一元一次不等式与一次函数的关系
导学案：一元一次不等式与一次函数的关系学校____________ 班级____________ 姓名____________
【学习目标】
1、一元一次不等式与一次函数的关系。
2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较。
3、通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养数形结合意识。
【学习重点】
了解一元一次不等式与一次函数之间的关系。
【学习难点】
根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答。
【学习过程】
一、复习导学
前面我们学习过一次函数、一元一次方程与一元一次不等式，我们知道一元一次方程的解就是一次函数图象与x轴交点的横坐标，也就是说：
“一元一次方程ax+b=0”与“求当x为何值时，y=ax+b的值为0”是同一问题，
那么一元一次不等式与一次函数之间有怎样的关系呢？
如：下面两个问题是同一问题吗？
（1）解不等式：2x-4＜0
（2）当x为何值时，函数y=2x-4的值小于0？
今天我们就来探究类似这样的问题？
二、自主探究、合作交流
1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系：
还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式．
如y=2x－5为一次函数．
在一次函数y=2x－5中，
当y=0时，有方程2x－5=0；
当y＞0时，有不等式2x－5＞0；
当y＜0时，有不等式2x－5＜0．
由此可见：_________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________．
2．做一做：
作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题．
（1）x取哪些值时，2x－5=0？
（2）x取哪些值时，2x－5＞0？
（3）x取哪些值时，2x－5＜0？
（4）x取哪些值时，2x－5＞1？
请回答：
（1）
（2）
（3）
（4）
3．试一试
如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＞0？
首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图：
从图象上可知:_____________________________________________________ __________________________________________________________________．4．练一练
函数y1=2x-5和y2=x-2的图象如图所示，观察图象回答下列问题：
（1）x取何值时，y1＝y2？
（2）x取何值时，y1＞y2？
（3）x取何值时，y1＜y2？
从图象上看:
总结一次函数与一元一次不等式的关系：
从数的角度看
从形的角度看
三、应用新知、拓展提升
（一）基础演练
1．已知函数y=3x+8，当x________________________时，函数的值等于0．当x_________________________时，函数的值大于0．当x__________________________________时，函数的值不大于2．2．如图，直线l1，l2交于一点P，若y1≥y2，则（）
A．x≥3B．x≤3C．2≤x≤3 D．x≤4
（二）典例示范
例1．作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0？
（2）x取何值时，－2x+8＞0？
（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？
（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程．
例2．一次函数y=-3x+12中，x为何值时：
（1）当x取何值时，y＞0；
（2）当x取何值时，y＝0；
（3）当x取何值时，y＜0 ．
（三）拓展提升
例3．已知y1=－x+3，y2=3x－4，当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？
四、课堂小结
1．转化思想：
转化
__________问题___________问题
2．解函数问题的方法：
图象法：_________________________________．
3．一次函数与一元一次不等式的关系：
从数的角度看
从形的角度看
五、课堂检测
1．已知y 1＝x －5，y 2＝2x ＋1．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞5
B ．x ＜1
2
C ．x ＜－6
D ．x ＞－6
2．已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当x ＜1时，y 的取值范围是（ ）
A ．－2＜y ＜0
B ．－4＜y ＜0
C ．y ＜－2
D ．y ＜－4 3．若一次函数y ＝(m －1)x －m ＋4的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是________．
4．已知1213
222
y x y x =-=+，，试确定x 取何值时2y 不小于1y ？
5.在同一坐标系中画出一次函数y 1＝－x ＋1与y 2＝2x －2的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）写出直线y 1＝－x ＋1与y 2＝2x －2的交点P 的坐标． （2）直接写出：当x 取何值时y 1＞y 2；y 1＜y 2
参考答案：
－4 y O
2
x
一、复习导学
二、自主探究、合作交流
1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系：
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式．
2．做一做：
（1）当y=0时，2x－5=0，
∴x
∴当x2x－5=0．
（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可
知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件．当x
y=2x－5可知y＞0．因此当x2x－5＞0．
（3）同理可知，当x2x－5＜0；
（4）要使2x－5＞1，也就是y=2x－5中的y大于1，那么过纵坐标为1的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（3，1），则当x＞3时，有2x－5＞1．3．试一试
从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0，得x=－2.5，所以当x取小于－2.5的值时，y＞0．
4．练一练
从图象上看，
（1）y1=y2时，两个一次函数的图象交于一点，此点的横坐标就是方程2x-5=x-2的解；
（2）一次函数y1=2x-5的图象在y2=x-2的图象上方的部分对应点的横坐标就是不等式2x-5＞x-2的解；
（3）一次函数y1=2x-5的图象在y2=x-2的图象下方的部分对应点的横坐标就是不等式
含字母参数的一元一次不等式
含字母参数的一元一次不等式（组） 1、关于x 的不等式3x >m 的解集为x >6 ，则m 的值为 . 2、关于x 的不等式－2x +a ≥2的解集如图所示，则a 的值为 . 3、关于x 的不等式组24x a x b +? 的解集是－3
数学人教版七年级下册解含参数的一元一次不等式组的解集
《解含字母的一元一次不等式组的解集》教学设计 抚顺市第五十六中学尹丽红教材分析：本章内容是人教版七年级数学（下）第九章，是在学习了《二元一次方程组》和《一元一次不等式（组）》后的基础上安排的内容，是为今后学习一次函数打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》，知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法，并会用数轴直观的得到一元一次不等式组的解集，它是解决本节课内容《含字母的一元一次不等式组的解集》的基础和关键。通过本节课知识的学习，学生能对初中数学中的分类讨论、数形结合的思想方法有进一步的认识，养成独立思考的习惯，也能加强与同学的合作交流意识与创新意识，为今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学目标： （1）知识目标：使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解，掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 （2）能力目标：培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 （3）德育目标：加强同学之间的合作交流与探讨，体验数学发现带来的乐趣。 学习重点： （1）加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 （2）通过含参数不等式的分析与讨论，让学生理解掌握分类讨论和数形结合的数学思想。学习难点： （1）一元一次不等式组中字母参数的讨论。 （2）运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难点突破办法： （1）借助数轴，数型结合，让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。（2）和学生一起探讨解决问题的一般方法：先运用口诀定大小，再考虑特殊情况定等号。
含参数的一元一次不等式专题
含参数的一元一次不等式专题 1、由x 课题：7.3 一元一次不等式组及解集 学习目标： 1、知道什么是一元一次不等式组，什么是一元一次不等式组的解集。什么叫做解一元一次不等式组。 2、能利用数轴正确的找出简单的一元一次不等式组的解集。 3、能直接找出一个简单的一元一次不等式组的解集。 学习重点：会找一元一次不等式组的解集 学习难点：会找一元一次不等式组的解集。 【自主学习】 一、认真阅读教材34-35页内容，完成以下问题： （一）:小莉带5元钱去超市买作业本，她拿了5本，付款时钱不够，于是小莉 退掉一本，收银员找给她一些零钱，请你估计一下，作业本单价约是多少元？（你能否用两个不等式来表示？） 34-35 页内容（二）认真阅读教材____________ _ 。一元一次不等式组叫做______ _______ 。解集叫做一元一次不等式组的 。叫做解不等式组（三）、求下列两个不等式的解集，并在同一条数轴上表示出来 ①2x+3>0② 3x-13+x〈4-1-5-4-35-2132O】【学 习探究 （一）利用数轴找出下列不等式组的解集3x＞(1) ②＞x7，x≤3(2) x≤7， x＞3(3) x＜7， 4 / 1 (4) 不等式组解集口诀“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”【当堂检测】 1.画数轴找出下列不等式组的解集。 x2＜x＞-2(2) (1) ②3x＜，x＞1， x＞1x＞-1(3) (4) ②-2x＜3x＜，， 2.直接说出下列不等式组的解集。 x＜2(1) x＜5， x＞3(2) 2 / 4 ②x＜1， -2x＞(3) 1＜x，-(4) 0?x?32?? 3. 解不等式组13x?3?x??）解: 解不等式①,得（ ）解不等式②,得（ ）所以不等式的解集为（ 14P35）、写出下列不等式组的解集：（教材练习 0x?2x???5x???3?x?)1()(2)(3??? )4(2x???71?xx?????0?x? ｛2＞x ；）不等式组（1__ 的解集是_ -1x 【课后练习】1、填空。 ≥｛-1x＜）不等式组（2 ；的解集-2x ＜｛4x＜）不等式组（__； 3 的解集 是__ 1x＞｛5＞x）不等式组解集是___ ___（4。-4x＜【应用与拓展】mx??．_____ ____ m 无解，则若不等式组的取值范围是?5x?? / 34 4 / 4 一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1且系数不为0的不等式，称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项： ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，去分母后分子是多项式时，分子要加括号。 ②系数化为1时，注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式的概念 1. （2017春昭通期末）下列各式：①5≥-x ；②03<-x y ；③05<+πx ；④ 32≠+x x ； ⑤x x 333≤+；⑥02<+x 是一元一次不等式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.（2017春启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.（2017春寿光市期中）若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ） A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2：考察一元一次不等式的解法 4. （2016秋太仓市校级期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来: （1）)21(3)35(2x x x --≤+ （2）2 2531-->+ x x 5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.（2016秋相城区期末）若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时，求x 的取值范围。 7. （2017春开江县期末）请阅读求绝对值不等式3 《含参数的一元一次不等式组的解集》教学设计 万福中心学校余达恒 教材分析：本章内容是苏科版八年级数学（下）第七章，是在学习了《一元一次方程》和《一次函数》后的基础上安排的内容，是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》，《二元一次不等式》打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》，知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法，并会用数轴直观的得到一元一次不等式组的解集，它是解决本节课内容《含参数的一元一次不等式组的解集》的基础和关键，通过本节课知识的学习，学生能对初中数学中的分类讨论、数形结合的思想方法有进一步的认识，养成独立思考的习惯，也能加强与同学的合作交流意识与创新意识，为今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学目标： （1）知识目标：使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解，掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 （2）能力目标：培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 （3）德育目标：加强同学之间的合作交流与探讨，体验数学发现带来的乐趣。 学习重点： （1）加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 （2）通过含参数不等式的分析与讨论，让学生理解掌握分类讨论和数形结合的数学思想。学习难点： （1）一元一次不等式组中字母参数的讨论。 （2）运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难教学难点突破办法： （1）借助数轴，数型结合，让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。（2）和学生一起探讨解决问题的一般方法：先运用口诀定大小，再考虑特殊情况定等号。 2 2 人教版初中数学七年级下册第九章一元一次不等式（组）含参专题——整数解 问题学案 核心素养： 1.理解解决一元一次不等式（组）整数解问题的一般思路，熟练解决含参问题的一般步骤； 2.能够结合问题的引导，主动参与思考，体验由浅入深、由粗到细逐步分析问题的过程； 3.在问题解决中培养数形结合的数学思想，形成数学逻辑思维，养成整理总结的习惯. 学习重点：掌握并熟练运用一元一次不等式(组)含参问题中整数解问题的一般步骤. 学习难点：理解并领悟解一元一次不等式(组)含参问题中的整数解问题的思路方法. 自主导学 例：关于 x 的一元一次不等式组 有且只有两个整数解，求 k 的取值范围？ [问题 1]该不等式组有解还是无解？为什么？ [问题 2]你能用参数表示出其解集吗？ [问题 3]结合数轴你能否确定出整数解是多少？并说明你的分析依据. k + 1 [问题 4]结合数轴分析 满足什么条件才能保证该不等式能取到 4 和 5 这两个整数解？ 2 k + 1 追问： 能等于 5 吗?为什么？ k + 1 [问题 5]结合数轴分析 2 满足什么条件才能使得该不等式只能取到 4 和 5 这两个整数解？ k + 1 追问： 能等于 6 吗？?为什么？ 【整理总结】 1.综合上述分析，写出详细解题过程： 2.归纳含参整数解问题的一般步骤： ?2 x - k ≤ 1 ?2 x - k > 1 ?2 x - k ≥ 1 x ? x -1 + m < 2?? 2 ?? 3 2 【变式拓展，强化理解】 [变式 1]关于 x 的一元一次不等式组 有且只有两个整数解，求 k 的取值范围？ ? x - 1 > 2 ? [变式 2]关于 x 的一元一次不等式组 有且只有两个整数解，求 k 的取值范围？ ? x - 1 < 2 ? [变式 3]关于 x 的一元一次不等式组 有且只有两个整数解，求 k 的取值范围？ ? x - 1 < 2 ? 【总结规律】 思考： 通过观察比较例题及其变式，你能总结在圈定含参不等式的解集时有哪些规律特点？ ①数值范围特点：； ②不等号特点：. 【基础过关】 1.关于x 的一元一次不等式2x + m ≤ 3有三个非负整数解，求m 的取值范围？ + 1 < 2.关于x 的一元一次不等式组? 有且只有4个整数解，求m 的取值范围？ ? x + 1 【能力提升】 结合本节课的自学，尝试解决下列问题： ?2x + k ≤ 3 关于x 的一元一次不等式组? 有三个非负整数解，求k 的取值范围？ ?x - k > 2 自学小结与反思： 含参数一元一次不等式文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 含参数一元一次不等式（组）的解法 1、若关于x 的不等式2)1(≥-x a ，可化为a x -≤12，则a 的取值范围是多少 2 、关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 3、关于x 的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，则m 的整数值是多少 4、关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是多少 5、己知不等式)2(211)5(21 +≥--ax x 的解集是21≥x 6、关于x 的不等式2x －a ≤0的正整数解恰好是1、2、3、4，则m 的取值是多少 7、已知关于x ，y 的方程组? ??-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围． 8、已知a 是自然数，关于x 的不等式组?? ?>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值． 对应练习1、不等式组?? ?+>+<+1,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是 ． 对应练习2、若不等式组???>≤ 求一元一次不等式组解集的口诀 贵州省福泉中学 罗华暑 现行北师大版八年级（下）和人教版七年级（下）数学教材中均安排了一元一次不等式组的教学内容。笔者在教学中发现部分学生存在不会写公共解的情况，为此，笔者根据不等式的解集的四种结果的特点，归纳总结出了四言律诗式的口诀，收到了很好的教学效果，现介绍如下，仅供参考。 1．对于求出的各个不等式的解集是同向不等式的情况，其公共部分可归纳为：同大同小，分为两种：大大取大，小小取小。其中，大大取大，意即要大就取比大的那个数还要大。小小取小，意即要小就取比小的那个数还要小。 如： ,因5＞3，故根据“大大取大”即可得x ＞5. 又若： ,因3＜5，故根据“小小取小”即可得x ＜3. 2．对于求出的各个不等式的解集是异向不等式的情况，其公共部分可归纳为：一大一小，也分两种：大小小大，左小右大；大大小小，无解算了。其中“大小小大，左小右大”意即大于小的，小于大的，公共部分写成左边数小，右边数大，中间为未知数，然后用“＜”号连接的形式。“大大小小，无解算了”，意即大的，而又小于小的（或比大的大，比小的小），公共部分就为无解。 如： 因3＜5，故根据“大小小大，左小右大” ，得其公共x ＞3 x ＞5 x ＜3 x ＜5 x ＞3 x ＜5 部分为：3＜x ＜5. 而若： 因3＜5，故根据“大大小小，无解算了” ，此不等式组无解。 待学生能够理解后，还可进一步简化为： 大大取大，小小取小；大小小大，左小右大；大大小小，无解算了。 发表刊物：《中小学数学》初中教师版 发表期次：2005年第9期（总274期） 发表时间：2005年9月10日 x ＜3 x ＞5 精品文档 课题：一元一次不等式的整数解 【学习目标】： 借助数轴理解一元一次不等式的整数解问题【学习过程】 温故孕新，发现问题 1. 满足-1 < X W 2的所有整数为--------- 2. 满足-1 v x w 2的所有整数为--------- 3. 请写出一个只含有三个整数-1,-2,-3 的解集---------- 二、借故生新，提炼升华 4. 不等式2x-1 > 3x-3的正整数解为--------- 5. ------------------------------------------------------------------------ 使不等式4x+3 v x+6成立的最大整数解为 ---------------------------------------------- 6, ------------------------------------------------------------------------ 不等式3 (x-1 )< 5-x的非负整数解为7使不等式x-2 > -3与2x+3 v 5同时成立的x的整数值是-------- 三、培故养新，巩固提高 8. ---------------------------------------------------------------------------------------------- 若不等式3x-m w 0的正整数解为1,2 , 3,则m的范围是----------------------------------- 9. 若不等式3x-m v 0的正整数解为1,2 , 3，则m的范围是 --------- 10. 关于x的不等式x-m> 0，恰有两个负整数解，则m的范围是-------- 11. 不等式5x-3 v 3x+5的所有正整数解的和为---------------- 12. 已知满足不等式 3 (x-2 ) +5v 4 (x-1 ) +6的最小整数解是方程2x-ax=3的解，则a的 选择题 1．（2011?泰安）不等式组的最小整数解为（） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 考点：一元一次不等式组的整数解。 专题：计算题。 分析：首先解不等式组求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值即可． 解答：解：解第一个不等式得：x＜3； 解第二个不等式得：x＞﹣1 故不等式组的解集是：﹣1＜x＜3． 故最小整数解是：0 故选：A． 点评：本题主要考查了不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 2．（2011?苏州）不等式组的所有整数解之和是（） A．9 B．12 C．13 D．15 考点：一元一次不等式组的整数解。 分析：首先求出不等式的解集，再找出符合条件的整数，求其和即可得到答案． 解答：解：， 由①得：x≥3， 由②得：x＜6， ∴不等式的解集为：3≤x＜6， ∴整数解是：3，4，5， 所有整数解之和：3+4+5=12． 故选B． 点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 3．（2011?朝阳）不等式组的整数解是（） A．1，2 B．0，1，2 C．﹣1，1，2 D．﹣1，0，1，2 考点：一元一次不等式组的整数解。 专题：计算题。 分析：先解两个不等式，再求出不等式组解集，从中找出整数解即可． 解答：解：， 解①得，x＞﹣， 解②得，x≤2， 不等式组的解集为﹣＜x≤2， ∴不等式组的整数解为﹣1，0，1，2． 故选D． 点评：本题考查了一元一次不等式组的解法以及整数解，是基础知识要熟练掌握． 4．（2010?泰安）若关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是（） A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7 考点：一元一次不等式组的整数解。 分析：首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 解答：解：由（1）得，x＜m， 由（2）得，x≥3， 故原不等式组的解集为：3≤x＜m， ∵不等式的正整数解有4个， ∴其整数解应为：3、4、5、6， ∴m的取值范围是6≤m＜7． 故选B． 点评：本题是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍． 5．（2010?南宁）不等式组的正整数解有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 考点：一元一次不等式组的整数解。 分析：此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是正整数解得出x的可能取值． 解答：解：由①得x≤4； 由②得﹣3x＜﹣3，即x＞1； 由以上可得1＜x≤4， ∴x的正整数解为2，3，4． 故选C． 点评：本题主要考查了等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值． 6．（2010?黄石）不等式组的正整数解的个数是（） A．2个B．3个C．4个D．5个 考点：一元一次不等式组的整数解。 分析：首先求得不等式的解集，再在解集中找到正整数即可． 解答：解：不等式组得到：0＜x＜5． 因而正整数解是：1，2，3，4共4个． 故选C． 点评：求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 设计：张永妮 教师寄语：你说我讲，快乐课堂；你争我辩，放飞梦想！ 七 数 导学案 下 册 班级： 组名： 姓名： 时间： 63-9.3.1一元一次不等式组解集的表示（1） ★学习目标： 1、了解一元一次不等式组及其解集的概念。 2、利用数轴确定不等式组的解集。 ★学习重难点： 重点：利用数轴确定不等式组的解集。 难点：利用数轴确定不等式组的解集。 ★学法指导： 探究、归纳与练习相结合 ★学习流程 【旧知回顾】 1.在数轴上表示出下列解集。 （1）x ≤－3 （2） x ≥－4 （3）x ＞4 5 （4）2 设计：张永妮 教师寄语：你说我讲，快乐课堂；你争我辩，放飞梦想！ 七 数 导学案 下 册 3、 2 1-< 2016中考数学冲刺辅导：一元一次不等式组的解集求法 2016中考数学冲刺辅导：一元一次不等式组的解集求法。截至今日，2016中考冲刺复习仅剩30天时间。作为初三准考生，在最后阶段你是否还在恐惧着中考数学的备考复习呢？是否对有理数运算及恒等变换方法把握不当呢？是否有又苦于对一元一次不等式组难解而无从下手呢？倘若你依然对中考数学短期提分抱有着热忱的渴望，那么捷登教育中考教研数学组优秀老师将针对以上中考复习难点精心整理一下12点解题“秘诀”，希望初三生能够及时消化理解、活学活用，为中考数学快速提分做好准备。 一、有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。 二、合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。 三、去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。 四、恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。基本形式如：(a-b)^(2n+1) = - (b-a)^(2n+1) 与(a-b)^(2n) = (b-a)^(2n) 五、平方差公式：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。 六、完全平方：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。 七、因式分解：一提(公因式)、二套(公式)、三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数(项)，就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。 八、“代入”口决：挖去字母换上数(式)，数字、字母都保留;换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出(现)括弧，逐级向下变括弧。 2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】 专题9.6一元一次不等式（组）的整数解问题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2019?覃塘区三模）不等式1 2x +1＜3的正整数解有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．（2019春?霍邱县期末）使代数式4x ?32的值不大于3x +5的值的x 的最大整数值是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．（2020春?莒县期末）已知不等式2x ﹣a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，4，5，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞10 B ．10≤a ≤12 C ．10＜a ≤12 D ．10≤a ＜12 4．（2019?广元一模）不等式﹣4x ﹣k ≤0的负整数解是﹣1，﹣2，那么k 的取值范围是（ ） A ．8≤k ＜12 B ．8＜k ≤12 C ．2≤k ＜3 D ．2＜k ≤3 5．（2020秋?青田县期末）若关于x 的不等式3x +1＜m 的正整数解是1，2，3，则整数m 的最大值是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 6．（2020春?嘉祥县期末）若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下 列的（ ） A ． B ． C ． D ． 7．（2020秋?余杭区期末）若关于x 的不等式组{x ?2＜03x +4＞a ?x 恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．1 8．（2020?南山区三模）关于x 的不等式组{2x?13＜2?1+x ＞a 恰好只有4个整数解，则a 的取值范围为（ ） 《一元一次不等式的整数解》专题训练 一．选择题（共10小题） 1．关于x的不等式x﹣b≥0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2 2．不等式2x﹣1≥3x﹣3的正整数解的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．不等式+1＜的负整数解有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．使不等式4x+3＜x+6成立的最大整数解是（） A．﹣1 B．0 C．1 D．以上都不对 5．下列说法中错误的是（） A．不等式x+1≤4的整数解有无数个 B．不等式x+4＜5的解集是x＜1 C．不等式x＜4的正整数解为有限个 D．0是不等式3x＜﹣1的解 6．不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．不等式＞﹣1的正整数解的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．不等式3（x﹣2）＜7的正整数解有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．使不等式x﹣2≥﹣3与2x+3＜5同时成立的x的整数值是（）A．﹣2，﹣1，0 B．0，1 C．﹣1，0 D．不存在 10．不等式4（x﹣2）＞2（3x+5）的非负整数解的个数为（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（共10小题） 11．如果不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的范围是．12．不等式2x＜4x﹣6的最小整数解为． 13．不等式﹣x+2＞0的最大正整数解是． 14．不等式2x﹣7＜5﹣2x的非负整数解的个数为个． 15．如果不等式2x﹣m≥0的负整数解是﹣1，﹣2，则m的取值范围是．16．不等式4﹣x＞1的正整数解为． 17．已知满足不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）+6的最小整数解是方程：2x﹣ax=3的解，则a的值为． 18．不等式5x﹣3＜3x+5的所有正整数解的和是． 19．不等式3x﹣4＜x的正整数解是． 20．不等式﹣4x≥﹣12的正整数解为． 三．解答题（共10小题） 21．已知不等式5﹣3x≤1的最小整数解是关于x的方程（a+9）x=4（x+1）的解，求a的值． 22．解不等式＜1﹣，并求出它的非负整数解． 23．x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x﹣1）与x≤2﹣都成立？24．解不等式，并把它的解集表示在数轴上，再写出它的最小整数解． 25．解不等式：，并写出它的所有正整数解． 26．求不等式≥的正整数解． 27．解不等式：1﹣≥，并写出它的所有正整数解． 28．求不等式组的最小整数解． 29．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞﹣3.5，求出满 一元一次不等式组有解、无解、整数解的求参问题 【一元一次不等式组有解、无解、整式解的数轴表示】 1．一元一次不等式组有解 （1） （2） （3） （4） 2．一元一次不等式组无解 （1） （2） （3） 3．一元一次不等式组整数解 4．验证端点的取舍 【总结】①解一元一次不等式 ②数形结合，画数轴分析 ③验证端点的取 舍 例1-a ．一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集为（ ） A ．x ＜﹣3 B ．x ≥2 C ．﹣3＜x ≤2 D ．无解 例2-a ．如图表示的是某个关于x 的一元一次不等式组解集，则此不等式组的解集是（ ） A ．x ≥﹣3 B ．﹣3≤x ＜1 C ．x ＜1 D ．无解 例3-b ．若关于x 的一元一次不等式组 无解，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＞﹣ B ．m ≤ C ．m ＜﹣ D ．m ≥﹣ 例4-b ．一元一次不等式组 的解集是x ＞1，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．m ＞0 D ．m ＜0 例5-b ．一元一次不等式组的整数解的个数是 ． 例6-b ．若关于x 的一元一次不等式组有解，则m 的取值范围是 ． 例7-b ．一元一次不等式组 有5个整数解，则a 的取值范围是 ． 例8-a ．关于x 的一元一次不等式组? ??> 例9-c ．关于x 的一元一次不等式组? ??-≥-≥-1230x a x ，（1）有解，求a 的取值范围． 变式：(2)有五个整数解，求a 的取值范围． 例10-b ．关于x 的一元一次不等式组???>-≥+m x x x 148无解，求m 的取值范围． 例11-b ．关于x 的一元一次不等式组? ??->+<121m x m x 无解，求m 的取值范围． 例12-b ．关于x 的一元一次不等式组?????>+<--x x a x x 422)2(3有解，求a 的取值范围． 含参一元一次不等式组 一、含参不等式（组）有关的问题 1. 探讨不等式组的解集（写出,a b 满足的关系式） （1）关于x 的不等式组x a x b >????≤11 x m x 无解，则m 的取值范围是 （2）若不等式组121x m x m <+??>-? 无解，则m 的取值范围是 (3)若不等式组???>≤ 2. (1)若不等式组的解集为，那么的值等于_______ (2)如果关于x 的不等式组7060 x m x n -≥??-的每一个解都是21122 x -<的解，求a 的取值范围 变式：如果关于x 的不等式组224x a x a >-?? <-? 有解，并且所有解都是不等式组－6＜x ≤5的解，求a 的取值范围． 4. 若关于x 的不等式组21130 x x x k -?>-???--<-3212b x a x 11<<-x )3)(3(+-b a 课题:解含参数（字母）的一元一次不等式 教学目标: 1、本节课通过对含参数的一元一次不等式的探究，理解数形结合与分类讨论是解决含参数问题中常用的数学思想方法，初步感受不等式与一次函数中的值域和定义域之间相互联系。 2、培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合与分类讨论的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 3、通过探究和独立思考，体验数学知识之间连贯性和衔接性。 【教学重点】通过对含参数不等式的分析和讨论，让学生理解并掌握分类讨论和数形结合的数学思想。 【教学难点】1、运用数轴分析不等式中参数的取值范围； 2、对含参数的一元一次不等式中字母参数的讨论。 【教学过程】 一、引出问题 1、给出方程k x= 3，让学生判断是什么方程？ -2 关于x的方程k 3的解是正数，则求k的取值范围？ -2 x= 本环节让学生初步体会参数的意义及参数与未知数的相对性，并根据条件确定参数的取值范围。 二、探究问题，提炼方法 2、关于x的一元一次不等式3x-2＜k的正整数解是1，2，3，则求k 的取值范围？ 3、变式，将不等式改为k -2 3，其他都不变，求k的取值范围？ x≤ 本环节让学生感受数形结合的作用，并能利用数轴分析不等式中参数的取值范围。 三、巩固落实 4、学生独立完成：将上题中的不等式变成2 3的负 -2 3- x≥ x＞k或k 整数解是-1，-2，-3，求k的取值范围？ 教师投影展示学生作品，师生共同作一定的小结。 四、提升问题，挑战自我 5、关于x的一元一次不等式2 kx＞k的解是x＞2，求k的值？（变其中的解x＞-2,x＜2,x＜-2,分别求k的值？） 本环节先让学生思考解决，然后互相讨论，让学生充分暴露想法和错误，从而引起对解含有字母系数的不等式的警惕性，并理解分类讨论的必要性。 6、解关于x的一元一次不等式k(x-2)＞2x-4 有了上题的铺垫，学生探究本题时会尝试着去分类讨论，从而初步形成当出现字母系数时一定要进行分类讨论的思想。 五、小结 1、先学生谈（含参数的一元一次不等式的解法会因为参数（字母）位置的不同采用不同的方法）； 2、教师引（回到开头的方程，将参数k变成y，与二元一次方程及一次函数的定义域，值域进行联系，将学习延伸。） 设计说明：本节课以一较为简单的含参数的一元一次不等式切入，进行一再的变式。因为本节课的目的不是解一元一次不等式这一技能，而是通过简单的问题解决提升学生分析问题和解决问题的能力，进一步熟悉和理解数形结合与分类讨论这两种重要的数学思想。再者，对于含参数的有关问题，学生本身就有畏惧心里，从简单的和熟悉的切入，学生较易接受。 一元一次不等式组的解集 组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集. 要点 (1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数 轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。 (2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的 解集，一般可分为以下四种情况： 列不等式解应用题的基本步骤 列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相 类似，即 （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不 超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式或不等式组； （5）解：解出所列的不等式或不等式组的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案。 总结 知识要点总结注意问题 1．一元一次不等式组的解法2．一元一次不等式组的应用1．一元一次不等式组的解题 步骤： ①先整理一元一次不等式组； ②分别求两个不等式的解集； ③利用数轴找到解集的公共 部分； ④写出不等式组的解集 2．一元一次不等式组的应用： ①先根据题意列出一元一次 1．解不等式组时， 容易出现两个解 集不符合符号方 向的错误 2．利用数轴来确 定解集时，两个端 点处是空心还是 实心容易出现错 误 不等式组； ②解这个一元一次不等式组； ③根据实际意义找出符合题意的相关整数解； ④下结论．3．利用一元一次不等式组解决实际问题时，容易忽视实际问题的意义 解题方法总结1．能利用数轴找解集的尽可能应用2．利用数轴找整数解应找全面 一元一次方程的解的情况与整数解 二、方法剖析与提炼 例1．（2020娄底）已知关于x 的方程2x +a ﹣5=0的解是x =2，求a 的值． 【解答】∵x =2是方程2x +a ﹣5=0的解 2×2+a ﹣5=0 ∴a =1 【解析】（1）把方程的解x =2代入方程。（2）解关于a 的方程2×2+a ﹣5=0得4+a ﹣5=0，解出a 的值. 【解法】一元一次方程的解，解一元一次方程。 【解释】本题主要考查学生对方程的解的理解。关于x 的方程2x +a ﹣5=0中未知数是x ，把a 看做待定的常数，根据一元一次方程的解的定义，把x =2代入方程后，求出关于a 的一元一次方程。 例2．解关于x 的方程（mx -n ）(m +n )=0 【解答】（1）把方程化为最简形式：m 2x +mnx -mn -n 2=0 整理，得m (m +n )x =n (m +n ) （2）讨论：①当m +n 0，且m 0时，方程有唯一解 x =m n ； ②当m +n 0，且m =0时，方程无解； ③当m +n 0时，方程有无数多个解。 【解析】（1）这个方程中未知数是x , 而m 、n 是可以取不同实数的常数。因此需要讨论m 、n 不同值时方程解的情况。 （2）对含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围。解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论。 用方程解的定义寻 求关于a 的等式 （3）对于不是最简形式的方程，通常情况下要先化为最简方程。 【解法】通过化简，转化为最简方程ax=b 的形式，然后分三种情况进行讨论。 【解释】对于含有字母系数的方程，学生一般不太理解，不是简单形式的方程，通常情况下要化简为最简方程，在解题过程中通过去括号，化繁为简转化为最简方程m (m +n )x =n (m +n )的形式时，有的学生往往会两边同除以m +n ，得到mx =n 的形式，这样就会漏掉m +n 0的情况。 例3. 已知关于x 的方程 a (x -3)=b (x +1)-3a 无解，问a 和b 应满足什么关系？ 【解答】（1）将方程化简：ax -3 a =bx +b -3a ， ax - bx =3 a +b -3a ， ax - bx = b ， （a - b ）x = b 。 （2）∵方程无解，∴a - b =0，且b 0。 即a=b 0时，方程无解。 【解析】(1)对于较复杂的方程一般先把方程化为最简形式。 （2）对于方程ax=b ，若a =0且b 0时，方程无解。反之，若方程无解，则a =0且b 0。 【解法】化为最简形式后，根据方程无解，得出a=b 0。 【解释】学生应熟知对于最简方程ax=b ，当a =0且b 0时，方程无解；反之，当方程ax=b 无解时，则有a =0且b 0成立，当方程ax=b 有唯一解x=a b 时，则a ≠0；当方程ax=b 有无数多个解时，则a =0， b =0。 若a =0，b 0，方程ax=b 变为0x=b ,则方程无解。一元一次不等式组的概念和解集
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