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五种最优化方法

五种最优化方法
五种最优化方法

五种最优化方法

1.最优化方法概述

1.1最优化问题的分类

1)无约束和有约束条件;

2)确定性和随机性最优问题(变量是否确定);

3)线性优化与非线性优化(目标函数和约束条件是否线性);

4)静态规划和动态规划(解是否随时间变化)。

1.2最优化问题的一般形式(有约束条件):

式中f(X)称为目标函数(或求它的极小,或求它的极大),si(X)称为不等式约束,hj(X)称为等式约束。化过程就是优选X,使目标函数达到最优值。

2.牛顿法

2.1简介

1)解决的是无约束非线性规划问题;

2)是求解函数极值的一种方法;

3)是一种函数逼近法。

2.2原理和步骤

3.最速下降法(梯度法)

3.1最速下降法简介

1)解决的是无约束非线性规划问题;

2)是求解函数极值的一种方法;

3)沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向;

3.2最速下降法算法原理和步骤

4.模式搜索法(步长加速法)

4.1简介

1)解决的是无约束非线性规划问题;

2)不需要求目标函数的导数,所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。

3)模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向,而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。

4.2模式搜索法步骤

5.评价函数法

5.1简介

评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中,衡量一个方案的好坏标准往往不止一个,多目标最优化的数学描述如下:min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x))

s.t. g(x)<=0

传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。

5.2线性加权求合法

6.遗传算法

智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系,进

而达到优化的一种方法,主要有人工神经网络法,遗传算法和模拟退火法等。6.1遗传算法基本概念

1. 个体与种群个体就是模拟生物个体而对问题中的对象(一般就是问题的解)

的一种称呼。种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体, 它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。

2. 适应度与适应度函数适应度就是借鉴生物个体对环境的适应程度,而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。

适应度函数就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数。

6.2遗传算法基本流程

遗传算法的中心思想就是对一定数量个体组成的生物种群进行选择、交叉、变异等遗传操作,最终求得最优解或近似最优解。

遗传算法步骤

步 1 在搜索空间 U 上定义一个适应度函数 f(x) ,给定种群规模 N ,交叉率 Pc 和变异率 Pm,代数 T;

步 2 随机产生 U 中的 N 个个体 s1, s2, … , sN,组成初始种群 S={s1, s2, …, sN},置代数计数器 t=1;

步 3 计算 S 中每个个体的适应度 f() ;

步 4 若终止条件满足,则取 S 中适应度最大的个体作为所求结果,算法结束。

步 5 负责继续进行选择、交叉、变异等遗传操作,重复以上步骤,直到达到最优结果。

五种最优化方法

五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1)无约束和有约束条件; 2)确定性和随机性最优问题(变量是否确定); 3)线性优化与非线性优化(目标函数和约束条件是否线性); 4)静态规划和动态规划(解是否随时间变化)。 1.2最优化问题的一般形式(有约束条件): 式中f(X)称为目标函数(或求它的极小,或求它的极大),si(X)称为不等式约束,hj(X)称为等式约束。化过程就是优选X,使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)是求解函数极值的一种方法; 3)是一种函数逼近法。 2.2原理和步骤

3.最速下降法(梯度法) 3.1最速下降法简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)是求解函数极值的一种方法; 3)沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向; 3.2最速下降法算法原理和步骤

4.模式搜索法(步长加速法) 4.1简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)不需要求目标函数的导数,所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3)模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向,而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤

5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中,衡量一个方案的好坏标准往往不止一个,多目标最优化的数学描述如下:min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系,进

最优化实验报告

最优化方法 课程设计报告班级:________________ 姓名: ______ 学号: __________ 成绩: 2017年 5月 21 日

目录 一、摘要 (1) 二、单纯形算法 (2) 1.1 单纯形算法的基本思路 (2) 1.2 算法流程图 (3) 1.3 用matlab编写源程序 (4) 二、黄金分割法 (7) 2.1 黄金分割法的基本思路 (7) 2.2 算法流程图 (8) 2.3 用matlab编写源程序 (9) 2.4 黄金分割法应用举例 (11) 三、最速下降法 (11) 3.1 最速下降法的基本思路 (11) 3.2 算法流程图 (13) 3.3 用matlab编写源程序 (13) 3.4 最速下降法应用举例 (13) 四、惩罚函数法 (17) 4.1 惩罚函数法的基本思路 (17) 4.2 算法流程图 (18) 4.3 用matlab编写源程序 (18) 4.4 惩罚函数法应用举例 (19) 五、自我总结 (20) 六、参考文献 (20)

一、摘要 运筹学是一门以人机系统的组织、管理为对象,应用数学和计算机等工具来研究各类有限资源的合理规划使用并提供优化决策方案的科学。通过对数据的调查、收集和统计分析,以及具体模型的建立。收集和统计上述拟定之模型所需要的各种基础数据,并最终将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。 最优化理论和方法日益受到重视,已经渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各个领域,而最优化模型与方法广泛应用于工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各个部门及各个领域。伴随着计算机技术的高速发展,最优化理论与方法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。其中,MATLAB软件已经成为最优化领域应用最广的软件之一。有了MATLAB 这个强大的计算平台,既可以利用MATLAB优化工具箱(OptimizationToolbox)中的函数,又可以通过算法变成实现相应的最优化计算。 关键词:优化、线性规划、黄金分割法、最速下降法、惩罚函数法

最优化方法实验报告(1)

最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And Its Applications 学生所在学院:理学院 学生所在班级:计算数学10-1 学生姓名:甘纯 指导教师:单锐 教务处 2013年5月

实验一 实验名称:熟悉matlab基本功能 实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩: 一、实验目的: 在本次实验中,通过亲临使用MATLAB,对该软件做一全面了解并掌握重点内容。 二、实验内容: 1. 全面了解MATLAB系统 2. 实验常用工具的具体操作和功能 实验二 实验名称:一维搜索方法的MATLAB实现 实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩: 一、实验目的: 通过上机利用Matlab数学软件进行一维搜索,并学会对具体问题进行分析。并且熟悉Matlab软件的实用方法,并且做到学习与使用并存,增加学习的实际动手性,不再让学习局限于书本和纸上,而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。 二、实验背景: (一)0.618法(黄金分割法),它是一种基于区间收缩的极小点搜索

算法,当用进退法确定搜索区间后,我们只知道极小点包含于搜索区间内,但是具体哪个点,无法得知。 1、算法原理 黄金分割法的思想很直接,既然极小点包含于搜索区间内,那么可以不断的缩小搜索区间,就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。 2、算法步骤 用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下: (1)选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>,计算试探点: 11110.382*()a b a λ=+- 11110.618*()a b a μ=+-。 (2)若k k b a ε-<,则停止计算。否则当()()k k f f λμ>时转步骤(3)。 当()()k k f f λμ≤转步骤(4)。 (3)置 11111110.382*()k k k k k k k k k k a b b a b a λλμμ+++++++=??=?? =??=+-?转步骤(5)

好手段促高效

好手段促高效 银川灵武市第五小学许怀德 课堂教学是个有机的整体,他是以教材为中介,师生双边活动的过程。优化课堂教学的关键在于正确处理教与学的关系,发挥师生双方的积极性,在教师启发引导下,学生主动探索,以最科学、最准确、最经济的途径获得新知,形成能力,取得较好的效果。然而由于数学知识的抽象性,与学生的认识正处于以直观形象思维为主要形式,逐步到抽象的逻辑思维过渡阶段,形成了学科性质与学生认识特点之间的矛盾。解决这一矛盾的外部条件,除了教师精心组织教材,优化教学目标,优化课堂结构,优化教学方法等等之外,还必须重视教学手段的优化,使教学手段能较好的发挥教学的辅助作用,帮助学生较快的理解和掌握数学知识,实现教学目标,提高课堂教学效率。 一、优化操作、演示过程,提高教学效率 儿童思维发展的过程是一个从具体形象到抽象思维的发展过程,布鲁纳提出概念的发展要经过三种模式,即动作性模式,影响性模式,符号性模式。他认为教学必须按照儿童智力发展的层次来进行。皮亚杰也提出:“要知道一个客体就必须动之以手。”这说明操作、演示在儿童获取知识中的重要作用。因此在教学中要重视从直观入手,充分运用操作、演示的教学手段,使学生动手、动口、动脑,调动多种感官,使其获得丰富的感性认识,借助形象思维来发展抽象的逻辑思维。 运用操作、演示的教学手段,首先教师要明确操作的要求,然

后根据教学内容和写生的认识特点,精心设计操作严实的程序、操作演示的方式方法和操作的指导语。考虑怎样操作,怎样演示才能展现知识的形成过程;什么时候操作,什么时候演示才能恰到好处地突出重点,突破难点。也就是要注意把握好用的恰当时机,掌握好火候,在教学的关键处揭示事物的数量关系和变化过程算理、解法和盘托出。如教学两位数加一位数:27+5,重点是使学生掌握口算方法,理解进位加法的算理。我们可以围绕教学重点分层次一步一步地操作演示。首先让学生摆小棒,在左边摆27根右边摆5根,启发学生想:先算什么?7根加5根是多少根?再算什么?学生根据老师的启示边操作边思考。接着叫一名学生在幻灯机上再次操作,要求学生边操作边口述操作过程,使学生悟出7根小棒加5根小棒是12根小棒,然后把10根小棒捆成1捆,再与原来的2捆加在一起。最后教师又在黑板上画图演示。使学生进一步理解进位加法的口算方法,掌握口算步骤。 二、优化插图的使用,提高教学效率 课本的插图能帮助学生理解教材内容,但是课本的插图是静止的,只能反映事物的结果,不能反映事物发展变化的过程。为了使插图真正祈祷直观形象地帮助学生理解抽象的数学知识的作用,可以分步插图,使画面由静变动,展示事物发展变化的过程,有效地帮助学生不但知道“结论”,还能知道获得“结论”的过程,从而真正地理解概念,掌握法则。如教学:同学们浇树,每人浇4棵,3个人共浇多少棵?此题书上配有插图,这幅图有三种出图的方法。

最优化方法及其应用 - 更多gbj149 相关pdf电子书下载

最优化方法及其应用 作者:郭科 出版社:高等教育出版社 类别:不限 出版日期:20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4

组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载

机器学习中常见的几种优化方法

机器学习中常见的几种优化方法 阅读目录 1. 梯度下降法(Gradient Descent) 2. 牛顿法和拟牛顿法(Newton's method & Quasi-Newton Methods) 3. 共轭梯度法(Conjugate Gradient) 4. 启发式优化方法 5. 解决约束优化问题——拉格朗日乘数法 我们每个人都会在我们的生活或者工作中遇到各种各样的最优化问题,比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在一定成本下,如何使利润最大化”等。最优化方法是一种数学方法,它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量),以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。随着学习的深入,博主越来越发现最优化方法的重要性,学习和工作中遇到的大多问题都可以建模成一种最优化模型进行求解,比如我们现在学习的机器学习算法,大部分的机器学习算法的本质都是建立优化模型,通过最优化方法对目标函数(或损失函数)进行优化,从而训练出最好的模型。常见的最优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法、共轭梯

度法等等。 回到顶部 1. 梯度下降法(Gradient Descent) 梯度下降法是最早最简单,也是最为常用的最优化方法。梯度下降法实现简单,当目标函数是凸函数时,梯度下降法的解是全局解。一般情况下,其解不保证是全局最优解,梯度下降法的速度也未必是最快的。梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向,因为该方向为当前位置的最快下降方向,所以也被称为是”最速下降法“。最速下 降法越接近目标值,步长越小,前进越慢。梯度下降法的搜索迭代示意图如下图所示: 牛顿法的缺点: (1)靠近极小值时收敛速度减慢,如下图所示; (2)直线搜索时可能会产生一些问题; (3)可能会“之字形”地下降。 从上图可以看出,梯度下降法在接近最优解的区域收敛速度明显变慢,利用梯度下降法求解需要很多次的迭代。 在机器学习中,基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法,分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。

最优化方法及应用

陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授,曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是:最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10-11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”(每周两次,每次两节课),对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生,以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程,修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间:每周二及周四下午2:00开始,在闵行新校区第三教学楼326教室。(自10月11日至11月8日) 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注:这是一门约二十学时左右的短期课程,旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法,及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系

最优化DFP算法报告

最优化DFP算法姓名:施政学号:1010010125 班级:1 班专业:通信与信息系统 目录 1 算法流程图 (1) 1.1DFP算法的流程图 (1) 1.2 黄金分割法流程图 (1) 1.3 回退法计算初始区间的算法 (2) 2 测试函数 (3) 2.1 二维、二次函数 (3) 2.2 二维、高次函数 (3) 2.3 高维、二次函数 (4) 2.4 高维、高次函数 (4) 3 运行结果及分析 (5) 4 Matlab源程序 (6) 4.1 主函数 (6) 4.2 DFP算法函数 (8) 4.3 黄金分割法函数 (9) 4.4 回退法求解初始区间 (10) 4.5 计算测试函数的值 (11) 4.6 计算测试函数的梯度 (12) 5 参考文献 (12)

1 算法流程图 对于DFP算法主要涉及到3个主要的算法,分别是:利用回退法计算初始区间、利用黄金分割法进行一维搜索、然后利用DFP算法计算最小点对应的自变量的值。 下面分别画出了这三个算法流程图。 1.1DFP算法的流程图 设定控制误差为ε;输入的初始点坐标是0x;0E是与0x同维的单位阵。 图 1 1.2 黄金分割法流程图 给定精确度ε>0;当区间长度小于等于ε时,即停止运行,同时取x=(a+b)/2作为最小点坐标。 在给定初始区间[a,b]内,求最小点时对应的α值,要保证α是大于等于零的,否则函数值就不是朝下降方向递降的了。在本算法中保证初始区间的端点是大于等于零的,就可以满足这一条件了。 算法如下图所示:

图 2 1.3 回退法计算初始区间的算法 针对这个算法,参考文献[1]上面利用的回退法不能保证a ,b 两个端点的值大于零,因为利用黄金分割法求α时,α肯定是大于等于零的,所以可以对书上的算法适当的改进。初始的点是0x ;步长是x Δ;算法如下: 图 3 注意:上面的算法是针对一维的情况,所以在计算0x ;1x ;2x 时,应该注意使

常用最优化方法评价准则

常用无约束最优化方法评价准则 方法算法特点适用条件 最速下降法属于间接法之一。方法简便,但要计算一阶偏导 数,可靠性较好,能稳定地使函数下降,但收敛 速度较慢,尤其在极点值附近更为严重 适用于精度要求不高或用于对 复杂函数寻找一个好的初始 点。 Newton法属于间接法之一。需计算一、二阶偏导数和Hesse 矩阵的逆矩阵,准备工作量大,算法复杂,占用 内存量大。此法具有二次收敛性,在一定条件下 其收敛速度快,要求迭代点的Hesse矩阵必须非 奇异且定型(正定或负定)。对初始点要求较高, 可靠性较差。 目标函数存在一阶\二阶偏导 数,且维数不宜太高。 共轭方向法属于间接法之一。具有可靠性好,占用内存少, 收敛速度快的特点。 适用于维数较高的目标函数。 变尺度法属于间接法之一。具有二次收敛性,收敛速度快。 可靠性较好,只需计算一阶偏导数。对初始点要 求不高,优于Newton法。因此,目前认为此法是 最有效的方法之一,但需内存量大。对维数太高 的问题不太适宜。 适用维数较高的目标函数 (n=10~50)且具有一阶偏导 数。 坐标轮换法最简单的直接法之一。只需计算函数值,无需求 导,使用时准备工作量少。占用内存少。但计算 效率低,可靠性差。 用于维数较低(n<5)或目标函 数不易求导的情况。 单纯形法此法简单,直观,属直接法之一。上机计算过程 中占用内存少,规则单纯形法终止条件简单,而 不规则单纯形法终止条件复杂,应注意选择,才 可能保证计算的可靠性。 可用于维数较高的目标函数。

常用约束最优化方法评价标准 方法算法特点适用条件 外点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。 初始点可以任选,罚因子应取为单调递增数列。 初始罚因子及递增系数应取适当较大值。 可用于求解含有等式约束或不等 式约束的中等维数的约束最优化 问题。 内点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。 初始点应取为严格满足各个不等式约束的内点, 障碍因子应取为单调递减的正数序列。初始障碍 因子选择恰当与否对收敛速度和求解成败有较大 影响。 可用于求解只含有不等式约束的 中等维数约束优化问题。 混合罚函数法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题, 用内点形式的混合罚函数时,初始点及障碍因子 的取法同上;用外点形式的混合罚函数时,初始 点可任选,罚因子取法同外点法相同。 可用于求解既有等式约束又有不 等式约束的中等维数的约束化问 题。 约束坐标轮换法由可行点出发,分别沿各坐标轴方向以加步探索 法进行搜索,使每个搜索点在可行域内,且使目 标函数值下降。 可用于求解只含有不等式约束, 且维数较低(n<5),目标函数的 二次性较强的优化问题。 复合形法在可行域内构造一个具有n个顶点的复合形,然 后对复合形进行映射变化,逐次去掉目标函数值 最大的顶点。 可用于求解含不等式约束和边界 约束的低维优化问题。

最优化方法的Matlab实现(公式(完整版))

第九章最优化方法的MatIab实现 在生活和工作中,人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案,并通过各方面的论证从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。由于优化问题无所不在,目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域,如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等,并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术,它包含两个方面的内容: 1)建立数学模型即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2)数学求解数学模型建好以后,选择合理的最优化方法进行求解。 最优化方法的发展很快,现在已经包含有多个分支,如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 9.1 概述 利用Matlab的优化工具箱,可以求解线性规划、非线性规划和多目标规划问题。 具体而言,包括线性、非线性最小化,最大最小化,二次规划,半无限问题,线性、非线性方程(组)的求解,线性、非线性的最小二乘问题。另外,该工具箱还提供了线性、非线性最小化,方程求解,曲线拟合,二次规划等问题中大型课题的求解方法,为优化方法在工程中的实际应用提供了更方便快捷的途径。 9.1.1优化工具箱中的函数 优化工具箱中的函数包括下面几类: 1 ?最小化函数

2.方程求解函数 3.最小—乘(曲线拟合)函数

4?实用函数 5 ?大型方法的演示函数 6.中型方法的演示函数 9.1.3参数设置 利用OPtimSet函数,可以创建和编辑参数结构;利用OPtimget函数,可以获得o PtiOns优化参数。 ? OPtimget 函数 功能:获得OPtiOns优化参数。 语法:

最优化方法(黄金分割与进退法)实验报告

一维搜索方法的MATLAB 实现 姓名: 班级:信息与计算科学 学号: 实验时间: 2014/6/21 一、实验目的: 通过上机利用Matlab 数学软件进行一维搜索,并学会对具体问题进行分析。并且熟悉Matlab 软件的实用方法,并且做到学习与使用并存,增加学习的实际动手性,不再让学习局限于书本和纸上,而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。 二、实验背景: 黄金分割法 它是一种基于区间收缩的极小点搜索算法,当用进退法确定搜索区间后,我们只知道极小点包含于搜索区间内,但是具体哪个点,无法得知。 1、算法原理 黄金分割法的思想很直接,既然极小点包含于搜索区间内,那么可以不断 的缩小搜索区间,就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。 2、算法步骤 用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下: (1)选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>,计算试探点: 11110.382*()a b a λ=+- 11110.618*()a b a μ=+-。 (2)若k k b a ε-<,则停止计算。否则当()()k k f f λμ>时转步骤(3)。 当 ()()k k f f λμ≤转步骤(4)。 (3) 11111110.382*()k k k k k k k k k k a b b a b a λλμμ+++++++=??=?? =??=+-?转步骤(5)

(4) 转步骤(5) (5)令1k k =+,转步骤(2)。 算法的MATLAB 实现 function xmin=golden(f,a,b,e) k=0; x1=a+0.382*(b-a); x2=a+0.618*(b-a); while b-a>e f1=subs(f,x1); f2=subs(f,x2); if f1>f2 a=x1; x1=x2; f1=f2; x2=a+0.618*(b-a); else b=x2; x2=x1; f2=f1; x1=a+0.382*(b-a); end k=k+1; end xmin=(a+b)/2; fmin=subs(f,xmin)

常用无约束最优化方法(一)

项目三 常用无约束最优化方法(一) [实验目的] 编写最速下降法、Newton 法(修正Newton 法)的程序。 [实验学时] 2学时 [实验准备] 1.掌握最速下降法的思想及迭代步骤。 2.掌握Newton 法的思想及迭代步骤; 3.掌握修正Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题:【选作一个】 1.用最速下降法求 22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==,,,. 2.用Newton 法求 22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-, 初始点 0[00]0.01T X ε==,,. 最速下降法 Matlab 程序: clc;clear; syms x1 x2; X=[x1,x2]; fx=X(1)^2+X(2)^2-4*X(1)-6*X(2)+17; fxd1=[diff(fx,x1) diff(fx,x2)]; x=[2 3]; g=0; e=0.0005; a=1; fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); step=0; while g>e step=step+1; dk=-fan; %点x(k)处的搜索步长

ak=((2*x(1)-4)*dk(1)+(2*x(2)-6)*dk(2))/(dk(1)*dk(2)-2*dk(1)^2-2*dk(2)^2); xu=x+ak*dk; x=xu; %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf(' x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); %计算目标函数点x(k+1)处一阶导数值 fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); end %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf('\n最速下降法\n结果:\n x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); c++程序 #include #include #include #include float goldena(float x[2],float p[2]) {float a; a=-1*(x[0]*p[0]+4*x[1]*p[1])/(p[0]*p[0]+4*p[1]*p[1]); return a; } void main() {float a=0,x[2],p[2],g[2]={0,0},e=0.001,t; int i=0; x[0]=1.0; x[1]=1.0;

《最优化方法与应用》实验指导书

《最优化方法与应用》 实验指导书 信息与计算科学系编制

1 实验目的 基于单纯形法求解线性规划问题,编写算法步骤,绘制算法流程图,编写单纯形法程序,并针对实例完成计算求解。 2实验要求 程序设计语言:C++ 输入:线性规划模型(包括线性规划模型的价值系数、系数矩阵、右侧常数等) 输出:线性规划问题的最优解及目标函数值 备注:可将线性规划模型先转化成标准形式,也可以在程序中将线性规划模型从一般形式转化成标准形式。 3实验数据 123()-5-4-6=Min f x x x x 121231212320 324423230,,03-+≤??++≤??+≤??≥? x x x x x x st x x x x x

1 实验目的 基于线性搜索的对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法等的原理及方法,编写算法步骤和算法流程图,编写程序求解一维最优化问题,并针对实例具体计算。 2实验要求 程序设计语言:C++ 输入:线性搜索模型(目标函数系数,搜索区间,误差限等) 输出:最优解及对应目标函数值 备注:可从对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法中选择2种具体的算法进行算法编程。 3实验数据 2211 ()+-6(0.3)0.01(0.9)0.04 = -+-+Min f x x x 区间[0.3,1],ε=10-4

实验三 无约束最优化方法 1实验目的 了解最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等的基本原理及方法,掌握其迭代步骤和算法流程图,运用Matlab 软件求解无约束非线性多元函数的最小值问题。 2实验要求 程序设计语言:Matlab 针对实验数据,对比最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等算法,比较不同算法的计算速度和收敛特性。 3实验数据 Rosenbrock's function 222211()(100)+(1-)=-Min f x x x x 初始点x=[-1.9, 2],,ε=10-4

最优化方法,汇总

最优化方法结课作业 年级数学121班 学号201200144209 姓名李强

1、几种方法比较 无约束优化:不对定义域或值域做任何限制的情况下,求解目标函数的最小值。这是因为实际应用中,许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数,对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点,因此只要能求得这类函数的一个最小值点,该点一定为全局最小值。(直接法:又称数值方法,它只需计算目标函数驻点的函数数值,而不是求其倒数,如坐标轮换法,单纯型法等。间接法:又称解析法,是应用数学极值理论的解析方法。首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数,然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息,构造何种算法,从而间接地求出目标函数的最优解,如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。)在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。 一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。 一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。 在多变量函数的最优化中,迭代格式Xk+1=Xk+akdk其关键就是构造搜索方向dk和步长因子ak 设Φ(a)=f(xk+adk) 这样从凡出发,沿搜索方向dk,确定步长因子ak,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a 的一维搜索问题。其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间,然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间,进行搜索求解。 一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。如果求得ak使目标函数沿方向dk达到极小,即使得f (xk+akdk)=min f (xk+ adk) ( a>0)则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,ak叫最优步长因子;如果选取ak使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (xk)一f (xk+akdk)>0是用户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维搜索。由于在实际计算中,一般做不到精确的一维搜索,实际上也没有必要做到这一点,因为精确的一维搜索需要付出较高的代价,而对加速收敛作用不大,因此花费计算量

最优化方法及其Matlab程序设计

最优化方法及其Matlab程序设计 1.最优化方法概述 在生活和工作中,人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案,并通过各方面的论证,从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。最优化是每个人,每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说,是考虑如何用最少的材料,最大的性能价格比,设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说,则是如何合理、充分使用现有的设备,减少库存,降低能耗,降低成本,以实现企业的最大利润。 由于优化问题无所不在,目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域,如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等,并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术,它包含两个方面的内容: 1)建立数学模型。 即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2)数学求解。 数学模型建好以后,选择合理的最优化算法进行求解。 最优化方法的发展很快,现在已经包含有多个分支,如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 2.最优化方法(算法)浅析 最优化方法求解很大程度上依赖于最优化算法的选择。这里,对最优化算法做一个简单的分类,并对一些比较常用的典型算法进行解析,旨在加深对一些最优化算法的理解。 最优化算法的分类方法很多,根据不同的分类依据可以得到不同的结果,这里根据优化算法对计算机技术的依赖程度,可以将最优化算法进行一个系统分类:线性规划与整数规划;非线性规划;智能优化方法;变分法与动态规划。 2.1 线性规划与整数规划 线性规划在工业、农业、商业、交通运输、军事和科研的各个研究领域有广泛应用。例如,在资源有限的情况下,如何合理使用人力、物力和资金等资源,以获取最大效益;如何组织生产、合理安排工艺流程或调制产品成分等,使所消耗的资源(人力、设备台时、资金、原始材料等)为最少等。 线性规划方法有单纯形方法、大M法、两阶段法等。 整数规划有割平面法、分枝定界法等。 2.2 非线性规划 20世纪中期,随着计算机技术的发展,出现了许多有效的算法——如一些非线性规划算法。非线性规划广泛用于机械设计、工程管理、经济生产、科学研究和军事等方面。

最优化方法课程实验报告

项目一 一维搜索算法(一) [实验目的] 编写加步探索法、对分法、Newton 法的程序。 [实验准备] 1.掌握一维收搜索中搜索区间的加步探索法的思想及迭代步骤; 2.掌握对分法的思想及迭代步骤; 3.掌握Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验容及步骤] 编程解决以下问题: 1.用加步探索法确定一维最优化问题 1 2)(min 30 +-=≥t t t t ? 的搜索区间,要求选取2,1,000===αh t . 加步探索法算法的计算步骤: (1)选取初始点 ]) 0[)(0[max 00t t t ,或,∈?∞+∈,计算 )(00t ??=.给出初始步长0 >h , 加步系数1α>,令0=k 。 (2) 比较目标函数值.令k k k h t t +=+1,计算 )(11++=k k t ??,若k k ??<+1,转(3),否则转(4)。 (3) 加大探索步长.令 k k h h α=+1,同时,令,k t t =,1+=k k t t 1k k =+,转(2)。 (4) 反向探索.若0=k ,转换探索方向,令,k k h h -=1+=k t t ,转(2)。否则,停止迭代,令 11min{}max{}k k a t t b t t ++==,,,。 加步探索法算法的计算框图

程序清单 加步探索法算法程序见附录1 实验结果 运行结果为: 2.用对分法求解 )2()(min +=t t t ?, 已知初始单谷区间]5,3[],[-=b a ,要求按精度3.0=ε,001.0=ε分别计算. 对分法迭代的计算步骤: (1)确定初始搜索区间],[b a ,要求'()0'()0a b ??<>,。 (2) 计算],[b a 的中点)(2 1 b a c +=. (3) 若0)(<'c ?,则c a = ,转(4);若0)(='c ?,则c t =* ,转(5);若0)(>'c ?,则c b = ,转(4). (4) 若ε<-||b a ,则)(2 1* b a t +=,转(5);否则转(2). (5) 打印* t ,结束 对分法的计算框图

第九章 最优化方法

第九章 最优化方法 本章主要介绍线性规划、0-1规划、非线性规划等问题的MATLAB 求解。 9.1 线性规划(Linear Programming ,简写为LP )问题 线性规划问题就是求多变量线性函数在线性约束条件下的最优值。满足约束条件的解称为可行解,所有可行解构成的集合称为可行域,满足目标式的可行解称为最优解。 MATLAB 解决的线性规划问题的标准形式为: min z f x ¢ =? .. A x b s t Aeq x beq lb x ub ì祝??? ?í??#??? 其中,,,,,f x b beq lb ub 为列向量,,A Aeq 为矩阵。 其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。 在MATLAB 中求解线性规划问题函数为linprog ,其使用格式为: [x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub) 输入部分:其中各符号对应线性规划问题标准形式中的向量和矩阵,如果约束条件中有缺少,则其相应位置用空矩阵[]代替。 输出部分:其中x 为最优解,用列向量表示;fval 为最优值;exitflag 为退出标志,若exitflag=1表示函数有最优解,若exitflag=0表示超过设定的迭代最大次数,若exitflag=-2,表示约束区域不可行,若exitflag=-3,表示问题无解,若exitflag=-4,表示执行迭代算法时遇到NaN ,若exitflag=-5,表示原问题和对偶问题均不可行,若exitflag=-7,表示搜索方向太小,不能继续前进;output 表明算法和迭代情况;lambda 表示存储情况。 例1 用linprog 函数求下面的线性规划问题

最优化方法及其应用课后答案

1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为: 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出: s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 (1) 无约束最优点,并求出最优值。 (2) 约束最优点,并求出其最优值。 (3) 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ,其约束最优解是什么? * 解 :(1)在无约束条件下, f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上,不难看出,当 x =(3,4) 时, f (x ) 取最小值,即,最优点为 x * =(3,4):且最优值为: f (x * ) =0 (2)在约束条件下, f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示,此时,求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ,使其落在半径最小的同心圆上,显然,从图示中可 以看出,当 x * = 15 , 5 ) 时, f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中:点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点,令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到: ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) :最优值为: f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 (3).若增加一个等式约束,则由图可知,可行域为空集,即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ,怎样设计可使油箱的容量最大?试列出这个优 化问题的数学模型,并回答这属于几维的优化问题. 解:列出这个优化问题的数学模型为: max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S

最优化方法课程实验报告

. . 项目一 一维搜索算法(一) [实验目的] 编写加步探索法、对分法、Newton 法的程序。 [实验准备] 1.掌握一维收搜索中搜索区间的加步探索法的思想及迭代步骤; 2.掌握对分法的思想及迭代步骤; 3.掌握Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验容及步骤] 编程解决以下问题: 1.用加步探索法确定一维最优化问题 1 2)(min 30 +-=≥t t t t ? 的搜索区间,要求选取2,1,000===αh t . 加步探索法算法的计算步骤: (1)选取初始点])0[)(0[max 00t t t ,或,∈?∞+∈,计算)(00 t ??=.给出初始步长0 >h , 加步系数1α>,令0=k 。 (2) 比较目标函数值.令k k k h t t +=+1,计算 )(11++=k k t ??,若k k ??<+1,转(3),否则转(4)。 (3) 加大探索步长.令k k h h α=+1,同时,令,k t t =,1+=k k t t 1k k =+,转(2)。 (4) 反向探索.若0=k ,转换探索方向,令,k k h h -=1+=k t t ,转(2)。否则,停止迭代, 令 11min{}max{}k k a t t b t t ++==,,,。 加步探索法算法的计算框图

. . 程序清单 加步探索法算法程序见附录1 实验结果 运行结果为: 2.用对分法求解 )2()(min +=t t t ?, 已知初始单谷区间]5,3[],[-=b a ,要求按精度3.0=ε,001.0=ε分别计算. 对分法迭代的计算步骤: (1)确定初始搜索区间],[b a ,要求'()0'()0a b ??<>,。 (2) 计算],[b a 的中点)(2 1 b a c += . (3) 若0)(<'c ?,则c a = ,转(4);若0)(='c ?,则c t =* ,转(5);若0)(>'c ?,则c b = ,转(4). (4) 若ε<-||b a ,则)(2 1* b a t +=,转(5);否则转(2).

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