第十五章整式乘除与因式分解
§15.1 整式的乘法 第
同底数幂乘法
学习目标
⒈在推理判断中得出同底数冪乘法的运算法则,并掌握“法则”的应用. ⒉经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程,感受幂的意义,发展推理能力和表达能力,提高计算能力.
⒊在组合作交流中,培养协作精神,探究精神,增强学习信心. 学习重点:同底数冪乘法运算性质的推导和应用. 学习难点:同底数冪的乘法的法则的应用. 学习过程:
一、预习与新知: ⒈⑴ 阅读课本P 141-142
(2)3
2 表示几个2相乘?2
3表示什么?
5a 表示什么?m a 呢?
(3)把22222????表示成n
a 的形式.
⒉请同学们通过计算探索规律.
(1)()())
(2
2222222224
3
=?????=?
(2)35 ?45= )(5= (3)
7)3(-?6
)3(-= ())(3-= (4))
(?
?
? ??=??? ?????? ??1011011013
(5)3
a ?4
a = =()
a
⒊计算(1)3
2?4
2和72 ; (2)5233?和73
(3)3a ?4a 和7a (代数式表示);观察计算结果,你能猜想出m a ?n
a 的结果吗?
问题:(1)这几道题目有什么共同特点?
(2)请同学们看一看自己的计算结果,想一想这个结果有什么规律?
⒋请同学们推算一下m a ?n
a 的结果?
同底数幂的乘法法则: 二、课堂展示:
(1)计算 ①310?410 ②3a a ? ③53a a a ?? ④x x x x ?+?2
2
(2)计算 ①1
1010+?m n ②57x x ? ③9
7m m m ?? ④-4
444?
⑤()3
9
22-? ⑥12222
+?n n
⑦ y y y y ???425 ⑧5
32333??
三、随堂练习:(1)课本P 142页练习题
(2)课本P 148页15.1第1①②,2①
C 组
1.计算:①10
432b b b b ??? ②()()8
7
6
x x x -?- ③()()()5
6
2
x y y ----
④()()()3
6
4
5
p p p p ?-+-?-
2.把下列各式化成()n
y x +或()n
y x -的形式.
① ()()4
3
y x y x ++ ②()()()x y y x y x ---2
3
③()
()12+++m m
y x y x
3.已知9x x x
n m n
m =?-+求m 的值.
四.小结与反思
第二课时 幂的乘方
学习目标
⒈理解幂的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义;通过推理得出幂的乘方的运算性质,并且掌握这个性质.
⒉经历一系列探索过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,通过情境教学,培养学生应用能力.
⒊培养学生合作交流意识和探索精神,让学生体会数学的应用价值. 学习重点:幂的乘方法则.
学习难点:幂的乘方法则的推导过程及灵活应用. 学习过程:
一.预习与新知:
1填空①同底数幂相乘 不变,指数 。②=?32a a =?n
m 1010
③()()=-?-6
7
33 ④=??3
2a a a
⑤()
)(22
2
3= ())(x x =5
4 (
))(223100
=
2计算:①23a a ? ②5
5x x + ③()63
a
a -? ④()33x
3计算①()3
2
2
和6
2
②()34
2
和122 ③)(3210和610
问题:①上述几道题目有什么共同特点?
②观察计算结果,你能发现什么规律?
③你能推导一下)(
n m
a
的结果吗?请试一试
二.课堂展示:1计算①()3
510 ②()3
n x ③()
7
7x -
2下面计算是否正确,如果有误请改正.
①()
63
3x x
= ②2446a a a =?
3选择题:①计算()
[
]
)(=-5
2x
(A )7
x (B )7
x - (C )10
x (D )10
x -
②16
a 可以写成( )
(A )88a a + (B )2
8a a ? (C )()8
8a
(D )()2
8a
三.随堂练习 ①课本P 143页练习
②课本P 148页习题15.1第1,2题.
C 组
(1)下列各式正确的是( ) (A )()
52
322
=(B )7772m m m =+(C )55x x x =?(D )824x x x =?
(2)计算 ①()4
7p
;②()7
32x
x ? ;③()()4
33
4a a
-
④ n
1010105
7
?? ;⑤()
[
]3
2b a - ⑤()[]6
22- ⑥()[]{}54
3a -
(3)已知:a m
=3 ;b n
=3 ,用a ,b 表示n
m +3和n
m 323
+
⑷已知168123=??
?
??n
求n 的值
⑸求下列各式中的x
①6
24+=x x ②167143-=??
? ??x
四.小结与反思
第三课时 积的乘方
学习目标
⒈探索积的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义,在推理得出积的乘方的运算
性质的过程中,领会这个性质. ⒉探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力. ⒊小组合作与交流,培养学生团结协作精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难的勇气和信心.
学习重点:积的乘方的运算.
学习难点:积的乘方的推导过程的理解和灵活运用. 学习过程:
一.预习与新知: ⑴阅读教材P 143-144页
⑵填空:①幂的乘方,底数 ,指数 ②计算:()
=3
210 ()=5
5b ()=-m
x 2
③)()(53
15==
x ;)()(n m mn x ==
⑶计算①()3
32?和3332? ;②()2
53?和2
253? ;③()
2
2ab
和()2
22
b
a ?(请观察比较)
④怎样计算()
4
32a ?说出根据是什么?
⑤请想一想:()=n
ab
二.课堂展示:
⑴下列计算正确的是( ). (A )()42
2ab ab
= (B )()42
222a a -=-
(C )()3
3
3
y x xy =- (D )()3
3
3
273y x xy =
⑵计算:①(
)3
24
y
x ? ②()3
2b ③()
2
32a ④()4
3x -⑤()3
a -
三.随堂练习:⑴课本P 144页练习
⑵课本P 148页习题15.1第三,四题
C 组
⑴计算:①3
2
5353??
? ??-???? ??- ;②()42xy - ;③()n a 3 ; ④ ()3
23ab - ;
⑤2008
2008
818
??
? ???
⑵下列各式中错误的是( ) (A )()
123
422
= (B )()33
273a a -=-(C )()844
813y x xy =(D )()33
82a a -=-
⑶与()[]2
32
3a
-的值相等的是( )
(A )1218a (B )12243a (C )12
243a -(D )以上结果都不对 ⑶计算:①()
2243b a ②3
3221??
? ??y x ③()3
3n - ④()a a a 234-+- ⑤()()
2009
2008
425.0-?-
⑷一个正方体的棱长为2
102?毫米,①它的表面积是多少?②它的体积是多少?
⑸已知:823=+n m 求:n
m
48?的值(提示:823
=,422
=)
四.小结与反思
第四课时 幂的运算巩固练习
学习目标
⒈ 学生对教材的三个部分:同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方有一个正确的理解,
并能够正确的运用.
⒉ 学生在已有的知识基础上,自主探索,获得幂的运算的各种感性认识,进而在理性
上获得运算法则.
⒊ 培养良好的数学构建思想和辨析能力和一定的思维批判性. 学习重点:理解三个运算法则.
学习难点:正确使用三个幂的运算法则. 学习过程:
一.预习与新知:
⑴叙述幂的运算法则?(三个)
⑵谈谈这三个幂运算的联系与区别?
二.课堂展示:⑴计算:()(
)
103
22
2
2x x
x x --?-?-(请同学们填充运算依据)
解:原式=(
)10
6
2
22x
x x x --??- ( )
=106
222x x -++ ( )
=1010
2x x
- ( )
=10
x - ( ) ⑵下列计算是否有错,错在那里?请改正.
①()22
xy xy = ②()4
42
123y x xy = ③(
)
62
3497x x
=-
④33
234327x x -=??
?
??- ⑤2045x x x =? ⑥()523x x =
⑶计算:(
)()3
23
2
23
y x y x ?
三.随堂练习:⑴计算:①3
3
+?n x x ②3
254??
? ??-y x ③ ()n c ab 233- ④()()[]
322
223x x --
⑵下列各式中错误的是( )
(A )3
2x x x =?- (B )(
)
62
3x x
=- (C )1055m m m =?(D )()32
p p p =?-
⑶3
221??
?
??-y x 的计算结果是( ) (A )3621y x - (B )3661y x - (C )3681y x - (D )3681
y x ⑷若811
x x x
m m =+-则m 的值为( )
(A )4 (B )2 (C )8 (D )10
C 组
⒈计算:⑴4
3
2
a a a a ?? ⑵()()()2
5
6
x x x -?-?- ⑶()
[
]3
2a -- ⑷()[]3
2
23xy -
⑸()[]
324
1x x -?--
⑹()()4
31212+?+x x
⒉一个正方形的边长增加了3厘米,它的面积就增加39平方厘米,求这个正方形的边长?
⒊阅读题:已知:52=m 求:m
32和m
+32
解:()12552233
3===m m
4058222
33=?=?=+m m
⒋已知:73=n
求:n
43和n
+43
⒌找简便方法计算:⑴()101
100
5.02? ⑵22532?? ⑶424532??
⒍已知:2=m
a
,3=n b 求:n m b a 32+的值
四.小结与反思
第五课时 单项式乘以单项式
学习目标
⒈知识与技能:理解整式运算的算理,会进行简单的整式乘法运算. ⒉过程与方法:经历探索单项式乘以单项式的过程,体会乘法结合律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及语言表达能力.
⒊情感,态度与价值观:培养学生推理能力,计算能力,协作精神. 学习重点:单项式乘法运算法则的推导与应用. 学习难点:单项式乘法运算法则的推导与应用. 学习过程:
一.预习与新知: ⑴P 144-145页
⑵什么是单项式?次数?系数?
⑶现有一长方形的象框知道长为50厘米,宽为20厘米,它的面积是多少?若长为a 3厘米,宽为b 2厘米,你能知道它的面积吗?请试一试?
⑷利用乘法结合律和交换律完成下列计算. ①(
)()2
3
43p p -- ②()??
? ?
?--3
21
1
7a
a ③
b a
c ab 2
227? ④()()y xz z xy 2243? ⑤
??
? ??-?z y x y x 62353432
⑸观察上式计算你能发现什么规律吗?说说看.
单项式乘以单项式的法则: 二.课堂展示:计算:①(
)3
2
23xy
x -? ②()()c b b a 2
3
2
45-?-
思路点拨:可以直接运用法则也用乘法运算律变成数与数相乘,同底数幂与同底数幂相乘的形式,单独一个字母照抄。
三.随堂练习:⑴课本P 145页练习第1,2题
⑵课本P 149页习题15.1第六题
C 组
⒈一家住房的结构如图,这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖,至少需要多少平方米的地砖?如果某种地板砖的价格是每平方米a 元,则购买所需地砖至少多少元?
y y 2
x
x 4
x 2
y 4
⒉计算:⑴(
)()y x xy
2
2
32- ⑵ ()()y x xz xy 2
105
15-??
?
??-
⑶()
??
? ??--abx bc a 311162
⑷3232??? ??-c b ⑸5
14913??? ??-?
⒊下列计算中正确的是( )
(A )()
()122
33
22x x x
-=- (B )()()233
2
2623b a ab b a =
(C )(
)()
622
4
a x xa a
-=-- (D )()()532
2y x xyz xy =-
⒋计算:()
m m
a a
a ?2所得结果是( )
(A )m
a
3 (B )1
3+m a
(C )m
a
4 (D )以上结果都不对
四.小结与反思
第六课时 单项式乘以多项式
学习目标
⒈让学生通过适当尝试,获得一些直接的经验,体验单项式与多项式的乘法运算法则,会进行简单的整式乘法运算.
⒉经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会乘法分配律的作用和转化思想,发展有条理地思考及语言表达能力.
⒊培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值. 学习重点:单项式与多项式相乘的法则. 学习难点:整式乘法法则的推导与应用. 学习过程:
一.预习与新知: ⑴叙述去括号法则?
⑵单项式乘以单项式的法则是:
⑶计算:①()()2
35x
x - ②()()x x --3 ③??
? ?
???? ??xy
xy 5
2
31 ④??? ??
-?-mn m 3152
⑷写出乘法分配律? ⑸利用乘法分配律计算:①
??
?
??+-1323233x x x ②()1326-+n m mn
⑹有三家超市以相同的价格n (单位:元/台)销售A 牌空调,他们在一年内的销售量(单位:台)分别是:x ,y ,z 请你用不同的方法计算他们在这一年内销售这钟空调的总收入?你发现了什么规律?
单项式乘以多项式的法则: 二.课堂展示;⑴计算:(
)()
32
2
532ab ab
a --
⑵化简:()
2222
10313xy y x x y xy x -?-??
?
??-?-
⑶解方程:()()3421958--=-x x x x
三.随堂练习:⑴课本P 146页练习
⑵课本P 149页习题15.1第七题
C 组
⑴计算:①(
)
83253
22
+-x x x ;②??
?
?????? ??-232211632xy xy y x
③(
)??
?
??
-
?-xy y x xy 51532
2 ④()()()()3326510103102103??-???
⑵下列各式计算正确的是( ) (A )(
)23422
21
2321132x y x x x xy x +-=??
? ??
-
-- (B )()()11322++-=+--x x x x x
(C )()221252214
5y x y x xy xy x n n -=????
??-- (D )()()222222
5515y x y x x xy --=--
⑶先化简再求值:(
)(
)
x x x x x x 312
2
2
---- 其中2-=x
四.小结与反思
第七课时多项式乘以多项式
学习目标
⒈让学生理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.
⒉经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程,培养学生计算能力. ⒊发展有条理的思考,逐步形成主动探索的习惯. 学习重点:多项式与多项式的乘法法则的理解及应用. 学习难点:多项式与多项式的乘法法则的应用. 学习过程:
一.预习与新知:
⑴叙述单项式乘以单项式的法则?
⑵计算;①(
)
12
+-x x x ②()
y x xy xy 225351+??
?
??-
⑶在硬纸板上用直尺画出一个矩形,
n a ①
⑷请把矩形沿竖线剪开分成如图所示的两部分。则前部分的面积为多少?后部分的面积是多少?两部分面积的和为多少?
n a ②
⑸观察图①和图②的结果你能得到一个等式吗?说说你的发现?
⑹如果把矩形剪成四块,如图所示,则:
图①的面积是多少? n ② 图②的面积是多少?
图③的面积是多少? a ④ 图④的面积是多少? b 四部分面积的和是多少?
观察上面的计算结果:原图形的面积;第一次分割后面积之和;第二次分割后面积之和相等吗?用式子表示?你能发现什么规律吗?试一试 (观察等式左边是什么形式?观察等式的右边有什么特点?)
多项式乘以多项式的法则:
二.课堂展示:
⑴计算;①()()32-+x x ②()()1213+-x x 注意:应用多项式的乘法法则时应注意;21
1x x x x ==?+;还应注意符号.
⑵计算:① ()()y x y x 73+- ②()()y x y x 2352-+
⑶先化简,再求值:()()()()y x y x y x y x 4232---+-其中:1-=x ;2=y 三.随堂练习:⑴课本P 148练习第1,2题
⑵课本P 149习题15.1第9,10题
C 组
⑴计算()()122
5-+x x 的结果是( )
(A )2102
-x (B )2102
--x x (C )24102
-+x x (D )25102
--x x ⑵一下等式中正确的是( )
(A )()()3
2
232y xy x y x y x +-=-- (B )()()2
4412121x x x x +-=-+
(C )()()2
2
943232b a b a b a -=+- (D )()()2
2
93232y xy x y x y x +-=-+
⑶先化简,再求值:()()()()2
2
2
2
5533b a b a b a b a -++-++-其中8-=a ;6-=b ;
四.小结与反思
15.2乘法公式 第八课时平方差公式(一)
学习目标:
1、会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.
2、经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.
通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.
学习重点:平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的了解. 学习难点:平方差公式的应用. 学习过程:
一.预习与新知:
(1)叙述多项式乘以多项式的法则?
(2)计算;①()()11-+x x ②()()22-+a a ③()()1212-+y y ④()()y x y x -+
观察上面的计算你发现什么规律了吗?你能直接写出()()b a b a -+的结果吗?(请仔细观察等式的左,右两边)
平方差公式:(①写出数学公式 ②用语言叙述)
二.课堂展示: ⑴填表:
()()b a b a -+ a
b
22b a -
结果 ()()3232-+x x x 2
()2232-x
()()b a a b -+33 ()()n m n m --+-
⑵计算:①97103? (利用平方差公式) ②()()()()y x y x x y y x +--+-33
三.随堂练习:⑴课本P 153练习1,2
⑵课本P 156习题15.2第1,2题
C 组
⑴填空:①()()=+-y x y x 2323 ;②())(22492__23b a b
b a -=+-
③=?5
4
9951100
⑵计算:①()()a a ---11 ②()()(
)2
2
b
a b a b a ++-
③()xy m m xy 5.03321--??
?
??- ④()()()()12121212842++++
⑶你能根据下图解释平方差公式吗?请试一试?
a a
a
b ① ②
四.小结与反思
15.2.1 平方差公式复习
学习目标:
1、熟练掌握平方差公式,并能进行较灵活应用。
2、如何利用整体代换的思想计算复杂的多项式.。
3、培养推理和归纳能力。
学习重点:能正确熟练地运用平方差公式解题。 学习难点:利用整体代换的思想计算复杂的多项式。 学习过程: 一、知识回顾 1、填空
()()=-+b a b a 。 公式的条件是: 。
结论是: 。 2、填空。
(1)、=+-)1)(1(x x 。 (2)、=+-)2)(2(b a b a 。
(3)、=??
?
??+???
??-y x y x 3131 。(4)、()()()2224a a a +-+= 。 (5)、=+-+)4)(4(x x 。(6)、=+---)4)(4(x x 。
(7)、=?10298( )( )
=()()=-2
2
。
3、填空。
(1)、( a + b )( )22
b a -= (2)、(-m – n )( ) = 2
2n m -
(3)、( x + 3y )( )=2
29x y -
(4)、()2y x +( )=24
x y
-
二、课堂展示
例1:(1)、(
)
52)52(2
2
--+-x x (2)、??
? ??+??? ??-??? ??+22913131y x y x y x
例2:用乘法公式进行简单计算
(1)、97.003.1? (2)、2003200120022
?-
(3)、5
1505449
?
三、随堂练习
A 组
1、判断下列各项式乘法,能用平方差公式进行的是( ) (1)、(x+y )(-x-y) (2)、(2x+3y )(2x-3y ) (3)、(-a-b )(a-b ) (4)、(m-n )(n-m )
2、下列各式运算结果是2
2
25y x -的是 ( ) (1)、(x+5y )(-x+5y ) (2)、(-x-5y )(-x+5y ) (3)、(x-y )(x+25y ) (4)、(x-5y )(5y-x )
B 组
1、用简便方法计算
(1)、()()()()
1121212128
4
2
+++++
(2)、158422
1211211211211+??? ??+??? ??+??? ??+??? ??+
C 组
1、已知()0532
=+-+-+y x y x 求代数式2
2y x -的值。
2、观察 16-1=15 25-4=21 36-9=27 49-16=33 …………
用自然数n (其中n ≥1)表示上面一系列等式所反映出来的规律: 。
四、小结与反思
15.2.2完全平方公式(一)
学习目标:
1、理解完全平方公式的意义。
2、准确掌握两个公式的结构特征,熟练运用公式进行计算。
3、通过对完全平方公式的理解,培养思维的条理性和表达能力。
学习重点:完全平方公式的推导过程、结构特征、正确运用公式进行计算。 学习难点:灵活应用公式进行计算。 学习过程:
一、预习新知(课本155153p p -) 1、复习回顾:
计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)、()()()=++=+1112
p p p 。
(2) ()=+2
2m 。
(3)、()()()=--=-1112
p p p 。
(4)、()=-2
2m 。
2、尝试归纳:
=+2)(b a =-2)(b a 公式中的字
母a 、b 可以表示 ,也可以表示单项式或 。
3、完全平方公式用语言叙述是: 。
4、(小组之间深入探究)
你能根据图(1)、图(2)中的面积说明完全平方公式吗?
()=+2b a + + ()=-2b a -
+
5.自学教材154p 例3。
试一试、用完全平方公式计算,并指出里面的a 和b 。
(1)、()2
2y x + (2)、()2
2y x -
二、课堂展示
例1、运用完全平方公式计算:
(1)、()2
4a b - (2)、212y ?
?+ ??? (3)、2
232.1??? ?
?-b a
(4)、()2
a b - (5)、()2
b a --
思考:通过例题1中(4)、(5)题的运算,请问()2
a b -与()2a b -相等吗?()2
b a +与
()2b a --相等吗?
变式练习:课本155p 练习题第1和第2大题。
例2、运用完全平方公式计算:
(1)、2
102 ⑵2
199 (3)2
79.8
三、随堂练习
A 组
1、21??? ??+x x = . 2
1??? ?
?
-x x = .
2、下列计算正确的是( )
A 、(m-1)2
=m 2
-1 B 、(x+1)(x+1)=x 2
+x+1 C 、(
12x-y )2=14
x 2-xy-y 2 D 、(x+y )(x-y )(x 2-y 2)=x 4-y 4
3、将正方形的边长由acm 增加6cm ,则正方形的面积增加了( ) A .36cm 2
B .12acm 2
C .(36+12a )cm 2
D .以上都不对 4、课本156p 习题15.2的第2大题。
B 组
(1)、已知
31=+a a ,求221
a a
+的值。
(2)、用乘法公式计算()2
a b +()
2
a b -
C 组
1、课本157p 第7大题
四、小结与反思
第十五章整式乘除与因式分解 §15.1 整式的乘法 第 同底数幂乘法 学习目标 ⒈在推理判断中得出同底数冪乘法的运算法则,并掌握“法则”的应用. ⒉经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程,感受幂的意义,发展推理能力和表达能力,提高计算能力. ⒊在组合作交流中,培养协作精神,探究精神,增强学习信心. 学习重点:同底数冪乘法运算性质的推导和应用. 学习难点:同底数冪的乘法的法则的应用. 学习过程: 一、预习与新知: ⒈⑴ 阅读课本P 141-142 (2)3 2 表示几个2相乘?2 3表示什么? 5a 表示什么?m a 呢? (3)把22222????表示成n a 的形式. ⒉请同学们通过计算探索规律. (1)()()) (2 2222222224 3 =?????=? (2)35 ?45= )(5= (3) 7)3(-?6 )3(-= ())(3-= (4)) (? ? ? ??=??? ?????? ??1011011013 (5)3 a ?4 a = =() a ⒊计算(1)3 2?4 2和72 ; (2)5233?和73 (3)3a ?4a 和7a (代数式表示);观察计算结果,你能猜想出m a ?n a 的结果吗? 问题:(1)这几道题目有什么共同特点? (2)请同学们看一看自己的计算结果,想一想这个结果有什么规律?
⒋请同学们推算一下m a ?n a 的结果? 同底数幂的乘法法则: 二、课堂展示: (1)计算 ①310?410 ②3a a ? ③53a a a ?? ④x x x x ?+?2 2 (2)计算 ①1 1010+?m n ②57x x ? ③9 7m m m ?? ④-4 444? ⑤()3 9 22-? ⑥12222 +?n n ⑦ y y y y ???425 ⑧5 32333?? 三、随堂练习:(1)课本P 142页练习题 (2)课本P 148页15.1第1①②,2① C 组 1.计算:①10 432b b b b ??? ②()()8 7 6 x x x -?- ③()()()5 6 2 x y y ---- ④()()()3 6 4 5 p p p p ?-+-?- 2.把下列各式化成()n y x +或()n y x -的形式. ① ()()4 3 y x y x ++ ②()()()x y y x y x ---2 3 ③() ()12+++m m y x y x 3.已知9x x x n m n m =?-+求m 的值. 四.小结与反思
第十四章 整式的乘除与因式分解教材分析 1、教学内容及地位 本章属于《课程标准》中的 “数与代数”领域,其核心知识是:整式的乘除运算和因式分解。这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础,同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具,因此,本章在初中学段占有重要地位。 2、本章教学内容 在学习上各部分知识之间的联系如下: 从 上 面 可 以 看出,本章内容的突出的特点是:内容联系紧密、以运算为主。全章紧紧围绕整式的乘除运算,分层递进,层层深入。在整式的乘除中,单项式的乘除是关键,这是因为其他乘除都要转化为单项式除法。实际上,单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算,因此幂的运算是学好整式乘除的基础。 3 、教学目标
⑴解析每个目标 ①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘,是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。 ②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行(简单)的乘法运算,更要引起老师们注意的是,目标要求会“推导”乘法公式,因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。 ③目标3中,《课标》要求:会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)分解因式(指数是正整数)。首先初中阶段对分解因式只要求掌握两种方法,而对于分组分解法和十字相乘法则不做要求;其次,直接用公式不超过二次,如把多项式a8-1分解因式则是超课标了;最后,多项式中的字母指数仅限于正整数的情况,不考虑指数是负数,分数或字母的情况。而在学习过程中比克标的要求要高一些,通过教学我们要让学生理解因式分解的意义,了解因式分解与整式乘法的互逆关系,从中体会事物之间相互转化的辨证思想。通过学生的自主探索,发现和掌握因式分解的基本方法——提公因式法和公式法(数学书P172选学部分中提到了“十字相乘法”),渗透特殊到一般,逆向思维,换元等思想,培养学生认真观察、深入分析问题的良好习惯和能力。通过因式分解的应用与实践,发展学生的数学思维能力,使他们获得一些研究问题、解决问题的经验与方法。显然教材比课标中的目标高很多,建议老师们根据自己学生的情况进行分层目标要求。 ⑵《课标》总目标与人教材具体目标整体要求偏低,建议从两个方面把握: ③《课标》是由国家教育部制订的,教材的版本可以不同,但《课标》是同一个,从中考角度讲,中考内容一定不能超出《课标》要求的范围,因此应以《课标》为准绳把握教学目标。 ④《课标》是国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和要求,它只规定了学生在相应学段应该达到的最低、最基本的要求,因此又要根据学生的具体情况和教材编写的特点,提出不同层次的教学目标。 4、本章教学重点、难点 本章教学重点是整式的乘除运算和因式分解的两种基本方法,教学难点乘法公式的灵活应用,熟练掌握因式分解的两种方法和变形技巧。 5、课时安排 本章教学时间约13课时,具体分配如下(仅供参考): 15.1整式的乘法 4课时 15.2乘法公式 2课时 15.3整式的除法 2课时 15.4因式分解 3课时 数学活动 小结 2课时
因式分解——十字相乘法导学案 【学习目标】 (1)了解“二次三项式”的特征; (2)理解“十字相乘”法的理论根据; (3)会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。 【学习过程】 一 、温故知新 (1)请直接填写下列结果 (x+2)(x+1)= ;(x+2)(x-1)= ; (x-2)(x+1)= ;(x-2)(x-1)= 。 把上述式子左右对调,你有什么发现? 二、探求解决:(2)把x 2+3x+2分解因式 分析∵ (+1) × (+2) =+2 ---------- 常数项 (+1) + (+2) =+3 ---------- 一次项系数 ---------- 十字交叉线 2x + x = 3x 解:x 2+3x+2 = (x+1) (x+2) (3)按(2)中的方法把652 ++x x 分解因式 。 三、例题分析: 例1 x 2 + 6x – 7= (x+7)(x-1) 步骤: ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘,和相加 ③检验确定,横写因式 -x + 7x = 6x 顺口溜:竖分常数交叉验,横写因式不能乱。 练习1: x 2-8x+15= ; 练习2: x 2+4x+3= ; x 2-2x-3= 。 小结:对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项,凑一次项” 例2 试将 -x 2-6x+16 分解因式 提示:当二次项系数为-1时 ,先提取-1,再进行分解 。 x x 12? x ??7? x 1 -
例3 用十字相乘法分解因式: (1)2x 2-2x-12 (2) 12x 2-29x+15 提炼:对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头,凑中间”。 四、巩固训练 1.把下列各式分解因式: (1)1522--x x = ; (2) =-+1032x x 。 2.若=--652m m (m +a )(m +b ),则 a 和b 的值分别是 或 。 3.=--3522x x (x -3) (__________)。 4 .分解因式: (1)22157x x ++; (2) 2384a a -+; (3) 2576x x +- (4) 261110y y -- 5.把下列各式因式分解: (1) 3ax 2+6ax+3a (2) x 2-4y 2 (3)x 4-8x 2+16 (4)2ax 2+6ax+4a 6.先阅读学习,再求解问题: 材料:解方程:=-+1032x x 0。 解:原方程可化为 (x+5)(x-2)=0 ∴x+5=0或 x-2=0 由x+5=0得x=-5 由x-2=0得x=2 ∴x=-5或 x=2为原方程的解。 问题:解方程:x 2-2x=3。
整式的乘除与因式分解 一、选择题 1.下列计算中,运算正确的有几个() (1) a5+a5=a10(2) (a+b)3=a3+b3 (3) (-a+b)(-a-b)=a2-b2 (4) (a-b)3= -(b-a)3 A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 2.计算(-2a3)5÷(-2a5)3的结果是() A、— 2 B、 2 C、4 D、—4 3.若,则的值为() A. B.5 C. D.2 4.若x2+mx+1是完全平方式,则m=()。 A、2 B、-2 C、±2 D、±4 5.如图,在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)把余下的部分剪拼成一个矩形,通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是() A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 6.已知()= b -2 a3,则与的值分别 +2 a7, ()= b 是()
A. 4,1 B. 2,32 C.5,1 D. 10, 32 二、填空题 1.若2,3=-=+ab b a ,则=+22b a ,()=-2b a 2.已知a -1a =3,则a 2+21a 的值等于 · 3.如果x 2-kx +9y 2是一个完全平方式,则常数k =________________; 4.若???-=-=+3 1b a b a ,则a 2-b 2= ; 5.已知2m =x ,43m =y ,用含有字母x 的代数式表示y ,则y =________________; 6、如果一个单项式与的积为-34 a 2bc,则这个单项式为________________; 7、(-2a 2 b 3)3 (3ab+2a 2)=________________; 8、()()()()=++++12121212242n K ________________; 9、如图,要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包, 其打包方式如下图所示,则打包带的长至少要____________ (单位:mm )。(用含x 、y 、z 的代数式表示) 10、因式分解:3a 2x 2y 2-27a 2 (x -2y +z)(-x +2y +z) (a+2b -3c )(a -2b+3c )
整式的乘除与因式分解复习试题(一) 姓名 得分 一、填空(每题3分,共30分) 1. a m =4,a n =3,a m+n =____ __. 2.(2x -1)(-3x+2)=___ _____. 3.=--+- )32)(32(n n n m ___________. 4.=--2)2 3 32(y x ______________, 5.若A ÷5ab 2=-7ab 2c 3,则A=_________,若4x 2yz 3÷B=-8x,则B=_________. 6.若4)2)((2 -=++x x b ax ,则b a =_________________. 8.若。 =,,则b a b b a ==+-+-01222 9.已知31=+ a a ,则221 a a +的值是 。 10.如果2a+3b=1,那么3-4a-6b= 。 二、选择题(每题3分,共30分) 11、下列计算错误的个数是( ) ①(x 4-y 4)÷(x 2-y 2)=x 2-y 2 ; ② (-2a 2)3=-8a 5 ; ③ (ax+by)÷(a+b)=x+y; ④ 6x 2m ÷2x m =3x 2 A. 4 B3 C. 2 D. 1 12.已知被除式是x 3+2x 2 -1,商式是x ,余式是-1,则除式是( ) A 、x 2+3x -1 B 、x 2+2x C 、x 2-1 D 、x 2-3x+1 13.若3x =a ,3y =b ,则3x - y 等于( ) A 、b a B 、a b C 、2ab D 、a+1b 14.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项,则m 的值为( ) A. –3 B. 3 C. 0 D. 1 15.一个正方形的边长增加了cm 2,面积相应增加了2 32cm ,则这个正方形的边长为( ) A 、6cm B 、5cm C 、8cm D 、7cm 16.一个多项式分解因式的结果是)2)(2(3 3 b b -+,那么这个多项式是( ) A 、46 -b B 、6 4b - C 、46 +b D 、46 --b 17.下列各式是完全平方式的是( ) A 、412+ -x x B 、2 1x + C 、1++xy x D 、122 -+x x 18.把多项式)2()2(2 a m a m -+-分解因式等于( ) A 、))(2(2 m m a +- B 、))(2(2 m m a --C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1) 19.下列多项式中,含有因式)1(+y 的多项式是( ) A 、2 2 32x xy y -- B 、2 2)1()1(--+y y C 、)1()1(2 2 --+y y D 、1)1(2)1(2 ++++y y 20、已知多项式c bx x ++2 2分解因式为)1)(3(2+-x x ,则c b ,的值为( ) A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b 三、解答题:(共60分) 1.计算题
【学习重点与难点】:因式分解的方法和运用 【导学过程】 一、知识再现:(阅读教材,理解记忆) 1、因式分解: 2、用提公因式法分解因式 (1)基本方法,(2)找公因式的方法, 3、因式分解中运用的公式 (1)=-22b a ,(2)=+±222b ab a , 4、因式分解的应用. 二、典例分析 1、提公因式法分解因式 例1 因式分解:b a ab 223+= 变式1、因式分解:x x 52- = 变式2、因式分解: 2263ab b a += 2、公式法分解因式 例2、因式分解:3212123a a a ++= 变式3、因式分解:296ab ab a +-= 变式4、因式分解:23ab a -=
3、因式分解的应用 例3 解方程的值求代数式224320042200452y x x y y x -?? ???=-=+ 变式5、若622=-n m 且2=-n m 则=+n m 三、巩固提高 1. 下列分解因式正确的是 ( ) A 、﹣a +a 3=﹣a (1+a 2) B 、2a ﹣4b +2=2(a ﹣2b ) C 、a 2﹣4=(a ﹣2)2 D 、a 2﹣2a +1=(a ﹣1)2 2.分解因式:321025=a a a -+ 3、因式分解:a 2 ﹣6a+9= 4、分解因式:3222b ab b a +-= 5、分解因式:8(x 2﹣2y 2)﹣x (7x+y )+xy .
【课堂反馈】 1、下列式子变形是因式分解的是【 】 A .x 2-5x +6=x (x -5)+6 B .x 2 -5x +6=(x -2)(x -3) C . (x -2)(x -3)=x 2-5x +6 D .x 2-5x +6=(x +2)(x +3) 2、若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=.则下列式子一定成立的是( ) (A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +- 3、分解因式:3269x x x -+= 4、分解因式:=+-+)(3)(2y x y x 5、已知1=-b a ,则b b a 222--的值
整式乘除与因式分解计算题 一、计算: ;2、[(﹣y5)2]3÷[(﹣y)3]5?y2 1、 3、4、(a﹣b)6?[﹣4(b﹣a)3]?(b﹣a)2÷(a﹣b)5、(2x﹣3y)2﹣8y2;6、(m+3n)(m﹣3n)﹣(m﹣3n)2; 7、(a﹣b+c)(a﹣b﹣c);8、(x+2y﹣3)(x﹣2y+3); 9、(a﹣2b+c)2;10、[(x﹣2y)2+(x﹣2y)(2y﹣x)﹣2x(2x﹣y)]÷2x.11、(m+2n)2(m﹣2n)2 12、.13、6a5b6c4÷(﹣3a2b3c)÷(2a3b3c3).14、(x﹣4y)(2x+3y)﹣(x+2y)(x﹣y). 15、[(﹣2x2y)2]3?3xy4.16、(m﹣n)(m+n)+(m+n)2﹣2m2.
17、(-3xy 2)3·(61x 3y )2; 18、4a 2x 2·(-52a 4x 3y 3)÷(-21 a 5xy 2); 19、22 2)(4)(2)x y x y x y --+(; 20、22 1(2)(2))x x x x x -+-+-(. 21、(x 2)8?x 4÷x 10﹣2x 5?(x 3)2÷x . 22、3a 3b 2÷a 2+b ?(a 2b ﹣3ab ﹣5a 2b ). 23、(x ﹣3)(x+3)﹣(x+1)(x+3). 24、(2x+y )(2x ﹣y )+(x+y )2﹣2(2x 2﹣xy ). 二、因式分解: 25、6ab 3﹣24a 3b ; 26、﹣2a 2+4a ﹣2; 27、4n 2(m ﹣2)﹣6(2﹣m ); 28、2x 2y ﹣8xy+8y ; 29、a 2(x ﹣y )+4b 2(y ﹣x ); 30、4m 2n 2﹣(m 2+n 2)2; 31、; 32、(a 2+1)2﹣4a 2; 33、3x n+1﹣6x n +3x n ﹣1
沧港中心学校导学案课题多项式的因式分解 学生姓名评卷情况 主备人杨玲审核人 科目七年级数学备课时间20XX年3月27日 方程、简化计算等方面都常用因式分解。3、理解因式分解是多项式乘法的逆变形。 学习重点: 因式分解的概念。 学习难点: 理解因式分解与整式乘法的相互关系,并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 一、复习回顾: 问题一整式乘法有几种形式? 问题二乘法公式有哪些? (1)单项式乘以单项式(1)平方差公式:: (2)单项式乘以多项式:a(m+n)= (2)完全平方公式: (3)多项式乘以多项式:(a+b)(m+n)= 二、自主学习: 1、计算: (1)23= ?(2)(m+4)(m-4)=__________; (3)(y-3)2=__________;(4)3x(x-1)=__________; (5)m(a+b+c)=__________;(6)a(a+1)(a-1)=__________。 2、若a=101,b=99,则22 a b -=___________;若a=99,b=-1,则22 2 a a b b -+=_______; 若x=-3,则2 2060 x x += 小结:一般地,把一个含字母的表示成若干个多项式的的形式,称把这个多项式因式分解。 思考:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同? 因式分解与整式的乘法有什么区别和联系? 三、合作探究:
四、课堂检测 1、下列代数式变形中,哪些是因式分解?哪些不是?为什么? (1) 2x-3x+1=x(x-3)+1 ;(2) (m+n)(a+b)+(m+n)(x+y)=(m+n)(a+b+x+y); (3) 2m(m-n)=22m-2mn;(4) 42x-4x+1= ()2 21 x-; (5) 32a+6a=3a(a+2);(6) ()() 243223 x x x x x -+=-++ (7) 2 2 2 11 2 k k k k ?? ++=+ ? ??;(8) 3 18a bc=32a b·6ac。 3、下列说法不正确的是( ) A. a b -是22 a b -的一个因式 B. xy是2 23 x y xy -的一个因式C.22 2 x xy y -+的因式是x y +和x y - D. 22 2 a a b b ++的一个因式是a b + 4、计算:(1) 2 87+87×13 (2) 22 10199 - 5、若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 家长签字:
整式的乘除及因式分解 知识点归纳: 1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。 如:-2a2be的系数为_2,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。 如:a2 - 2cib + x + \ 9项有 /、— 2ab > x > 1,二次项为a,、— 2ab ,—次项为「常数项为1,各项次数分别为2, 2, 1, 0,系数分别为1,?2, 1, 1,叫二次四项式。 3、整式:单项式和多项式统称整式。 注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 5、同底数幕的乘法法则: m严”(〃“都是正整数) 同底数幕相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如I :- a = _________ :a ?/?/= _______________ (a + b)2^(a + b)3 =(a + b)5,逆运算为:___________________ 6、幕的乘方法则: (屮)”-严(如都是正整数) 幕的乘方,底数不变,指数相乘。女(-3丁=3” 幕的乘方法则可以逆用:即a mn =(a m)n =(a n)m 如:46 =(42)3 =(43)2 例如:(")3= ___________ :(厂)2= ____________ ; (")3 =(/)() 7、积的乘方法则:伽)”=心”(〃是正整数)
2x? 3y(-2x2y)(5xy2) (3审? (一2号2) (-a2b)3 - (a2b)2 12、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所 得的积相加, 即rn{a + b + c) = ma + mb + me (m,a,b,c都是单项式) 注意: ①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。 ②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。] 女口:2x(2x - 3y) - 3y(x + y) 2x(-2x - 3y + 5) - 3ab(5a -ab +2b2) 13、多项式与多项式相乘的法则; 多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。 女口:(x + 2)(x - 6) (2x — 3y)(x —2y + 1) (a + b\a ~ -ab + b~) 14、平方差公式:《+〃)(。")= /_戸注意平方差公式展开只有两项公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
《因式分解》导学案 【复习目标】 1. 了解因式分解的意义。 2. 区别因式分解与整式乘法。 3?掌握因式分解的方法:提公因式法,公式法(直接用公式不超 过两 次),十字相乘法,分组分解法。 4.能选择适当方法实行因式分解。 【复习难点】能选择适当方法实行因式分解 【教学过程】 4、分解因式 ① x 2+7x-xy-7y ② a 2-b 2-2a+l 三、归纳总结。因式分解的一般步骤: 、 课前热身 1、 计算 ① a(x+y+z) ②(a+b)(a-b) 一.因式分解 1、 因式分解: _______ 2、 因式分解与整式乘法 的关系 ____________ 二、旧知回顾 1>分解因式 ① 3a 2-a ② 3x 2-6x 2y+3xy ③(x+y)2-3(x+y) 二、因式分解的方法 1、提公因式法 公因式: ____________ 2、公式法 2、分解因式 ?a 2-4 ②(X -1)2-9 ③(a+b) 2-6 (a+b) +9 ①平方差公式 ②完全平方公式 3、十字相乘法 3、分解因式 ?X 2 -2X -8 ② X 2-5X +6 ③ X 2+3X -18 4、分组分解法 ③ m 2-n 2+2m-2n (―)填空题: 2、分解因式 ① ax+ay+az ② a 2-b 2
四、反馈检测
1、 分解因式:16x 2 -9y 2 = ______________________ 2、 分解因式:a 3 +2a 2 +a = _______________________ (二)选择题 3、 下列式子中,从左到右的变形是因式分解的是() A a (x +y ) = ax + ay B x 2 -4x + 4 = x (x-4) +4 C 10x 2 -5x =5x(2x -1) D x 2 -16 +3x = (x +4)(x -4) +3x 能用提公因式法分解因式的是( B x 2 +2x D x 2 -xy +y 2 (5) a 2 (x _ y) 一 b 】(x - y) (8) x 2- 2xy + y 2+ 2x - 2y + 1 7、已知a 、b 、c 是ZiABC 的三边的长,且满足 a 2 +2b 2 +c2 —2 比+ c ) = 0 ,试判断此三角形的形状。 五. 收获与体会 5?下列各式中, A x 2 -y C x 2 +y 2 (三)解答题 6、分解因式 (1) 2m(a~b)-3n(b-a) (2) x 3-9X . ⑷ 3 (x —y) 3 —6 (y —x) (6) x 4 - 2x 2+l (7) x 2 —7xy+12 y 2
整式的乘除与因式分解 知识点全面 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
整式的乘除与因式分解知识点 一、整式乘除法 同底数幂相乘,底数不变,指数相加. a m·a n=a m+n[m,n都是正整数] 同底数幂相除,底数不变,指数相减. a m÷a n=a m-n[a≠0,m,n都是正整数,且 任何不等于0的数或式子的0次幂都等于1. a0=1[a≠0], 00无意义 (a m)n表示n个a m相乘,a 的(m n)幂表示m 幂的乘方,底数不变,指数相乘. (a m)n=a mn[m,n都是正整数] 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得幂相乘.(ab)n=a n b n[n为正整数]注:不要漏积中任何一个因式单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7 注:运算顺序先乘方,后乘除,最后加减 单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc 注:不重不漏,按照顺序,注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 乘法公式:平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍. (a±b)2=a2±2ab+b2 因式分解:把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解方法: 1、提公因式法.关键:找出公因式 公因式三部分:①系数(数字)一各项系数最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;步骤:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项. 注意:①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的. 2、公式法.①a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=(a±b)2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方. ③x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)立方差公式 3、十字相乘(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 因式分解三要素:(1)分解对象是多项式,分解结果必须是积的形式,且积的因式必须是整式(2)因式分解必须是恒等变形; (3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法是把积化为和差 添括号法则:如括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号,如括号前是负号各项都得改符号。用去括号法则验证
第四章因式分解 第一节因式分解 (1)计算下列各式: ①(m+4)(m-4)=__________;②(y-3)2=__________; ③3x(x-1)=__________;④m(a+b+c)=__________; ⑤a(a+1)(a-1)=__________. (2)根据上面的算式填空: ①3x2-3x=( )( );②m2-16=( )( ); ③ma+mb+mc=( )( );④y2-6y+9=( )2 ⑤a3-a=( )( ) 在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法;那么在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解。因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。 一、因式分解的定义:把一个多项式化成的形式,这种变形叫做把这个多项式。也可以叫做分解因式。 定义解析:(1)等式左边必须是 (2)分解因式的结果必须是以的形式表示; (3)分解因式必须分解到每个因式都有不能分解 为止。 二、合作探究 探究一:下列从左到右的变形中,哪些是分解因式?哪些不
是分解因式?为什么? (1)22 111x x x x x x ????- =+- ???? ??? (2)()22 2424ab ac a b c +=+ (3)24814(2)1x x x x --=-- (4)222()ax ay a x y -=- (5)2224(2)a ab b a b -+=- (6)2(3)(3)9x x x +-=- 解: (7)下列从左边到右边的变形,是因式分解的是 A 、29)3)(3(x x x -=+- B 、))((2233n mn m n m n m ++-=- C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y D 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 探究二:连一连: 9x 2 -4y 2 a (a +1)2 4a 2-8ab +4 b 2 -3a (a +2) -3a 2 -6a 4(a -b )2 a 3 +2a 2+a (3x +2y )(3x -2y ) 三、提升训练 1. 下列各式从左到右的变形是分解因式的是( ). A .a (a -b )=a 2 -ab ; B .a 2 -2a +1=a (a -2)+1 C .x 2 -x =x (x -1); D .x 2 -y y ?1 =(x +y 1)(x -y 1) 2.连一连: a 2-1 (a +1)(a -1) a 2+6a +9 (3a +1)(3a -1) a 2-4a +4 a (a - b )
第二章 《因式分解》 §2.1 分解因式 学习重点: 1.理解因式分解的意义. 2.识别分解因式与整式乘法的关系. 学习难点:通过观察,归纳分解因式与整式乘法的关系. 一、自主复习:【填空】 公式类:()()a b a b +-=2 ()a b += 2()a b -= (1)单?单:3a×4ab= (2)单?多:(35)a a b -= (3)多?多:(3)(2)x y x y -+= (4)混合乘:x (x-1)(x+1)= 二、独立探究问题:分解因式的概念 1.自主学习教材p43-p44,其中p44做一做的前(1)—(5)是什么运算?做一做的后(1)—(5)与前(1)—(5)的关系是什么? 2.分解因式的概念:把一个多项式化成的形式,这种变形叫做把这个多项式 3.掌握分解因式概念应注意: (1)被分解对象是 (2)分解因式的结果必须是几个的形式. (3)分解因式要一直分解到每个因式不能再为止. 4.及时反馈:完成书p45随堂练习 三、小组合作探究:分解因式与整式乘法的关系 1.议一议 (1)由(1)(1)a a a +-=3 a a -的变形是运算. (2)由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形与(1)有什么不同? 2.想一想 分解因式与整式乘法有什么关系? ()ma mb mc m a b c ++++因式分解整式乘法 .因式分解与整式乘法是的变形. 四、知识的运用 例:下列从左到右的变形中,哪些是分解因式?哪些不是分解因式?为什么? (1)x +1=x (1+ x 1)(2)()222424ab ac a b c +=+ (3)2 4814(2)1x x x x --=--(4)222()ax ay a x y -=- (5)2 2 2 4(2)a ab b a b -+=-(6)2 (3)(3)9x x x +-=- 五、课堂小结 1.分解因式的概念: 2.分解因式应注意: 3.分解因式与整式乘法的关系 六、课堂过关 1.下列从左到右的变形,是分解因式的为() A .x 2-x =x (x -1) B .a (a -b )=a 2-ab C .(a +3)(a -3)=a 2-9 D .x 2-2x +1=x (x -2)+1 2.下列各式分解因式正确的是() A. 2 2 3633(2)a x bx x x a b -+=- B. ()2 2 xy x y xy x y +=+ C. 2 ()a ab ac a a b c -+-=-+- D. 2 2 963(32)abc a b abc ab -=- 3.(1)2 2 ()()a b a b a b +-=-的运算是 (2)3 2 2 2(2)x x x x -=-的运算是 4.计算下列各式: (1)(a +b )(a -b )=________. (2)(a +b )2=________. (3)8y (y +1)=________. (4)a (x +y +1)=________. 根据上面的算式填空: (5)ax +ay +a =()()(6)a 2-b 2=()() (7)a 2+2ab +b 2=()()(8)8y 2+8y =()()
整式的乘除与因式分解 1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项 式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。 bc a 22-的 系数为 ,次数为 ,单独的一个非零数的次数是 。 2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。 122++-x ab a ,项有 ,二次项为 ,一次项为 ,常数项为 ,各项次数分别为 ,系数分别为 ,叫 次 项式。 3、整式:单项式和多项式统称整式。注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升(降)幂排列: 1223223--+-y xy y x x > 按x 的升幂排列: 按y 的升幂排列: 按x 的降幂排列: 按y 的降幂排列: 5、同底数幂的乘法法则:m n m n a a a +=(n m ,都是正整数) 同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 例1.若6422=-a ,则a= ;若8)3(327-=?n ,则n= . 例2.若125512=+x ,则 x x +-2009) 2(的值为 。 例3 .设4x =8y-1,且9y =27x-1,则x-y 等于 。 6、幂的乘方法则:mn n m a a =)((n m ,都是正整数) < 幂的乘方,底数不变,指数相乘。如:10253 )3(=- 幂的乘方法则可以逆用:即m n n m mn a a a )()(== 如:23326)4()4(4== 7、积的乘方法则:n n n b a ab =)((n 是正整数)积的乘方,等于各因数乘方的积。 (5 23)2z y x -= 8、同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷(n m a ,,0≠都是正整数,且)m n > 同底数幂相除,底数不变,指数相减。如:3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 9、零指数和负指数; 】 10=a ,即任何不等于零的数的零次方等于1。 p p a a 1=-(p a ,0≠是正整数),即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。 如:8 1)21(233==- 10、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里
整 式 的 乘 除 及 因 式 分 解 知识点归纳: 1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。 如:bc a 22-的 系数为2-,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。 如:122++-x ab a ,项有2a 、ab 2-、x 、1,二次项为2a 、ab 2-,一次项为x ,常数项为1,各项次数分别为2,2,1,0,系数分别为1,-2,1,1,叫二次四项式。 3、整式:单项式和多项式统称整式。 注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 5、同底数幂的乘法法则:n m n m a a a +=?(n m ,都是正整数) 同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如:________3=?a a ;________32=??a a a 532)()()(b a b a b a +=+?+,逆运算为: 6、幂的乘方法则:mn n m a a =)((n m ,都是正整数) 幂的乘方,底数不变,指数相乘。如:10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用:即m n n m mn a a a )()(== 如:23326)4()4(4== 例如:_________)(32=a ;_________)(25=x ;() 334)()(a a = 7、积的乘方法则:n n n b a ab =)((n 是正整数)
积的乘方,等于各因数乘方的积。 如:(523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???- ________)(3=ab ;________)2(32=-b a ;________)5(223=-b a 8、同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷(n m a ,,0≠都是正整数,且)n m 同底数幂相除,底数不变,指数相减。 如:3334)()()(b a ab ab ab ==÷ ________3=÷a a ;________210=÷a a ;________55=÷a a 9、零指数和负指数; 10=a ,即任何不等于零的数的零次方等于1。 p p a a 1=-(p a ,0≠是正整数),即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。 如:8 1)21(233==- 10、科学记数法:如:0.00000721=7.21610-?(第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方) 11、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 注意: ①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。 ②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。 如:=?-xy z y x 3232
12《 因式分解(1)》 问题一:1. 回忆:运用前两节所学的知识填空: (1)2(x +3)=___________________; (2)x 2(3+x )=_________________; (3)m (a +b +c )=_______________________. 2.探索:你会做下面的填空吗? (1)2x +6=( )( ); (2)3x 2+x 3=( )( ); (3)ma +mb +mc =( )2. 3.归纳:“回忆”的是已熟悉的 运算,而要“探索”的问题,其过程正好与“回忆” ,它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式,这就是因式分解(也叫分解因式). 4.反思:①分解因式的对象是______________,结果是____________的形式. ②分解后每个因式的次数要 (填“高”或“低”)于原来多项式的次数. 问题二:1.公因式的概念. ⑴一块场地由三个矩形组成,这些矩形的长分别为a ,b ,c ,宽都是m ,用两个不同的代数式表示这块场地的面积. ① _______________________________, ② ___________________________ ⑵填空:①多项式62+x 有 项,每项都含有 , 是这个多项式的公因式. ②3x 2+x 3有 项,每项都含有 , 是这个多项式的公因式. ③ma+mb+mc 有 项,每项都含有 , 是这个多项式的公因式. ※多项式各项都含有的 ,叫做这个多项式各项的公因式. 2.提公因式法分解因式.如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以 ,从而将多项式化成两个 的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.如:ma +mb +mc =m (a +b +c ) 3.辨一辨:下列各式从左到右的变形,哪是因式分解? (1)4a(a +2b)=4a 2+8ab ; (2)6ax -3ax 2=3ax(2-x); (3)a 2-4=(a +2)(a -2); (4)x 2-3x +2=x(x -3)+2. (5)36ab a b a 1232?= (6)??? ??+=+x a b x a bx 4. 试一试: 用提公因式法分解因式: (1)3x+6=3 ( )(2)7x 2-21x=7x ( ) (3)24x 3+12x 2 -28x=4x( ) (4)-8a 3b 2+12ab 3c-ab=-ab( ) 5.公因式的构成:①系数:各项系数的最大公约数;②字母:各项都含有的相同字母;③指数:相同字母的最低次幂. 6.方法技巧: (1)、用提公因式法分解因式的一般步骤:a 、确定公因式b 、把公因式提到括号外面后,用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式. (2)、为了检验分解因式的结果是否正确,可以用整式乘法运算来检验. 问题三:1.把下列多项式分解因式:(1)-5a 2+25a (2)3a 2-9a b 分析(1):由公因式的确定方法,我们可以这样确定公因式: ①定系数:系数-5和25的最大公约数为5,故公因式的系数为( ) ②定字母:两项中的相同字母是( ),故公因式的字母取( ); ③定指数:相同字母a 的最低指数为( ),故a 的指数取为( ); 所以,-5 a 2+25a 的公因式为:( ) 2.练一练:把下列各式分解因式: (1)ma+mb (2)5y 3-20y 2 (3)a2x 2y-axy 2 (4)-4kx-8ky (5)-4x+2x 2 (6)-8m 2n-2mn (7)a 2b-2a b 2+ab (8)3x 3–3x 2–9x