2013年广东省理科数学高考题答案及点评
2013年 广东省高考理科数学试题
参考公式：棱台体积()h S S S S V 2
2
1
1
3
1
+?+=，其中2
1,S S 为上、下底面面积，h 为棱台的高。
一 选择题：
1.设集合M={}
R x x x x ∈=+,02|2，N={}
R x x x x ∈=-,02|2，则=N M （ D ） A.{}0 B.{}2,0 C.{}0,2- D.{}2,0,2-
2.定义域为R 的四个函数y =x 3，y=2x ，y =x 2+1，y =2sin x 中，奇函数的个数是（ C ） A.4 B.3 C.2 D.1
3.若复数z 满足i z =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ C ） A.（2，4） B.（2，－4） C.（4，－2） D.（4，2）
4.
则X 的数学期望E （X ）＝（ A ） A.
23 B.2 C.2
5
D.3 5.某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（ B ）
A.4
B.314
C.3
16 D.6
6.设m ，n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面。 下列命题中正确的是（ D ） A.若βαβα??⊥n m ,,，则n m ⊥ B.若βαβα??n m ,,//，则n m // C.若βα??⊥n m n m ,,，则βα⊥ D.若βα//,//,n n m m ⊥，则βα⊥
7.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于
2
3
，则C 的方程是（ B ） A.15422=-y x B. 15422=-y x C. 15222=-y x D. 15
22
2=-y x 8.设整数4≥n ，集合X ＝{
}n ,,3,2,1 。令集合 S=(){X z y x z y x ∈,,|,,，且三条件x 若()z y x ,,和()x w z ,,都在S 中，则下列选项正确的是（ B ） A. ()()S w y x S w z y ?∈,,,,, B. ( )()S w y x S w z y ∈∈,,,,, 图1 俯视图 侧视图 正视图 C.()()S w y x S w z y ∈?,,,,, D. ()()S w y x S w z y ?∈,,,,, 二 填空题 9.不等式022 <-+x x 的解集为____()1,2-_____。 10.若曲线y =kx +ln x 在点（1，k ）处的切线平行于x 轴，则k =____－1_____。 11.执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为____7_____。 12.在等差数列{}n a 中，已知83a a +＝10，则753a a +=____20_____。 13.给定区域D ：?? ? ??≥≤+≥+0444x y x y x 。 令点集()(){000000,,,|,y x Z y x D y x T ∈∈=是z =x +y 在D 上取得最大值或最小值的点}。则T 中的点共确定____6_____条不同的直线。 14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为?? ?==t y t x sin 2cos 2（t 为参数），C 在点（1，1）处 的切线为l 。以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为__2sin cos =+θρθρ_________。 15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上。延长BC 到D ，使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E 。若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝____23_____。 三 解答题 16.（本小题满分12分）已知函数R x x x f ∈??? ? ? -= ,12cos 2)(π。 （1）求?? ? ? ?- 6πf 的值； （2）若??? ??∈= ππθθ2,23,53cos ，求??? ? ? +32πθf 。 解：（1）??? ??- 6πf ＝14cos 2=?? ? ??-π； （2）?? ? ??∈= ππθθ2,23,53cos ，54sin -=∴θ 2517cos sin 21cos 22sin 2cos 42cos 2322= ?--=-=??? ? ? +=??? ??+θθθθθπθπθf 17.（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4 所 图2 图3 D 示，其中茎为十位数，叶为个位数。 （1）根据茎叶图计算样本均值； （2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？ （3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率。 解：（1） =+++++6 30 252120191722； （2）在所取样本中有2人加工零件个数超过样本均值22，故优秀工人的频率为3 162=， 根据样本情况估计总体中有43 1 12=? 名优秀工人。 （3）这是一个古典概型，设所取的工人中恰有1名优秀工人为事件A ， 共有66212=C 个等可能的基本事件，其中事件A 中含有321 814=?C C 个基本事件， 33 16 6632)(== A P 。 评注：这是一道典型的文科题，概率问题比往年要容易得多。 18.如图5，在等腰直角三角形ABC 中，?=∠90A ，BC ＝6，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点。将ADE ?沿DE 折起，得到如图6所示的四棱锥BCDE A -'，其中3='O A 。 （1）证明：⊥'O A 平面BCDE ； （2）求二面角B CD A --'的平面角的余弦值。 图6 图5 C D E A' O B A C B 解：（1）在图5中连结AO ，交DE 于点F 。 因为等腰直角三角形ABC ，6,90=?=∠BC A ，所以AC=AB=23。 又因为CD=BE=2，所以AD=AE=22。 所以 EB AE DC AD =，所以DE//BC 。 又因为O 为BC 的中点，所以F 为DE 中点，DE AF ⊥。 所以DF=AF=2，OF=1。 在直角三角形ODF 中，OD=5。 在OD A '?中，2 2 2 D A OD O A '=+'，所以OD O A ⊥'。 在OF A '?中，2 2 2 F A OF O A '=+'，所以OF O A ⊥'。 图4 1 7 9 2 0 1 53 0 又因为O OF OD = ，所以⊥'O A 平面BCDE 。 F B C D E A O 图5 图6 （2）以点O 为坐标原点，分别以OF 、OB 和A O '所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系。 平面BCD 的法向量()1,0,0=。 设平面CD A '的法向量()z y x n ,,=， ()3,3,0=A C ，( ) 3, 2,1-='A D ， ???? ?=++-=?'=+=?'0 320 33z y x A D z y A C ，令x =1，得y =－1，z ＝3，即( ) 3,1,1-=。 所以5 15 ,cos = >= 评注：第1问看起来简单，证起来比较麻烦；若第1问证不出，第2问可以直接当成已经证明的条件来用， 照样可以拿到第2问的分。 19.（本小题满分14分） 设数列{}n a 的前n 项和为S n 。已知*211,3 2 312,1N n n n a n S a n n ∈---==+。 （1）求a 2的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有 4 711121<+++n a a a 。 解：（1）令n =1，解得42=a ； （2）法一：令n =2，解得93=a ；猜想2 n a n =，下面用数学归纳法证明。 ①当n =1时，猜想显然成立； ②假设当k n ≤时，2 k a k =，()()6 121++= k k k S k 则当n =k +1时，()()()2 22113 231312132312+=+++++=+++= +k k k k k k k k S a k k 即当n =k +1时，猜想也成立。 综合①②知，对任意正整数n ，2 n a n =。 法二：当2≥n 时，n n n na S n n 3 2 312231--- =+， ()()()()13 21131122 31-------=-n n n a n S n n 两式相减得() 3 2 )12(13331)1(221---+----=+n n n a n na a n n n 整理得())1(11+-=++n n na a n n n 两边同时除以()1+n n ，得 111=-++n a n a n n 。 又因为 11212=-a a ，所以? ?? ???n a n 是首项为111=a ，公差为1的等差数列， 所以 ()n n n a n =?-+=111，即2n a n =。 （3） ()n n n n n a n 11111112--=-<=，2≥n 当n =1时， 47 111<=a ； 当n =2时， 4 74111121<+=+a a ； 当3≥n 时， 4 7 1471114131312141111121<-=--++-+-++=+++n n n a a a n 。 综上所述，对一切正整数n ，有 4 7 11121<+++n a a a 。 评注：用数学归纳法思维量、运算量均小得多，推荐数学归纳法。今后教学中若还是强调记住各种类型的 递推式的变形技巧，而不注重训练学生如何将递推式变形成基本的等差和等比数列的递推式的形式，即若还是将教学重心放在模式识别上的话，高考必将吃大亏。 20.（本小题满分14分） 已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c >0）到直线l ：x －y －2＝0的距离为2 2 3。设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点。 （1）求抛物线C 的方程； （2）当点P ()00,y x 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求BF AF ?的最小值。 解：（1）0,2 2 32 2>= --= c c d ，解得c =1，所以抛物线C 的方程为y x 42=； （2）设()2,00-x x P ，设切点为??? ? ??4,2x x ，曲线C ：42 x y =，2x y =' 则切线的斜率为()224002 x y x x x x ='=---，化简得0842002=-+?-x x x x 设???? ? ?4,2 11x x A 、??? ? ? ?4,2 22x x B ，则21,x x 是以上方程的两根，84,2021021-=?=+x x x x x x 2 444021212 2 21x x x x x x x k AB =+=-- =，()1212144:x x x x x y l AB -+=- ，化简得2200+-=x x x y ； （3）,14 ,142 2 21+=+=x AF x AF () 962141402 022212 21+-=+++?? ? ???=?x x x x x x BF AF 当230= x 时，取得最小值2 9。 21.（本小题满分14分） 设函数()()()R k kx e x x f x ∈--=21。 （1）当k =1时，求函数()x f 的单调区间； （2）当?? ? ??∈1,21k 时，求函数()x f 在[]k ,0上的最大值M 。 解：（1）当k =1时，()()21x e x x f x -?-= ()() 2-?='x e x x f ， 令()0='x f ，解得2ln ,021==x x 所以，()x f 在()()+∞∞-,2ln ,0,上单调递增，在()2ln ,0上单调递减。 （2）()() k e x x f x 2-?=' 令()0='x f 解得0)2ln(,021>==k x x 先比较k 2ln 与k 的大小： 令()x x x g -=2ln ，（ 121≤ <-='x x g ， 所以()x g 在??? ??1,21上单调递减，()021 21<-=?? ? ?? 所以()x f 在[]k ,0上的最大值只能是()0f 或()k f 。 以下比较()0f ＝1与()()31k e k k f k -?-=的大小： 令()()?? ? ??≤<-?-=121,13 x x e x x h x ()() x e x x e x x h x x 332-=-?=' 令()x e x x 3-=?，则()03<-='x e x ?，()x ?单调递减， 02321>- =??? ??e ?，()031<-=e ?，存在唯一的?? ? ??∈1,210x 使()0=x ?。 所以在?? ? ??0,2 1 x 上()0>'x h ，()x h 递增；在()1,0x 上()0<'x h ，()x h 递减。 而18 1 221->-- =?? ? ??e h ，()11-=h ，故1)(-≥x h ，即()1-≥k f 。 所以M ＝()()3 1k e k k f k -?-=。 点评： 1.选择题的答案为DCCABDBB ，多了1个B ，少了1个A ，不满足四个选项数量均等的规律。 2.与2012年高考题一样，整份试题难度不大，打破了试题难度大小年的规律，试题难度趋易且稳定下来了。 3.强调数学语言的理解，尤其是在集合语言上。T1、8、9、13均考察了集合语言的理解和运用。 4.前三道大题都不难，故要在日常教学中强调表达规范完整。 5.后三道大题强调代数运算能力，训练学生严谨细致的思维品质。