高考数学压轴专题最新备战高考《函数与导数》技巧及练习题附答案
数学《函数与导数》期末复习知识要点
一、选择题
1．已知函数()210
0ax x f x lnx x ?+≤=??
，，＞，，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判
断，正确的是（ ）
A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个
B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个
C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个
D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个 【答案】B 【解析】 【分析】
分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数． 【详解】
令()t f x =，则()0f t m +=，
当0a =时， 若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；
当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；
当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.
2．三个数0.20.4
0.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ）
A ．0.40.2
0.43<4log 0.5< B ．0.40.2
0.43 C ．0.4 0.20.4log 0.534<< D ．0.2 0.40.4log 0.54 3<< 【答案】D 【解析】 由题意得，12 0.2 0.4 5 5 0.4 0log 0.514 43 3<<<==== D. 3．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4 C ．0 D ．﹣4 【答案】A 【解析】 ()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处 的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-， ()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 4．已知函数()3 2 f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,27??-∞- ??? B ．() 1,+? C ．5,127?? - ??? D ．11,127?? - ??? 【答案】C 【解析】 【分析】 根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()3 2 g x x x x =-++与y a =的 图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】 Q 函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点， 可转化为函数()3 2 g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点. 又()2 321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-Q ， ∴在1,,(1,)3??-∞-+∞ ???上，()0g x '<；在1,13?? - ???上，()0g x '>. ∴()15327g x g ?? =-=- ??? 极小值，()()11g x g ==极大值， 5 127 a ∴- <<. 故选：C 【点睛】 本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题. 5．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2 f x f x x -+=成立， 且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()1 12 f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2 ??-∞ ?? ? B ．1,2??+∞???? C ．(],2-∞ D ．[)2,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数2 1()()2 g x f x x =- ，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】 令2 1()()2 g x f x x =- ，则()()g x f x x ''=-， ()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增, Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立, 所以(0)0f =， 22 22111()()()()()222 g x f x x x f x x x f x g x ??∴-=--=--=-=-??， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f == ∴在R 上()g x 单调递增. 又()()112 f a f a a -≥+ -Q ()()()2 211111222 g a a g a a a ∴-+ -≥++-， 即()()1 112 g a g a a a a -≥?-≥?≤. 因此实数a 的取值范围为1,2 ??-∞ ?? ? . 故选：A 【点睛】 本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出 2 1()()2 g x f x x =- 是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题. 6．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋2 4x x －，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两 点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为 A ．（8 5，＋∞） B ．（ 16 5 ，＋∞） C ．[ 8 5 ，＋∞） D ．[ 16 5 ，＋∞） 【答案】B 【解析】 【分析】 利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2 的取值范围． 【详解】 由题得f′（x ）=4k k x + ﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ??-++ ???=﹣()2 4x k x k x ? ?-- ?? ?，（x ＞0，k ＞0） 由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2）， 即2 1144k k x x + -﹣1=2 4 k k x + ﹣224x ﹣1， 化简得4（x 1+x 2）=（k+4 k ）x 1x 2， 而x 1x 2＜2 12( )2 x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+ 4 k ）21 2()2 x x +， 即x 1+x 2＞ 16 4k k + 对k ∈[4，+∞）恒成立， 令g （k ）=k+ 4k ， 则g′（k ）=1﹣ 24k =()()222k k k +-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5， ∴ 16 4k k +≤165 ， ∴x 1+x 2＞ 165 ， 故x 1+x 2的取值范围为（16 5 ，+∞）. 故答案为B 【点睛】 本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题 的关键，属于中档题. 7．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ） A ．1(1,)2 - B ．1(,1)(,)2 -∞-+∞U C ．1(,1)2- D ．1(,)(1,)2 -∞-?+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】 判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把() ()2 210f x f x -+>化为 221x x ->-，求出解集即可． 【详解】 解：函数()sin2x x f x e e x -=-+，定义域为R ， 且满足()()sin 2x x f x e e x --=-+- ()()sin2x x e e x f x -=--+=-， ∴()f x 为R 上的奇函数； 又()'2cos222cos20x x f x e e x x x -=++≥+≥恒成立， ∴()f x 为R 上的单调增函数； 又() ()2 210f x f x -+>， 得()()()2 21f x f x f x ->-=-， ∴221x x ->-， 即2210x x +->， 解得1x <-或12 x > ， 所以x 的取值范围是()1,1,2??-∞-?+∞ ??? ． 故选B ． 【点睛】 本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题． 8．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（ ）时，其容积最大． A ． 3 4 B ． 23 C ． 13 D ． 12 【答案】B 【解析】 【分析】 设正六棱柱容器的底面边长为x ,)3 1x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()32339214 V x x x x x x x =+-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】 设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)3 12 x -, 所以正六棱柱容器的容积为()()()()3233921224 V x x x x x x x =+??-=-+, 所以()227942V x x x '=- +,则在20,3?? ???上,()0V x '>；在2,13?? ??? 上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3?? ???上单调递增,在2,13?? ??? 上单调递减, 所以当2 3 x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】 本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力. 9．已知函数 在区间上有最小值，则函数在区间 上一定（ ） A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数 【答案】D 【解析】 【分析】 由二次函数 在区间 上有最小值得知其对称轴 ，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间 上的单调性. 【详解】 由于二次函数 在区间 上有最小值，可知其对称轴 ， . 当时，由于函数 和函数在上都为增函数， 此时，函数在上为增函数； 当时， 在 上为增函数； 当时，由双勾函数的单调性知，函数 在 上单调递 增， ，所以，函数 在 上为增函数. 综上所述：函数在区间 上为增函数，故选D. 【点睛】 本题考查二次函数的最值，同时也考查了 型函数单调性的分析，解题时要注意对 的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题. 10．若曲线43y x x ax =-+(0x >)存在斜率小于1的切线，则a 的取值范围为（ ） A ．3, 2??-∞ ??? B ．1, 2??-∞ ??? C ．5, 4??-∞ ??? D ．1, 4??-∞ ??? 【答案】C 【解析】 【分析】 对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案； 【详解】 由题意可得3 2 431y x x a '=-+<在()0,x ∈+∞上有解， 设()3 2 43f x x x a =-+(0x >)，()()2 126621f x x x x x '=-=-， 令()0f x '<，得102x << ；令()0f x '>，得12 x >， ∴()f x 在1 (0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增， ∴()min 11124f x f a ?? ==-< ??? ，解得：54a <. 故选：C. 【点睛】 本题考查导数的几何意义、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式 (2)5f x +<的解集为（ ） A ．(3,7)- B ．()4,5- C ．(7,3)- D ．()2,6- 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解. 【详解】 当0x ≥时,2 ()45f x x x =-<的解为05x <≤； 当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{} 55x x -<<， 所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{} 52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C 【点睛】 本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题. 12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ） A ．( )()()0.3 1.1 3 0. 2 0.54f f log f << B ．()()()0.3 1.1 3 0. 2 40.5f f f log << C ．()()()1.1 0.3 3 40.20.5f f f log << D ．()()()0.3 1.1 3 0.50.24f log f f << 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.3 1.130.2 1log 0.5141-<-<-，又 ()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解. 【详解】 解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.3 1.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈, 则0.3 1.130.2 1log 0.5141-<-<-， 又()f x 在[1,)+∞上单调递增, 所以( )()()0.3 1.1 3 0.20.54f f log f <<. 故选:A. 【点睛】 本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题. 13．函数()2log ,0,2,0, x x x f x x ?>=?≤?则函数()()()2 384g x f x f x =-+的零点个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．6 【答案】A 【解析】 【分析】 通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2 384g x f x f x =-+=()()322f x f x --????????的零点 即方程()2 3 f x = 和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ?>=?≤? 的图象如图所示： 由图可得方程()2 3 f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2 384g x f x f x =-+有5个零点, 故选：A. 【点睛】 本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准． 14．函数( ) 3 2x y x x =-?的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 排除法：根据函数( ) 3 2x y x x =-?为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 【详解】 函数( ) 3 2x y x x =-?为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ； 函数有1-，0，1三个零点，故排除A ； 当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】 本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题. 15．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=?+，则1f e ??'= ??? （ ） A ． 12e - B ．2e - C ．1- D ．e 【答案】B 【解析】 【分析】 对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1 x e =求得结果. 【详解】 由题意得：()()121f x f x ''=+ 令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=- ()12f x x '∴=-+ 12f e e ?? '∴=- ??? 本题正确选项：B 【点睛】 本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误. 16．若函数()()sin x f x e x a =+在区间,22ππ ?? - ??? 上单调递增，则实数a 的取值范围是 （） A ．) +∞ B ．[ )1,+∞ C ．()1,+∞ D ．() +∞ 【答案】B 【解析】 【分析】 将问题转化为()0f x '≥在,22ππ?? - ??? 上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化 为2sin 04x a π?? + +≥ ?? ? 在,22ππ?? - ???上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得( 2sin 1,24x a a a π? ??++∈-++ ??? ?，则只需10a -+?即可，解不等式求得结果. 【详解】 由题意得：()()sin cos 2sin 4x x x f x e x a e x e x a π???? '=++=+ + ? ?? ?? ()f x Q 在,22ππ??- ?? ? 上单调递增 ()0f x '∴≥在,22 ππ ?? - ?? ? 上恒成立 又0x e > 2sin 04x a π? ? ∴+ +≥ ?? ? 在,22ππ?? - ???上恒成立 当,22x ππ?? ∈- ??? 时，3, 444x πππ??+∈- ??? 2sin ,142x π??? ?∴+∈- ? ? ? ??? ( 2sin 1,24x a a a π? ??∴++∈-++ ???? 10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】 本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果. 17．函数()1ln f x x x ? ? =- ??? 的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当 1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】 当2x =时，1 10x x - =>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，13 02 x x - =-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1 y x x =- 单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ?? =- ?? ? 单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】 本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题. 18．设函数()x f x x e =?，则（ ） A ．()f x 有极大值 1e B ．()f x 有极小值1e - C ．()f x 有极大值e D ．()f x 有极小值e - 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数求出函数()y f x =的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论. 【详解】 ()x f x x e =?Q ，定义域为R ，()()1x f x x e '∴=+，令()0f x '=，可得1x =-. 当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>. 所以，函数()x f x x e =?在1x =-处取得极小值()11f e -=- ， 故选：B. 【点睛】 本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题. 19．已知函数()2 f x x mx =+图象在点()() 1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直， 若数列()1f n ?????????? 的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ） A ． 2015 2016 B ． 2016 2017 C ． 2017 2018 D ． 2018 2019 【答案】D 【解析】 【分析】 求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】 由()2 f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+， 因为函数()2 f x x mx =+图象在点()() 1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直， ()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则 ()()211111 11 f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019 S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题． 20．对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则： 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 高三理科数学限时训练 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的.) 1. 复数z 满足(2)z z i =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 2. 已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x + 1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为 棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1 AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形；③在平面 1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平 面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 C A. {}2 B. 255?? ? ??? C. {|222}t t ≤≤ D. 2 {|52}5 t t ≤≤ 3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四 面体OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等 ④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D （A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形 1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心， ,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=u u u u r u u u u r 的实数λ的值 有 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做 A B C D E 1A 1 D 1 B 1 C O A B D C A 1 D 1 A 1 C 1 B D C B O P N M Q 高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2 高考数学选择题专项训练（二） 1、函数y =cos 4x -sin 4x 图象的一条对称轴方程是（ ）。 （A ）x =-2π （B ）x =-4π （C ）x =8 π （D ）x =4π 2、已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是（ ）。 （A ）n //α （B ）n //α或n ?α （C ）n ?α或n 不平行于α （D ）n ?α 3、已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，且xy ≠0，那么y c x a +的值为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4、如果在区间[1, 3]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x + 21x 在同一点取得相同的最小值，那么下列说法不对．． 的是（ ）。 （A ）f (x )≥3 (x ∈[1, 2]) （B ）f (x )≤4 (x ∈[1, 2]) （C ）f (x )在x ∈[1, 2]上单调递增 （D ）f (x )在x ∈[1, 2]上是减函数 5、在(2+43)100展开式中，有理数的项共有（ ）。 （A ）4项 （B ）6项 （C ）25项 （D ）26项 6、等比数列{a n }的公比q <0，前n 项和为S n , T n =n n a S ，则有（ ）。 （A ）T 1 7、设集合A ＝ο/，集合B ＝{0}，则下列关系中正确的是（ ） （A ）A ＝B （B ）A ?B （C ）A ?B （D ）A ?B 8、已知直线l 过点M （－1，0），并且斜率为1，则直线l 的方程是（ ） （A ） x ＋y ＋1＝0 （B ）x －y ＋1＝0 （C ）x ＋y －1＝0 （D ）x ―y ―1＝0 9、已知集合A ＝{整数}，B ＝{非负整数}，f 是从集合A 到集合B 的映射，且f ：x → y ＝x 2（x ∈A ，y ∈B ），那么在f 的作用下象是4的原象是（ ） （A ）16 （B ）±16 （C ）2 （D ）±2 10、已知函数y ＝1 -x x ,那么（ ） （A ）当x ∈（－∞，1）或x ∈（1，＋∞）时，函数单调递减 （B ）当x ∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增 （C ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减 （D ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增 11、在(2－x )8的展开式中，第七项是（ ） （A ）112x 3 （B ）－112x 3 （C ）16x 3x （D ）－16x 3x 12、设A ＝{x | x 2＋px ＋q ＝0},B ＝{x | x 2＋(p －1)x ＋2q ＝0}, 若A ∩B ＝{1}，则（ ）。 （A ） A ?B （B ）A ?B （C ）A ∪B ＝{1, 1, 2} （D ）A ∪B ＝(1,－2)2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
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