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专题二指数与对数

有理指数幂及其运算

一、本课时知识点回顾

1．根式

（1）定义：设,a R n ∈是大于1的奇数，则a 的n 次方根是n a ，即在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是也负数，零的奇次方根是零．

设0a ≥，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是

n a ±，即在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值

相等符号相反的数，零的偶次方根是零，负数的偶次方

根没有意义．

（2）性质：○

1()

a a =

○2n n a 对任意a R ∈都成立，当n 为奇数时，n n

a =a ；

当n 为偶数时，n

a =a =??

?<-≥)

0()

0(a a a a

2．分数指数幂

（1）正分数指数幂：指数中分母为根指数；

(0,,,1)m

m n a a a m n N n =

>∈>；

(2)负分数指数幂：*

(0,,,1)m n

a a m n N n a

>∈>；

（3）0的分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质设0,0,,a b m n Q >>∈，则（1）m

m n

a a a

+?= （2）m

m n

a a a -÷=

（3）()m

m n

a a

（4）()n n n ab a b =

（5）()n

n n n a

a b b b

-==

二、基础巩固

1．下列各式中，总能成立的是（）

(

)

a b

a b -

=- B ．()

8a b

a b +=+

C ．4

a b a b -=- D ．

()

a b a b +=+

2．有下列命题：○1 n

a a =；○231

y y =；○

x y x y

+=+；○

4若a R ∈，则()0

211a a -+=，

其中正确的命题的个数是（）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．若2x <，则2

443x x x -+--的值是 4．化简2

366

22133

a b a b a b ???

???

??-÷ ? ? ??

???

的结果是

（） A ．6a B ．a - C ．9a - D ．9a 5．计算下列各式

（1）()

102

0.5

312220.0154-

-????+?- ? ?

????

（2）()

20.5

7103720.12392748

π--????++-+

???

（3）

（4）()

(4)

()

0,04

(0.1)()ab

a b a b --

--?

>>三、能力提高

6．102,103m n

==，则32

10m n

7．已知2

22x

x -+=且1x >，则2

x x --的值为（）

A ．2或2-

B ．2-

C ．6

D ．2 8．已知1

122

3a a

-+=，求下列各式的值：

（1）1a a -+；（2）22

a a

-+；（3）

3221

a a

指数函数

一、本课时知识点回顾

1．指数函数的定义

函数(01,)x y a a a x R =>≠∈且叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质

01a <<

1a >

图象

关系底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称

定义域 R

值域 (0,)+∞

单调性在R 上单调递增在R 上单调递减奇偶性非奇非偶特殊点 1(0,1),(1,),(1,

)a a -

渐近线

x 轴

函数值分布

（1）0x >时，1y >；

（2）0x =时，1y =；（3）0x <时，01y <<

（1）0x >时，0

1y <<；（2）0x =时，1y =；（3）0x <时，1y >

3．指数函数图象的位置与底数大小的关系

在y 轴的右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴的左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．如图，（1）x

y a =（2）x

y b =（3）x

y c =（4）x

y d =，则有01b a d c <<<<<．

二、基础巩固

1．函数()233x y a a a =-+?是指数函数，则有（） A ．1a =或2a = B ．1a = C ．2a = D ．0a >且1a ≠

2．当0x >时，函数()()2

x a

=-的值总大于1 ，

则实数a 的取值范围是（）

A ．

12a << B ．1a < C ．1a > D ．2a >

3．函数11x y a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点（）

A ．()1,2

B ．()1,1

C ．()1,1-

D ．()1,2- 4．函数13x

y =-的定义域是（）

A ．[)0,+∞

B ．(],0-∞

C ．[)1,+∞

D ．(],1-∞ 5．用“>”或 “<”填空：

（1）若3

41a >，则a 1；

（2）若()10.1258m

n ??

< ???

，则m n ；

（3）若1.7 1.7a b <，则a b ．三、能力提高

6．设0x >且1x x a b <<，这里0,0a b >>，则,a b 的大小关系是（）

A ．1b a <<

B ．1a b <<

C ．1b a <<

D ．1a b << 7．函数21

x y -=

的定义域是（）

A ()2,-+∞

B [)1,-+∞

C (],1-∞-

D (),2-∞ 8．函数2

3413x x

y -+-??

= ?

的单调递增区间

是，单调递减区间是，值域是．

对数及其运算

一、本课时知识点回顾

1．对数的定义

如果()0,1b

a N a a =>≠，那么

b 叫做以a 为底N

的对数，记作log a N b =，N 叫做真数． 2．对数恒等式：log a N

a N =．

3．对数的性质

（1）负数与零没有对数，即0N >；（2）1的对数等于0，即01log =a ；（3）底数的对数等于1，即1log =a a

．

4．对数的运算性质

（1）log ()log log a a a M N M N =+ （2）log log log a

a a M M N N

=- （3）log log ()n

a a M

n M n R =∈

（4）log =

log m

a a n

b b m

（5）1log log a b b a

5．换底公式

()log log 0,1,0,1,0log m a m N N a a m m N a

>≠>≠>．

6．常用对数与自然对数

以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N ；

以()2.71828e e =???为底的对数叫做自然对数，记记作ln N 作ln N ．

二、基础巩固

1. 1.有以下四个命题，其中正确的是（）

A ．若5log 3x =，则15x =

B ．若251log 2

x =，则5x =±

C ．若5

log

0x =，则5x =

D ．若15

log 3x =-，则125x =

2．32log 2log 3x

=，则x 等于（）

A ．1-

B ．1

C ．()23log 2

D ．()2

2log 3

3．已知3lo g 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（）

A ．2a -

B ．52a -

C ．()2

31a a -+ D ．2

31a a --

4．若l g ,l g a b 是方程2

2410x x -+=的两个根，则

lg a b ??

???

的值等于（） A ．2 B ．

C ．4

D ．

5．计算下列各式的值：

（1）

.0lg 10lg

lg 2lg 125lg 8lg ?--+

（2）5log 3

333322log 2log log 85

-+-

（3）

273log 16log 4

（4）()2

lg 2lg 20lg 5

+? 对数函数

一、本课时知识点回顾

1．对数函数的定义函数x y a

log

=)10(≠>a a 且叫做对数函数，它的定义域是正实数集，值域是实数集．

2．对数函数的图象和性质

1a >

01a <<

图象

32.5

21.51

0.5-0.5

-1-1.5-2-2.5

-1

23456780

32.5

1.5

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-1

2345678

性质

定义域：（0，+∞）值域：R

过点（1，0），即当x=1时，y=0

)1,0(∈x 时 0y

)1,0(∈x 时 0>y ),1(+∞∈x 时0

在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

3．对数函数图象的位置与底数大小的关系（1）对数函数x y a

log

=的底a 越大，函数图象在x 轴上方部分越偏居右侧；

（2）两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线1x =右侧的部分是“底大图低”．

二、基础巩固

1．函数()()2

3lg 311x

f x x x

++-的定义域是（）

A ．1,3??

-+∞ ???

B ．

1,13??- ??? C ．11,33??- ???

D ．1,3?

-∞-

2．如果log 3log 30a b >>，那么,a b 间的关系是（）

A ．01a b <<<

B ．1a b <<

C ．01b a <<<

D ．1b a <<

3．若01a <<，则函数()log 5a y x =+的图象不经过（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 4．若3log 17

<，则a 的取值范围是（）

A ．1a >

B ．307

a <<或1a >

C ．307

a <<

D ．

317

a <<

5．数()21log 4y x x =+≥的值域是（）

A ．[)2,+∞

B ．()3,+∞

C ．[)3,+∞

D ．(),-∞+∞

6．函数[]log ,2,4a y x x =∈，0a >且1a ≠，若此函数的最大值比最小值大1，则a 等于

A ．2

B ．

C ．2或

D ．4

三、能力提高

7．函数()12

log 32y x =

-的定义域是（）

A ．[)1,+∞

B ．2

,3??

+∞

???

C ．

2,13?????? D ．2,13??

8．函数lg y x =（）

A .在区间(),0-∞及 ()0,+∞上单调递增

B .在区间(),0-∞及()0,+∞上单调递减

C . 在区间()0,+∞上单调递增

D . 在区间()0,+∞上单调递减

9.已知(31)4,1

()log ,1a a x a x f x x x -+?

是(,)-∞+∞上的减

函数，那么a 的取值范围是 ( )

A .(0,1)

B .1(0,)3

C .11[,)73

D .1

[,1)7

10．函数()2

log 617y x x =-+的值域是．

指数函数与对数函数的关系

一、本课时知识点回顾

当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的自变量作为一个新的函数的因变量，而把这个函数因变量作为新的函数的自变量，我们称这两个函数互为反函数，函数()y f x =的反函数常用()1

y f x -=表示．

注意：

（1）()y f x =与()1

y f

x -=互为反函数；

（2）()y f x =的定义域和值域分别是()1

y f x -=的值

域与定义域；

（3）()y f x =的图象与()1

y f

x -=的图象关于直线

y x =对称；

（4）指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线y x =对称．

二、基础巩固

1．已知函数()()12

3log 1f x x x =+≥，则它的反函数的

定义域是（）

A ．(),-∞+∞

B ．[)3,+∞

C ．(],3-∞

D ．()0,1 2．函数()()10f x x x

≠的反函数()1

x -等于（）

A ．()0x x ≠

B ．()10x x

≠

C ．()0x x -≠

D ．()()1100x x x x

≠=

≠

3．已知()2x

f x b =+的反函数为()

f x -，若

()1

y f

x -=的图象经过点()5,2A ，则

b =

4．若函数()2

x f x x =

+，1

13f

-??

= ???

三、能力提高

5．函数()11y x x =--≤的反函数是（）

A ．()2

110y x x =--≤≤B ．()2

101y x x =-≤≤

C ．()2

10y x

x =-≤ D ．()2101y x x =-≤≤

6．设函数()()()log 0,1a f x x b a a =+>≠的图象过点

()2,1，其反函数的图象过点()2,8，则a b +等于（）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

专题二 指数与对数

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