第二章 2.3.2~2.3.3 答案
NM AB
2.3.2
平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3
平面向量的坐标运算
一、选择题
1．已知 M (2,3)，N (3,1)，则 → 的坐标是( ) A ．(2，
－1) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(1，－2)
考点 平面向量的正交分解及坐标表示
题点 平面向量的正交分解及坐标表示
答 案 B
→ 解 析 NM ＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)． 2．已知 a 1 ＝(1,2)，
a ＋
b ＝(4，－10)，则 a 等于( )
－2b
A ．(－2，－2)
B ．(2,2)
C ．(－2,2)
D ．(2，－2) 考点 平面向量坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
答 案 D
3．若向量 a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则 c 等于( )
A ．3a －b
B ．3a ＋b
C ．－a ＋3b
D ．a ＋3b
考点 平面向量的坐标运算的应用题
点 用坐标形式下的基底表示向量答
案 A
解析 设 c ＝x a ＋y b ，
??x －y ＝4，则? ??x ＋y ＝2， ∴c ＝3a －b .
??x ＝3， 解得? ??y ＝－1， 4. 已知两点 A (4,1)，B (7，－3)，则与向量→
同向的单位向量是( ) ?3 4? ? 3 4? A.?5，－5? B.?－5，5?
B.
PN ? 4 3? ?4 3? C.?－5，5?
D.?5，－5?
考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
答 案 A
→ 解析 因为与→同向的单位向量为 A B ， AB → |AB |
→
AB ＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，
- 2 2
|AB |＝ 3 ＋(－4) ＝5， - 3 4 所以 A B ＝? ，－ ?. - ?5 5? |AB | 5. 如果将→
绕原点 O 逆时针方向旋转 120°
得到→ ，则→ 的坐标是( ) A.? 1 OA OB OB 1? ?－2 ，－2?
C ．(－1， 3) D.?，1?
考点 平面向量的坐标运算的应用
? 2? 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
答 案 D 解析 因为→
所在直线的倾斜角为 30°，绕原点 O 逆时针方向旋转 120°得到→ 所
OA
OB 在直线的倾斜角为 150°，所以 A ，B 两点关于 y 轴对称，由此可知 B 点坐标为? 1?， ? 2 2?
故→ ? 1? OB 的坐标是?2?
，故选D. 6．已知 M (－2,7)，N (10，－2)，点 P 是线段 MN 上的点，且→ ＝－ → 2PM ，则 P 点的坐标为( )
A ．(－14,16)
B ．(22，－11)
C ．(6,1)
D ．(2,4) 考点 平面向量坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标
答 案 D
7. 若 α，β 是一组基底，向量 γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量 γ 在基底 α，β 下的坐标．现已知向量 a 在基底 p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则 a 在另一组基底 m ＝(－1,1)， n ＝(1,2)下的坐标为( )
AB AD BC AB AB OB OA AB A ．(2,0)
B ．(0，－2)
C ．(－2,0)
D ．(0,2)
考点 平面向量坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
答 案 D
解析 ∵a 在基底 p ，q 下的坐标为(－2,2)，
∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝
(2,4)． 令 a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，
??－x ＋y ＝2， ∴? ??x ＋2y ＝4，
??x ＝0， 解得? ??y ＝2， ∴a 在基底 m ，n 下的坐标为(0,2)．
8. 已知四边形 ABCD 为平行四边形，其中 A (5，－1)，B (－1,7)，C (1,2)，则顶点 D 的坐标为
( )
A ．(－7,0)
B ．(7,6)
C ．(6,7)
D ．(7，－6)
考点 平面向量坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标
答 案 D
解析 设 D (x ，y )，因为→ ＝ →，
所以(x －5，y ＋1)＝(2，－5)，
所以 x ＝7，y ＝－6.
二、填空题
9．已知点 A (1，－2)，若向量→ ＝3a ，a ＝(2,3)，则点 B 的坐标为
． 考点 平面向量加法与减法的坐标运算
题点 平面向量的坐标运算
答 案 (7,7)
解析 由→＝3a ，a ＝(2,3)，可得→＝(6,9)，所以→ ＝ → ＋→＝(1，－2)＋(6,9)＝(7,7)． 10．已知 A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，→ ＝ → - ＝ → ，则 - 的坐标为 ．
考点 平面向量的坐标运算的应用
CM 3CA ，CN 2CB MN 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
答 案 (9，－18)
→ 解 析 CM ＝3(1,8)＝(3,24)，
→ CN ＝2(6,3)＝(12,6)，
- → →
MN ＝CN －CM ＝(12,6)－(3,24)＝(9，－18)．
11.向量 a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )
λ ． ，则μ的值为 考点 平面向量坐标运算的应用 题点 用坐标形式下的基底表示向量 答 案
4 解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建立平面直角坐标系(图略)，则 a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝ (－1，－3)，根据 c ＝λa ＋μb 得(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得 λ＝－2 且 μ 1 λ 4. ＝－2，故μ＝
1 → ? π π? 12．已知 A (2,3)，B (1,4)，且2AB ＝(sin α，cos β)，α，β∈?－2，2?，则 α＋β＝
. 考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求参数
答案 π π 6或－2
1 → 1 ? 1 1? 解析 因为2AB ＝2(－1,1)＝?－2，2?＝(sin α，cos β)，
所以 sin α 1 cos β 1
＝－2且 ＝2，
? π π? π π π 因为 α，β∈?－2，2?，所以 α＝－6，β＝3或－3，
所以 α＋β π π
＝6或－2. 三、解答题 13．已知点 A (－1,2)，B (2,8)及→
1 →， → ＝－1 →，求点 C ，D 和→ 的坐标．
AC ＝3AB DA 考点 平面向量的坐标运算的应用
3BA
CD 题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
解 设点 C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 由题意可得→＝(x 1＋1，y 1－2)，→＝(3,6)，
AC AB
- → DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA ＝(－3，－6)．
3 OP OA tAB
. ∵ → 1 → → 1 → AC ＝3AB ，DA ＝－3BA ，
∴(x 1＋1，y 1－2) 1 ＝3(3,6)
＝(1,2)， (－1－x 2，2－y 2)＝－1(－3，－6)＝(1,2)，
??x 1＋1＝1， 则有? ??y 1－2＝2 ??x 1＝0， ??－1－x 2＝1，和? ??2－y 2＝2，
??x 2＝－2， 解得? ??y 1＝4 和?
??y 2＝0.
∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
→ CD ＝(－2，－4)．
14．已知点 O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及→ ＝ → ＋
→ (1) t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？
(2) 四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求 t 值；若不能，说明理由． 考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求参数
解 → → → (1)OP ＝OA ＋tAB ＝(1,2)＋t (3,3)
＝(1＋3t ，2＋3t )，
若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t ＝0， ∴t 2
＝－3.
若点 P 在 y 轴上，则 1＋3t ＝0， ∴t 1
＝－3，
??1＋3t <0， 若点 P 在第二象限，则?
??2＋3t >0，
2 1
∴－3 - → → → (2)OA ＝(1,2)，PB ＝OB －OP ＝(3－3t,3－3t )． 若四边形 OABP 为平行四边形， 则 → → OA ＝PB ， ??3－3t ＝1， ∴? ??3－3t ＝2， 该方程组无解． ∴ 故四边形OABP 不能成为平行四边形．