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微积分课后习题答案

习题1—1解答 1．设y x

xy y x f +

=),(，求)

,(1

),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y

x xy y x f +

=--),(；x

y y x f y x y

x xy f x

y xy

x f +=

+=+=2

)

,(1;

),(;1)1,1(

2．设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=

)

,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?=

3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）;11),(2

y x

y x f

（2）;)

1ln(4),(2

y x y

x y x f ---=

（3）;1),(2

z b

y a

x y x f -

（4）.1),,(2

y x z

y x z y x f ---+

解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D

（2）

{

y y x y x D ,10),(22<+<=

（3）

????++=),(2

2222b y a x y

x D

（4）{}

1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D

4．求下列各极限：（1）2

01lim

x xy y x +-→→=

001=+-

（2）2ln 01)1ln(ln(lim

1=++=

++→→e y x e x y y x

（3）4

42()

42)(42(lim

42lim

=++

+++-

=+-

→→→→xy xy xy xy xy

xy y x y x

（4）2)sin(lim

)sin(lim

2=?=→→→→x xy

xy y

xy y x y x

5．证明下列极限不存在：（1）;lim

x y x y x -+→→ （2）2

(lim

y x y x y

x y x -+→→

（1）证明如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim

lim

-=-+=-+→→=→x

x x x y

x y x x x y x ；

如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim

lim

==-+→→=→y

y y

x y x y y x y

所以极限不存在。

（2）证明如果动点),(y x P 沿x y =趋向)0,0(

则1lim

)

(lim

0==-+→→=→x

x y x y x y

x x x y x ；

如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0(，则044lim

)

(lim 2

=+=-+→→=→x

x x

y x y x y

x x x y x

所以极限不存在。

6．指出下列函数的间断点：（1）x

y x y y x f 22),(2

-+=

；（2）y x z -=ln 。

解（1）为使函数表达式有意义，需022≠-x y ，所以在022=-x y 处，函数间断。（2）为使函数表达式有意义，需y x ≠，所以在y x =处，函数间断。习题1—2 1．（1）x

y y

x z +

y y

z -

??，

x x

z -

??.

(2))]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy y xy xy y xy y x

z -=-=??

)]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy x xy xy x xy x y

z -=-=??

(3)

)

1()

1(--+=+=??y y xy y y xy y x

z ,

lnz=yln ，两边同时对y 求偏导得,1)1ln(1xy

x y

xy y

z z +++=??

]1)1[l n ()1(]1)1[l n (xy

xy xy xy xy

xy xy z y

z y

++=++

+=??;

(4)

)

(2213

y x x y x x

x x y x

z +-=

-=??,;1

y x x

y x x y

(5)x

y z

u x x

u x

y x

y ln ,

ln 1,

=??=

??=

??-;

(6)

z y x y x z x

u 21)

(1)

(-+-=

??-,

z y x y x z y

u 21)

(1)

(-+--

=??-,

y x y x y x z

u 2)

(1)ln()(-+--=

??;

2.(1)

,1,0,,=

====yy xy xx y x z z z x z y z ;

(2) ),(2sin ),(2sin by ax b z by ax a z y x +=+=

)(2cos 2),(2cos 2),(2cos 22

by ax b z by ax ab z by ax a z yy xy xx +=+=+=.

3 2

222,2,2x yz f z xy f xz y f z y x +=+=+=,,2,2,2z f x f z f yz xz xx ===

0)0,1,0(,2)2,0,1(,2)1,0,0(=-==yz xz xx f f f .

(2cos ),2

(2cos 2),2

(2sin ),2

(2sin 2t x z t x z t x z t x z tt xt t x -

-=-

0)2(2cos 2)2

(2cos 22=-

-=+t x t x z z xt tt .

5.(1) x

x e x

y z 2

=, x y

y e x

z 1=

,=dz +-

dx e x

y x

dy e x

x y

(2) )ln(2

y x

z +=,2

x x z x +=

x y z y +=

,dy y

x y dx y

dz 2

x x

+=;

(3)2

222

)(1y x y x

y x

y z x

+-=+-

= , 222)(11

y x x x

y x

z y +=+

= ,2

2y x xdy ydx dz ++-=; (4) ,1

-=yz x yzx

u x zx

u yz

y ln =,x yx

u yz

z ln =, =du xdz yx

xdy zx dx yzx yz

yz ln ln 1

++-.

6. 设对角线为z,则,2

2y x z +=

x x z x +=

x y z y +=

, =

dz 2

x ydy xdx ++

当1.0,05.0,8,6-=?=?==y x y x 时,2

1.0(805.06+-?+?=

≈?dz z =-0.05(m).

7. 设两腰分别为x 、y,斜边为z,则,2

2y x z +=

x x z x +=

，2

x y z y +=

, =

dz 2

x ydy xdx ++,

设x 、y 、z 的绝对误差分别为x δ、y δ、z δ,

当1.0,1.0,24,7=≤?=≤?==y

x y x y x δδ时, 2524

2=+=z

.0241.07+?+?≤

≤?dz z =0.124,z 的绝对误差124.0=z δ

z 的相对误差

≈

z %496.025

124.0=.

8. 设内半径为r ，内高为h ，容积为V ，则

h r V 2

π=,rh V r π2=,2

r V h π=,dh r rhdr dV 2

2ππ+=,

当1.0,1.0,20,4=?=?==h r h r 时,

)(264.551.0414.31.020414.323

cm dV V =??+????=≈?.

习题1—3

??+

??=

dz z f dx

dy y f dx

dx x f dx

du ++2

)

(

xy z y

?+ax

ae z

xy z x

)

(

)

(

xy z xy +-

)1(2+?ax a

)]

1(2[y x z ax axy axz z y ++-+=

ax e

x ax x a e ax 22

)1()

1()1(++++.

f x

z ????+

????=??ηηξξ=

4arcsin 11y

x x

x x +?

+----ξξ

)

)(1()ln(1arcsin

y x y x y x x y

x y

x x +--+-

+--

f y

z ????+

????=??ηηξξ=

4arcsin 11y

x y

x y +?

+----ξξ

)

)(1()ln(1arcsin

y x y x y x y y

x y

x y +--+-

+--.

3. (1)

x u ??=212f ye

xf xy

u ??=212f xe

yf xy

+-.

(2) x u ??=

11f y

u ??=212

1f z

f y

x +?-

u ??=22

f z

y ?-

(3)

u ??=321yzf yf f ++,

u ??=32xzf xf +,

u ??=3xyf .

(4)

x u ??=3

212f yf xf ++y

u ??=3212f xf yf ++,

u ??=3f .

4 .(1)

1yf x

z =??,

21f xf y

z +=??,

112

f y x

z =??,

1211

1121112

)(yf xyf

f f xf y f y

x z ++=++=???,

2221

12112

2)(f xf

f xf x y

z +++=??=2212112

2f xf f x ++

(2)

212

2xyf f y x

z +=??,

2f x xyf

z +=??,

222

123

114

222

212

112

442)

2(22)2(f y x f xy f y yf xyf

f y xy yf xyf

f y y x

z +++=++++=??.

122

223

113

21222

2122

52222)

2(22)2(2f y x yf x f xy xf yf f x xyf

xy xf f x xyf

y yf y

x z ++++=+++++=???

123

112

1222

12211

122

442)

2()2(22f x yf x f y x xf f x xyf

x f x xyf

xy xf y

z +++=++++=??

5 y

x u t y y u t x x u t u y u x

u s

y y u s

x x u s

u ??+

??-=????+????=????+

??=

????+

????=

??2123,2321

, 222

)(4323)(41)(

y u y u x u x u s

u ??+????+??=

??,2

22)(4123)(43)(y

u y u x u x u t u ??+????-??=??, 2

)(

)

(

)(y

u x

u t u s

u ??+??=??+??∴.

6 (1) 设)

(),,(z y x e

z y x z y x F ++--++=, )

(1z y x x e F ++-+=,)

(1z y x y e

F ++-+=,

)

(1z y x z e

F ++-+=,

1-=-

=??z

x F F x

z ,1-=-=??z

y F F y

y x y

x z y

x y

x z

x x F y

x z y x z z y x F x 2)

)(2

1(sec

tan

),,()2(2

------

=---

=设 =2

tan

x xz y x z y

x x -+

---

sec

z -,

)2()

)(2

1(sec

tan 2

yz y x y

x z y x y

x z y

x y F y ---

-----=

tan

x yz y

x z y

x y --

---

sec

z -,

=1z F 2

sec

y x

z y

--2

y x -=2

tan

x z --,

=??x

z )cot

1(cot

x z y

x xz y x z

x x F F z x -+-+

---

=-,

=??y

z ).cot

1(cot

z y

yz y

x z

F F z

y -+--

---

(3) 设xyz z y x z y x F 22),,(-++=,x

yz F x -

=1 y

xz F y -

=2z

xy F x -

=1,

=??x

z z

x F F -=

xy xyz xyz

yz --

=??y z

y F F -=

xyz xyz xz --2.

(4) 设y z z

x y z z x z y x F ln ln ln

),,(+-=

F z

F y x 1,1=

x F z 12

=??x

z z x z

F F z

x +=

=??y

)

z x y z

F F z

y +=

7.设)32sin(232),,(z y x z y x z y x F -+--+=,),32cos(21z y x F x -+-=

)32cos(42z y x F y -+-=,)32cos(63z y x F z -++-=,

∴ =??x

z 31=

x F F ,

=??y

z 32=-z y F F ,

∴

??x

z =??y

z 1.

8.设2121,,),,(),,(φφφφφb a F c F c F bz cy az cx z y x F z y x --===--=,

=??x

z 2

11φφφb a c F F z

x +=

=??y

z ,2

12φφφb a c F F z

y +=

∴ +??x

z a

c y

z b

=??.

9. (1)方程两边同时对x 求导得

????

?=+++=,0642,22dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz

解之得???????+=

++-=13,)13(2)16(z x dx

dy z y z x dx dy (2) 方程两边同时对z 求导得 ??

???=++=++0

222,01z dz dy y dz dx

x dz dy

dz dx 解之得

??????

?--=--=.,y x x z dz

dy y

x z y dz dx

(3) 方程两边同时对x 求偏导得 ??

???+??-??=??+??+??=,s i n c o s 0,c o s s i n 1x v v u v x u x u e x v

v u v x u x u

e u u

解之得???????+--=??+-=??.]1)cos (sin [cos ,1)cos (sin sin v v e u e

v x

v v v e v x

u 同理方程两边同时对y 求偏导得 ???

???

???+??-??=??+??+??=,s i n c o s 1,c o s s i n 0y v v u v y u y u e y

v u v y u y u e u u 解之得???????+-+=??+--=??.]1)cos (sin [sin ,1)cos (sin cos v v e u e

v x

v v v e v x

01214

1(1)23,(1,1,0),(1,1,2)22,44,60,1

122*

4*((2)(),(1,1,1),(2,1,1);

()()

p p p p p p p z

z p p u l

u x y z p l u x x

u y y u z z

l u l

y u p l x u y y z x

x x --??=++=-?==??==??==?=-

?∴=+-

?==-?=-=?习题。求下列函数的方向导数

解：

解

：

010

1()()

1,()ln()

211(1)*

(3)ln(),(1,1),3

21,21,

cos

sin

z p p z p p p p p p p p u y z y x x u y y z

x x l u l

u x y p l ox u

x x

x y u y y x y u l

--?==??==?=-

?∴=-=-

?=+?==?+?=

=?+?∴=+=

?与轴夹角为；

解：

01010

(4),(5,1,2),(9,4,14),.2,10,5,

312(4,3,12),(,,),

1313134312982*

10*

1313

132..(1)(,)sin()cos();p p p p p p p u xyz p p l p p u yz x

u xz y u xy

l l u l

gradf f x y x y xy f x

==?==??==??==?=∴=?∴=++=?=+??

解：

求下列函数的梯度解：222

cos()*(2)sin(),

cos()*sin()*(2),

(cos()*(2)sin(),cos()*sin()*(2)).(2)(,).

11()(1),

()(x

y y x

x y

x y xy xy y f x y y xy xy y

gradf x y xy xy y x y y xy xy y f x y e x

f y y y e e e x x x y x x f y x e e e y

x y

=-?=-?∴=--=

?=-+=-??=∞+

=?解：11),

1(),()).

3.23,

44,

y x

gradf e x x y

∴=-?=-=??=-=?∴33

(-,-1,)24

33(-,-1,)24

山坡的高度z 由公式z=5-x -2y 近似，其中x 和y 是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。z

解：

z y

按最陡的道路上登,应当沿(3,4)方向上登。

微积分习题讲解与答案

习题8.1 1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ 2sin d d =+p p 解 (1) 1阶非线性 (2) 1阶线性 (3) 3阶线性 (4) 1阶线性 2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) x x y x y y x sin ,cos = =+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) x Ce y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x x e C e C y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数) (5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2 xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x x x x x x x cos sin sin cos 2 =+-=右 (2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1) 1(22 2 =-++---=右 (3) 是，左=02=+-x x x Ce Ce Ce =右 (4) 是，左= 0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ =右 (5) 是，左==-=---y x y x y x y x 222) 2(右 (6) 是，左=x xy y x xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2) ()(22)(2 2332

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

微积分试题及答案(5)

微积分试题及答案一、填空题(每小题2分，共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=，则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =，则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(，则=)(x f 。二、单项选择（每小题2分，共10分） 1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（）（A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（）（A ）x sin （B ）2 x x + （C ）3x （D ）x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（）（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充分必要条件（D ）无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a ，上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则x x f ) ('在区间)0(a ，内是（）（A ）不增的（B ）不减的（C ）单调增加的（D ）单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(，则=-?x x xf d )1(2 。（A ）C x +-2 2)1(2 （B ）C x +--2 2)1(2

微积分课后习题答案

习题1—1解答 1．设y x xy y x f + =),(，求) ,(1 ),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y x xy y x f + =--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f += +=+=2 2 2 ) ,(1; ),(;1)1,1( 2．设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++= ) ,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?= 3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）;11),(2 2 -+ -= y x y x f （2）;) 1ln(4),(2 2 2 y x y x y x f ---= （3）;1),(2 22 22 2c z b y a x y x f - - -= （4）.1),,(2 2 2 z y x z y x z y x f ---+ + = 解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2） { y y x y x D ,10),(22<+<=

（3） ????++=),(2 2222b y a x y x D （4）{} 1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D 4．求下列各极限：（1）2 2 1 01lim y x xy y x +-→→= 11 001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim 2 2 )0 1=++= ++→→e y x e x y y x （3）4 1) 42() 42)(42(lim 42lim 00 0- =++ +++- =+- →→→→xy xy xy xy xy xy y x y x （4）2)sin(lim )sin(lim 20 2=?=→→→→x xy xy y xy y x y x 5．证明下列极限不存在：（1）;lim 0y x y x y x -+→→ （2）2 2 2 2 20 0) (lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim 20 -=-+=-+→→=→x x x x y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 20 ==-+→→=→y y y x y x y y x y

微积分试题及答案

5、ln 2111x y y x +-=求曲线，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分）六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数一、选择题

1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=-

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题(10道题，每题２分或者3分）。填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。证明题(2道题，平均每题10分）。考试时间：90分钟。二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数１．考试内容集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求（１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。（2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限１．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念（2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。（5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续１．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求（1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

微积分试卷及答案

微积分试卷及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人 2010 年 6 月10日使用班级教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+

2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）

微积分2习题答案

一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2 x x x x 6 π x x x 3262 3++↑ 3．=?? ? ??-∞ →3 21lim x x x 32 -e 4．设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→- →x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+ 4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2 x x + ③x ④x 2sin

高等数学试题及答案

高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。（3） Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。（4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。（5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。（6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

微积分试卷及答案

微积分试卷及答案Revised on November 25, 2020

大一上微积分试题(山东大学)

数学试题热工二班温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（） 3、计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（） 4、设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（） 5、已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分）６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（）Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤

（）Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（）Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０Ｄ．dy ＜ y ＜０三、计算，证明题（共６０分）１１、求下列极限和积分（１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分）（２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分）（３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分）１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f

微积分(下册)期末试卷与答案

中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案 06年A 卷 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,

则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若 2211 x y I +≤= ?? , 22212 x y I ≤+≤= ?? , 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时二填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.

微积分综合练习题及答案

北京邮电大学高等函授、远程教育 04—05学年春季学期《高等数学（微积分）》综合练习题与答案经济管理、电子邮政专业第一部分练习题、判断题设f （x ）的定义域为（,1），则f （1的定义域为（0，1）. x 设f （X ）的值域为（，1），则arctgf （x ）的值域为（一,一）. 2 4 11. 12 .如果0 1 13.如果级数 n 1. 2. 3. e （x 1^是偶函数. 4. 1 x y ln —是奇函数. 5. 1 lim (1 x)， e 6. d 2 2 设 f (u)是可导函数，则一 f (sinx 2 ) 2xcosx 2 f (u) dx u sin x 2 7. 设函数y f （e x ）可微,则dy e x f(e x )dx . 9. 10. 设 df (x)」^dx ,则 f (x) 1 x dx f(x)df(x) f(x)df(x) . f (x)dx f (x) c . arctgx .

1u n发散，则n imu n 0.

14.级数 X n (x 0)收敛的充分必要条件是 X 1. 1 15.级数 1 nz 收敛的充分必要条件是p 16.如果 a(|)n 1 4 1，则常数a 1 4 17. —f(x,y) X X X 0 y y 0 f (x, y 。) x Xo - 18.设 z xy r 「 Z X ，则—— X xy 1 xyx 19. d-f[x,y(x)] dx X f y y (X). 20.设 f 、u 、 v 都是可微函数，则一 f [u(x, y), v(x, y)] f^U X X f￡. X 二、单项选择题 1.设 f(x) X, 0 X, 2 2, X 0则f(X)的定义域为 A.( B.[ 2,2 ) C. ( ,2 ] D.[ 2,2 ] 2.设 f(X)的定义域为( ,0),则函数 f (In X) 的定义域是 A. (0, B.(0,1 ] C.(1 , D.(0,1) 3.设 f(X 1) X (X 1),则 f(X)= A. x(x 1) B. x(x 1) C.(x 1)(x 2) D.X 2 4.下列函数中，奇函数为 A. sin(cosx) B.l n(x J x 2 1) 1 X C. tgxln C f si nx D. e sin n 5. lim ----- n n 1 A.0 B.1 C. 1 D.

微积分总复习题与答案

第五章一元函数积分学例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =）解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++???

微积分课后习题答案

习题1—1解答 1．设y x xy y x f + =),(，求) ,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y x xy y x f + =--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1( 2．设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++= ) ,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?= 3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）;11),(22-+-=y x y x f （2）;) 1ln(4),(222y x y x y x f ---= （3）;1),(22 2222c z b y a x y x f ---= （4）.1),,(2 2 2 z y x z y x z y x f ---++= 解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2） { y y x y x D ,10),(2 2 <+<=

（3） ????++=),(2 2222b y a x y x D （4）{} 1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D 4．求下列各极限：（1）2 21 01lim y x xy y x +-→→=1100 1=+- （2）2ln 0 1)1ln(ln(lim 02 2 )0 1 =++= ++→→e y x e x y y x （3）41 )42()42)(42(lim 42lim 000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x （4）2) sin(lim )sin(lim 202=?=→→→→x xy xy y xy y x y x 5．证明下列极限不存在：（1）;lim 0 0y x y x y x -+→→ （2）22 22200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim 00 20-=-+=-+→→=→x x x x y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 00 20==-+→→=→y y y x y x y y x y x

微积分课后习题答案

微积分习题讲解与答案

大学高等数学上考试题库(附答案)

微积分试题及答案(5)

微积分课后习题答案

微积分试题及答案

大学微积分复习题

微积分试卷及答案

微积分2习题答案

高等数学试题及答案

清华大学微积分习题(有答案版)

最新微积分5习题答案

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大一上微积分试题(山东大学)

微积分(下册)期末试卷与答案

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