专题13 计数原理(解析版)

专题13 计数原理

1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24

【答案】A

【解析】由题意得x 3的系数为31

44C 2C 4812+=+=，故选A ．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9

2)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项

的个数是__________． 【答案】162 5

【解析】由题意，92)x 的通项为919C (2)(0,1,29)r

r r r T x r -+==L ，当0r =时，可得常数项为0919C (2)162T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．故

答案为：1625．

【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．

3．【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N L ．已知2

3242a a a =．

（1）求n 的值；

（2）设(13)3n

a b +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值．

【答案】（1）5n =；（2）32-．

【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n

n n n n x x x x n +=++++≥L ，，

所以2

323(1)(1)(2)

C ,C 26

n n

n n n n n a a ---==

==， 44(1)(2)(3)

C 24

n

n n n n a ---==． 因为2

3242a a a =，

所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)

[

]26224

n n n n n n n n n ------=??，

解得5n =．

（2）由（1）知，5n =．

5(13)(13)n +=

022334455

55555C C 3C (3)C (3)C (3)C (3)

=++++ 3a b =+

解法一：

因为*

,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，

从而222237634432a b -=-?=-． 解法二：

50122334455

555555(13)C C (3)C (3)C (3)C (3)C (3)=+-+-+-+-+- 022334455

55555C C C (3)C (3)C (3)(3C 3)=--+-． 因为*

,a b ∈N ，所以5(13)3a b -=-．

因此225553(3)(3)(13)(13)(2)32a b a b a b -=+-=?-=-=-．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．

4．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试】已知二项式2(*)n

x n x ?

∈ ?

N 的展开式中第

2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为 A ．14 B ．14-

C ．240

D ．240-

【答案】C

【解析】二项展开式的第1r +项的通项公式为()

1C 2r

n r

r

r n T x x -+?= ?

，

由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：1

2

C :C 2:5n n =．即22

(1)5

n n n =-，

解得6n =或0n =（舍去）．所以()

36621

6

C 2

1r

r

r r

r T x

--+=-，

令3632

r -

=，解得2r =，所以3x 的系数为()22626C 21240--=．故选C ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．

5．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）】已知5

1(1)(2)a x x x

+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．80- B ．40- C ．40 D ．80

【答案】D

【解析】令x =1，得展开式的各项系数和为5

1(1)(2)11

a +-=1a +，

12a ∴+=，1a \=，

551111212a x x x x x x ???

?????∴+-=+- ??? ??????

?????55

11122x x x x x ????=-+- ? ?????，

所求展开式中常数项为5

12x x ??- ???的展开式的常数项与x 项的系数和，

5

12x x ??- ??

?展开式的通项为55521551C )(1)()(1)2(2C r r r r r r r r r T x x x ---+-==-?， 令521r -=得2r =；令520r -=，无整数解，

∴展开式中常数项为2

58C 80=，故选D ．

【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二

项展开式的通项公式1C r n r r

r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数

和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用．

6．【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学】8

3

x x ?

?

展开式的常数项为 A ．56- B ．28- C ．56 D ．28

【答案】D

【解析】8

3

x x ? ?

展开式的通项公式为4

8831883C (C (1)r r r r r r

r T x x x --+=??=?-?， 令4803

r -

=，得6r =，∴所求常数项为：6

68

C (1)28?-=，故选

D ． 【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题．

7．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试】安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，

丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有 A ．30种 B ．40种 C ．42种 D ．48种

【答案】C

【解析】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：22

64C C 90=种安排方法， 其中A 照顾老人甲的情况有：12

54C C 30=种， B 照顾老人乙的情况有：12

54C C 30=种，

A 照顾老人甲，同时

B 照顾老人乙的情况有：11

43C C 12=种，

∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种，故选C ．

【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解． 8．【上海市浦东新区2019届高三下学期期中教学质量检测（二模）数学试题】二项式6

1(2)2x x

-展开式的常数项为第_________项． 【答案】4

【解析】由二项式展开式的通项公式得：T r +16C r

=（2x ）6–r （12x

-）r ＝6C r

（–1）r 26–2r x 6–2r ， 令6–2r ＝0，得r ＝3，∴T 4为常数项，即二项式6

1(2)2x x

-

展开式的常数项为第4项，故答案为：4． 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题．

9．【河北省唐山市2019届高三第二次模拟考试】将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．（用．数字作答．．．．） 【答案】660

【解析】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有223643C C A 种，

若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有3363C A 种，则不同的分配方案共有223643C C A +33

63C A 660=种，

故答案为：660．

【点睛】本题考查排列组合，分类讨论思想，对每个学校人数讨论是关键，是基础题． 10．【上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题】已知

232*0121111n n

n x x x x a a x a x a x n ++++++?++=+++?+∈N （）（）（）（）（），且

012126n a a a a +++?+=，那么n

x x

（的展开式中的常数项为_________． 【答案】–20

【解析】∵232*0121111n n

n x x x x a a x a x a x n ++++++?++=+++?+∈N （）（）（）（）（）

， 令1x =，可得2

1

0122122222212

n n

n n a a a a +-+++?+=++?+==--（），∴122126n +-=，∴6n =，

那么

n x x （，即6x x

（的展开式的通项公式为316

C 1r r

r r T x -+=?-?（）， 令30r -=，求得3r =，可得展开式中的常数项为3

6C 20-=-，故答案为：–20．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．

11．【江西省南昌市南昌外国语学校2019届高三高考适应性测试数学试卷】设m 为正整数，()2m

x y + 展

开式的二项式系数的最大值为()21

m a x y ++，展开式的二项式系数的最大值为b ，若158a b =，则m =

_________． 【答案】7

【解析】()2m x y + 展开式中二项式系数的最大值为2C m m

a =， ()

21

m x y ++展开式中二项式系数的最大值为1

21C m m b ++=，

因为158a b =，所以1

22115C 8C m m m m ++=，即(2)!(21)!

15

8!!!(1)!

m m m m m m +=+，解得7m =． 【点睛】本题考查了二项式定理及二项式系数最大值的问题，解题的关键是要能准确计算出二项式系数的最大值．

12．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模数学试题】若21

n

x x

+（）

展开式中的二项式系数和为64，则n 等于_________，该展开式中的常数项为_________． 【答案】6 15

【解析】由21n

x x ??+ ?

?

?展开式中的二项式系数和为64，可得264n =，解得6n =，

6

2211n x x x x ????+=+ ? ??

???的展开式的通项公式为122123166C C r r r r

r r T x

x x ---+=??=?， 令1230r -=，解得4r =，故该展开式中的常数项为42

66C C 15==，

本题正确结果为：6，15．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．

13．【广东省2019届高三六校第一次联考数学试题】若0

2sin c (s )o a x x dx π

=

-?

，则6

a x x

-（）

的展开式中常数项为_________． 【答案】240 【解析】Q 00

2sin cos (2cos sin )(|()20)(20)4a x x dx x x π

π

=

-=--=----=?

，

∴64x x （）展开式的通项公式为(63662166

4C 41C r

r r

r r r

r

r T x x

x ---+??=-=- ???

（），

令

3-602r

=，即4r =． ∴6

4x x

（）

的展开式中，常数项是6444641C =240--（），故答案为240． 【点睛】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键．

14．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】二项式()00n

b ax a b x ?

?+>> ??

?，的展开式中，

设“所有二项式系数和”为A ，“所有项的系数和”为B ，“常数项”值为C ，若25670A B C ===，，则含6x 的项为_________． 【答案】68x

【解析】依题得2256n

=，所以n =8，在n

b ax x ??+ ?

?

?的展开式中令x =1，则有()8256a b +=，所以a+b =2，

又因为n b ax x ??+ ?

?

?展开式的通项公式为()()8882188C C r

r r r r r r r b T ax a b x x ---+??== ???，令8204r r -=?=．所以得到444

8

C 7011a b ab ab =?==-，（舍），当1ab =时，由2a b +=得1a b ==．所以令8261r r -=?=，所以166

28C 8T x x ==，故答案为：68x ．

【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

（1）求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．

（2）已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．

15．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二）】设20

|sin |n x dx π

=

?

在，则12(1)n

x x ??-+ ???

展开

式中2x 的系数为_________． 【答案】8- 【解析】由题意，220

20

|sin ||sin ||sin |sin (sin )n x dx x dx x dx xdx x dx π

ππππ

π

π

=

=+=+-=

?

????20cos cos 4x x

π

π

π

-+=，4(1)x +的通项公式为4144C 1C r r r r r

r T x x -+=??=，

当2r =时，22234C 6T x x ==，当3r =时，333

44C 4T x x ==，故

12(1)n x x ??-+ ???

展开式中2

x 的系数为4(2)68+-?=-．故答案为：8-． 【点睛】本题考查了定积分的计算、二项式定理，正确求出n 值，是解题的关键．

16．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）】习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察

时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________． 【答案】360

【解析】方法1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况：

（1）甲校安排1名教师，分配方案种数有1142232

5542532C C C A C C A 150+=（）； （2）甲校安排2名教师，分配方案种数有213222543242C C C A C C 140+=（）； （3）甲校安排3名教师，分配方案种数有3122

5322C C C A 60=； （4）甲校安排4名教师，分配方案种数有411

521C C C 10=；

由分类计数原理，可得共有1501406010360+++=（种）分配方案．

方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2， （1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有1

2C 种，其余5名分成一人组和

四人组有4252C A 种，共421522C A C 20=（种）；李老师分配到四人组且该组不去甲校有312

522C C A 40=（种），

则第一种情况共有204060+=（种）；

（2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有3221

5222C C A C 40=（种），李老师分配到三人组有22125222C C C A 120=（种），李老师分配到两人组有11325242C C C C 80=（种），所以第二种情况共有

4080120240++=（种）；

（3）对于第三种情况，共有1122

5242C C C C 60=（种）；

综上所述，共有6024060360++=（种）分配方案．

【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

17．【上海市复旦大学附属中学2019届高三高考4月模拟试卷数学试题】袋中装有5只大小相同的球，编

号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是_________（结果用最简分数表示）． 【答案】

25

【解析】从5只球中随机取出3只，共35C 10

=种情况， 而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，

若取出3只球中有2只偶数1只是奇数，则有12

32C C 3=种情况， 若取出的3只球中有3只是奇数则有3

3C 1=种情况，

所以取出的球的编号之和为奇数的概率为123323

35

C C C 42C 105+==．

故答案为：

2

5

． 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

18．【河北省衡水市2019届高三四月大联考数学试题】现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座

位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_________种．（用数字作答） 【答案】8

【解析】先按排甲，其选座方法有14

C 种，由于甲、乙不能相邻， 所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有2

2A 种，

所以共有坐法种数为12

42C A 428?=?=种．故答案为：8．

【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则，先取后排原则，先分组后分配原则，正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须考虑周全，做到不重不漏，正确解题．