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大学微积分l知识点总结 二

【第五部分】不定积分

1.书本知识(包含一些补充知识)

(1)原函数:F ’(x )=f (x ),x ∈I ,则称F (x )是f (x )的一个“原函数”。

(2)若F (x )是f (x )在区间上的一个原函数,则f (x )在区间上的全体函数为F (x )+c (其中c 为常数)

(3)基本积分表

c x dx x +?+?=?+???11

1(α≠1,α为常数) (4)零函数的所有原函数都是c

(5)C 代表所有的常数函数

(6)运算法则

[]??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx

x f a dx x f a )()()()()()(②①

(7)[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分:

c

b x F dx b x f

c b ax F a b ax

d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地, (9)连续函数一定有原函数,但是有原函数的函数不一定连续,没有原函数的函数一定不连续。

(10)不定积分的计算方法

①凑微分法(第一换元法),利用复合函数的求导法则

②变量代换法(第二换元法),利用一阶微分形式不变性

③分部积分法:

【解释:一阶微分形式不变性】

数乘运算 加减运线性运

(8

释义:函数

对应:y=f(u)

说明:

(11)c x dx a x a x ++??++?22ln 1

22

(12)分段函数的积分

例题说明:{}

dx x ??2,1max

(13)在做不定积分问题时,若遇到求三角函数奇次方的积分,最好的方法是将其中的一

(16)隐函数求不定积分

例题说明:

(17)三角有理函数积分的万能变换公式

(18)某些无理函数的不定积分

②欧拉变换

(19)其他形式的不定积分

2.补充知识(课外补充)

☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法

2、特殊类型不定积分求解方法汇总

1、不定积分的定义及一般积分方法

(1)定义:若函数f(x)在区间I 上连续,则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数),则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c

(2)一般积分方法

值得注意的问题:

第一,一般积分方法并不一定是最简便的方法,要注意综合使用各种积分方法,简便计算;第二,初等函数的原函数并不一定是初等函数,因此不一定都能够积出。

不能用普通方法积出的积分:

2、特殊类型不定积分求解方法汇总

(1)多次分部积分的规律

(3)简单无理函数的积分

被积函数为简单式的有理式,可以通过根式代换化为有理函数的积分 小结:几分钟含有根号,应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。

【第六部分】定积分

1.书本知识(包含一些补充知识)

(1)定义

(12)几种简化定积分的计算方法

①关于原点对称区间上的函数的定积分

[]??????=?-??-a a a dx

x f dx x f a a x f 0)(20)(,)(1上连续,则:

在区间、若函数 设f(x)是周期为T 的周期函数,且连续。则:

??????????--?-???--?-=?=?≥??

??????132...231221...231cos sin )2(2,0cos ,sin 2020n n n n n n n n dx x dx x n n x x n n n n ππππ,有:

对于任意的自然数上的积分在③ 分的值无关,依然可以正常去求。

(14)极坐标与直角坐标的互化

当f(x)为当f(x)为

(n 为偶(n 为奇

把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位。设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),它的极坐标是(ρ,0).则:

大学微积分l知识点总结 二

()?????≠=+=????=?=0tan sin cos 2

22x x y y x y x θρθ

ρθρy (15)定积分中容易混淆的x 与t 的关系的问题

对于定积分,被积表达式中的无所谓t 还是x ,最后都会被积分上下限所替代。所以在变限函数积分的上下限中含x 的时候,被积表达式用t 表示以示区别。当然如果此时被积表达式中含x 和t ,在二者都有的情况下,则把x 看成常数提到外面或者换元换走x 。

例证:

定积分证明问题中关于x 与t 化简后的计算方法:

2.补充知识(课外补充)

☆【积分中值定理及其应用】☆

积分中值定理是积分学的一个重要性质。它建立了定积分与被积函数之间的关系,从而使我们可以通过被积函数的性质研究积分的性质,有较高的理论价值以及广泛的应用。

一、积分中值定理的内容

定理①:积分第一中值定理

定理②:推广的积分第一中值定理

二、积分中值定理的应用

由于该定理可以使积分符号去掉,从而使问题简化,对于证明包含函数积分和某个函数之间的等式或不等式,常可以考虑使用积分中值定理

在应用积分中值定理时应注意以下几点:

①在应用中应注意被积函数在区间[a,b]上这一连续条件,否则结论不一定会成

②在定理中的g(x)在[a,b]上面不能变号,这个条件也不能去掉。

③定理中所指出的ξ并不一定是唯一的,也不一定必须是[a,b]内的点

下面就其应用进行讨论

(1)估计定积分的值

(2)求含有定积分的极限

说明:解决此类问题的关键是用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理时,要注意中值ξ不仅依赖于积分区间,而且依赖于限式中n的趋近方式。

(3)证明中值ξ的存在性命题

说明:在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时,一般应用积分中值定理。

(4)证明积分不等式

说明:由于积分有许多特殊的运算性质,故积分不等式的证明往往具有很强的技巧性。在证明含有定积分的不等式时,也常考虑使用积分中值定理,以便去掉积分符号。若被积函数是两个函数之积时,可考虑使用广义积分中值定理。

(5)证明函数的单调性

三、积分中值定理的拓展

(1)第二积分中值定理

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上可积,而g(x)在区间(a,b)上单调,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使得:

特别地,g(x)在[a,b]上单调递增,则:

(2)特殊积分中值定理

若函数f(x)在区间[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,则在[a,b]上必存在一点ξ,使得:

(3)第二积分中值定理和特殊积分中值定理统称为“广义积分中值定理”。