选修2-2导数习题 绝对经典

导数概念与运算

一、基本知识 1．概念：（1）定义：

（2）导数的几何意义：

（3）求函数在一点处导数的方法： （4）导函数：

2．基本函数的导数：_____'=C （C 为常数） ______)'(=n x ，+∈N n ______

)'(sin =x _____)'(cos =x ______)'(=x e _____)'(=x a ______)'(ln =x ____)'(log =x a

3．运算法则：[]_______')()(=±x v x u []_____')()(=x v x u _______')()(=??

?

???x v x u 4．复合函数的导数：

二、典型例题

例1．若函数f (x )在x =a 处的导数为A , 则x x a f a f x ??+-→?)()(lim 0

= ，=+-+→?t

t a f t a f x )

5()4(lim

0 例2．求下列导函数

①x x y cos 2

= ②1

1-+=x x e e y ③x y 2sin 3

= ④)1ln(2x x y ++=

⑤x x y 2sin 10?= ⑥3221sin ln x x y -+=

例4．求函数452

++=x x y （1）在)4,0(处的切线；（2）斜率为3的切线；（3）过)3,0(处的切线

三、课堂练习

1．（2007全国II,8）已知曲线x x y ln 342

-= 的一条切线的斜率为2

1，则切点的横坐标为（ ）

A ．3

B .2 C.1 D.0.5 2．求导数（1）32231

11x x x x x x y +++++=（2）x

y 1=

+x +3

（3）)1)(13()2)(32(x x x x y -+++-=

31)1(')(23+--+=x x f x x f 则 ._____)1(____,)1('f f =-4．求过原点且与曲线5

9

++=x x y 相切的切线方程.

四、规范训练

1曲线10632

3

-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程为——————

)x (f )x ('2f .D )]x ('f .[C )

x (f .B )x ('f .A )(

x x ]

)x (f [)]x (f [lim

,x x )x (f y .2002

0000

202n 0=--==∞→则处可导在已知

3．函数33x x y -= ，求过点P （2，-2）的切线方程.

4．（’07江西11）设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜

率为（ ）Ａ．15

-

Ｂ．0

Ｃ．

1

5 Ｄ．5 5．（’06福建11）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x gx -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，

则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，

6．（’07全国Ⅱ8）已知曲线23ln 4

x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．1

2

7．（’06湖南13）曲线x

y 1=和2

x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是______

8．（’04重庆文15）已知曲线314

33

y x =+，则过点(2,4)P 的切线方程是______________

9．（’07全国Ⅱ22）已知函数3

()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．

导数的应用（单调性、极值、最值）

一、基本知识

1．利用导数判断函数的单调性的充分条件在此区间是减函数则内，如果在在此区间是增函数；则内，如果在内可导

在区间设函数)x (f ,0)x ('f )b ,a ()x (f ,0)x ('f )b ,a ()b ,a ()x (f y <>=

（求单调区间的步骤：求定义域，求导数，解不等式） 2. 利用导数研究函数的极值：

.

x ),x (f y x )x (f ),x (f )x (f )x (f x ),x (f y x )x (f ),x (f )x (f ,x x ,x )x (f y 0000000000称作极小值点并把处取极小值，记作在点则称函数极大值点；如果都有的一个

称为函数并把处取极大值，记作在点则称函数如果都有的开区间内的所有点对于存在一个包含及其定义域内一点已知函数极小值极大值=>=<=（极值是局部概念，最值是整体概念；极大值可以小于极小值）（求极值的步骤：求导、解方程、判断、结论）

3．利用导数研究函数的最值：（闭区间上的连续函数一定有最大和最小值） ①函数f (x )在区间[a ,b ]上的最大值是函数f (x )在区间[a ,b ]上的极大值与f (a ),f (b )中的最大者； ②函数f (x )在区间[a ,b ]上的最小值是函数f (x )在区间[a ,b ]上的极小值与f (a ),f (b )中的最小者； （求最值的步骤：先求极值再与端点值比较） 二、典型例题

例1（1）求函数53323-+-=x x x y 的单调区间、极值.

（2）求函数5933+-=x x y 在]2,2[-∈x 上的最大值与最小值

例2．设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值.(Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线

x x f y 与)(=轴仅有一个交点.

例3已知1x =是函数3

2

()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，（I ）求m 与n 的关系式；

（II ）求()f x 的单调区间； （III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.

例4．函数3

23

24)(x ax x x f -+= 在区间[]1,1-上增，求实数a 的取值范围.

例5．设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．

三、课堂练习

1．在（a ，b ）内，f ‘（x ）>0是f （x ）在（),b a 内单调增加的（ ）

A ．充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分又不必要条件 2．可导函数)(x f y =，f ‘（x 0）=0是函数)(x f y =在x 0处取得极值的（ ） A ．充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件 3．关于函数)(x f y =在区间],[b a 上的极值与最值，下列说法正确的是（ ）

A ．极大值一定大于极小

B .最大值一定是极大值

C ．极小值一定不是最大值

D .最小值一定小于极小值

4已知c bx ax x x f +++=2

3)(，当1-=x 时取的极大值7，当3=x 时取得极小值，求极小值以及对应

的a ,b ,c

5．函数d cx bx ax y +++=2

3

的图象与y 轴的交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为 12x -y-4=0，若函数在x =2处取得极值0，试确定函数的解析式.

6．已知函数c bx x x x f ++-

=2

3

2

1)(，若函数)(x f 的图象有与x 轴平行的切线.(1)求b 的取值范围； （2）若函数)(x f 在x =1处取得极值，且]2,1[-∈x 时，2

)(c x f <恒成立，求c 的取值范围

四．规范训练：

4

.D 8.C 4

5

.B 413.A )(]22

1

[)x (f x

1

2x )x (g q px x )x (f ]221[12

2大值上的最

，在小值，那么在同一点取得相同的最与上，函数，在区间+=++=

11

.D 5.C 29.B 37.A )(]22[3]2,2[)m (m 6x 2x )x (f 223------+-=上的最小值，，那么此函数在值上有最大，在为常数、已知

上的值域

，求此函数在是减函数，是增函数，在及

在区间若函数4][-1)2,0()[2,)0,(cx bx x y 323+∞-∞++=

_________)0,2

1

()1,0)((log )(43的取值范围内单调递增，则在区间

若函数a a a ax x x f a -≠>-= .

)1,1()(6.

13)(52323的取值范围是增函数，求上在区间、已知函数的取值范围求上是减函数，在、已知t t tx x x x f a R x x ax x f -+++-=+-+=

.

),6()4,1(1)1(2

131)(8.

),()(72

33的取值范围求实数为增函数，

内是减函数，在在区间、若函数的取值范围则实数内是增函数，在、若三次函数a x a ax x x f k kx x x f +∞+-+-=

+∞-∞+=

定积分与微积分基本定理

一、基本知识

1．一般函数定积分的定义：（被积函数，积分上限，积分下限） 2. 定积分的几何意义： 3．定积分的物理意义： 4．微积分基本定理： 5．定积分的性质：（1）

?

?

=b

a

b

a

dx x f c

dx x cf )()(（c 为常数）

（2）)(),(x g x f 可积，则[]?

??+

=+b

a

b a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()( （3）?

?

?+

=

b

a

c

a

b

c

dx x f dx x f dx x f )()()(

6．常见函数的原函数：

①常数函数：c x f =)(的原函数为')(c cx x F +=（'c 为任意常数）；

②幂函数：)1( )(-≠=n x x f n

的原函数为'1

)(1

c n x x F n ++=+（'c 为任意常数）； ③反比例函数：x

x f 1

)(=

的原函数为'||ln )(c x x F +=（'c 为任意常数）； ④指数函数：)1,0()(≠>=a a a x f x

的原函数为'ln )(c a

a x F x

+=（'c 为任意常数）； ⑤正弦函数：x x f sin )(=的原函数为'cos )(c x x F +-=（'c 为任意常数）； ⑥余弦函数：x x f cos )(=的原函数为'sin )(c x x F +=（'c 为任意常数）； ⑦对数函数：x x f ln )(=的原函数为'ln )(c x x x x F +-=（'c 为任意常数）； 二、典型例题

例1．求下列定积分 （1）=+-?-dx x x )123(3

12

（2）?

=2

cos π

xdx

（3）

=?

dx x

2

1

1

例2．求面积

（1） 曲线x y sin =与x 轴在区间[]π2,0上所围成阴影部分的面积。

（2） 抛物线2x y =与直线4=y 所围成的图形的面积。 (3)计算由2x y =和2y x =所围成的图形的面积。

例3．计算=-?

-dx x x 2

2

2 例4．求曲线2,2=+=y x y x 所围成的面积。

例5．过坐标原点作曲线x y ln =的切线l ，该切线l 与曲线x y ln =及x 轴围成图形为D 。（1）求切线l 的方

程。（2）求区域D 的面积S 。

三、课堂练习

1．用S 表示图中阴影部分的面积，则=S （ ）

.

A ?

-c

a

dx x g x f )]()([ .

B ?

-c

a

dx x f x g )]()([ .

C ?

-c

a

dx x f x g )()(.

D ?

-b

a

dx x g x f )()(

2．

?--=3

2 ) (1

dx x .A 2

131-.B 2ln 3ln - .C 3ln 2ln -.D 不存在 3．求下列积分值： ①?-1

1 dx ；②?-1

1 xdx ；③?-1

1 ||dx x ；④?-6

2

2

)1(dx x ；⑤?+2

1 )12(dx x

x

4．计算1,2

2==x x

y 所围成的图形的面积

四、规范训练 1．若

?

=a

dx x 0

3

4，则_________;=a 若?<<-=3

)2

2(21sin π

π

πa a xdx ，则.___=a

2．求下列积分值：

?

π

sin xdx

?+2 0

|1|dx x ?

-+2

1

||dx x

3．在曲线)0(2≥=x x y 上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为12

1

，试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程.

4．已知?

++=

x

dt c bt t x f 0

2)23()((R x ∈)且)(' )()(x f x f x g -=是奇函数.(1)求c b ,的值；

（2）求)(x g 的单调区间与极值.

人教版数学选修2-2：导数及其应用测试题

《导数及其应用》 一、选择题 1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线2 1y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 A. B. C. D. 3．在曲线y ＝x 2 上切线的倾斜角为π4 的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.? ????14，116 D.? ?? ??12，14 4.若曲线y ＝x 2 ＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2 －2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值 范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

新课标人教A版高中数学选修2-2导数及其应用知识点总结

高中数学选修2-2导数及其应用知识点总结 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：

6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个 根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤 （“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=?1 性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥?b a dx x f ①推广：1212[()()()]()()()b b b b m m a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±± ±=±± ±????

高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc

数学选修 2-2 第一章 单元测试题 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点() A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 1 1 2．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在 1 同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是() C．8D．4 2 3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( ) ππ3 A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π) 3 π 3 C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π] 1 4．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()

3 3 A．m≥2 B．m＞2 3 3 C．m≤2 D．m＜2 x 2 2 5．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 () f x 0＋3 －f x 0 Δx 6．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx ＝1， Δx→0 则 f ′(x0)等于( ) A．1 B．0 C．3 x＋9 7．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为() A．x＋y＝0 B．x＋25y＝0 C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0 D．以上皆非 8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－ 3b＜0 时，f ( x) 是() A．增函数 B．减函数 C．常数 D．既不是增函数也不是减函数

高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)

高二数学选修2-2导数及其应用测试题 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 》 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ） ． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2π e C ．],1[2π e D ．),1(2π e 8.07622 3 =+-x x 在区间)2,0(内根的个数为 （ ） ] A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

数学选修2-2第一章导数及其应用练习题汇编

第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为()． A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数y＝2＋1 x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________. 5．已知函数y＝2 x，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. 6．利用导数的定义，求函数y＝1 x2＋2在点x＝1处的导数． 7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()．A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44

8．设函数f(x)可导，则lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1) 3Δx等于()． A．f′(1) B．3f′(1) C.1 3f′(1) D．f′(3) 9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝v t，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________． 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．

高中数学第一章导数及其应用1_3导数在研究函数中的应用教材习题点拨新人教A版选修22

高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用教材 习题点拨 新人教A 版选修2-2 教材问题解答 (问题) 如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )有什么特征？ 答：如果在某个区间上恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )在这个区间上是常数函数． (思考) 请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系． 答：函数y ＝f (x )的平均变化率 f x 2－f x 1 x 2－x 1 的几何意义是经过(x 1，f (x 1))，(x 2， f (x 2))两点直线的斜率． 当导数为正值时，函数单调递增，平均变化率f x 2－f x 1 x 2－x 1 ＞0；当导数为负值时， 函数单调递减，平均变化率 f x 2－f x 1 x 2－x 1 ＜0. (问题) 如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？ 答：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，也可以求解本题，但运算过程相对麻烦，有时需要变形的很多技巧，特别是判断三次的多项式函数的单调性时，这种方法不是一种简便的方法，导数是研究函数单调性的工具，其方法具有普适性、通用性． 练习1 1．解：(1)因为f (x )＝x 2 －2x ＋4，所以f ′(x )＝2x －2. 当f ′(x )＞0，即x ＞1时，函数f (x )＝x 2 －2x ＋4单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜1时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4单调递减． (2)因为f (x )＝e x －x ，所以f ′(x )＝e x －1. 当f ′(x )＞0，即x ＞0时，函数f (x )＝e x －x 单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜0时，函数f (x )＝e x －x 单调递减． (3)因为f (x )＝3x －x 3 ，所以f ′(x )＝3－3x 2. 当f ′(x )＞0，即－1＜x ＜1时，函数f (x )＝3x －x 3 单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞1或x ＜－1时，函数f (x )＝3x －x 3 单调递减． (4)因为f (x )＝x 3 －x 2 －x ，所以f ′(x )＝3x 2 －2x －1.

选修2-2 导数及其应用 典型例题

第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义： 拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系： 【典型例题】 题型一 求平均变化率： 例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小.

题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ） （1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??； （3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.

2018版高中数学第一章导数及其应用课时作业12定积分在几何中的应用新人教A版选修22

课时作业12 定积分在几何中的应用 定积分在物理中的应用 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知自由落体运动的速度v ＝gt (g 是常数)，则做自由落体运动的物体从时刻t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.gt 20 3 B ．gt 2 C. gt 20 2 D.gt 20 6 解析：由定积分的物理意义，得所走的路程为 答案：C 2．曲线y ＝x 3 与直线y ＝x 所围成图形的面积等于( ) A. ??-11 (x －x 3)d x B . ??-1 1 (x 3 －x )d x C ．2??01(x －x 3)d x D ．2??-1 0 (x －x 3 )d x 解析：由? ???? y ＝x y ＝x 3 求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3 的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，由于 两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2??0 1(x －x 3 )d x . 答案：C 3．如果某物体以初速度v (0)＝1，加速度a (t )＝4t 做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．13 解析：v (2)－v (0)＝??02a (t )d t ＝??0 24t d t ＝2t 2 | 2 0＝8.∴v (2)＝9. 答案：C 4．如图，两曲线y ＝3－x 2 与y ＝x 2 －2x －1所围成的图形面积是( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．3 解析：由? ???? y ＝3－x 2 y ＝x 2 －2x －1

解得交点(－1,2)，(2，－1)， 所以S ＝? ?2－1[(3－x 2)－(x 2 －2x －1)]d x ＝? ?2－1(－2x 2 ＋2x ＋4)d x ＝? ????－23x 3＋x 2＋4x ??? 2 －1 ＝9，故选B. 答案：B 5．一物体在力F (x )＝3x 2 －2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( ) A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J 解析：依题意F (x )做的功是W ＝∫10 5F (x )d x ＝(x 3 －x 2 ＋5x )| 105 ＝825(J)． 答案：C 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________． 解析：弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F ＝kx ，求得k ＝50，∴F (x )＝50x . ∴W ＝∫0.12 050x d x ＝25x 2 | 0.12 0＝0.36(J)． 答案：0.36 J 7．由曲线y 2＝x ，y ＝x 2 所围图形的面积S ＝________. 解析：由??? ? ? y 2 ＝x ，y ＝x 2 ， 得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD ＝??01x d x －??0 1x 2 d x ＝23x 32| 10－13x 3| 1 0＝23－13＝13 . 答案：13 8．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________． 解析：由速度—时间曲线得

新课改高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)

新课改高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)

新课改高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题 （ 时间120分钟，分值150分） 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 2．已知函数d cx bx ax x f +++=23 )(的图象与x 轴有三个 不同交点)0,(),0,0(1 x ，)0,(2 x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得 极值，则2 1 x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 3．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++ =22 13 1 )(2 3 ，当)1,0(∈x 取 得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则1 2 --a b 的取值范围是（ ）．

A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)4 1 ,21(- D ．)2 1,21(- 4．设 x x y sin 12 -= ，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ． x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin ) 1(sin 22-+- D ． x x x x sin ) 1(sin 22--- 5．设1 ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 6．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 )(32lim 3 --→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π的值域为（ ）． A ． ]2 1 ,21[2π e B ． )2 1,21(2π e C ．],1[2 π e

新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题

一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1．设x x y sin 12 -=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin )1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且) (x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 1 31)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极 小值，则12 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2 ,0[π 的值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2 π e C ．],1[2πe D ．),1(2πe 8．积分=-?-a a dx x a 22（ ）． A ． 24 1 a π B ． 22 1 a π C ．2a π D ．22a π 9．由双曲线122 22=-b y a x ，直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 （ ） A ．238ab π B ．b a 238π C ．b a 234π D ．23 4 ab π 10．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18 B ．338 C ．3 16 D ．16 11．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界由六段全等的正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个纸花

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0 |'x x y = 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的函数导数和积分公式 函数 导函数 定积分 y c = ———————— n y x =()*n N ∈ x y a =()0,1a a >≠ x y e = log a y x =()0,1,0a a x >≠> ———————— ln y x = sin y x = cos y x = 常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算 积的导数运算 商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理 和差的积分运算 积分的区间可加性

6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数 '()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区 间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤:分割→近似代替→求和→取极限 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=?1 性质2 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥?b a dx x f ①推广：1212[()()()]()()()b b b b m m a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±± ±=±± ±???? ②推广:12 1 ()()()()k b c c b a a c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++ +???? 11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也 可能取负值，还可能是0. ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x 轴上方的图形面积； （2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定 积分的值取负值，且等于x 轴上方图形面积的相反数； （3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积． 12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

选修导数及其应用习题及答案

选修导数及其应用习题 及答案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

（数学选修1-1）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]及答案 一、选择题 1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x - D ．0 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3y x x 的递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),(+∞-∞ D ．),1(+∞ 4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A ．319 B ．316 C ． 313 D ．3 10 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A ．72 B ．36 C ．12 D ．0 二、填空题 1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________； 2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin x y x = 的导数为_________________；

数学选修2-2复习专题：导数及其应用

数学选修2-2复习专题：导数及其应用20161210 【知识网络】 1．经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．知道瞬时变化率就是导数．体会导数的思想及其内涵．通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义，会使用基本初等函数导数公式表和导数的四则运算法求简单函数的导数。侧理考生还要求能求复合函数（仅限于形如f(a x ＋b))的导数． 3．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．结合函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．体会导数在解决实际问题中的作用． 【典型例题】 例1．（1）若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= （2）点P 在曲线y=x 3－x 上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．5[0,][ ,)26πππ? B ．3[,)4ππ C ．3[0,)[,)24πππ? D ． [0，34 π] （3）已知f(x)=x 3＋2x 2,则0()()lim x f x x f x x ?→+?-?= ．3x 2＋4x （4）曲线1y x =和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 34 （5）对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列 1n a n ????+?? 的前n 项和的公式是 ．()12122212n n n S +-==-- 练习：1.对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（） ≥0，则必有（ ） A ． f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1） 2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080 y x x x =-+<≤ 已知甲、乙两地相距100千米。 （1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（17.5） （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ (当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =) 例2.(1)已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+是否存在实数,m 使得()y f x =的图象 与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。(7,156ln 3).-．

选修22第一章导数及其应用测试题及答案

增城市高中数学选修《导数及其应用》检测题 (考试时间：100分钟，满分100分) 命题人：增城中学 邓城 2007.4.2 学 校： 班级： 姓名： 学号： 成绩： 一、选择题(每题 4分，共32分) 1?满足f(x) = f (x)的函数是 () A f(x) = 1 — X B f(x) = X C f(x) = 0 D f(x)= 1 3 2?曲线y = 4x - x 在点(一1, — 3)处的切线方程是 () A y = 7x 4 B y = 7x 2 C y = x -4 D y = x -2 f (x 0 h) - f (x 0 -h) 3.已知函数y= f(x)在区间(a, b )内可导，且x o € (a, b)，贝U ljm - - =() A f (x o ) B 2f (x o ) C — 2f (x o ) D 0 4?函数f(x) = x 3 — 3x+1在闭区间［-3, 0］上的最大值、最小值分别是 () A 1 , — 1 B 3, - 17 C 1, —17 D 9, — 19 5. f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若 f(x)、g(x)满足f(X)= g (x)，贝U () A f(x)=g(x) B f(x)— g(x)为常数函数 C f(x)=g(x)=0 D f(x)+g(x)为常数函数 A (— 3, 0) U (3, + 旳 B (— 3, 0) U (0, 3) C (―汽―3) U (3, + 旳 D (―汽―3) U (0, 3) 二填空题(每题4分，共24分) 9?某物体做直线运动，其运动规律是 S=t 2 +| ( t 的单位是秒，S 的单位是米)，则它在4秒末 8设f(x), g(x)分别是定义在 当 x <0 时，f (x)g(x) + f(x)g (x)>0. 且g(— 3) = 0,则不等式 f(x)g(x)<0的解集是 6?函数f (x)的定义域为开区间 (a,b)，导函数f 0x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数 R 上的奇函数和偶函数,