QM10

安徽大学2004—2005学年第1学期 《量子力学》期末考试试卷（A 卷）

年级 专业 姓名 学号 座位号

一、 简答题（每小题5分，共40分）

1．束缚态、非束缚态及相应能级的特点。

2．简并、简并度。

3.一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=

，写出粒子位于dx x x +~间的几率。

4．给出如下对易关系：

[][][]

[][]

?

,?

,?

,?

,?

,2

=====y x

x z y

x y S S

L L

L L

p z p y

5．写出在z σ表象中的泡利矩阵。

6．一质量为μ 的粒子在一维无限深方势阱??

?><∞<<=a

x x a

x x V 2,0,20,

0)(

中运动，写出其状态波函数和能级表达式。

7．完全描述电子运动的旋量波函数为()()()???

? ?

?-=2/

,2/,,

r r S r z ψψψ， 试述()

2

2/,

r ψ及()

2

32/,?-

r r d ψ分别表示什么样的物理意义。

8．二电子体系中，总自旋 21s s S

+= ，写出（z S S ,2）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。

二、计算证明题（共60分。9--11题各10分；12—14题各15分,但13和14

题只要选做一题。）

9．计算下列对易式：

(1) ?,

=??????

x d d x （2）?,2=??

????x x d d

10．一电子局限在10-14米的区域中运动。已知电子质量m=9.11?10-31千克，试计算该电子的基态能量（提示：可按长、宽、高均为10-14米的三维无限深势阱计算）。

11. 一个谐振子处于基态：,),(2

/2/2

/12

2t i x e t x ωα

παψ--=

求势能222

1

x m V ω=

的平均值及动能m p T 2/2

=的平均值。??

????=?+∞

∞--πdx e x 2

积分公式：

12. 对于氢原子基态,求电子处于经典禁区的几率(已知氢原子能级

2

2

22

4

1?2-=1?

2-

=n a e n

e

E n μ,基态波函数22-2

13100=???

?

??1=e a e a a

r

μπψ ,为Bohr

半径, 势能r

e V 2

-= )

13

．n m 和 为z L 的二本征态，本征值分别为 n m 和。证明： （1）矩阵元()

()n m x n

m y L L

和 之间的关系为 ()()()n m x n m y L n m L i -=

（2）在z L 的任何本征态（比如n ）下，恒有 0==y x L L 。

14．氢原子处于基态：,1

)(/3

a r e a x -=πψ求：

（1）势能r e 2-的平均值； （2）最可几半径。