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2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题-含答案

2020-2021学年第一学期期末考试试卷

高二数学（文科）

命题人：第I 卷（选择题）

一、单选题

1．已知复数z 满足21z i -=（其中i 为虚数单位），则||z =（）

A ．1

B ．2

D 2．函数2cos y x x =的导数为（） A ．22cos sin y x x x x '=- B ．2sin y x x '=- C ．22cos sin y x x x x '=+

D ．2cos sin y x x x x '=-

3．下列关于命题的说法正确的是（） A ．若b c >，则22a b a c >；

B ．“x R ?∈，2220x x -+≥”的否定是“x R ?∈，2220x x -+≥”；

C ．“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题是真命题；

D ．“若220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0，则

220a b +≠”. 4．抛物线24y x =的焦点坐标是（） A ．()1,0

B ．()0,1

C ．1,016?? ???

D ．10,16?? ???

5．曲线y=x 3﹣2x 在点（1，﹣1）处的切线方程是（） A ．x ﹣y ﹣2=0

B ．x ﹣y+2=0

C ．x+y+2=0

D ．x+y ﹣2=0

6．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴长为

离心率为1

，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF ?的周长为（）

A ．4

B ．8

C ．16

D ．32

7．已知变量x 、y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且0.5?y

x a =+，则实数a =（）

8．双曲线2

y x -=的焦点到渐近线的距离是（）

A B ．

C ．

D ．

9．函数32()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞

B ．(,2)-∞

C ．(,0)-∞

D ．(0,2)

10．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（）次检测. A ．3

B ．4

C ．6

D ．7

11．已知函数1()3()3

x f x =-，则()f x

A ．是奇函数，且在R 上是增函数

B ．是偶函数，且在R 上是增函数

C ．是奇函数，且在R 上是减函数

D ．是偶函数，且在R 上是减函数

12．函数()32

3922y x x x x =---<<有（）

A ．极大值5，极小值27-

B ．极大值5，极小值11-

C ．极大值5，无极小值

D ．极小值27-，无极大值

第II 卷（非选择题）

二、填空题

13．双曲线22

124

x y -

=的渐近线方程为_______. 14．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是_________．

15．在极坐标系中，点2,6π??

???

到直线ρsin(θ?π6)=1的距离是________.

16．已知12,F F 是椭圆22

:1259

x y C +

=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上一点，且12F P F P ⊥，则12F PF ?的面积为．

三、解答题

17．(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）焦点在x 轴上，中心为坐标原点，经过点31,2

?? ???

，(0,.

（2）以点1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点，经过点P ? ??

18．（12分）我校对我们高二文科学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得如表数据．

（2）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（3）试根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为16的学生的判断力．

参考公式：线性回归方程??y bx a =+中，

()()()1

(??)i i i i i i n

i i i i n n

x x y y x y nxy

x x x n x a y bx ====

∑--∑-?==??∑-∑-??=-?．

19．（12分）已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程是y =，

它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上.

（1）求双曲线的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程.

20．（12分）江苏省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到的2×2列联表.

（2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由.

附：对于2×2列联表

有()

()()()()

2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.

（1）求出直方图中m 的值；

（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平

均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.

22．（12分）已知函数321()43

f x x ax =-+，且2x =是函数()f x 的一个极小值

点.

（Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）求()f x 在区间[1,3]-上的最大值和最小值.

2020—2021学年第一学期高二数学（文科）期末试卷参考答案

1-5DACDA 6-10CAADB 11-12AC

13．2y x = 14．()4,+∞ 15．1 16．9

17解：（1）设椭圆的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，

由题意有221

9143

a b b ?+=???=?

，可得23a b =???=??，

故椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=.

（2）设椭圆的标准方程为22

221(0)x y m n m n

+=>>，焦距为02c .

由题意有01c =

，15PF =

PF ==，

有125522PF PF m +==

2n ==，故椭圆的标准方程为22

154

x y +=.

18 解：（1）散点图如图，

（2）因为()168101294x =

?+++=，()1

235644

y =?+++=，所以4

412245072494

0.73664100144694i i

i i i x y x y

b x x

==-+++-??=

=+++-?-∑∑，

则??40.79 2.3a

y bx =-=-?=- ，所以y 关于x 的线性回归方程为；?

=4.7x-2.3

（3）由（2）可知当16x =，得?

y 0.7×16?2.3=8.9．

所以预测记忆力为16的学生的判断力为8.9． 19因为抛物线2

24y x =的准线方程为6x =-，则由题意得，点()16,0F -是双曲线的左焦点. （1）双曲线的焦点坐标()6,0F ±. （2）由（1）得22236a b c +==，

又双曲线的一条渐近线方程是y =，

所以

=29a =，227b =，所以双曲线的方程为：22

1927

x y -=.

20解：（1）随机抽取的100名学生中女生为40人，则男生有1004060-=人，所以60,10,20m b c ===；

（2）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：

则K 2

的观测值：2

100(50201020)12.770306040

K ??-?=≈???，

因为12.7＞7.879，

所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.

21（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ?+++++=，得0.030m =.

（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =?+?+?+?+?+?=，设中位数为n ，

则()0.10.150.15700.030.5n +++-?=，得220

73.333

n =

≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. （3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.

记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，

其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e .共6种.

故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63

105

P =

=. 22（Ⅰ）2

'()2f x x ax =-.

2x =是函数()f x 的一个极小值点，

∴'(2)0f =.

即440a -=，解得1a =.

经检验，当1a =时，2x =是函数()f x 的一个极小值点.

∴实数a 的值为1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3

21()43

f x x x =

-+. 2'()2(2)f x x x x x =-=-.

令'()0f x =，得0x =或2x =.

当x 在[1,3]-上变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下：

当

或2x =时，()f x 有最小值

当0x =或()f x 时，()f x 有最大值.