比较二次根式大小的巧妙方法

比较二次根式大小的巧妙方法

二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。

一、移动因式法

此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。

例1：比较的大小。

解：

＞

例2：比较与的大小。

解：∵，

??，＞

∴＜

例3：比较与的大小。

解：

∴＞

四、分子有理化法

此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。

例4：比较与的大小

解：∵

＞

∴＞

五、求差或求商法

为任意两个实数，先求出

＜0＜；当时，；当时，＞”来比较与的大小。

求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号：当＞1时，＞；时，；时，。②异号：正数大于负数”来比较与例5：比较

＜

∴＜

例6：比较的大小。

解：∵＞1

∴＞

六、求倒数法

先求两数的倒数，而后再进行比较。

例7：比较的大小。

解：∵

＞

∴＜

七、运用媒介法

此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。

例8：已知，，试比较的大小。解：设，

则

∵＜＜，即

例9与

解：设

，＝

∵，∴＞

例10：比较的大小。

解：设，

∵，＜＜

????，＜

???∴＜，即＜

例11：比较与的大小。

解：∵＞

∴＞

十、“结论”推理法

通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞（＞＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。

例12：比较1与的大小。

解：∵，

??由＞（＞＞0）可知：

＞

即

又∵＞

∴，即

附：“＞（＞＞

证明：∵，，

???????＞

∴＞（＞

1、比较与的大小；

2、比较与的大小；

3、比较与的大小；

4、比较与的大小；

5、比较与的大小；

6、比较与的大小（其中为正整数）；

7、设，，试比较它们的大小；

8、比较与的大小；

9、比较与的大小；

10、比较与的大小；

11、比较与的大小；

12

13、比较与

14、比较

15、若为正整数，试比较

16、比较的大小；

17、比较与

1、提示：，，∴＜

2

，，

∴＞

3、提示：可利用＞（

?＞，即＞

4

?，，＜，

∴＜

5、提示：分子有理化后再进行比较。

∵＞，∴＜，

即＜

6、提示：∵，

其中为正整数，∴＞

故＜

7

则：

∵∴，∴＜

8

，又∵＞，∴＞

∴＜，∴＜

9＜＜＜，∴＜＜，∴＜

10

因为，，而

所以＜，故＜

11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。

∵，

＞，∴＜

12、提示：∵，而。同样可得

，∴＜

13、提示：∵＞

∴＞

14、提示：平方后再比较大小。

∵，，

∴＜

15、提示：由偶次根式的定义得，∴＜2009，∴＜0，

∴＞0，＜0，∴＞

16、提示：由，设＞，则＞4，两边平方得：

＞16，∴＞4，这与＜＝4相矛盾，

∴假设不成立，故＜。

17、提示：可在方格纸或坐标纸上作折线图。，示例如下图：

。由图可知：＞

初中数学比较二次根式的大小专题辅导

初中数学比较二次根式的大小 1. 比较被开方数 例1. 比较321.与315的大小。 解：因为31532=.，且32132..> 所以321315.> 例2. 比较32与17的大小。 解：因为3232182=?= 18＞17 所以3217> 2. 平方后比较 例3. 比较11与53+的大小。 解：因为()11112= ()5382152+=+ 因为21560497=>= 所以82158715+>+= 所以()()115322<+ 故1153<+ 3. 取近似值后比较 例4. 比较43与35的大小。 解：因为43417326928≈?=.. 35322366708≈?=.. 因为69286708..>，所以4335> 4. 放缩后比较 例5. 62+与572-的大小。 解：因为2637578<<<<， 所以625572+<<- 所以62572+<- 5. 分子有理化后比较 例6. 比较1513-与1311-的大小。

解：因为1513 2 1513 -= + 1311 2 1311 -= + 而15131311 +>+ 所以 2 1513 2 1311 + < + 所以15131311 -<- 6. 数形结合比较 例7. 比较51013 ++与62的大小。 解：构造边长为6的正方形（如图），则 AB BC CD AD ==== 5131062 ，，， 根据两点之间线段最短，得：AB BC CD AD ++> 即5101362 ++> 当然，在二次根式的比较中，还有其它方法，例如作差法，求商法等等。这就需要我们解题时不要死套一种方法，要根据题目的特点，灵活选择适当的方法。

比较二次根式大小的8种方法

比较二次根式大小的8种方法 比较大小是学习数学过程中经常会遇到的，通常用到的方法就是作差法，但是有时要对两个数进行大小的比较，仅仅用作差法是不行的，那怎么办呢？ 别担心，本节整理的8种比较大小的方法，如果你能全掌握，那就可以对比较大小的题目“通吃”了，这8种方法不仅适用于二次根式大小的比较，对于其他数的大小比较也适用。 当然，本节是结合二次根式比较大小的题型来讲述这8种方法，既学会了二次根式大小的比较，又掌握了8种比较大小的方法，可谓收获良多。 接下来就让带大家一起来学习比较二次根式大小的8种方法： 平方法、作商法、分子有理化、分母有理化、作差法、倒数法、特殊值法、定义法 方法一：平方法 ……根号内的数相加为同一个数时。 平方法是对要比较大小的两个数先平方，根据平方后数据的大小来确定原数的大小。

方法二：作商法 ……向1靠拢，化同类项。 作商法是把要比较大小的两个数相除，根据除得的商来判断原来数值的大小，除得的商分大于1，等于1，或小于1。 方法三：分子有理化法 ……根号内的数差为同一个数时，将分子化1，比分母。 分子有理化法是专门针对二次根式比较大小来说的，通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值的大小。

方法四：分母有理化法

……根号内的数相似，化同为目标。 分母有理化是通过对二次根式乘以有理化因式后，将原来的二次根式化简成最简二次根式再比较大小。 方法五：作差法（最常用） 作差法就是将比较大小的两个数相减，根据所得的差来看两数的大小，也是平时比较大小最常用的方法。 方法六：倒数法 倒数法就是先求出原数倒数的大小，再根据倒数的大小来确定原来数值的大小。

二次根式知识点总结大全

二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；

1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+31 5；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a

(完整版)二次根式的估值与比较大小

二次根式的估值与比较大小（北师版） 1.(本小题10分)的值( ) A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间 2.(本小题10分)估算的值( ) A. 在4和5之间 B. 在5和6之间 C. 在6和7之间 D. 在7和8之间 3.(本小题10分)若与的小数部分分别是a和b,则a+b=( ) A. 1 B. C. 0 D. 11 4.(本小题10分)现有四个无理数,,,,其中在实数+1和+1之间的有( ) ? A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ? 5.(本小题10分)下面四个结论正确的是( ) A. > B. < C. < D. < 6.(本小题10分),,的大小关系是( ) A. << B. << C. << D. << 7.(本小题10分)如图，在数轴上表示数的点可能是点____． 8.(本小题10分)若的整数部分是x，小数部分是y，则的值是____． 9.(本小题10分)已知与的小数部分分别是a和b，则的值为____． 10.(本小题10分)设，的小数部分分别为a，b，则的值为____．

二次根式性质应用（北师版） 1.(本小题8分)若实数a,b满足,则=( ) ? A. 16 B. -16 C. D. 2.(本小题8分)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式,则△ABC的形状为( ) ? A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 3.(本小题8分)若,则x-y的值为( ) ? A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 4.(本小题8分)当m<3时,( ) A. m-3 B. 3-m C. 0 D. 1 5.(本小题8分)若,则x的取值范围是( ) A. x>2 B. x≥2 C. x<2 D. x≤2 6.(本小题8分)当x≤0时,化简的结果是( ) ? A. 1-2x B. -1 C. 2x-1 D. 1 7.(本小题8分)若b<0,化简的结果是( ) ? A. B. C. D. 8.(本小题8分)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,化简的结果为( ) ? A. 2a-2b B. -2b C. 2c D. 0 9.(本小题9分)实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简的结果为( ) A. 2a B. -2a C. 2b D. -2b 10. 数轴上A,B两点对应的实数分别是和2,若点A关于点B的对称点为点C,则点C所对应的实数为( ) ? A. B. C. D. 11.(本小题9分)比较2,,的大小,正确的是( ) ? A. B. C. D. 12.(本小题9分)下列比较大小错误的是( ) ? A. B. C. D.

二次根式大小的比较方法

二次根式大小的比较方法 二次根式大小的比较，有些同学感到很困难，不知道如何进行，下面，就给大家介绍几种常用的方法。 一、求差法 基本思路：设a 、b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据“当a －b ＜0时，a ＜b ；当a －b=0时，a=b ；当a －b ＞0时，a ＞b ”来比较a 与b 的大小。 例1、比较7－2和5－3的大小 解：（7－2）－（5－3） =（7－5）+（3－2） 7－5＞0，3－2＞0， ∴（7－5）+（3－2）＞0 即：7－2＞5－3 二、求商法 基本思路：设a 、b 为任意两个实数，先求出a 与b 的商，再根据“当b a ＜1时，a ＜b ；当时，当b a =1时，a=b ；当b a ＞1时，a ＞ b ”来比较a 与b 的大小。 例2、比较π与 π3的大小 解： π÷π3=π× 3π=3π＞1 ∴ π＞π3 三、倒数法 基本思路：设a 、b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据“当a 1＜b 1时，a ＞b ；当a 1=b 1时，a=b ；当a 1＞b 1时，a ＜b ”来比较a 与b 的大小。 例3、比较14－13与13－12的大小 解： 13141 -=14+13，12131 -=13+12

∴ 13141 -＞12131 - ∴14－13＜13－12 四、平方法 基本思路：先将两个要比较的数分别平方，再根据“a ＞0,b ＞0时，可由a 2＞b 2得到a ＞b ”来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。 例4、比较2+6与3+22的大小 解： 2+6＞0，3+22＞0 ∴（2+6）2=10+46，（3+22）2=11+46 ∴10+46＜11+46 ∴2+6＜3+22 五、移动因式法 基本思路：当a ＞0,b ＞0时，若要比较形如a a 与b b 的两数大小，可先把根号外的正因数a 与b 的平方后移入根号内，再根据被开放数的大小进行比较。 例5、比较﹣33与﹣27的大小 解：﹣33=﹣27，﹣27=﹣28 ﹣27＞﹣28 ∴﹣33＞﹣27

二次根式的化简与计算的策略与方法

二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（， ） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 1．公式法 【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．2．观察特征法 【例2】计算： 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下： 【解】原式．

【例3】把下列各式的分母有理化． （1）；（2）（） 【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 【解】②原式 3．运用配方法 【例4】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法 【例5】化简 【解】∵

八年级数学二次根式大小比较练习题.doc

二次根式大小比较“八法” （一）运用根式的定义 例 1．比较 2 a与3 a 3 的大小 解：由题意知： 2 a 0 ， a 2 ， a 3 ＜0，3 a 3 ＜0而 2 a ≥0 2 a ＞ 3 a 3 （二）化为同次根式 例 2．比较 5 和 3 11 大小 解： 5 = 6 125 ，3 11 = 6 121 ，∵6125＜6 121 ，∴ 5 ＜3 11 （三）求差法 常用性质：若 a b ＞0，则a＞ b 例 3．比较7 3 11 2 11 7 5 ， 7 2 11 3 ( 7 2)( 11 3) 而 11 7 5＜0，（ 7 2 ( 11 3)＞0，∴7 3＜112 7 2 11 3 （四）求商法 常用性质：若 a＞0，b＞0, a ＞1，则 a＞b b 例4．比较12 13 和13 14 的大小 解：12 13 (12 13)( 13 14) 13 14 ＞1，∵13 14 ＜ 13 14 (13 14)( 12 13) 12 13 0 ∴1213＜1314 （五）倒数法

常用性质：若a＞0，b＞0，1 ＞ 1 a b ，则 b＞a 例5．比较 5 2 和7 6 的大小 解： 5 2倒数为 1 = 5 2 ， 7 6 倒数 1 = 7 6 5 2 7 6 ∵52＜7 6 ∴ 5 2 ＞ 7 6 （六）平方法 常用性质：若 a＞0，b＞0 且 a2＞b2，则 a＞ b 例6．比较 6 14 与7 13 解：（ 6 14)2 20 2 84，（ 7 13) 2 20 2 91 而 20+2 84 ＜20+2 91 ，∴ 6 14 ＜7 13 （七）放缩法 常用性质：若 a＞c,c ＜b，则 a＜b 例 7．比较 6 2 与57 2 的大小 解：∵ 2＜ 6 ＜3，7＜57 ＜8，∴ 6 2＜5＜57 -2 （八）将根式外的因式移到根式 常用性质：若 a＞b≥0，则a＞ b 例 8．比较 3 2 和2 3 的大小 解：∵3 2 = 32 2 = 18，2 3 = 22 3=12 又∵ 18＞12，3 2 ＞2 3

八年级数学二次根式大小比较练习题

0 二次根式大小比较“八法” (一) 运用根式的定义 例1比较,2 a 与3 a 3的大小 解：由题意知：2 a 0, a 2 , a 3 V 0, 3 a 3 V 0 而2 a > 0 ,2 a > 3 a 3 (二) 化为同次根式 例2 .比较.5和 3 11大小 解： 5= 6 125 , 3 11 = 6 121 , 丁 6 125 V 6 121 ,二.5 V 3 11 (三) 求差法 常用性质：若a b >0,则a > b 11 .7 5 G-7 2)0.11 3)' 2 ( 11 3) > 0, 7 3 V 11 2 J7 2 v11 3 (四) 求商法 常用性质：若a >0, b >0, a > 1,贝S a >b b 例4. 比较12 .13和<13 ,14的大小 解：屁用 (12 13)血尿) ? <13 尿 (13 14)血 v'13) /. .12 ■. 13 V .13 ,14 例3 .比较7 3 11 2 寸7 2 v'11 3 而 J1 .、7 ?、5 V 0, 13 14 > 1, V 13 .14 V 12 13

（五）倒数法 常用性质：若a>0, b>0, 1> -，则b>a a b 例5.比较，5 2和...T,6的大小 解：.、5 2 倒数为一1一二、.5 2 , .. 7 ,6 倒数—_1一=、7 ,6 ￡5 2 v'7 46?/ ,5 2 V ,7 ,6 二、.5 2 > ?.、7 ,6 （六）平方法 常用性质：若a>0, b>0且a2>b2,贝S a> b 例6. 比较.6 .14与?,7 .13 解：（、.6 14）2 20 2. 84 , （ , 7 . 13）2 20 2 .91 而20+2、84 V 20+2、91，二.6 . 14 V、7 .. 13 （七）放缩法 常用性质：若a>c,c V b,则a v b 例7.比较.6 2与57 2的大小 解: V 2v .6 V 3, 7V , 57 V 8,二 6 2 V 5V .. 57 -2 （八）将根式外的因式移到根式 常用性质：若a>b>0,则、a > ,b 例&比较3\2和2、. 3的大小 解: V 3 2= 322 = 18 , 3 = 223 =12 又V 18> 12, 3 2 >2 3

二次根式大小的比较方法ZGPZGP

二次根式大小的比较方法 二次根式大小的比较，有些同学感到很困难，不知道如何进行，下面，就给大家介绍几种常用的方法. 一、求差法 基本思路：设a 、b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据“当a －b ＜0时，a ＜b ；当a －b=0时，a=b ；当a －b ＞0时，a ＞b ”来比较a 与b 的大小. 例1、比较7－2和5－3的大小 解：（7－2）－（5－3） =（7－5）+（3－2） 7－5＞0，3－2＞0， ∴（7－5）+（3－2）＞0 即：7－2＞5－3 二、求商法 基本思路：设a 、b 为任意两个实数，先求出a 与b 的商，再根据“当 b a ＜1时，a ＜b ；当时，当b a =1时，a=b ；当b a ＞1时，a ＞ b ”来比较a 与b 的大小. 例2、比较π与 π3的大小 解： π÷π3=π× 3π=3π＞1 ∴ π＞ π3 三、倒数法 基本思路：设a 、b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据“当a 1＜b 1时，a ＞b ；当a 1=b 1时，a=b ；当a 1＞b 1时，a ＜b ”来比较a 与b 的大小. 例3、比较14－13与13－12的大小 解： 13141 -=14+13，12131 -=13+12

∴ 13141 -＞12131 - ∴14－13＜13－12 四、平方法 基本思路：先将两个要比较的数分别平方，再根据“a ＞0,b ＞0时，可由a 2＞b 2得到a ＞b ”来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小. 例4、比较2+6与3+22的大小 解： 2+6＞0，3+22＞0 ∴（2+6）2=1 6，（3+22）2=11+46 ∴10+46＜11+46 ∴2+6＜3+22 五、移动因式法 基本思路：当a ＞0,b ＞0时，若要比较形如a a 与b b 的两数大小，可先把根号外的正因数a 与b 的平方后移入根号内，再根据被开放数的大小进行比较. 例5、比较﹣33与﹣27的大小 解：﹣33=﹣27，﹣27=﹣28 ﹣27＞﹣28 ∴﹣33＞﹣27

八年级数学 二次根式比较大小的巧妙方法 专题讲义

二次根式比较的巧妙方法 二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。 一、移动因式法 此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。 例1：比较的大小。 解： ＞∴＞ 二、运用平方法 两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。 例2：比较与的大小。 解：∵， ＞0，＞0 ∴＜ 三、分母有理化法 此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。 例3：比较与的大小。

解： ∴＞ 四、分子有理化法：此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。 例4：比较与的大小 解：∵ ＞ ∴＞ 五、求差或求商法 求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当 ＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。 求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“① 同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。②异号：正数大于负数”来比较与的大小。 例5：比较的大小。 解：∵

专题比较二次根式大小(供参考)

专题：比较二次根式大小 二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。 一、移动因式法 将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。 例1：比较的大小。 解： ＞ ∴＞ 二、运用平方法 两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。 例2：比较与的大小。 解：∵， ＞0，＞0 ∴＜ 三、分母有理化法 此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。 例3：比较与的大小。 解： ∴＞ 四、分子有理化法 此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。

例4：比较与的大小 解：∵ ＞ ∴＞ 五、求差或求商法 求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当 ＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。 求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“① 同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。②异号：正数大于负数”来比较与的大小。 例5：比较的大小。 解：∵ ＜ ∴＜ 例6：比较的大小。 解：∵＞1 ∴＞

二次根式的估值与比较大小

二次根式的估值与比较大小（北师版）
1.(本小题 10 分) A. 在 1 和 2 之间 的值( ) C. 在 3 和 4 之间 D. 在 4 和 5 之间
B. 在 2 和 3 之间
2.(本小题 10 分) 估算 A. 在 4 和 5 之间
的值( B. 在 5 和 6 之间
) C. 在 6 和 7 之间 D. 在 7 和 8 之间
3.(本小题 10 分) 若 A. 1 B.
与
的小数部分分别是 a 和 b,则 a+b=( C. 0 , , D. 11 , ,其中在实数 D. 4 个 +1 和
)
4.(本小题 10 分) 现有四个无理数
? ?
+1 之间的有(
)
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
5.(本小题 10 分) 下面四个结论正确的是(
)
A.
>
B.
<
C.
<
D.
<
6.(本小题 10 分)
,
,
的大小关系是(
)
A.
<
<
B.
<
<
C.
<
<
D.
<
<
7.(本小题 10 分) 如图，在数轴上表示数
的点可能是点____．
8.(本小题 10 分) 若
的整数部分是 x，小数部分是 y，则
的值是____．
9.(本小题 10 分) 已知
与
的小数部分分别是 a 和 b，则
的值为____．
10.(本小题 10 分) 设
，
的小数部分分别为 a，b，则
的值为____．

初中数学比较二次根式大小的八种方法

专训2 比较二次根式大小的八种方法 名师点金：含二次根式的数(或式)的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等． 平方法 1．比较6＋11与14＋3的大小． 作商法 2．比较 a ＋1a ＋2与a ＋2a ＋3 的大小． 分子有理化法 3．比较15－14与14－13的大小．

分母有理化法 4．比较12－3与13－2 的大小． 作差法 5．比较 19－13与23 的大小． 倒数法 6．已知x ＝n ＋3－n ＋1，y ＝n ＋2－n ，试比较x ，y 的大小．

特殊值法 7．用“<”连接x ，1x ，x 2，x(0

答案 1．解：因为(6＋11)2＝17＋266，(14＋3)2＝17＋242， 17＋266＞17＋242，所以(6＋11)2>(14＋3)2.又因为6＋11>0，14＋3>0，所以6＋11＞14＋ 3. 2．解：因为a ＋1a ＋2÷a ＋2a ＋3＝（a ＋1）（a ＋3）（a ＋2）2＝a ＋4a ＋3a ＋4a ＋4＜1，易知a ＋1a ＋2 >0，a ＋2a ＋3>0，所以a ＋1a ＋2＜a ＋2a ＋3 . 方法总结：作商比较两个二次根式的大小的方法：当两个二次根式(均为正数)均由分母和分子两部分组成时，常通过作商比较它们的大小，先计算两个二次根式的商，然后比 较商与1的大小关系．已知a ＞0，b ＞0，若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b ＜1，则a ＜b. 3．解：15－14 ＝（15－14）（15＋14）15＋14 ＝115＋14 ， 14－13 ＝（14－13）（14＋13）14＋13 ＝114＋13 ， ∵15＋14＞14＋13，15＋14>0，14＋13>0， ∴115＋14<114＋13 ， 即15－14＜14－13. 4．解：∵12－3＝2＋3，13－2 ＝3＋2， 2＋3＞3＋2， ∴12－3＞13－2 . 5．解：因为19－13－23＝19－33，19－3>0，所以19－33>0，所以19－13>23 . 6．解：1x ＝1n ＋3－n ＋1 ＝n ＋3＋n ＋12＞0， 1y ＝1n ＋2－n ＝n ＋2＋n 2＞0， ∵n ＋3＋n ＋1＞n ＋2＋n ＞0，∴1x ＞1y ＞0，∴x ＜y.

二次根式大小比较方法

二次根式大小比较方 法

比较二次根式大小的巧妙方法 一、移动因式法 将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。 例1：比较的大小。 解： ＞ ∴＞ 二、运用平方法 两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。 例2：比较与的大小。 解：∵， ＞0，＞0 ∴＜ 三、分母有理化法 此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。 例3：比较与的大小。 解：

∴＞ 四、分子有理化法 此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。 例4：比较与的大小 解：∵ ＞ ∴＞ 五、求差或求商法 求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。 求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。 ②异号：正数大于负数”来比较与的大小。 例5：比较的大小。 解：∵

＜∴＜ 例6：比较的大小。 解：∵＞1 ∴＞ 六、求倒数法 先求两数的倒数，而后再进行比较。 例7：比较的大小。 解：∵ ＞ ∴＜ 七、设特定值法 如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。 例9：比较与的大小。 解：设，则： ＝1，＝ ∵＜1，∴＞

九、局部缩放法 如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。 例10：比较的大小。 解：设， ∵，7＜＜8，即7＜＜8 ，8＜＜9，即8＜＜9 ∴＜，即＜ 例11：比较与的大小。 解：∵＞ ∴＞ 十、“结论”推理 通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞ （＞＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。 例12：比较1与的大小。 解：∵， 由＞（＞＞0）可知： ＞

二次根式的大小比较

《二次根式的大小比较》教学设计一、教学目标 知识与技能： 1.对二次根式的概念有更深一步的理解； 2.了解并掌握两个一般二次根式的大小比较的一般方法； 3.学会合理利用不同的方法比较两个二次根式的大小。 过程与方法： 1.通过利用被开方数比较法进一步理解二次根式的化简过程； 2.通过对几种方法的使用，明确数学解题方法的多样性。 情感态度价值观： 培养学生根据不同问题合理选择解决问题的方法，了解问题解决方法的多样性。 二、教学重难点 重点：利用被开方数比较法、作差法、作商法比较两个一般二次根式的大小关系。 难点：根据题目实际合理选择比较的方法。 三、教过过程 （一）、教学引入（直接导入）：在前面的学习中，我们学习了二次根式的概念、二次根式的基本性质以及如何将一个二次根式化简成为最简二次根式。 接下来，我们来思考一个问题：给我们两个二次根式，我们该如何判断他们的大小关系？

（二）、教学目标分析：帮助学生明确本节课的重点任务。 （三）、温故知新： 问题1.实数的大小比较； 学生回答：正数大于0,0大于负数。在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点所表示的数。 问题2. 学生回答：代表12的算术平方根。 问题3.什么叫最简二次根式？ 学生回答：不能再化简。 教师补充：被开方数不能有分母；二次根式的分母中不能含有根号。问题4. 学生回答化简结果。 教师引导学生进行思考：如何比较 （四）思路分析： 1、比较两个二次根式的大小，可以先比较他们的被开方数的大小，所以我们可以直接将被开方数拿出来比较。 2、由不等式的基本性质，若两数的差是正数，则为大数减小数。所以，可以将两个二次根式作差进行比较。 3、根据分数的概念，若分数的值大于1，则分数的分子大于分母。所以，可以对两个二次根式作商进行比较。 （五）、探究活动： 活动一：利用被开方数比较法（平方法）比较两个二次根式的大小。

二次根式大小比较方法

比较二次根式大小得巧妙方法 一、移动因式法 将根号外得正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数得大小。 例1:比较得大小。 解: ＞ ∴＞ 二、运用平方法 两边同时平方，转化为比较幂得大小。此法得依据就是:两个正数得平方就是正数,平方大得数就大;两个负数得平方也就是正数,平方大得数反而小。 例2:比较与得大小。 解:∵, >0，＞0 ∴＜ 三、分母有理化法 此法就是先将各自得分母有理化,再进行比较。 例3:比较与得大小。 解: ∴＞ 四、分子有理化法 此法就是先将各自得分子有理化,再比较大小。 例4:比较与得大小 解:∵ ＞ ∴＞ 五、求差或求商法 求差法得基本思路就是:设为任意两个实数，先求出与得差,再根据“当<0时,＜；当时,;当＞0时,＞”来比较与得大小。 求商法得基本思路就是：设为任意两个实数,先求出与得商,再根据“①同号:当>1时，＞;=1时,;<1时,<。②异号：正数大于负数”来比较与得大小。 例5:比较得大小。 解:∵ ＜∴< 例６:比较得大小。 解:∵>1 ∴> 六、求倒数法 先求两数得倒数,而后再进行比较。 例7:比较得大小。

解:∵ > ∴＜ 七、设特定值法 如果要比较得二次根式中含有字母,为了快速比较,解答时可在许可得条件下设定特殊值来进行比较。 例９:比较与得大小。 解：设,则: =１,＝ ∵<1,∴> 九、局部缩放法 如果要比较得二次根式一眼瞧不出有什么特点,又不准求近似值,可采取局部缩放法,以确定它们得取值范围,从而达到比较大小得目得。 例1０:比较得大小。 解:设, ∵,７＜＜８,即７＜<8 ,8＜<９,即８＜<9 ∴＜,即＜ 例1１:比较与得大小。 解：∵＞ ∴＞ 十、“结论”推理 通过二次根式得不断学习，不难得出这样得结论:“>(>>0)”，利用此结论也可以比较一些二次根式得大小(结论证明见文末)。 例12：比较１与得大小。 解:∵, 由>(>＞０）可知: ＞ 即> 又∵> ∴＞,即１> 总得来说,比较二次根式大小得方法不仅仅局限于以上十种,除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法,数形结合法,数轴法,还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法,都必须在掌握二次根式得基本性质与运算法则上进行,要根据问题得特征，二次根式得结构特点,多角度地探索思考,做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同得策略，另外还应多做这方面得训练,方能达到熟练而又快捷,运用自如得程度。 附:“>(>>0)”得证明。 证明:∵,, > ∴＞(＞＞０）

二次根式的大小比较

16.2 二次根式的大小比较-教案 一、学习目标 1. 巩固公式b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0）的运用。 2. 从有理数的大小比较中类比学习二次根式的大小比较。 3.学习能力的培养，学习兴趣的培养。 二、教学重点和难点 重点 1.大小比较的四种方法； 2.转化的思想。 难点 1.分母有理化； 2.综合运用根式的化简。 三、教学方法分析 教学方式：启发式，类比式，示范式。 辅助教学：多媒体 四、学习内容（学习过程） （一）复习回顾 1.二次根式的乘法法则 2.二次根式的除法法则 3.什么是最简二次根式？ （二） 引入新课 1.请同学们思考如下例题： 例1 比较32与23的大小。 问：1.你们以前学习的两个数比较大小方法有哪些，这里可以用吗？ 2.当你遇到未知的知识，该把它转化成我们熟悉的知识。 例题解答： 例1、比较与的大小。

分析：板书过程 小结：我们通过平方的办法，把无理数转化为我们熟悉的有理数。（关键词空留） 教师：下面我们这节课就来学习二次根式的大小比较方法有哪些。 第一种方法 平方法 当a>0 b>0时 ①若 a2>b2,则a>b; ②若a20 b>0时 ①如果 a>b, ②如果a0时，则a>b ；②当a-b<0时，a<

二次根式的大小比较1115103413.doc

16.2二次根式的大小比较- 教案 一、学习目标 1. 巩固公式 a b a b （ a≥， b≥）的运用。 00 2.从有理数的大小比较中类比学习二次根式的大小比较。 3.学习能力的培养，学习兴趣的培养。 二、教学重点和难点 重点 1.大小比较的四种方法； 2.转化的思想。 难点 1.分母有理化； 2.综合运用根式的化简。 三、教学方法分析 教学方式：启发式，类比式，示范式。 辅助教学：多媒体 四、学习内容（学习过程） （一）复习回顾 1.二次根式的乘法法则 2.二次根式的除法法则 3.什么是最简二次根式？ （二）引入新课 1.请同学们思考如下例题： 例1比较3 2 与2 3 的大小。 问： 1. 你们以前学习的两个数比较大小方法有哪些，这里可以用吗？ 2.当你遇到未知的知识，该把它转化成我们熟悉的知识。 例题解答： 例 1、比较与的大小。

分析：板书过程 小结：我们通过平方的办法，把无理数转化为我们熟悉的有理数。（关键词空留）教师：下面我们这节课就来学习二次根式的大小比较方法有哪些。第一种方法平方法 当a>0 b>0 时 ①若 a2>b2, 则 a>b; ②若 a20 b>0时 ①如果 a>b, 则 ②如果 a0 时，则 a>b；②当 a-b<0 时， a

《二次根式》典型分类练习题

《二次根式》分类练习题 知识点一：二次根式的概念 二次根式的定义： 形如 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义． 【典型例题】 【例1】下列各式122211 ,2)5,3)2,4,5)(),6)1,7)2153 x a a a -+---+ 其中是二次根式的是_________（填序号）． ( 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A a 10-1a +2 1a + 2a 2a b 1x +2 1x +3______个 【例2】3 x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式4 3--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） % A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 22 21x x -+-x 的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限

【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50 ,50x x -≥??-≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三： { 111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 取什么值时，代数式211a +取值最小，并求出这个最小值。 已知a 5b 是5的小数部分，求1 2 a b + +的值。 & 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值. 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20 ： 3. a a a a a a 2 00==≥-

比较二次根式大小的8种方法

比较二次根式大小得8种方法 比较大小就是学习数学过程中经常会遇到得,通常用到得方法就就是作差法,但就是有时要对两个数进行大小得比较,仅仅用作差法就是不行得，那怎么办呢? 别担心，本节整理得8种比较大小得方法,如果您能全掌握,那就可以对比较大小得题目“通吃”了,这８种方法不仅适用于二次根式大小得比较，对于其她数得大小比较也适用。 当然,本节就是结合二次根式比较大小得题型来讲述这8种方法，既学会了二次根式大小得比较,又掌握了8种比较大小得方法，可谓收获良多。 接下来就让带大家一起来学习比较二次根式大小得8种方法: 平方法、作商法、分子有理化、分母有理化、作差法、倒数法、特殊值法、定义法 方法一:平方法 ……根号内得数相加为同一个数时。 平方法就是对要比较大小得两个数先平方,根据平方后数据得大小来确定原数得大小。

方法二:作商法 ……向1靠拢,化同类项。 作商法就是把要比较大小得两个数相除，根据除得得商来判断原来数值得大小,除得得商分大于1,等于1，或小于1。 方法三:分子有理化法 ……根号内得数差为同一个数时,将分子化1,比分母。 分子有理化法就是专门针对二次根式比较大小来说得,通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值得大小。

方法四:分母有理化法

……根号内得数相似,化同为目标。 分母有理化就是通过对二次根式乘以有理化因式后,将原来得二次根式化简成最简二次根式再比较大小。 方法五:作差法(最常用） 作差法就就是将比较大小得两个数相减，根据所得得差来瞧两数得大小,也就是平时比较大小最常用得方法。 方法六：倒数法 倒数法就就是先求出原数倒数得大小，再根据倒数得大小来确定原来数值得大小。方法七：特殊值法 特殊值法就就是通过对比较大小得代数式子赋特殊值得方法来确定大小得方法。

估算二次根式比较大小

估算 1.如右图，在数轴上A ，B 两点之间表示整数的点有 个. 2.的值（ ） Ａ.在3到4之间 Ｂ.在4到5之间 Ｃ.在5到6之间 Ｄ.在6到7之间 3. 5_________. 4. 2的值（ ） A ．在5和6之间 B ．在6和7之间 C ．在7和8之间 D ．在8和9之间 二次根式比较大小 （1）、根式变形法：当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <，则 例1、比较与的大小。 （2）、平方法：当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。 例2、比较 （3）、分母有理化法：通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3 （4）、分子有理化法：通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4 （5）、倒数法 例5的大小。 （6）、媒介传递法：适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例633的大小。 ( 7 ) 、作差比较法：在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->?>；②0a b a b -

【例1】 比较大小： 7． 【例2】 实数 -3-的大小关系是 .（用“＞”表示） 【例3】 比较大小：a ，b =______a b 【例4】 已知M = N M 与N 的大小关系是（ ） A. M N > B.M N < C.M N = D.M N ≤ 【例5】 M = N =M 与N 的大小关系. 【例6】 已知1c > ，x = y z x ，y ，z 的大小. 【例7】 【例8】 设A B ==，比较大小：A ____B 【例9】 已知1a = ，b = 2c =，那么a ，b ，c 的大小关系是＿＿＿ ＿. A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.c b a << 【例10】 比较大小： 【例11】 比 与4 【例12】 比较与 . 【例13】 设a =1b =，c ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. b a c >> 【例14】 比