的信息一般是不能完全得到的。文章研究了具有常量红利界的经典风险模型，利用个体索赔额分布的前几阶矩得到最优红利界的De Vylder 估计方法。

关键词：经典风险模型；常量红利界；最优红利界；De Vylder 逼近中图分类号：O211

文献标识码：A

文章编号：1002-6487（2009）04-0161-03

具有常量红利界的经典风险模型及其最优红利界的De Vylder 估计方法

在聚合风险理论中，基本的组成是保费到达速率c ；

Poisson 参数λ，即索赔强度；个体索赔额的分布，它的概率密

度为p(y)，y>0。在实际中，关于个体索赔额分布的信息一般是不能完全得到的。人们希望利用这个分布的前几阶矩给出问题的合理估计。以下，定义个体索赔额的k 阶原点矩为p k ，k=

1，2，3，…。文章主要研究、讨论的就是仅利用上述分布的前

几阶矩进行最优红利界的估算。

１具有常量红利界的经典风险模型

经典风险模型假设如下[1]：设U(t)为保险公司在时刻的盈余，则

U(t)=u+ct-S(t)，t ≥0

（1）

其中u 是初始准备金，c 是保险公司单位时间征收的保险费率，X i (i ≥1)表示第i 次索赔额,索赔总额S(t)=

N(t)

i =1

ΣX

是

一个复合Poisson 过程，{X i :i ≥1}是恒正的、独立同分布的非负随机序列。其共同的分布函数为F(x)，共同的概率密度为p

(x)。均值p 1=E(X 1)=

+∞

乙(1-F(x))dx 。N(t)则表示t 时刻为止发生

(2008)。另一方面Diebold,Piazzesi&Rudebusch,G.D.(2005)和Christensen,Diebold&Rudebusch,(2008a)则试图在无套利仿

射框架下解释和包络扩展的Nelson －Siegel 模型，从而使得仿射族模型成为整个利率模型的最一般形式。

３小结

从利率期限结构理论发展的整体脉络上看，主要经历了

期限结构的形成———静态拟合———动态建模———一般化扩展———宏微观勾连几个基本阶段，对利率期限结构的研究从最开始的形成原因探析到运用随机数理方法进行拟合和建模，然后到运用利率模型对固定收益产品定价，再到引入宏观变量和机制因素对利率变动和实体经济进行共同分析，体现了这个理论体系的强大生命力和它在金融、经济理论中的重要地位。

站在世界和中国经济周期的拐点处，我们目睹了华尔街繁华背后的风雨飘摇，经历着全球通胀加剧和经济减速的时代阵痛，随着中国利率和汇率市场化改革的深入和债券市场的快速发展，在经济的周期和波动面前，如何对利率政策进行科学的决策、对利率产品实行精细化管理、对利率风险做

出前瞻性预测，将是每一个从事固定收益研究和投资的人需要深入分析的课题，而借鉴发达国家的最新理论成果并结合我国的实际状况展开研究将是值得深入探索的良好途径。

参考文献：

[1]Ang, A.and Piazzesi,M.A No-Arbitrage Vector Autoregression of Term Structure Dynamicswith Macroeconomic and Latent Vari -ables[J].Journal of Monetary Economics,2003，（50）.

[2]Ang, A.,Piazzesi,M.And Wei,M.What Does the Yield Curve Tell us About GDP Growth [M].manuscript,Columbia University and UCLA ，2003.

[3]Bj 觟rk,T.and Christensen, B.Interest Rate Dynamics and Con -sistent Forward Rate Curves[J].Mathematical Finance,1999，（9）.[4]Brousseau,V.The Functional Form of Yield Curves[M].Working Paper 148,European CentralBank ，2002.

[5]Campbell,J.Y.and R.J.Shiller.Yield Spreads and Interest Rate Movements:A Bird ’s EyeView [J].Review of Economic Studies,1995，（57）.

[6]Christensen,Diebold and Rudebusch,G.D.The Affine Arbitrage -Free Class of Nelson-Siegel Term Structure Models[M].Mimeo ，2008.

（责任编辑/浩天）

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