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2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式导学案新人教A版必修4_

3.1.1 两角差的余弦公式

学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.

2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式导学案新人教A版必修4_

知识点一 两角差的余弦公式的探究

思考1 如何用角α,β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢?有人认为cos(α-β)=cos α-cos β,你认为正确吗,试举出两例加以说明. 答案 不正确.

例如:当α=π2,β=π4时,cos(α-β)=cos π4=2

2,

而cos α-cos β=cos π2-cos π4=-2

2,

故cos(α-β)≠cos α-cos β;

再如:当α=π3,β=π6时,cos(α-β)=cos π6=3

2,

而cos α-cos β=cos π3-cos π6=1-3

2,

故cos(α-β)≠cos α-cos β.

思考2 计算下列式子的值,并根据这些式子的共同特征,写出一个猜想. ①cos 45°cos 45°+sin 45°sin 45°=________; ②cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°=________; ③cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=________; ④cos 150°cos 210°+sin 150°sin 210°=________. 猜想:

cos αcos β+sin αsin β=________,

即____________________________________________. 答案 ①1 ②

32 ③0 ④1

2

cos(α-β) cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 知识点二 两角差的余弦公式

思考1 单位圆中(如图),∠AOx =α,∠BOx =β,那么A ,B 的坐标是什么?OA →与OB →

的夹角是多少?

答案 A (cos α,sin α),B (cos β,sin β).

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OA →与OB →

的夹角是α-β.

思考2 请根据上述条件推导两角差的余弦公式. 答案 ①OA →·OB →=|OA →||OB →

|cos(α-β)=cos(α-β), ②OA →·OB →

=cos αcos β+sin αsin β. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.

梳理 C (α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. (1)适用条件:公式中的角α,β都是任意角.

(2)公式结构:公式右端的两部分为同名三角函数的积,连接符号与左边角的连接符号相反.

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类型一 利用两角差的余弦公式化简求值

例1 计算:(1)cos(-15°);(2)cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°. 解 (1)方法一 原式=cos(30°-45°) =cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45° =

32×22+12×22=6+24

. 方法二 原式=cos 15°=cos(45°-30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30° =

22×32+22×12=6+24

. (2)原式=cos(15°-105°) =cos(-90°) =cos 90° =0.

反思与感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路: (1)把非特殊角转化为特殊角的差,正用公式直接求解.

(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的右边形式,然后逆用公式求值.

跟踪训练1 求下列各式的值:

(1)cos 105°;

(2)cos 46°cos 16°+sin 46°sin 16°. 解 (1)原式=cos(150°-45°)

=cos 150°cos 45°+sin 150°sin 45° =-

32×22+12×22

2-6

4

. (2)原式=cos(46°-16°)=cos 30°=32

. 类型二 给值求值

例2 已知α,β均为锐角,sin α=817,cos(α-β)=21

29,求cos β的值.

解 因为α∈? ????0,π2,sin α=817<12,所以0<α<π6.

又因为α-β∈? ????-π2,π6,cos(α-β)=2129<32,

所以-π2<α-β<-π

6.

所以cos α=1-sin 2

α=

1-? ????8172=15

17

, sin(α-β)=-1-cos 2(α-β)=- 1-? ??

??21292

=-2029

所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =1517×2129+817×? ????-2029=155493

. 反思与感悟 三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有: α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β), α=12[(α+β)+(α-β)],α=1

2

[(β+α)-(β-α)]等.

跟踪训练2 已知cos α=17,cos(α+β)=-1114,且α,β∈?

????0,π2,求cos β的值.

解 ∵α,β∈?

????0,π2,∴α+β∈(0,π).

又∵cos α=17,cos(α+β)=-11

14,

∴sin α=1-cos 2

α=437,

sin(α+β)=1-cos 2

(α+β)=5314.

又∵β=(α+β)-α,

∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α

=? ????-1114×17+

5314

×437=12. 类型三 给值求角

例3 已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π

2,求β的值.

解 由cos α=17,0<α<π

2,

得sin α=1-cos 2

α=

1-(17)2=43

7

.

由0<β<α<π2,得0<α-β<π

2.

又∵cos(α-β)=13

14

∴sin(α-β)=1-cos 2

(α-β) =

1-? ????13142=

3314

. 由β=α-(α-β),得cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β), 即cos β=17×1314+437×3314=1

2,

∴β=π

3

.

反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤: (1)求角的某一个三角函数值; (2)确定角的范围;

(3)根据角的范围写出所求的角.

跟踪训练3 已知cos(α-β)=-1213,cos(α+β)=12

13

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且α-β∈? ????π2,π,α+β∈? ??

??3π2,2π,求角β的值. 解 由α-β∈? ????π2,π,且cos(α-β)=-1213,

得sin(α-β)=5

13.

由α+β∈?

??

??3π2,2π,且cos(α+β)=1213,

得sin(α+β)=-5

13

.

∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]

=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =1213×? ????-1213+? ????-513×5

13=-1. 又∵α+β∈?

????3π2,2π,α-β∈? ????π2,π,∴2β∈? ??

??π2,3π2,

∴2β=π,则β=π

2

.

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1.计算cos 5π12cos π6+cos π12sin π

6的值是( )

A.0

B.12

C.2

2

D.32

答案 C

解析 cos 5π12cos π6+cos π12sin π

6

=cos 5π12cos π6+sin 5π12sin π6=cos ? ????5π12-π6 =cos π4=2

2

.

2.若a =(cos 60°,sin 60°),b =(cos 15°,sin 15°),则a ·b 等于( ) A.22 B.12 C.32

D.-12

答案 A

解析 a ·b =cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=22

,故选A.

3.设α∈? ????0,π2,若sin α=35,则2cos ? ????α-π4等于( )

A.7

5 B.1

5 C.-75

D.-15

答案 A

解析 ∵α∈? ????0,π2,sin α=35,cos α=45.

∴2cos ? ????α-π4=2? ????cos αcos π4+sin αsin π4 =cos α+sin α=45+35=7

5

.

4.已知sin α+sin β=35,cos α+cos β=4

5

,求cos(α-β)的值.

解 ∵(sin α+sin β)2

=? ????352,

(cos α+cos β)2

=? ??

??452,

以上两式展开两边分别相加,得2+2cos(α-β)=1, ∴cos(α-β)=-1

2

.

5.已知sin α=-45,sin β=5

13,且180°<α<270°,90°<β<180°,求cos(α-β)的

值.

解 因为sin α=-45,180°<α<270°,所以cos α=-3

5.

因为sin β=513,90°<β<180°,所以cos β=-12

13.

所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β

=? ????-35×? ????-1213+? ????-45×513=3665-2065=16

65

.

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1.“给式求值”或“给值求值”问题,即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值,

求另外一些角的三角函数值,关键在于“变式”或“变角”,使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用,有时需运用拆角、拼角等技巧.

2.“给值求角”问题,实际上也可转化为“给值求值”问题,求一个角的值,可分以下三步进行:

(1)求角的某一三角函数值; (2)确定角所在的范围(找区间); (3)确定角的值.

确定用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目而定.

课时作业

一、选择题

1.化简cos(45°-α)cos(α+15°)-sin(45°-α)sin(α+15°)的结果为( ) A.12 B.-12

C.32

D.-

32

答案 A

解析 原式=cos(α-45°)cos(α+15°)+sin(α-45°)sin(α+15°)=cos[(α-45°)-(α+15°)]=cos(-60°)=1

2

.

2.已知点P (1,2)是角α终边上一点,则cos(π

6-α)等于( )

A

3+6

6

B.3-6

6 C.-3+66

D.

6-3

6

答案 A

解析 由题意可得sin α=

63,cos α=33

, cos ? ????π6-α=cos π6cos α+sin π6sin α

32×33+12×63=3+6

6

. 3.已知cos ?

????θ+π6=513,0<θ<π3,则cos θ等于( )

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C.5+123

26

D.

5+53

13

答案 A

解析 ∵θ∈? ????0,π3,∴θ+π6∈? ????π6,π2,

∴sin ?

????θ+π6= 1-cos 2?

????θ+π6=1213.

∴cos θ=cos ???????

????θ+π6-π6

=cos ? ????θ+π6cos π6+sin ? ????θ+π6sin π6

=513×32+1213×12=53+12

26. 4.若cos(α-β)=55,cos 2α=1010

,并且α、β均为锐角且α<β,则α+β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4

D.5π6

答案 C

解析 ∵α,β∈(0,π2),∴α-β∈(-π2,0),2α∈(0,π),sin(α-β)=-25

5,

sin 2α=310

10

∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)] =cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β) =

1010×55+? ????31010×? ??

??-255=-22, ∵α+β∈(0,π),∴α+β=3π4

.

5.若cos(α+β)=35,sin ? ????β-π4=513,α,β∈? ????0,π2,则cos ? ????α+π4的值为( ) A.2

2

B.32

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C.5665

D.3665

答案 C

解析 ∵α,β∈?

????0,π2,

∴α+β∈(0,π),β-π4∈? ????

-π4,π4.

又∵cos(α+β)=35,sin ? ????β-π4=513, ∴sin(α+β)=1-cos 2

(α+β)=45,

cos ?

????β-π4= 1-sin 2?

????β-π4=1213,

∴cos ? ????α+π4=cos ??????(α+β)-?

????β-π4

=cos(α+β)cos ? ????β-π4+sin(α+β)sin ? ????β-π4

=35×1213+45×513=56

65

,故选C. 6.计算sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°的值为( ) A.-12

B.12

C.32

D.-

32

答案 B

解析 sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67° =cos 83°cos 23°+sin 83°sin 23° =cos(83°-23°)=cos 60°=1

2

,故选B.

7.化简sin(x +y )sin(y -x )-cos(x +y )cos(x -y )的结果为( ) A.sin 2y B.cos 2y C.-cos 2y D.-sin 2y

答案 C

解析 原式=-cos[(x +y )-(x -y )]=-cos 2y ,故选C. 8.已知sin(π6+α)=1

4,则cos α+3sin α的值为( )

A.-14

B.1

2

C.2

D.-1

答案 B 二、填空题

9.已知cos α=45,cos(α-β)=-45,3π2<α<2π,π

2<α-β<π,则cos β=________.

答案 -1

解析 由条件知sin α=-35,sin(α-β)=3

5,

∴cos β=cos[α-(α-β)]

=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =-1625-9

25

=-1.

10.已知sin α=1517,α∈(π2,π),则cos(π

4-α)的值为________.

答案

7234

11.已知cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=m ,且β为第三象限角,则sin β=________. 答案 -1-m 2

解析 cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α =cos[(α-β)-α]=m , 即cos β=m . 又∵β为第三象限角,

∴sin β=-1-cos 2

β=-1-m 2

.

12.设A ,B 为锐角△ABC 的两个内角,向量a =(2cos A ,2sin A ),b =(3cos B ,3sin B ).若a ,b 的夹角的弧度数为π

3,则A -B =________.

答案 ±π

3

解析 cos π3=a ·b |a ||b |=6(cos A cos B +sin A sin B )

2×3

=cos A cos B +sin A sin B =cos(A -B ). 又-π2<A -B <π

2,

∴A -B =±π3

.

13.已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)的值是________.

答案 -1

2

解析 sin α+sin β=-sin γ, ① cos α+cos β=-cos γ,

①2

+②2

?2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1 ?cos(α-β)=-1

2.

三、解答题

14.已知cos(2α-β)=-

22,sin(α-2β)=22,且π4<α<π2,0<β<π4

,求cos(α+β). 解 因为π4<α<π2,0<β<π4,所以π

4<2α-β<π.

因为cos(2α-β)=-22,所以π

2

<2α-β<π, 所以sin(2α-β)=

22

. 因为π4<α<π2,0<β<π4,所以-π4<α-2β<π2.

因为sin(α-2β)=

22,所以0<α-2β<π

2, 所以cos(α-2β)=

22

. 所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]

=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β) =-

22×22+22×2

2

=0. 四、探究与拓展

15.如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ,B 两点.

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(1)如果A ,B 两点的纵坐标分别为45,12

13,求cos α和sin β;

(2)在(1)的条件下,求cos(β-α)的值.

解 (1)∵OA =1,OB =1,且点A ,B 的纵坐标分别为45,12

13

∴sin α=45,sin β=12

13,

∴cos α=3

5

.

(2)∵β为钝角,由(1)知cos β=-5

13,

∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α =-513×35+1213×45=3365.

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