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中考专题复习与圆有关的计算与证明

中考专题复习——与圆有关的计算与证明

【中考要求及命题趋势】

1、理解圆的基本概念与性质。

2、求线段与角和弧的度数。

3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。

4、直线和圆的位置关系。

5、圆的切线的性质和判定。

6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。

7、圆和圆的五种位置关系。 8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。

9、掌握弧长、扇形面积计算公式。 10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。

11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。

2010年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。

【应试对策】

圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，考查对扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记忆。圆这一章重要的概念、定理先掌握、后应用，掌握之后，再掌握一些解题思路和解题方法。

第一：有三条常用辅助线，一是圆心距，二是直径圆周角，第三条是切线径。第二：有几个分析思路：弧、常与圆周角互相转换；那么怎么去应用，就根据题目条件而定。

【复习要点】

1、圆的有关概念：

（1）圆上任意两点间的部分叫弧，______的弧叫优弧，________的弧称为劣弧。

（2）______________________的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

（3）_________________的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边____________的角叫做圆周角。

2、圆的对称性：

（1）圆是轴对称图形，其对称轴是_____ ____；（2）圆是中心对称图形，其对称中心是_________。3、垂径定理及推论

垂径定理：垂直于弦的直径_________弦，并且平分____________________。

推论：平分弦（不是直径）的直径_____这条弦，并且平分__________________

4、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。如图所示：

AB,CD是⊙O的两条弦，OE,OF为AB,CD的弦心距，根据圆心角，弧，弦和弦心距

之间的关系定理填空：

（1）如果AB=CD,那么___________, __________, ______________

（2）如果OE=OF,那么___________, ___________, ______________

（3）如果弧AB=弧CD，那么__________, ____________, ___________

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

________,如图，∠ACB=____________

（2）推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________,直径所对的圆周角是_______，90°的圆周角所对的弦是________,所对的弧是__________.

6、确定圆的条件

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的、这个三角形是圆的 .

7、点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外.其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离，

判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有惟一公共点的直线是圆的切线。②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。③经过半径的外端点

并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的五个性质：①切线与圆只有一个公共点；

②切线到圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于经过切点的半径；④经过圆心垂直于切

线的直线必过切点。⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

10、切线长定理

经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引

圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 .

11、三角形内切圆

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫三角形的内心.

12、圆和圆的位置关系：

位置外离外切相交内切内含公共点个数

_____

______ _____ _____ _____ d 与R 、r 数量关系 _____

_______ ______ ______ _____ 性质

无

连心线必过切点

连心线垂直平分公共弦

连心线必过切点

无

1、正多边形的定义: 、的多边形叫做正多边形。

2、正n 边形：如果一个正多边形有n 条边，那么这个正多边形叫做。

3、正多边形的中心: 是正多边形的中心。

4、正多边形的半径: 是正多边形的半径。

5、正多边形的中心角: 正多边形的每一条边所对的叫做正多边形的中心角。

6、正多边形的边心距：到的距离叫做正多边形的边心距。

7、任何一个正多边形都有一个和一个 ,这两个圆是 .

8、正多边形的边心距与相等。 14、弧长和扇形面积

1. 圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n °的圆心角所对的弧长为，弧长公式为 .

2. 圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n °的圆心角所在的扇形面积为S= 2

R π? = = .

3. 圆柱的侧面积公式：S=2rl π.（其中r 为的半径，l 为的高）

4. 圆锥的侧面积公式：S=rl π.（其中r 为的半径，l 为的长）

5.弓形的面积

（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做。（2）弓形的周长＝（3）弓形的面积

当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，s 弓形= 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，s 弓形当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，s 弓形

【备考指导】

1、“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，在一个圆中，若知圆的半径为R ，弦长为a ，圆心到此弦的距离为d ，?根据垂径定理，有R 2=d 2+（

a ）2

，所以三个量知道两个，就可求出第三个．同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．

2、证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，?再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”

3、面积的计算往往是不规则图形，不易直接求出，?所以要将其转化为与其面积相等的规则图形，等积转化的一般方法是：（1）利用平移、?旋转或轴对称等图形变换进行转化；（2）?根据同底（等底）同高（等高）的三角形的面积相等进行转化；（3）利用几个规则图形的面积和或差求不规则图形的面积．【经典例析】

例1已知：如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D ，AE 是⊙O

的直径，若S △ABC =S ，⊙O 的半径为R ．（1）求证：AB·AC=AD·AE ；（2）求证：AB·AC·BC=4RS ．【解析】（1）本题要证明的结论是“等积式”，?通常的思路是把等积式转化成比例式，再找相似三角形．

（2）利用（1）的结论和三角形的面积公式．

例2如图所示，AB 是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ，若AEC ODB ∠=∠．（1）判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明；（2）当108AB BC ==，时，求BD 的长．【答案】（1）直线BD 和O ⊙相切．证明：

∵AEC ODB ∠=∠，AEC ABC ∠=∠， ∴ABC ODB ∠=∠．∵OD ⊥BC ，

∴90DBC ODB ∠+∠=°．∴90DBC ABC ∠+∠=°．即90DBO ∠=°．∴直线BD 和O ⊙相切．

（2）连接AC ． ∵AB 是直径， ∴90ACB ∠=°．

在Rt ABC △中，108AB BC ==，， ∴226AC AB BC =

-=．

∵直径10AB =， ∴5OB =．

由（1），BD 和O ⊙相切，

∴90OBD ∠=°．∴90ACB OBD ∠=∠=°．由（1）得ABC ODB ∠=∠， ∴ABC ODB △∽△．∴

AC BC

OB BD

． ∴

685BD =

，解得20

BD =．【点评】圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．在证明时一定要根据题目已知条件合理选择．

例3如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且AB=13，BC=5．（1）求sin ∠BAC 的值；

（2）如果OD ⊥AC ，垂足为点D ，求AD 的长；

（3）求图中阴影部分的面积．（精确到0．1）【答案】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°． ∴sin ∠BAC=

BC AB =．（2）在Rt △ABC 中，AC= 2222135AB BC -=- =12．

又∵OD ⊥AC 于点D ， ∴AD=

AC=6．（3）∵S 半圆=

12π×（2AB ）2=12π×1694=1698

π． S △ABC =

12AC ×BC=1

×12×5=30，

∴S 阴影=S 半圆－S △ABC =

169

π－30≈36.3 点评 “直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来．因此对这部分知识应加以重视．

例4已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm 2．（1）求扇形的弧长；

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？

解析：（1）由S 扇形=2360n R 求出R ，再代入L=180

n R

求得．（2）若将此

扇形卷成一个圆锥，?扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其

截面是一个以底是直径，?圆锥母线为腰的等腰三角形．解答如下：（1）如图所

示：∵300π=2120360R π； ∴R=30； ∴弧长L=12030180

π??=20π（cm ）（2）

如右图所示：∵20π=20πr ； ∴r=10，R=30。 AD=900100-=202 ∴S 轴截面=

12×BC ×AD=1

×2×10×202=2002（cm 2）；因此，扇形的弧长是20πcm 卷成圆锥的轴截面是2002cm 2．

反思：圆锥、扇形、圆之间的换算是中考中的热点、常考点，需同学们理清平面与立体之间的变换和实质，熟悉公式并能利用题目中的数据代替公式中的量来解题。

【迎考精炼】

一、选择题：

1.（2009年湖北孝感）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B ＝60°，则∠

CAO

的度数是( ) A ．15° B ．30°

C ．45°

D ．60°

2．（2010安徽省中中考）如图，⊙O 过点B 、C 。圆心O 在等腰直角

△

ABC 的内部，∠BAC ＝900，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为………………（）

A ）10

B ）32

C ）23

D ）13 3．（2010安徽蚌埠二中）以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将

弧BC

折叠后与直径AB 交于点D ，若3

=DB AD ，且10=AB ，则CB 的

长为

A ．54

B ．34

C ． 24

D ．4

4.（2009年山东青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有

水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）．

A ．0.4米

B ．0.5米

C ．0.8米

D ．1米

5.（2009年湖北襄樊）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切O 于C ，

若25A =∠．则D ∠等于（）

A ．40?

B ．50?

C ．60?

D ．70?

6.（2009年浙江台州）大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为

10，则这两圆的位置关系为（）

A ．外离

B ．外切Ｃ．相交 D ．内含

7（2010 河北）如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 A ．点P B ．点Q C ．点R D ．点M 8.（2010湖北武汉）如图，的直径AB 长为10，弦AC 长为

6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则CD 的长为（） A 、7 B 、72 C 、82 D 、9 9.（2010广西梧州）如图6，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论一定正确的个数有①CE =DE ；②BE =OE ；③C B ⌒=BD ⌒；④∠CAB =∠DAB ；⑤AC =AD 。（）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

10.（2010四川攀枝花）如图２，△ABC 内接于⊙O ，若∠O A Ｂ＝28°，则∠C 的大小是（） A ．56° B ．62° C ．28° D ．32°

二、填空题：

1.（2010山东青岛）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．48

2.（2010杭州）如图, 已知△ABC ,6==BC AC ，?=∠90C ．O 是AB 的中点， ⊙O 与AC ，BC 分别相切于点D 与点E ．点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连DF 并延长交CB 的延长线于点G . 则

CG = . 332+

3．(株洲市2010)两圆的圆心距5d =，它们的半径分别是一元二次方程2

540x x -+=的两个根，这两

圆的位置关系是．外切

4.(兰州市2010)如图，扇形OAB ，∠AOB=90?，⊙P 与OA 、OB 分别相切于点F 、E ，并且与弧AB 切于点

（第9题） B

D E O A

· M

R Q 第7A B C P B

第10题

C ，则扇形OAB 的面积与⊙P

的面积比是．

5.(黄冈市2010)将半径为4cm 的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm. 10. 23

三、解答题

1.(2009年四川内江)如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E 、F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC. 求证：（1）CD ⊥DF ；（2）BC ＝2CD

证明：（1）设∠DFC ＝θ，则∠BAD ＝2θ 在△ABD 中，∵AB ＝AD ， ∴∠ABD ＝∠ADB ∠ABD ＝12（180°-∠BAD ）＝90°-θ 又∠FCD ＝∠ABD ＝90°-θ ∴∠FCD+∠DFC ＝90° ∴CD ⊥DF

（2）过F 作FG ⊥BC 于G

在△FGC 和△FDC 中，∠FCG ＝∠ADB ＝∠ABD ＝∠FCD ∠FGC ＝∠FDC ＝90°,FC ＝FC ∴△FGC ≌△FDC

∴GC ＝CD 且∠GFC ＝∠DFC 又∠BFC ＝2∠DFC ∴∠GFB ＝∠GFC ∴BC ＝2GC ， ∴BC ＝2CD.

第1题图

2. (2010年毕节地区)（本题12分）如图，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交

CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．

证明：（证法一）连接OE DE ，． 1分 ∵CD 是⊙O 的直径，

∴90AED CED ∠=∠=． 2分 ∵G 是AD 的中点，

∴1

EG AD DG =

=． 4分 ∴12∠=∠． 6分 ∵34OE OD =∴∠=∠，． 8分 ∴1324∠+∠=∠+∠．即90OEG ODG ∠=∠=． 10分 ∴GE 是⊙O 的切线． 12分

（证法二）连接OE OG ，． 1分 ∵AG GD CO OD ==，， ∴OG AC ∥．

2分 ∴1234∠=∠∠=∠，． 4分

∵OC=OE ． ∴∠2=∠4． ∴∠1=∠3．

6分

又OE OD OG OG ==，，

∴OEG ODG △≌△． 8分 ∴90OEG ODG ∠=∠=． 10分

∴GE 是⊙O 的切线．

12分

3.（2009年湖北仙桃）如图，AB 为⊙O 的直径，D 是⊙O 上的一点，过O 点作AB 的垂线交AD 于点E ，交BD 的延长线于点C ，F 为CE 上一点，且FD ＝FE ． (1)请探究FD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O 的半径为2，BD ＝3，求BC 的长．解：（1）FD 与⊙O 相切，理由如下：

连接OD.∵OC ⊥AB ，∴∠AOC ＝90°，∴∠3+∠A ＝90°.∵FE ＝FD ， ∴∠1＝∠2.又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，又∵OA ＝OD ，∴∠A ＝∠ 4.

∴∠1+∠4＝90°，∴FD 与⊙O 相切.

（2）∵⊙O 的半径为2，∴OB ＝2，AB ＝4，又∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ADB ＝90°.∵OC ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠BOC ＝90°，又∵∠B ＝∠B ，∴Rt △ABD ∽Rt △CBO

∴

AB CB

BD BO =

2CB =

，∴3BC =. 4.（2010济宁市）（6分）

如图，AD 为ABC ?外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，

ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD .

(1) 求证：BD CD =；

(2) 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.

（1）证明：∵AD 为直径，AD BC ⊥，

∴BD CD =.∴BD CD =. ·········································································· 3分

（2）答：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. ································ 4分

理由：由（1）知：BD CD =，∴BAD CBD ∠=∠.

∵DBE CBD CBE ∠=∠+∠，DEB BAD ABE ∠=∠+∠，CBE ABE ∠=∠， ∴DBE DEB ∠=∠.∴DB DE =. ············································································ 6分由（1）知：BD CD =.∴DB DE DC ==.

∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. ···································· 7分

5.（宿迁市2010）（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径， P 为AB 延长线上任意一点，C 为半圆ACB

的中点，PD 切⊙O 于点D ，连结CD 交AB 于点E ．

求证：（1）PD =PE ；

（2）PB PA PE ?=2

．

证明：(1)连接OC 、OD ………………1分

∴OD ⊥PD ，OC ⊥AB ∴∠PDE= 90—∠ODE ，

∠PED=∠CEO= 90—∠C 又∵∠C=∠ODE

∴∠PDE=∠PED …………………………………………4分 ∴PE=PD …………………………………………5分 (2) 连接AD 、BD ………………………………………6分

∴∠ADB=

∵∠BDP= 90—∠ODB ，∠A=

90—∠OBD 又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A

∴?PDB ∽?PAD …………………………………………………8分

∴

PA PB PD =

∴PB PA PD ?=2

(第4题)

A E

O C

∴PB PA PE ?=2 …………………………………………………10分

6．(株洲市2010)（本题满分8分）如图，AB 是

O 的直径，C

为圆周上一点，30ABC ∠=?，O 过点B 的切线与CO 的延长线交于点D ．

求证：（1）CAB BOD ∠=∠；

（2）ABC ?≌ODB ?．证明：（1）∵AB 是

O 的直径，∴90ACB ∠=?，由

30ABC ∠=?，∴60CAB ∠=?

又OB OC =，∴30OCB OBC ∠=∠=?∴60BOD ∠=?，∴CAB BOD ∠=∠．…… 4分（2）在Rt ABC ?中，30ABC ∠=?，得12AC AB =，又1

OB AB =，∴AC OB =．由BD 切

O 于点B ，得90OBD ∠=?．

在ABC ?和ODB ?中，

CAB BOD

ACB OBD AC OB ∠=∠∠=∠?=?

???

∴ABC ?≌ ODB ? …… 8分

7．(黄冈市2010)（6分）如图，点P 为△ABC 的内心，延长AP 交△ABC 的外接圆于D ，在AC 延长线上有一点E ，满足AD 2

＝AB ·AE ，求证：DE 是⊙O 的切线.

证明：连结DC ，DO 并延长交⊙O 于F ，连结AF.∵AD 2＝AB ·AE ，∠BAD ＝∠DAE ，∴△BAD ∽△DAE ，∴∠ADB ＝∠E. 又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠E ，BC ∥DE ，∴∠CDE ＝∠BCD ＝∠BAD ＝∠DAC ，又∵∠CAF ＝∠CDF ，∴∠FDE ＝∠CDE+∠CDF ＝∠DAC+∠CDF ＝∠DAF ＝90°，故DE 是⊙O 的切线 8.(兰州市2010)（本题满分10分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C

在⊙O

上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：BC=

AB ；（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN ·MC 的值.

解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO

∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB

∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分

∵AB 是⊙O 的直径

∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分

∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC ⊥CP …………………………………………3分

∵OC 是⊙O 的半径

∴PC 是⊙O 的切线 …………………………………………………4分

（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P

∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB

∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分

∴BC=OC

∴BC=

AB ………………………………………………………6分 (3)连接MA,MB ∵点M 是弧AB 的中点

∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分 ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM

∵∠BMC=∠BMN

∴△MBN ∽△MCB

∴BM MN

∴BM 2

=MC ·MN ……………………8分

∵AB 是⊙O 的直径，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM

∵AB=4 ∴BM=22 ………………………………………………………9分

∴MC ·MN=BM 2

=8 ……………………………………………………10分

参考答案

1.B

2.D

3.A

4.D

5.A

6.A 6.

7.B

8.B

9.A 10.B

【链接中考】

1.（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．

（1）求弦AB 的长；

（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由；

（3）记△ABC 的面积为S ，若2

DE ＝3ABC 的周长.

【分析】（1）连接OA ，OP 与AB 的交点为F ，则△OAF 为直角三角形，且OA ＝1，OF ＝1

，借助勾

股定理可求得AF 的长；

（2）要判断∠ACB 是否为定值，只需判

P D O

A E F C

P D O B A E

定∠CAB ＋∠ABC 的值是否是定值，由于⊙D 是△ABC 的内切圆，所以AD 和BD 分别为∠CAB 和∠ABC 的角平分线，因此只要∠DAE ＋∠DBA 是定值，那么CAB ＋∠ABC 就是定值，而∠DAE ＋∠DBA 等于弧AB 所对的圆周角，这个值等于∠AOB 值的一半；

（3）由题可知ABD ACD BCD S S S S ???=++＝12

DE (AB ＋AC ＋BC )，又因

为2

DE =，所

以2

()2DE AB AC BC DE

++=，所以AB ＋AC ＋BC

＝，由于DH ＝DG ＝DE ，所以在Rt △CDH 中，CH

，同理可得CG

，又由于AG ＝AE ，BE ＝BH ，所以AB ＋AC ＋BC ＝CG ＋CH ＋AG ＋

AB ＋BH

＝

＋

＝

＋DE ＝1

，代入AB ＋AC ＋BC

＝，

．

【答案】解：（1）连接OA ，取OP 与AB 的交点为F ，则有OA ＝1．

∵弦AB 垂直平分线段OP ，∴OF ＝12OP ＝1

，AF ＝BF ．

在Rt △OAF 中，∵AF

，∴AB ＝2AF

（2）∠ACB 是定值.

理由：由（1）易知，∠AOB ＝120°，

因为点D 为△ABC 的内心，所以，连结AD 、BD ，则∠CAB ＝2∠DAE ，∠CBA ＝2∠DBA ，

因为∠DAE ＋∠DBA ＝

∠AOB ＝60°，所以∠CAB ＋∠CBA ＝120°，所以∠ACB ＝60°；（3）记△ABC 的周长为l ，取AC ，BC 与⊙D 的切点分别为G ，H ，连接DG ，DC ，DH ，则有DG ＝DH ＝DE ，DG ⊥AC ，DH ⊥BC .

∴ABD ACD BCD S S S S ???=++ ＝

12AB ?DE ＋12BC ?DH ＋12AC ?DG ＝12(AB ＋BC ＋AC ) ?DE ＝1

l ?DE ． ∵2

S DE

＝

∴21

2l DE

DE ＝

∴l ＝

∵CG ，CH 是⊙D 的切线，∴∠GCD ＝1

2∠ACB ＝30°，

∴在Rt △CGD 中，CG ＝tan 30DG

＝

，∴CH ＝CG

．

又由切线长定理可知AG ＝AE ，BH ＝BE ，

∴l ＝AB ＋BC ＋AC ＝

＝

，解得DE ＝1

，

∴△ABC

．

【涉及知识点】垂径定理勾股定理内切圆切线长定理三角形面积

【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题 2. （楚雄州本小题13分）已知：如图，⊙A 与y 轴交于C 、D 两点，圆心A 的坐标为（1，0），⊙A 的

半径为5，过点C 作⊙A 的切线交x 轴于点B （－4，0）．

（1）求切线BC 的解析式；

（2）若点P 是第一象限内⊙A 上的一点，过点P 作⊙A 的切线与直线BC 相交于点G ，且∠CGP=120°，求点G 的坐标；

（3）向左移动⊙A （圆心A 始终保持在x 轴上），与直线BC 交于E 、F ，在移动过程中是否存在点A ，使△AEF 是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1所示，连接AC ，则AC=5

在Rt △AOC 中，AC=5 ，OA=1 ，则OC=2

∴点C 的坐标为（0，2）

设切线BC 的解析式为b kx y +=，它过点C （0，2），B （?4，0），则有

???=+-=042b k b 解之得?????

21b k

∴22

+=x y ………………………………………………4分

（2）如图1所示，设点G 的坐标为（a ,c ）,过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为H 点，

则OH=a , GH=c =2

a + 2 ……………………………………………………5分

连接AP , AG

因为AC=AP , AG=AG , 所以Rt △ACG ≌Rt △

所以∠AGC=2

×1200=600

在Rt △ACG 中，∠AGC= 600，AC=5

∴Sin600=AG

∴AG =3152在Rt △AGH 中, AH=OH －OA=a －1 ，GH=

a + 2 2AH +2GH =2AG

∴2

)1(-a +2)221(+a =2

152(

解之得：1a =

332 ,2a = ?3

2(舍去) …………………………………………7分

点G 的坐标为（

32,33

+ 2 ） …………………………………………………8分 (3) 如图2所示，在移动过程中，存在点A ，使△AEF 为直角三角形. ………………9分

要使△AEF 为直角三角形

AE=AF

∴∠AEF=∠AFE 900 ∴只能是∠EAF=900

当圆心A 在点B 的右侧时，过点A 作 AM ⊥BC,垂足为点M. 在Rt △AEF 中，AE=AF=5, 则EF=10， AM=

21EF=2

110

在Rt △OBC 中,OC=2 , OB=4,则BC=25

∠BOC= ∠BMA=900 ，∠OBC= ∠OBM

∴△BOC ∽△BMA ∴

AM OC =AB BC

∴AB=

5 ∴OA=OB －AB=4－

5 ∴点A 的坐标为（－4+

，0） ………………………………………………11分当圆心A 在点B 的左侧时，设圆心为A ′，过点A ′作A ′M ′⊥BC 于点M ′，可得 △A ′M ′B ≌△AMB A ′B ＝AB ＝

5 ∴O A ′=OB+ A ′B =4 +

5 ∴点A ′的坐标为（－4－

，0）综上所述，点A 的坐标为（－4+

225，0）或（－4－22

5，0） ……………13分 3. （2010年山东省日照市） (本题满分10分)

如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 与E ，交BC 与D ．求证：

（1）D 是BC 的中点；（2）△BE C ∽△ADC ；（3）BC 2=2AB ·CE ．

【解答】

（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90° ，

即AD 是底边BC 上的高． ………………………………………1分

又∵AB =AC ，∴△ABC 是等腰三角形，

∴D 是BC 的中点；………… ……………………………………………3分 (2) 证明：∵∠CBE 与∠CAD 是同弧所对的圆周角，

∴ ∠CBE =∠CAD ．…………………………………………………5分又∵ ∠BCE =∠ACD ，

∴△BEC ∽△ADC ；…………………………………………………6分（3）证明：由△BEC ∽△ADC ，知

AC CD =

，即CD ·BC =AC ·CE ． …………………………………………………8分 ∵D 是BC 的中点，∴CD=

BC ．又 ∵AB =AC ，∴CD ·BC =AC ·CE =

BC ·BC=AB ·CE 即BC 2

=2AB ·CE ．……………………………………………………10分【涉及知识点】圆周角定理：直径所对的圆周角为90°；同弧所对的圆周角相等两个定理的应用。相似三角形的判定和性质定理。

【点评】此题是应用与圆有关的角相等，证明相似从而证明比例式、乘积式的成立。 4. （2010年四川省成都市）（本题满分10分）已知：如图，ABC ?内接于O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是AD 的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ．

（1）求证：P 是ACQ ?的外心；

（2）若3

tan ,84ABC CF ∠==,求CQ 的长；（3）求证：2

()FP PQ FP FG +=．

【解答】

（1）证明：∵C 是AD 的中点，∴AC CD =， ∴∠CAD=∠ABC

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°。∴∠CAD+∠AQC=90° 又CE ⊥AB ，∴∠ABC+∠PCQ=90°，∴∠AQC=∠PCQ ，∴在△PCQ 中，

PC=PQ ，

∵CE ⊥直径AB ，∴AC AE =，∴AE CD =，∴∠CAD=∠ACE 。 ∴在△APC 中，有PA=PC ，∴PA=PC=PQ ，∴P 是△ACQ 的外心。（2）解：∵CE ⊥直径AB 于F ，

∴在Rt △BCF 中，由tan ∠ABC=

34CF BF =，CF=8，得432

BF CF ==。 ∴由勾股定理，得2240

BC CF BF =+=，∵AB 是⊙O 的直径，

∴在Rt △ACB 中，由tan ∠ABC=34

AC BC =，403BC =

，得3

104AC BC ==。易知Rt △ACB ∽Rt △QCA ，∴2

AC CQ BC =?，∴2152

AC CQ BC ==。（3）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°

∴∠DAB+∠ABD=90°

又CF ⊥AB ，∴∠ABG+∠G=90°，∴∠DAB=∠G ；∴Rt △AFP ∽Rt △GFB ，

∴

AF FP

FG BF

，即AF BF FP FG ?=? 易知Rt △ACF ∽Rt △CBF ，∴2FG AF BF =?（或由摄影定理得） ∴2FC PF FG =?，由（1），知PC=PQ ，∴FP+PQ=FP+PC=FC

∴2

()FP PQ FP FG +=。

【涉及知识点】垂径定理、外心的定义，勾股定理

【点评】本题巧妙将垂径定理及其推论有机的结合起来运用。

中考数学总复习专题六圆的有关证明与计算试题新人教版

专题六圆的有关证明与计算圆的切线的判定与性质【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中，AB=ＡＣ，点D在BＣ上，ＢD=DC，过点Ｄ作DE⊥AC，垂足为Ｅ,⊙O经过A,B,D三点．（1)求证:AB是⊙O的直径; (２）判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明；（３）若⊙O的半径为3,∠ＢAC＝６0°，求DE的长. 分析:(1）连接AＤ,证AD⊥BC可得;(２）连接OD，利用中位线定理得到ＯD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出ＢＦ的长,由DE为三角形CＢF中位线，即可求出DE的长. 解:（1)连接ＡD,∵AB＝AC,BD＝DC，∴AD⊥BC,∴∠ＡDB=９0°,∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明:连接OD,∵O,D分别为ＡＢ,BＣ的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴ＯD∥AC，∵DE⊥ＡC,∴DＥ⊥OＤ,∵ＯD为圆的半径,∴DＥ与圆O相切 (3)∵ＡB＝AC，∠BＡＣ＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AB=ＡC＝BＣ＝６，连接BF，∵AB为圆O的直径,∴∠ＡFB=∠DEＣ＝9０°,∴AF=CF=3，ＤE∥BＦ，∵Ｄ为BＣ的中点，∴E为CＦ的中点,即DE为△BCF中位线，在Rt△ABＦ中，AB=6,ＡF＝3，根据勾股定理得BF=错误!＝3错误!,则ＤE=错误!BF＝错误! 圆与相似【例2】（201６·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径,ＢD与AC相交于点H,ＡC的延长线与过点B的直线相交于点Ｅ,且∠Ａ=∠EBC. (1）求证:BＥ是⊙O的切线; (2)已知ＣG∥EB,且CG与BD，BA分别相交于点F，G,若ＢG·ＢA＝48,FG=２，DＦ＝2BF,求AＨ的值. 分析:(1）证∠ＥBD=9０°即可;(2)由△ＡBＣ∽△CＢG得错误!＝错误!，可求出BC,再由△BFＣ∽△ＢＣD得BC2=BF·BD,可求出ＢＦ，再求出CF,CG，ＧB,通过计算发现ＣG＝AG,可证CH=CB，即可求出AC. 解:(1)连接ＣD,∵ＢＤ是直径，∴∠BCＤ＝９0°，即∠D＋∠CBD=９０°,∵∠A＝∠D,∠A=∠ＥBC,∴∠CＢD+∠EＢC＝９０°，∴BＥ⊥ＢD，∴ＢE是⊙Ｏ切线 (2)∵CG∥EＢ，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠ＢＣＧ，又∵∠ＣＢG＝∠ABC,∴△AＢC∽△ CBG，∴BC BＧ =＼ｆ(ＡＢ,BC），即BＣ２=BＧ·BA=４8,∴ＢC＝4错误!,∵ＣG∥EB,∴CF⊥ＢD，∴△BFC∽△ＢＣＤ,∴ＢC2＝BF·BD,∵DF＝2ＢF,∴ＢF＝4，在Ｒt△BCF中，ＣF＝＼ｒ（BＣ2-FB2）＝42,∴CG＝CF+FG＝5错误!,在Rt△BFG中，ＢＧ=错误!＝3错误!，∵

圆中的证明与计算

圆中的证明与计算及圆与三角形、四边形知识点圆中的重要知识点【知识梳理】 1、圆中的重要概念 2、圆中的重要定理 3、易与圆结合的其他知识【例题精讲一】垂径定理例1.1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°。（1）求证：弧CF＝弧BC；（2）若CD＝6，分别求BE、GF的长。

（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝2 4，ON＝1，求⊙O的半径。 3、如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5。（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长。

【课堂练习】 1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F，连接BF。（1）求证：BF平分∠DFE；（2）若EF＝DF，BE＝5，CH＝3，求⊙O半径。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF。（1）求证：∠BAD＝∠F；（2）若EF＝25，AC＝4，求⊙O的半径。

【例题精讲二】圆周角定理例2.1、如图，CD为⊙O的直径，AB、AC为弦，且∠ADC＝∠DAB＋∠ACD，AB交CD于E。（1）求证：AB＝AC；（2）若DE＝2，CE＝10，求AC的长。 2、在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在AD上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H。（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，AC＝10，BD＝8，求CE的长。

中考《圆》有关的证明和计算

半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与O O相切. 例2 如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与O O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ?/ AD是/ BAC的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2=Z 1+ / DAC. ???/ 2=Z B+ / DAB , ???/ 仁/ B. 又???/ B= / E, ???/ 仁/ E ?/ AE是O O的直径， ?AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA丄PA. ? PA与O O相切. 证明二：延长AD交O O于E,连结OA , OE. ?/ AD是/ BAC的平分线， ?BE=C1E, c ? OE 丄BC. ?/ E+/ BDE=900. ?/ OA=OE , ? / E=/ 1.

例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且 OA 2=OD ? OP. 求证：PC 是O O 的切线. 说明: 求证: ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, ???/ 1 + Z PAD=90 0 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D , DM 与O O 相切. 例4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长线上求证：DC 是O O 的切线

中考专题复习与圆有关的计算与证明

中考专题复习——与圆有关的计算与证明【中考要求及命题趋势】 1、理解圆的基本概念与性质。 2、求线段与角和弧的度数。 3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。 4、直线和圆的位置关系。 5、圆的切线的性质和判定。 6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。 7、圆和圆的五种位置关系。 8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。 9、掌握弧长、扇形面积计算公式。 10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。 11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。 2010年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。【应试对策】圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，考查对扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记忆。圆这一章重要的概念、定理先掌握、后应用，掌握之后，再掌握一些解题思路和解题方法。第一：有三条常用辅助线，一是圆心距，二是直径圆周角，第三条是切线径。第二：有几个分析思路：弧、常与圆周角互相转换；那么怎么去应用，就根据题目条件而定。【复习要点】 1、圆的有关概念：（1）圆上任意两点间的部分叫弧，______的弧叫优弧，________的弧称为劣弧。（2）______________________的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。（3）_________________的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边____________的角叫做圆周角。 2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是_____ ____；（2）圆是中心对称图形，其对称中心是_________。3、垂径定理及推论垂径定理：垂直于弦的直径_________弦，并且平分____________________。推论：平分弦（不是直径）的直径_____这条弦，并且平分__________________ 4、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。如图所示： AB,CD是⊙O的两条弦，OE,OF为AB,CD的弦心距，根据圆心角，弧，弦和弦心距 C

圆的有关证明与计算题专题

A B 《圆的证明与计算》专题研究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。三、解题秘笈： 1、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线；（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O 的切线. （3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线. （4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB 的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线. 2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：

圆的证明与计算

以圆为背景的证明、动态探究题 1. 如图，在Rt△ABC中，ZABC=90 °，点M是AC的中点，以AB为直径作O O 分别交AC, BM于点D , E. (1) 求证：MD=ME (2) _______________________________________________ 填空：①若 AB=6，当AD=2DM 时，DE= __________________________ ； ②连接0D，OE，当/A的度数为_____________ 时，四边形ODME是菱形. 2. 如图，CD是GO的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P 作GO的切线PA，PB，切点分别为点A，B. (1)连接AC，若GAPO=30。，试证明CACP是等腰三角形; (2)填空： ①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP= _______ cm时，四边形AOBP是正方形.

3?如图，AB是半圆0的直径，点P是半圆上不与点A, B重合的一个动点，延长BP到点C,使PC= PB, D是AC的中点，连接PD, P0. (1)求证：△CDP^△OB; (2)填空： ①若AB = 4，则四边形AOPD的最大面积为__________________ ； ②连接0D，当Z PBA的度数为_______ 时，四边形BPDO是菱形. 4. 如图，在。0中，AB是。0的直径，AC是。0的弦，过点C作。0的切线

交BA 的延长线于点P ,连接BC. (1)求证：/ PCA= ZB; (2)已知Z P=40 °,AB=12cm,点Q 在优弧AC 上，从点A 开始以n cm/s 的速度逆时针运动到点C 停止(点Q 与点A 、C 不重合)，设运动时间为ts. 5. 如图，在 Rt △ABC 中，Z ACB=90 °以AC 为直径的。O 与AB 边交于点D,过点D 作。O 的切线交BC 于点E 连接OE,。O 的半径为 3 。 (1)求证:OE//AB; ① 当t= ② 当t= 时，以点A 、Q 、B 、C 为顶点的四边形面积最大时，△ABQ 与A ABC 全等。 (2)①当BC= ________ 时, ②当BC= _______ 时, 四边形ODEC 是正方形 AD=3DE.

与圆有关的证明与计算

与圆有关的证明与计算 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 的边上，以AF 为直径的⊙O 恰好经过点D 、E ，且DE ＝EF . (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若∠B ＝30°，求CE CD 的值．第1题图 (1)证明：如解图，连接OD ，OE ，DF ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴DF ∥BC ， ∵DE ＝EF ， ∴DE ︵＝EF ︵， ∴OE ⊥DF ， ∴OE ⊥BC ， ∵OE 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线；第1题解图 (2)解：∵∠B ＝30°，且OE ⊥BC ， ∴∠BOE ＝60°， ∵OE ＝OF ， ∴△OEF 是等边三角形， ∴∠OEF ＝60°，又∵DE ＝EF ，OE ⊥DF ， ∴∠OED ＝∠OEF ＝60°， ∴∠CED ＝30°， ∴∠CDE ＝60°，在Rt △CDE 中， ∵tan ∠CDE ＝tan60°＝CE CD ＝3，

∴ CE CD ＝ 3. 2．如图，在Rt △BGF 中，∠F ＝90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BF 于点E ，交GF 于点D ，AE ⊥OD 于点C ，连接BD . (1)求证：GF 是⊙O 的切线； (2)若OC ＝2，AE ＝43，求∠DBF 的度数．第2题图 (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，又∵∠F ＝90°， ∴∠AEB ＝∠F ，∴AE ∥GF ， ∵AE ⊥OD ，∴OD ⊥GF ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴GF 是⊙O 的切线； (2)解：∵OD ⊥AE ， ∴AC ＝CE ＝1 2AE ＝23， ∵OA ＝OB ， ∴OC 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OC ＝4， ∴在Rt △AOC 中，OA ＝OC 2＋AC 2＝22＋（23）2＝4， ∵∠CEF ＝∠DCE ＝∠F ＝90°， ∴四边形CDFE 是矩形， ∴DF ＝CE ＝23，EF ＝CD ＝OD －OC ＝4－2＝2， ∴BF ＝BE ＋EF ＝4＋2＝6， ∴tan ∠DBF ＝DF BF ＝236＝3 3， ∴∠DBF ＝30°. 3．如图，点C 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，点D 在⊙O 上，且∠DAC ＝30°，∠BDC ＝1 2∠ABD . (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于点E 、F ，BD ＝2，求OE 、CF 的长．

九年级数学圆中的证明与计算(二)

1、如图，AB是⊙O的直径，D为弧AC的中点，DE⊥AB于E，交AC于F，AC、BD交于点G。（1）求证：①AC＝2DE；②OF∥BD；（2）若AB＝10，AC＝8，求AF的长。【例题精讲一】切线的性质例1.1、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且AB⊥CD于E，F为弧AD上一点，BF交CD于G，FH切⊙O于点F，交CD的延长线于H。（1）求证：FH＝GH；（2）若AB＝2FH，GF＝3 2，求AG的长。

2、如图，已知直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB 。（1）如图1，求证：AC ＝AD ；（2）如图2，E 、F 为⊙O 上两点，且∠CDE ＝∠ADF 。若⊙O 的半径为 2 5 ，CD ＝4，求EF 的长。 3、如图，正方形ABCD ，以BC 为直径在正方形内作半圆O ，过D 作DE 与半圆O 相切于点E ，连OE 交AB 于F 。（1）如图1，连OD 、DF ，求证：∠ODF ＝45°；（2）如图2，过B 作BM ∥DF 交OF 于G ，交⊙O 于点M 。若AD ＝6，求BM 的长。

【课堂练习】 1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC、AB分别相交于点E、F。（1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，∠B＝2∠AFH，⊙O的半径为5，求FH的长。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，点O在AB上，以OA为半径的圆，交AB于D，交AC于G，且点E在⊙O上，连接DE，BF切⊙O于点F。（1）求证：BE＝BF；（2）若⊙O的半径为R，AG＝R＋1，CE＝R－1，求弦AG的长。

中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)

圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线；（2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△

△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△

△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ．（1）求证：EF △BC ；（2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．

2018届中考数学复习专题题型(七)--圆的有关计算与证明

（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] （1）求证：△COD ∽△CBE ；（2）求半圆O 的半径r 的长：试题解析：（1）∵CD 切半圆O 于点D ， ∴CD ⊥OD ， ∴∠CDO=90°， ∵BE ⊥CD ， ∴∠E=90°=∠CDO ，又∵∠C=∠C ， ∴△COD ∽△CBE ．（2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9， ∴22CE BE +=15， ∵△COD ∽△CBE ． ∴OD OC BE BC =，即15915r r -=，解得：r= 458．考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质. 2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E. （1）求证：DE 是圆O 的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.

(1)如图所示，连接OE，CE ∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点 ∴ED＝1 2 BC＝DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90° ∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点 ∴DE是圆O的切线.

考点：圆切线判定定理及相似三角形 3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ．（1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标；（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4， ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：223AB AN -=， ∴B （32）．（2）连接MC ，NC ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°，

中考几何证明题集锦(主要是与圆有关的)

中考几何证明题 1、如图：A 是⊙O 外一点，B 是⊙O 上一点，AO 的延长线交⊙O 于C ，连结BC ，∠C ＝22.50，∠BAC ＝450。第 1 题图 C 2. 如图，割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为BC 的中点，OE 交BC 于F ，DE 交AC 于G ，∠ADG ＝∠AGD . ⑴求证：AD 是⊙O 的切线； ⑵如果AB =2，AD =4，EG =2，求⊙O 的半径． . 3．，正三角形ABC 的中心O 恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形内．要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动，△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的3 1 ，扇形的圆心角应为多少度？说明你的结论。 4、如图：已知在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AC ＝13，AB ＝5，O 是AB 上的点，以O 为圆心，0B 为半径作⊙O 。（1）当OB ＝2.5时，⊙O 交AC 于点D ，求CD 的长。（2）当OB ＝2.4 时，AC 与⊙O 的位置关系如何？试证明你的结论。第 4 题图 C B D E 第3 题图第2题 ⌒

5、如图：已知A 、D 两点分别是正三角形DEF 、正三角形ABC 的中心，连结GH 、AD ，延长AD 交BC 于M ，延长DA 交EF 于N ，G 是FD 与AB 的交点，H 是ED 与AC 的交点。（1）写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论（不要求写出证明过程）；（2）问FE 、GH 、BC 有何位置关系？试证明你的结论。第 5 C M B D H G A E N F 6．如图（a ），已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F （不与B 重合），直线l 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连结AC 、AD ．求证：①∠BAD ＝∠CAG ；②AC ·AD ＝AE ·AF ．（2）在问题（1）中，当直线l 向上平行移动，与⊙O 相切时，其他条件不变． ①请你在图（b ）中画出变化后的图形，并对照图（a ），标记字母； ②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 7．如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，⊙O 过点A ，且和BC 切于D ，和AB 、AC 分别交于E 、F 。设EF 交AD 于G ，连结DF 。（1）求证：EF ∥BC ；（2）已知：DF =2 ，AG =3 ，求 EB AE 的值。 8、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，且BC ＝a ，AB ＝c ，CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p 。求证：q p h ?=2 ，c p a ?=2 8 题 · B D C F E A G O 图(a) B O A F D C G E l · B O A 图(b) 第6题·

圆的证明与计算专题

2012中考数学复习《圆的证明与计算》专题圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,圆与相似圆与面积圆与切线动态圆三、解题秘笈： 1、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数. （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

圆的证明与计算

以圆为背景的证明、动态探究题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O 分别交AC，BM于点D，E. （1）求证：MD=ME （2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE=___________； ②连接OD，OE，当∠A的度数为____________时，四边形ODME是菱形. 2.如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P 作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．（1）连接AC，若⊙APO=30°，试证明⊙ACP是等腰三角形；（2）填空： ①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP=________cm时，四边形AOBP是正方形．

3.如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO．（1）求证：△CDP≌△POB; （2）填空： ①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_________________; ②连接OD，当∠PBA的度数为________时，四边形BPDO是菱形． 4.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线

交BA的延长线于点P，连接BC. （1）求证：∠PCA=∠B; （2）已知∠P=40°,AB=12cm,点Q在优弧AC上，从点A开始以πcm/s的速度逆时针运动到点C停止（点Q与点A、C不重合），设运动时间为ts. ①当t=________时，以点A、Q、B、C为顶点的四边形面积最大。 ②当t=________时，△ABQ与△ABC全等。 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE,⊙O的半径为3。（1）求证：OE∥AB; （2）①当BC=_________时，四边形ODEC是正方形。 ②当BC=_________时，AD=3DE.

中考数学压轴题专项练习：圆的证明与计算题及答案

题库:圆的证明与计算题 1.如图，AB是⊙O的直径，点D是?AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE 交于点F. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD的长．第1题图 (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°， ∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE， ∴∠EAB＝∠CBE， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°， ∴CB⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线； (2)解：∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE，如解图，连接DO，

第1题解图∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵∠EBD＝∠OBD， ∴∠EBD＝∠ODB， ∴OD∥BE， ∴PD PE ＝PO PB ， ∵P A＝AO， ∴P A＝AO＝OB， ∴PO PB ＝2 3 ， ∴PD PE ＝2 3 ， ∴ PD PD＋DE ＝2 3 ， ∵DE＝2， ∴PD＝4. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.

(1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，cos A ＝2 5 ，求DF的长．第2题图（1）证明：如解图，连接OD，第2题解图∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B，又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴∠DFC＝90°， ∴∠ODF＝∠DFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径， G

∴DF 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ， ∴AG ＝1 2AE ＝2. ∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝2 5， ∴OA ＝5， ∴OG ＝OA 2－AG 2＝21， ∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°， ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21. 3如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD . (1)求证：AD ＝AN ； (2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．第3题图 (1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，

人教版九年级上册《圆的证明与计算》专题讲解

《圆的证明与计算》专题讲解圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。圆的有关证明一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。知识点一：判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：

方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B 为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E，

与圆的切线有关的计算与证明(2)

与圆的切线有关的计算与证明(1) 类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，若/ P =30°,0 O的半径为1,贝U PB的长为1 . 图Z12- 1 经典母题答图【解析】如答图，连结0C. ??PC 为O O 的切线，.?./PC0 = 90 在RtSCP 中，??OC= 1,/P = 30°, ??0P= 20C= 2, ??PB= OP- 0B= 2- 1= 1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；⑵已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直. 【中考变形】 [2017天津]已知AB是O 0的直径，AT是O 0的切线，/ ABT= 50°, BT交O0于点C, E是AB上一点，延长CE交O 0于点D. (1) 如图Z12-2①，求/ T和/CDB的大小； (2) 如图②，当BE= BC时，求/ CD0的大小.

解：⑴如答图①，连结AC , ??AT 是。O 的切线，AB 是。O 的直径, ??AT 丄 AB ,即/ TAB = 90°, ? 50°,?d 90°-/ ABT = 40 由AB 是O O 的直径，得/ ACB = 90° ? Q AB = 90°』ABC = 40°,/-CDB =/CAB = 40°; ⑵如答图②，连结AD , 在厶 BCE 中，BE = BC ,/ EBC = 50 ? / BCE =/BEC = 65°, ?/ BAD = /BCD = 65 ? OA = OD ，?/ ODA =/ OAD = 65 ? / ADC =/ ABC = 50°, ? / CDO =/ ODA -/ADC = 65°- 50°= 15 【中考预测】 [2017宿迁]如图Z12-3, AB 与。O 相切于点B , BC 为。O 的弦，OC 丄OA , OA 与BC 相交于点 P. 图 Z12- 2 中考变形答图① 中考变形答图②

浙江省中考数学总复习专题提升五与圆有关的证明与计算

专题提升五与圆有关的证明与计算一、选择题 1．(2016·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连结BD ，AD ，若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( D ) A ．15° B ．30° C ．60° D ．75° ,第1题图) ,第2题图) 2．(2016·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A(8，0)，与y 轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M 到坐标原点O 的距离是( D ) A ．10 B ．8 2 C ．413 D ．241 3．(2016·昆明)如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，AB ⊥弦CD ，垂足为G ，EF 切⊙O 于点B ，∠A ＝30°，连结AD ，OC ，BC ，下列结论不正确的是( D ) A ．EF ∥CD B ．△COB 是等边三角形 C ．CG ＝DG D.BC ︵的长为3 2 π ,第3题图) ,第4题图) 4．(2016·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为( D ) A ．2π B ．π C.π3 D.2 3 π 二、填空题 6．(2016·黔西南州)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，若CD ＝6，BE ＝1，则⊙O 的直径为__10__． ,第6题图) ,第7题图) 7．(2016·青岛)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD ＝__62°__． 8．(2016·成都)如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的半径OC ＝13，则AB ＝__39 2 __．

《圆的证明与计算》专题讲解

《圆的证明与计算》专题讲解圆的有关证明一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 知识点一：判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延

圆的计算与证明

圆的计算与证明 1．如图，已知AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，过点B作BC⊥PO于点D，交⊙O于点C，连接AC、PC （1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠BPC＝60°，PB＝3，求阴影部分面积． 2．如图，已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．（1）求证：∠ACD＝∠ACF；（2）当AD⊥CD，BE＝2cm，CF＝8cm，求AD的长． 3．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．

4．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥MN于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径． 5．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE＝2，∠DP A＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分及△PBF的面积． 6．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．

7．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA∥PE．（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝24，求OP的长． 8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC 于D、E、F、G．（1）求证：CD＝EF；（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长． 9．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．

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