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2019山东省济宁市中考数学试卷 解析版

2019年山东省济宁市中考数学试卷

一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求

1.(3分)下列四个实数中,最小的是()

A.﹣B.﹣5C.1D.4

2.(3分)如图,直线a,b被直线c,d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4的度数是()

2019山东省济宁市中考数学试卷  解析版

A.65°B.60°C.55°D.75°

3.(3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()

A.B.C.D.

4.(3分)以下调查中,适宜全面调查的是()

A.调查某批次汽车的抗撞击能力

B.调查某班学生的身高情况

C.调查春节联欢晚会的收视率

D.调查济宁市居民日平均用水量

5.(3分)下列计算正确的是()

A.=﹣3B.=C.=±6D.﹣=﹣0.6

6.(3分)世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设,“孔夫子家”自此有了5G网络.5G网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍,在峰值速率下传输500兆数据,5G网络比4G网络快45秒,求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据,依题意,可列方程是()

A.﹣=45B.﹣=45

C.﹣=45D.﹣=45

7.(3分)如图,一个几何体上半部为正四棱锥,下半部为立方体,且有一个面涂有颜色,该几何体的表面展开图是()

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A.B.

C.D.

8.(3分)将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是()A.y=(x﹣4)2﹣6B.y=(x﹣1)2﹣3C.y=(x﹣2)2﹣2D.y=(x﹣4)2﹣2

9.(3分)如图,点A的坐标是(﹣2,0),点B的坐标是(0,6),C为OB的中点,将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′.若反比例函数y=的图象恰好经过A′B的中点D,则k的值是()

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A.9B.12C.15D.18

10.(3分)已知有理数a≠1,我们把称为a的差倒数,如:2的差倒数是=﹣1,﹣1的差倒数是=

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.如果a1=﹣2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数……依此类推,那么a1+a2+…+a100的值是()

A.﹣7.5B.7.5C.5.5D.﹣5.5

二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分。

11.(3分)已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,则方程的另一个根是.

12.(3分)如图,该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是.

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13.(3分)已知点P(x,y)位于第四象限,并且x≤y+4(x,y为整数),写出一个符合上述条件的点P的坐标.

14.(3分)如图,O为Rt△ABC直角边AC上一点,以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D,交OA于点E,已知BC=,AC=3.则图中阴影部分的面积是.

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15.(3分)如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(﹣1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是.

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三、解答题:本大题共7小题,共55分,

16.(6分)计算:6sin60°﹣+()0+|﹣2018|

17.(7分)某校为了解学生课外阅读情况,就学生每周阅读时间随机调查了部分学生,调查结果按性别整理如下:

女生阅读时间人数统计表

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根据图表解答下列问题:

(1)在女生阅读时间人数统计表中,m=,n=;

(2)此次抽样调查中,共抽取了名学生,学生阅读时间的中位数在时间段;

(3)从阅读时间在2~2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动,恰好抽到男女生各一名的概率是多少?

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18.(7分)如图,点M和点N在∠AOB内部.

(1)请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相等(保留作图痕迹,不写作法);

(2)请说明作图理由.

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19.(8分)小王骑车从甲地到乙地,小李骑车从乙地到甲地,小王的速度小于小李的速度,两人同时出发,沿同一条公路匀速前进.图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系.

请你根据图象进行探究:

(1)小王和小李的速度分别是多少?

(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.

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20.(8分)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,D是的中点,E为OD延长线上一点,且∠CAE=2∠C,AC与BD交于点H,与OE交于点F.

(1)求证:AE是⊙O的切线;

(2)若DH=9,tan C=,求直径AB的长.

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21.(8分)阅读下面的材料:

如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,

(1)若x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数;

(2)若x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是减函数.

例题:证明函数f(x)=(x>0)是减函数.

证明:设0<x1<x2,

f(x1)﹣f(x2)=﹣==.

∵0<x1<x2,

∴x2﹣x1>0,x1x2>0.

∴>0.即f(x1)﹣f(x2)>0.

∴f(x1)>f(x2).

∴函数f(x)═(x>0)是减函数.

根据以上材料,解答下面的问题:

已知函数f(x)=+x(x<0),

f(﹣1)=+(﹣1)=0,f(﹣2)=+(﹣2)=﹣

(1)计算:f(﹣3)=,f(﹣4)=;

(2)猜想:函数f(x)=+x(x<0)是函数(填“增”或“减”);

(3)请仿照例题证明你的猜想.

22.(11分)如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD边上一点,连接AE,将矩形ABCD沿AE折叠,顶点D恰好落在BC边上点F处,延长AE交BC的延长线于点G.

(1)求线段CE的长;

(2)如图2,M,N分别是线段AG,DG上的动点(与端点不重合),且∠DMN=∠DAM,设AM=x,DN=y.

①写出y关于x的函数解析式,并求出y的最小值;

②是否存在这样的点M,使△DMN是等腰三角形?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.

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参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求

1.(3分)下列四个实数中,最小的是()

A.﹣B.﹣5C.1D.4

【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.

【解答】解:根据实数大小比较的方法,可得

﹣5<﹣<1<4,

所以四个实数中,最小的数是﹣5.

故选:B.

【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小.

2.(3分)如图,直线a,b被直线c,d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4的度数是()

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A.65°B.60°C.55°D.75°

【分析】首先证明a∥b,推出∠4=∠5,求出∠5即可.

【解答】解:∵∠1=∠2,

∴a∥b,

∴∠4=∠5,

∵∠5=180°﹣∠3=55°,

∴∠4=55°,

故选:C.

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【点评】本题考查平行线的判定和性质,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.

3.(3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()

A.B.C.D.

【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解.

【解答】解:A、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项正确;

B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项错误;

C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;

D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误.

故选:A.

【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念:轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合,中心对称是要寻找对称中心,旋转180°后与原图重合.

4.(3分)以下调查中,适宜全面调查的是()

A.调查某批次汽车的抗撞击能力

B.调查某班学生的身高情况

C.调查春节联欢晚会的收视率

D.调查济宁市居民日平均用水量

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似解答.

【解答】解:A、调查某批次汽车的抗撞击能力,适合抽样调查,故A选项错误;

B、调查某班学生的身高情况,适合全面调查,故B选项正确;

C、调查春节联欢晚会的收视率,适合抽样调查,故C选项错误;

D、调查济宁市居民日平均用水量,适于抽样调查,故D选项错误.

故选:B.

【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.

5.(3分)下列计算正确的是()

A.=﹣3B.=C.=±6D.﹣=﹣0.6

【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案.

【解答】解:A、=3,故此选项错误;

B、=﹣,故此选项错误;

C、=6,故此选项错误;

D、﹣=﹣0.6,正确.

故选:D.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质,正确掌握相关性质是解题关键.

6.(3分)世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设,“孔夫子家”自此有了5G网络.5G网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍,在峰值速率下传输500兆数据,5G网络比4G网络快45秒,求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据,依题意,可列方程是()

A.﹣=45B.﹣=45

C.﹣=45D.﹣=45

【分析】直接利用5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案.

【解答】解:设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据,依题意,可列方程是:

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﹣=45.

故选:A.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,正确得出等式是解题关键.

7.(3分)如图,一个几何体上半部为正四棱锥,下半部为立方体,且有一个面涂有颜色,该几何体的表面展开图是()

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A.B.

C.D.

【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题,注意带图案的一个面不是底面.

【解答】解:选项A和C带图案的一个面是底面,不能折叠成原几何体的形式;

选项B能折叠成原几何体的形式;

选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同.

故选:B.

【点评】本题主要考查了几何体的展开图.解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形.注意做题时可亲自动手操作一下,增强空间想象能力.

8.(3分)将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是()A.y=(x﹣4)2﹣6B.y=(x﹣1)2﹣3C.y=(x﹣2)2﹣2D.y=(x﹣4)2﹣2

【分析】先把y=x2﹣6x+5配成顶点式,得到抛物线的顶点坐标为(3,﹣4),再把点(3,﹣4)向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,﹣2),然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.

【解答】解:y=x2﹣6x+5=(x﹣3)2﹣4,即抛物线的顶点坐标为(3,﹣4),

把点(3,﹣4)向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,﹣2),

所以平移后得到的抛物线解析式为y=(x﹣4)2﹣2.

故选:D.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.

9.(3分)如图,点A的坐标是(﹣2,0),点B的坐标是(0,6),C为OB的中点,将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′.若反比例函数y=的图象恰好经过A′B的中点D,则k的值是()

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A.9B.12C.15D.18

【分析】作A′H⊥y轴于H.证明△AOB≌△BHA′(AAS),推出OA=BH,OB=A′H,求出点A′坐标,再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题.

【解答】解:作A′H⊥y轴于H.

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∵∠AOB=∠A′HB=∠ABA′=90°,

∴∠ABO+∠A′BH=90°,∠ABO+∠BAO=90°,

∴∠BAO=∠A′BH,

∵BA=BA′,

∴△AOB≌△BHA′(AAS),

∴OA=BH,OB=A′H,

∵点A的坐标是(﹣2,0),点B的坐标是(0,6),

∴OA=2,OB=6,

∴BH=OA=2,A′H=OB=6,

∴OH=4,

∴A′(6,4),

∵BD=A′D,

∴D(3,5),

∵反比例函数y=的图象经过点D,

∴k=15.

故选:C.

【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征,坐标与图形的变化﹣旋转等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.

10.(3分)已知有理数a≠1,我们把称为a的差倒数,如:2的差倒数是=﹣1,﹣1的差倒数是=

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.如果a1=﹣2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数……依此类推,那么a1+a2+…+a100的值是()

A.﹣7.5B.7.5C.5.5D.﹣5.5

【分析】求出数列的前4个数,从而得出这个数列以﹣2,,依次循环,且﹣2++=﹣,再求出这100个数中有多少个周期,从而得出答案.

【解答】解:∵a1=﹣2,

∴a2==,a3==,a4==﹣2,……

∴这个数列以﹣2,,依次循环,且﹣2++=﹣,

∵100÷3=33…1,

∴a1+a2+…+a100=33×(﹣)﹣2=﹣=﹣7.5,

故选:A.

【点评】本题考查了规律型:数字的变化类:通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素,然后推广到一般情况.

二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分。

11.(3分)已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,则方程的另一个根是﹣2.

【分析】根据根与系数的关系得出x1x2==﹣2,即可得出另一根的值.

【解答】解:∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,

∴x1x2==﹣2,

∴1×x2=﹣2,

则方程的另一个根是:﹣2,

故答案为﹣2.

【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,得出两根之积求出另一根是解决问题的关键.

12.(3分)如图,该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是140°.

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【分析】先根据多边形内角和定理:180°?(n﹣2)求出该多边形的内角和,再求出每一个内角的度数.

【解答】解:该正九边形内角和=180°×(9﹣2)=1260°,

则每个内角的度数==140°.

故答案为:140°.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理:180°?(n﹣2),比较简单,解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和.

13.(3分)已知点P(x,y)位于第四象限,并且x≤y+4(x,y为整数),写出一个符合上述条件的点P的坐标(1,﹣2)(答案不唯一).

【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出x,y的取值范围,进而得出答案.

【解答】解:∵点P(x,y)位于第四象限,并且x≤y+4(x,y为整数),

∴x>0,y<0,

∴当x=1时,1≤y+4,

解得:0>y≥﹣3,

∴y可以为:﹣2,

故写一个符合上述条件的点P的坐标可以为:(1,﹣2)(答案不唯一).

故答案为:(1,﹣2)(答案不唯一).

【点评】此题主要考查了点的坐标,正确把握横纵坐标的符号是解题关键.

14.(3分)如图,O为Rt△ABC直角边AC上一点,以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D,交OA于点E,已知

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BC=,AC=3.则图中阴影部分的面积是.

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【分析】首先利用勾股定理求出AB的长,再证明BD=BC,进而由AD=AB﹣BD可求出AD的长度;利用特殊角的锐角三角函数可求出∠A的度数,则圆心角∠DOA的度数可求出,在直角三角形ODA中求出OD的长,最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积.

【解答】解:在Rt△ABC中,∵BC=,AC=3.

∴AB==2,

∵BC⊥OC,

∴BC是圆的切线,

∵⊙O与斜边AB相切于点D,

∴BD=BC,

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∴AD=AB﹣BD=2﹣=;

在Rt△ABC中,∵sin A===,

∴∠A=30°,

∵⊙O与斜边AB相切于点D,

∴OD⊥AB,

∴∠AOD=90°﹣∠A=60°,

∵=tan A=tan30°,

∴=,

∴OD=1,

∴S阴影==.

故答案是:.

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【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用,熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键.

15.(3分)如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(﹣1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是x<﹣3或x>1.

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【分析】观察两函数图象的上下位置关系,即可得出结论.

【解答】解:∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(﹣1,p),B(3,q)两点,

∴﹣m+n=p,3m+n=q,

∴抛物线y=ax2+c与直线y=﹣mx+n交于P(1,p),Q(﹣3,q)两点,

观察函数图象可知:当x<﹣3或x>1时,直线y=﹣mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的下方,

∴不等式ax2+mx+c>n的解集为x<﹣3或x>1.

故答案为:x<﹣3或x>1.

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【点评】本题考查了二次函数与不等式,根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键.

三、解答题:本大题共7小题,共55分,

16.(6分)计算:6sin60°﹣+()0+|﹣2018|

【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.

【解答】解:原式=6×,

=2019.

【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

17.(7分)某校为了解学生课外阅读情况,就学生每周阅读时间随机调查了部分学生,调查结果按性别整理如下:

女生阅读时间人数统计表

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根据图表解答下列问题:

(1)在女生阅读时间人数统计表中,m=3,n=30%;

(2)此次抽样调查中,共抽取了50名学生,学生阅读时间的中位数在1≤t<1.5时间段;

(3)从阅读时间在2~2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动,恰好抽到男女生各一名的概率是多少?

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【分析】(1)由0≤t<0.5时间段的人数及其所占百分比可得女生人数,再根据百分比的意义求解可得;

(2)将男女生人数相加可得总人数,再根据中位数的概念求解可得;

(3)利用列举法求得所有结果的个数,然后利用概率公式即可求解.

【解答】解:(1)女生总人数为4÷20%=20(人),

∴m=20×15%=3,n=×100%=30%,

故答案为:3,30%;

(2)学生总人数为20+6+5+12+4+3=50(人),

这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数,而第25、26个数据均落在1≤t<1.5范围内,

∴学生阅读时间的中位数在1≤t<1.5时间段,

故答案为:50,1≤t<1.5;

(3)学习时间在2~2.5小时的有女生2人,男生3人.

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共有20种可能情况,则恰好抽到男女各一名的概率是=.

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.

18.(7分)如图,点M和点N在∠AOB内部.

(1)请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相等(保留作图痕迹,不写作法);

(2)请说明作图理由.

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【分析】(1)根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图;

(2)根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答.

【解答】解:(1)如图,点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相等;

(2)理由:角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

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【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质,掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键.

19.(8分)小王骑车从甲地到乙地,小李骑车从乙地到甲地,小王的速度小于小李的速度,两人同时出发,沿同一条公路匀速前进.图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系.

请你根据图象进行探究:

(1)小王和小李的速度分别是多少?

(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.

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【分析】(1)根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度;

(2)根据(1)中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标,从而可以解答本题.

【解答】解:(1)由图可得,

小王的速度为:30÷3=10km/h,

小李的速度为:(30﹣10×1)÷1=20km/h,

答:小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h;

(2)小李从乙地到甲地用的时间为:30×20=1.5h,

当小李到达甲地时,两人之间的距离为:10×1.5=15km,

∴点C的坐标为(1.5,15),

设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为y=kx+b,

2019山东省济宁市中考数学试卷  解析版

,得,

即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是y=30x﹣30(1≤x≤1.5).

【点评】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.

20.(8分)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,D是的中点,E为OD延长线上一点,且∠CAE=2∠C,AC与BD交于点H,与OE交于点F.

(1)求证:AE是⊙O的切线;

(2)若DH=9,tan C=,求直径AB的长.

2019山东省济宁市中考数学试卷  解析版

【分析】(1)根据垂径定理得到OE⊥AC,求得∠AFE=90°,求得∠EAO=90°,于是得到结论;

(2)根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ODB=∠C,求得tan C=tan∠ODB==,设HF=3x,DF=4x,根据勾股定理得到DF=,HF=,根据相似三角形的性质得到CF==,求得AF=CF=,设OA=OD=x,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解:(1)∵D是的中点,

∴OE⊥AC,

∴∠AFE=90°,

∴∠E+∠EAF=90°,

∵∠AOE=2∠C,∠CAE=2∠C,

∴∠CAE=∠AOE,

∴∠E+∠AOE=90°,

∴∠EAO=90°,

∴AE是⊙O的切线;

(2)∵∠C=∠B,

∵OD=OB,

∴∠B=∠ODB,

∴∠ODB=∠C,

∴tan C=tan∠ODB==,

∴设HF=3x,DF=4x,

∴DH=5x=9,

∴x=,

∴DF=,HF=,

∵∠C=∠FDH,∠DFH=∠CFD,

∴△DFH∽△CFD,

∴=,

∴CF==,

∴AF=CF=,

设OA=OD=x,

∴OF=x﹣,

∵AF2+OF2=OA2,

∴()2+(x﹣)2=x2,

解得:x=10,

∴OA=10,

∴直径AB的长为20.

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【点评】本题考查了切线的判定和性质,圆周角定理,垂径定理,相似三角形的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键.

21.(8分)阅读下面的材料:

如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,

(1)若x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数;

(2)若x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是减函数.

例题:证明函数f(x)=(x>0)是减函数.