定积分产生的历史意义

定积分产生的历史意义

定积分就是求函数f(X)在区间[a，b]中图线下包围的面积。即由 y=0，x=a，x=b，y=f(X)所围成图形的面积。其定义为：设函数f(x) 在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]， (x2，x3]，…， (x n-1，x n]，其中x0=a，x n=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，△x2=x2-x1，…，△x n=x n-x n-1。在每

个子区间(x i-1，x i]中任取一点ξi（1，2，。。。，n），作和式。设λ=max{△x1，△x2，…，△x n}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a，b]的定积分，记为。

定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。在历史上，积分观念的形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。

未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9 × N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。

在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿-莱布尼茨的微积分基本定理。定理演示了一个整合和分化之间的连接。这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。特别是微积分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。同等重要的是，牛顿-莱布尼茨开发全面的数学框架。由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。这个框架最终成为现代微积分符号。

定积分的逐渐发展和完善，促使了定积分术语和符号的规范。艾萨克牛顿以上的变量使用一个小竖线表示一体化，或放置在一个盒子里的变量，竖线是很容易混淆。牛顿用x 或x 来指示分化，可方块符号打印机难以重现，所以这些符号没有被广泛采用。 1675 年戈特弗里德莱布尼茨所使用的积分符号“∫”从字母 S（“总结”或“总”）改编而来。

∫符号表示的整合; A和 B 的下限和上限，分别一体化，定义域的融合; f是积，x在区间[a，b]上的变化进行评估; 从历史上看，黎曼严格解释无穷小的早期努力失败后，正式定义为积分的加权求和的限制，使有差别的限制（即间隔宽度）。黎曼的间

隔和连续性的依赖的缺点促使了新的定义，尤其是勒贝格积分，这是建立能力，延长了“措施”，以更灵活的方式的想法。 因此，符号u f A

d x ）（是指在分区函数值μ测量的重量被分配到每个值，加权

总和。 在这里，A 表示一体化的地区。

定积分的运用：

1.解决求曲边图形的面积问题;

2.求变速直线运动的路程：做变速直线运动的物体经过的路程s ，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分;

3.变力做功：某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a ，b]上做的功等于F=F(x)在[a ，b]上的定积分。

定积分既是一个基本概念，又是一种基本思想。 定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”。定积分这种“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的，教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分的概念逐步发展建立起来。可以说，定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法（或思维模式），即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等。

定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要创举。微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举，也是人类文明的一个伟大成果。正如恩格斯评价的那样：“在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了。”它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具：如数学研究、求数列极限、证明不等式等。而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生和发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，如：气象、弹道的计算、运动状态的分析等都要用的到微积分。

第五章_第一节_不定积分的概念、性质.

经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、

定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分

经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)

定积分的定义及几何意义

精品文档 定 积 分 教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点：过程的理解． 1.定积分的概念： 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<< <<<<=将区间 [,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明： （1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? （3）积分的几何意义：曲边图形面积：()b a S f x dx =?； 积分的物理意义： 变速运动路程21()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr =? 2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=?1 性质2 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）

定积分的意义及其在几何中的应用

定西师范高等专科学校本科毕业论文(设计) 题目：定积分的意义及其在几何中的应用 学院兰州大学数学与统计学院 专业数学应用 班级 09数学教育二班 学号 1500902052 姓名蔡兴盛 指导教师王宾国 兰州大学教务处制 二Ｏ一二年三月

定积分的意义及其在几何中应用 定积分在大学数学中起着非常重要的作用，是大学数学的基础，在我们 的生活中也起着很重要的作用！ 内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学的应用做了重点研究。幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。 关键词： 定积分 柯西 微分 方程 几何 一、定积分的概念 1.1定积分的定义 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限． 说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为 ()b a f x dx ? ，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑ ； ④取极限：() 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑?

定积分的定义及几何意义

教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点：过程的理解． 1.定积分的概念： 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间 等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式： 如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为： 其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。 说明： （1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：等分区间； ②近似代替：取点； ③求和：； ④取极限： （3）积分的几何意义：曲边图形面积：； 积分的物理意义： 变速运动路程； 变力做功 2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 性质2 （其中k 是不为0的常数） 性质3 性质4 例题：求曲线2x y =与0,1==y x 所围成的区域的面积 解：（1）分割:将区间等分成个小区间： （2）近似代替： 2)1(1n i n s i -=? （3）求和： 从而得到的近似值 )12)(11(61n n s --= （4）取极限：

例1．利用定积分的定义计算dx x )1(21 0+?的值。 例2．计算定积分=。 练习： 1.利用定积分的定义计算dx x )12(1 0+?的值。 2.计算下列定积分 （1） （2） （3） dx x )43(22 2--?- （4）求定分d x ．

5.1定积分的概念与性质_习题

1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）； 【解】第一步：分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-L ），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+， （1,2,,k n =L ），每个小区间的长度均为k b a n -?=， 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+， （1,2,,k n =L ）， 第二步：求和 对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2 b a b a n n na n n ---=+? 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-22 2b a -=， 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。 ⑵ 1 x e dx ?。 【解】第一步：分割

不定积分概念及其基本运算性质

备课本 Lesson Preparation ______--______学年第____学期 Academic Year - Semester 课程名称_______________________ Course 教材名称及版本_______________________ T extbook and Edition 授课班级_______________________ Class 教师姓名_______________________ Teacher 审核人_______________________ Approver

填写说明 1、此备课本用来书写教案，适用于所有专职教师、兼职教师和兼课教师。 2、所有承担教学任务的教师需书写纸质版教案，如因使用多媒体教学需要和教学任务繁重，可用电子版教案，但格式必须按纸质版格式，且所有教案的书写应与学期授课计划相符合。 3、备课过程中的各个环节和要素可根据实际授课内容进行填写。如： 授课课题：（教学章、节、标题或项目名称） 教学目标和要求：（教学目标一般说应包含知识教学、能力发展和思想教育三方面内容，教学要求是指识记、理解、简单应用、综合应用等层次） 教学重点和难点：教学重点，是为了达到确定的教学目的而必须着重讲解和分析的内容；教学难点，是就学生的接受情况而言的，学生经过自学还不能理解或理解有困难的地方，即可确定为教学难点。 教学方法：（讨论、启发、演示、辩论、讲练结合、案例教学、情境模拟等） 教学手段：（多媒体教学、录像带、挂图、幻灯片等） 授课时间：第周 课时累计： 教学过程：（体现教学步骤，包括时间分配和教学内容教学进程）作业布置：（含思考题、讨论题） 课后反思：（因为课后反思是教案实施效果追记，课前还不能打印，只能课后用笔手写） 4、备课本的审核人为各教研室（项目中心）主任。

定积分几何意义的动态演示

定积分几何意义的动态演示 ------兼谈几何画板的制图方法 孙国庆 沿河县第二中学 565300 定积分是普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2中的重要内容，它的几何意义是：如果在区间],[b a 上函数)(x f 连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分?b a dx x f )(表示由直线0,,===y b x a x 和)(x f y =所围成的曲边梯形（图1）的面积.为了求曲边梯形的面积，主要采取“分割、近似代替、求和、取极限”等步骤来完成，在教学过中如果借助几何画板，可以形象直观地展示“以直代曲”“逼近”的过程，为帮助学生理解定积分的定义.本文拟借助几何画板求以2)(x x f =为曲边的曲边梯形面积的过程，渗透“以直代曲”的方法和极限思想. 一．用几何画板制作曲边梯形 步骤1.单击“图表”中的“正方形网格”，在横坐标轴上 “构造”线段AB ，分别“度量”出点A 、B 的值作为区间[b a ,]. 步骤2.在线段AB 上“构造”一点C ，并“度量”点C 的 “横坐标”得C x 的横坐标值. 步骤3.在“图表”中“新建函数”2)(x x f =，单击“度量” 中的“计算”，在“新建计算”框中点击2)(x x f =，再点击C x 点“确定”得函数2)(x x f =的纵坐标值. 步骤4.先后选中度量值C x 、2 C x ，单击“图表”中的“绘 制点”，得函数2)(x x f =图象上的一个点1C . 步骤5.先后选中点C 和1C ，单击“构造”中的“轨迹”，得函数2)(x x f =在区间[b a ,]上的图象. 步骤6.重复步骤3、4分别得出点A 、B 在函数图象上的 对应点1A 、1B ，再分别“构造”线段1AA 、1BB ，得曲边梯形11A ABB （如图1）. 二、对曲边梯形进行均匀分割 步骤1.在线段AB 上“构造”一点D ，重复上述“一”中的步骤6画线段1DD .

高二定积分的计算(理科)

年 级 高二学科数学 内容标 题 定积分的计算 编稿老 师 胡居化 一、教学目标： 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数) (x f在区间［a，b］上的定积分表示为：?b a dx x f) ( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f（x）在区间[a，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f) (的

几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=? ，在图 （3）中：dx )x (f b a ?表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x= b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ，b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则

不定积分概念及公式

5．1不定积分的概念 一． 原函数的概念 定义1：设)(x f 是定义在区间上的已知函数，若存在一个函数)(x F 对于该区间上的每一点都有：)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=。则：)(x F 为)(x f 的一个原函数。 例：,3)(23x x ='则：3x 是23x 的一个原函数，另外由于 2323233)3(,3)1(,3)1(x x x x x x ='+='-='+，。。。。。。 即：,3,1,1333+-+x x x 。。。。。。等等也都是23x 的原函数。 即：C x +3（C 常数）全为23x 的原函数。 所以，有下面定理。 定理：一个函数)(x f ，若有一个原函数)(x F ，则必有无穷多个。而这写原函数只相差一个常数。C x F +)(是)(x f 的全体原函数。 例：设x e x cos -是)(x f 的原函数，求：)(x f '。 解：由原函数概念可知，若x e x cos -是)(x f 的原函数 则有 )(sin )cos (x f x e x e x x =+='-， 所以 =')(x f )sin ('+x e x =x e x cos + 二． 不定积分的定义 定义2。设函数)(x F 为函数)(x f 的一个原函数，则)(x f 的全部原函数C x F +)(（C 为任意常数）称为函数)(x f 的不定积分。记

作：?dx x f )(。即：?dx x f )(C x F +=)(。 )(x f ：被积函数，dx x f )(：被积表达式，x ：积分变量，?：积分号，C ：积分常数。 存在原函数的函数为：可积函数。求已知函数的不定积分，只要求出它的一个原函数，再加一个C （任意常数）。 例：求积分dx x ?23 解：233)(x x =' ∴dx x ?23C x +=3 例：求积分?xdx cos 解： x x cos )(sin =' ∴ ?dx cos C x +=sin 例：求积分dx e x ? 解： x x e e =')( ∴ dx e x ?C e x += 例：求积分dx x ?1 解： (x x 1)ln ='，)0(>x )0(,1)1(1])[ln(<=-?-='-x x x x dx x ?1C x +=ln 不定积分?（互逆）求导数。

不定积分的概念与性质

§4.1 不定积分的概念与性质 阶段练习题(A) 一、选择题 1.下列等式中正确的是( ). (A)d( ()d )()f x x f x =?; (B)d [d ()]()d d f x f x x x =?; (C)d ()()f x f x =?; (D)()d ()f x x f x C '=+?. 2.设函数 (),x f x a =()(0,1)ln x a g x a a a =>≠,则( ). (A) ()g x 是()f x 的不定积分; (B)()g x 是()f x 的导数; (C) ()f x 是()g x 的原函数; (D)()g x 是()f x 的原函数. 3. ()f x 的一个原函数为ln x ,则()f x '=( ). (A) 1x ; (B) ln x x x C -+; (C)2 1x - ; (D)x e . 二、填空题 1. ( 5 sin d )x x x '=? . 2.d(arctan )x =? . 3. ()f x 的原函数是2ln ,x 则3()d x f x x '=? . 4.设 21(),cos f x x = 则()d f x x '=? ,d ()d d f x x x =? ,()d f x x =? . 5.设 ()d ,x x f x x xe e C =-+?则()d f x x '=? . 6.设()f x 的一个原函数为1 ,x 则()f x '= . 7.过点(0,1)且在横坐标为 x 的点处的切线斜率为3x 的曲线方程为 . 8.设 22(cos )sin ,f x x '=且(0)0,f =则()f x = . 9.21 ( 1)dcos cos x x -=? . 三、解答题 求下列不定积分: 1. x ; 2.2 1 (1x x - ?; 3.21d 1x x e x e -+?; 4.221d sin cos x x x ?; 5. 327d 3x x x --?; 6.4x ; 7. 221d (1)x x x +?; 8.2sin d 2 x x ?; 9. 2 cot d x x ?; 10.d 1cos 2x x -? ; 11. 22d 1x x x +?; 12.2d x x e x ?.

5-1定积分的概念、几何意义、性质.

第五章定积分及其应用 5-1定积分的概念.几何意义、性质 5-2变限积分函数 5-3牛顿—莱布尼兹公式 5-4定积分的换元积分法和分部积分法 5-5广义积分与瑕积分 5-6定积分的几何应用 学IR 5. 1定积分的概念、几何意义、性质 V 引入实例 4二、定积分的概念 ＞三、定积分的几何意义 定积分的几何意义

一、引入实例 1.曲边梯形的面积 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积. 解决步骤： (1)分割用分点H "州勺? J ? f r 把区间阪耐分成〃个小区间 第「个小区间的长度记为A%?(心1,2,…，町，即

一、引入实例 1.曲边梯形的面积 (2)近似代替 在第i个小区间上任取一点＜匕W叫)， 用以△坷为宽JC)为高的小‘ 矩形 的面积/?)△叫近似代替相应小曲 边梯形的面积，即 一、引入实例 1.曲边梯形的面积 (3)求和 n n 1=1 t=l (4)取极限 a i| & E-iW E * b x AAj ?(/ = 1,2,…， “) 04占儿九禺心? b 天令兄=max{ Ax p Ax, ........ Ax n},则 职业技术学IR

一、引入实例 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，已知速度V= 且>0,如何计算物体从时刻t =找到时刻所经过的路程？ 一.引入实例 2?变速直线运动的路程 __________________ 解决步骤： (1) 把时间区间S0］分成〃个小区间 第，个小区间的长度记为 △“ = “ 一= 1,2,.??，“) 肩业技术字IR