八年级下第一次月考试卷--数学(有答案) (2)

八年级数（下）学月考试卷

一、选择题，每小题3分，共18分

1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）

A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°

2．用反证法证明“a≥b”时应假设（）

A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a≤b

3．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）

A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC

4．一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（）

A．B．C．D．

5．Rt△ABC中，∠B=90°∠A=30°．以C为圆心，小于BC长为半径画弧与AC、BC边交于点F、E．分别以E、F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点N，若BC=，则点M到AC的距离是（）

A．1 B．C．D．3

6．如图：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB=CE，则下列结论：①DE=DF，②AE=AF，③BD=CD，④AD⊥BC．其中正确的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题，每小题3分，共24分

7．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是．

8．若a＜b，那么﹣2a+9﹣2b+9（填“＞”“＜”或“=”）．

9．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．

10．不等式2x+10≥3（x+2）的正整数解是．

11．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是cm．

12．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于．

13．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3：2，则该行李箱的长的最大值为cm．14．如图，在一张长为18cm、宽为16cm的长方形纸片上，现要剪一个腰长为10cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上），则剪下的等腰三角形的面积是．

三、解答题

15．用适当的符号表示下列关系：

（1）y的一半与5的差是非负数：

（2）x的3倍与1的和小于x的2倍与5的差．

16．解下列不等式≤﹣1，并将解集在数轴上表示出来．

17．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O，求证：△ABC≌△DCB．

18．如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形（边长为1），我们把小正方形的顶点称为格点，请你只用直尺和铅笔，完成下列作图；

（1）如图（1）作一点M，使MA=MB，MC=MD．

（2）如图（2）方格纸上有一个角∠AOB，小方格的顶点（格点）上标出一个点P，使P落在∠AOB 的平分线上．

19．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．

（1）求证：△ACD是等腰三角形；

（2）若AE=5，△CBD的周长为24，求△ABC的周长．

20．为建设“生态园林城市”吉安市绿化提质改造工程正如火如茶地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？

（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？

21．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF=2CD．

22．某公交公司有A、B两种客车，它们的载客数量和租金如表；

A B

载客量（人/辆）4530

租金（元/辆）400280

红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题；

（1）用含x的式子填写表格

车辆数（辆）载客量租金（元）

A x45x400x

B5﹣x

（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；

（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．

23．我们引入如下概念，

定义；到三角形的两条边的距离相等的点，叫做此三角形的准内心，举例：如图1，PE⊥BC，若PE=PD则P为△ABC的准内心

（1）填空；根据准内心的概念，图1中的点P在∠BAC的上．

（2）应用；如图2，△ABC中，AC=BC=13，AB=10，准内心P在AB上，求P到AC边的距离PD的长．

（3）探究；已知△ABC为直角三角形，AC=BC=6，∠C=90°，准内心P在△ABC的边上，试探究PC 的长．

24．如图（a），已知点B（0，6），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．

（1）求证：BO=DE．

（2）如图（b），当点D恰好落在BC上时，

①求OC的长及点E的坐标；

②在x轴上是否存在点P，使得△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；如不存在，说明理由．

③如图（c），点M是线段BC上的动点（点B，C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH+MG的值是否发生变化？如不会变化，直接写出MH+MG的值；如会变化，简要说明理由．

八年级数学（下）月考试卷

参考答案与试题解析

一、选择题，每小题3分，共18分

1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）

A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．

【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，

②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，

综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．

故选：B．

2．用反证法证明“a≥b”时应假设（）

A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a≤b

【考点】反证法．

【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是a≥b的反面有多种情况，需一一否定．【解答】解：用反证法证明“a≥b”时，应先假设a＜b．

故选：A．

3．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）

A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC

【考点】全等三角形的判定．

【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．

【解答】解：∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

∴AF=CE，

A、∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；

B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；

C、∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；

D、∵AD∥BC，

∴∠A=∠C，

∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；

故选B．

4．一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（）

A．B．C．D．

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．

【分析】首先根据解一元一次不等式的方法，求出不等式2（x+1）≥4的解集，然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法，把不等式2（x+1）≥4的解集在数轴上表示出来即可．

【解答】解：由2（x+1）≥4，

可得x+1≥2，

解得x≥1，

所以一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为：

．

故选：A．

5．Rt△ABC中，∠B=90°∠A=30°．以C为圆心，小于BC长为半径画弧与AC、BC边交于点F、E．分别以E、F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点N，若BC=，则点M到AC的距离是（）

A．1 B．C．D．3

【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形；作图—基本作图．

【分析】先求出∠ACB的度数，求出∠ACM=∠BCM=30°，根据含30°角的直角三角形性质求出CM=2BM，求出BM长，根据角平分线性质求出即可．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°∠A=30°，

∴∠ACB=60°，

∵以C为圆心，小于BC长为半径画弧与AC、BC边交于点F、E．分别以E、F为圆心，大于EF 为半径画弧，两弧交于点N，

∴∠ACM=∠MCB=30°，

∵∠B=90°，

∴CM=2BM，

∵BC=，

∴由勾股定理得：BM2+（）2=（2BM）2，

解得：BM=1，

∵∠B=90°，∠ACM=∠BCM，

∴点M到AC的距离等于BM的长，即是1，

故选A．

6．如图：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB=CE，则下列结论：①DE=DF，②AE=AF，③BD=CD，④AD⊥BC．其中正确的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】根据角平分线性质求出DF=DE即可；根据勾股定理和DE=DF即可求出AE=AF；求出AB=AC，根据等腰三角形的三线合一定理即可判断③④正确．

【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴DE=DF，∴①正确；

由勾股定理得：AF=，AE=，

∵AD=AD，DF=DE，

∴AE=AF，∴②正确；

∵AF=AE，BF=CE，

∴AB=AC，

∵AD平分∠BAC，

∴BD=DC，AD⊥BC，

∴③④都正确；

∴正确的有4个．

故选D．

二、填空题，每小题3分，共24分

7．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，内错角相等．

【考点】命题与定理．

【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．

【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．

将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等．

故答案为：两直线平行，内错角相等．

8．若a＜b，那么﹣2a+9＞﹣2b+9（填“＞”“＜”或“=”）．

【考点】不等式的性质．

【分析】不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以一个负数，不等号的方向改变．

【解答】解：∵a＜b，

∴﹣2a＞﹣2b，

∴﹣2a+9＞﹣2b+9

9．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为5．

【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．

【解答】解：根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0，

解得a=1，b=2，

①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，

∵1+1=2，

∴不能组成三角形，

②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，

能组成三角形，

周长=2+2+1=5．

故答案为：5．

10．不等式2x+10≥3（x+2）的正整数解是1，2，3，4．

【考点】一元一次不等式的整数解．

【分析】先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可．

【解答】解：2x+10≥3（x+2），

2x+10≥3x+6，

2x﹣3x≥6﹣10，

﹣x≥﹣4，

x≤4，

所以不等式的正整数解为1，2，3，4，

故答案为：1，2，3，4．

11．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是18cm．

【考点】等边三角形的判定与性质．

【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．

【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OA=OB=18cm，

故答案为：18

12．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于3cm．

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

【分析】由BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC，易得△BDI与△ECI是等腰三角形，继而求得答案．

【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，

∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，

∵DE∥BC，

∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，

∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，

∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，

∴DE=DI﹣EI=3（cm）．

故答案为：3cm．

13．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3：2，则该行李箱的长的最大值为78cm．【考点】一元一次不等式的应用．

【分析】设长为3x，宽为2x，再由行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，可得出不等式，解出即可．

【解答】解：设长为3x，宽为2x，

由题意，得：5x+30≤160，

解得：x≤26，

故行李箱的长的最大值为78．

故答案为：78cm．

14．如图，在一张长为18cm、宽为16cm的长方形纸片上，现要剪一个腰长为10cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上），则剪下的等腰三角形的面积是50cm2或40cm2或30cm2．

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【分析】分3种情况进行讨论：（1）当AE=AF=10cm时（如图1），直接求出三角形的面积；（2）当AE=EF=10cm时（如图2），根据勾股定理，求出BF，再求出三角形的面积；

（3）当AE=EF=10cm时（如图3），根据勾股定理，求出DF，再求出三角形的面积．

【解答】解：分3种情况：

（1）当AE=AF=10cm时，

如图1所示：

S△AEF=AE?AF=50（cm2）

（2）当AE=EF=10cm时，

如图2所示：

BF==8（cm）

S△AEF=AE?BF=40（cm2）

（3）当AE=EF=10cm时

如图3所示：

DF==6cm

=AE?DF=30（cm2）；γ

∴S

△AEF

故答案为：50cm2或40cm2或30cm2．

三、解答题

15．用适当的符号表示下列关系：

（1）y的一半与5的差是非负数：

（2）x的3倍与1的和小于x的2倍与5的差．

【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．

【分析】（1）首先表示y的一半为y，再表示与5的差为y﹣5，然后表示非负数即可；

（2）x的3倍与1的和表示为3x+1，x的2倍与5的差表示为2x﹣5，然后再抓住关键词“小于”列出不等式．

【解答】解：（1）根据题意，可得：y﹣5≥0；

（2）根据题意，得：3x+1＜2x﹣5．

16．解下列不等式≤﹣1，并将解集在数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．

【解答】解：去分母，得：4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，

去括号，得：8x﹣4≤9x+6﹣12，

移项，得：8x﹣9x≤6﹣12+4，

合并同类项，得：﹣x≤﹣2，

系数化为1，得：x≥2，

解集在数轴上表示为：

17．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O，求证：△ABC≌△DCB．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】根据已知条件，用HL即可证明△ABC≌△DCB．

【解答】证明：在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，

，

∴△ABC≌△DCB（HL）．

18．如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形（边长为1），我们把小正方形的顶点称为格点，请你只用直尺和铅笔，完成下列作图；

（1）如图（1）作一点M，使MA=MB，MC=MD．

（2）如图（2）方格纸上有一个角∠AOB，小方格的顶点（格点）上标出一个点P，使P落在∠AOB

的平分线上．

【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．

【分析】（1）如图1中，线段AB的垂直平分线EF与线段CD的垂直平分线GH的交点即为所求的点M．

（2）如图2中，连接AB、EF的交点为G，作射线OG，在射线OG上取格点（如图所示）．

【解答】解：（1）如图1中，线段AB的垂直平分线EF与线段CD的垂直平分线GH的交点即为所求的点M．

（2）如图2中，连接AB、EF的交点为G，作射线OG，在射线OG上取格点（如图所示）．

19．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．

（1）求证：△ACD是等腰三角形；

（2）若AE=5，△CBD的周长为24，求△ABC的周长．

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，证明结论；

（2）根据线段的垂直平分线的定义得到EC=EA=5，根据△CBD的周长为24，得到答案．

【解答】（1）证明：∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA=DC，

∴△ACD是等腰三角形；

（2）解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴EC=EA=5，

∵△CBD的周长为24，

∴CB+BD+CD=24，

∴CB+AB=24，

∴△ABC的周长=AC+BC+AB=34．

20．为建设“生态园林城市”吉安市绿化提质改造工程正如火如茶地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？

（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？

【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．

【分析】（1）设需购买甲种树苗x棵，则需购买乙种树苗棵，根据“购买两种树苗的总金额为90000元”列一元一次方程求解即可得；

（2）设购买甲种树苗a棵，则需购买乙种树苗棵，根据“购买甲种树苗的金额≥购买乙种树苗的金额”列不等式求解可得．

【解答】解：（1）设需购买甲种树苗x棵，则需购买乙种树苗棵，

根据题意，得：200x+300=90000，

解得：x=300，

∴购买乙种树苗400﹣300=100（棵），

答：需购买甲种树苗300棵，则需购买乙种树苗100棵；

（2）设购买甲种树苗a棵，则需购买乙种树苗棵，

根据题意，得：200a≥300，

解得：a≥240，

答：至少应购买甲种树苗240棵．

21．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF=2CD．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．

【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，

∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，

∴∠CFD=∠B，

∵∠CFD=∠AFE，

∴∠AFE=∠B

在△AEF与△CEB中，

，

∴△AEF≌△CEB（AAS）；

（2）∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BC=2CD，

∵△AEF≌△CEB，

∴AF=BC，

∴AF=2CD．

22．某公交公司有A、B两种客车，它们的载客数量和租金如表；

A B

载客量（人/辆）4530

租金（元/辆）400280

红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题；

（1）用含x的式子填写表格

车辆数（辆）载客量租金（元）

A x45x400x

B5﹣x30（5﹣x）280（5﹣x）

（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；

（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．

【考点】一元一次不等式的应用．

【分析】（1）根据题意，载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，列出代数表达式即可；

（2）根据题意，表示出租车总费用，列出不等式即可解决；

（3）由（2）得出x的取值范围，一一列举计算，排除不合题意方案即可．

【解答】解：（1）∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，

∴B型客车载客量=30（5﹣x）；B型客车租金=280（5﹣x）；

填表如下：

车辆数（辆）载客量租金（元）

A x45x400x

B5﹣x30（5﹣x）280（5﹣x）

（2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤4，

∴x的最大值为4；

（3）由（2）可知，x≤4，故x可能取值为0、1、2、3、4，

①A型0辆，B型5辆，租车费用为400×0+280×5=1400元，但载客量为45×0+30×5=150＜195，故不合题意舍去；

②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4=1520元，但载客量为45×1+30×4=165＜195，故不合题意舍去；

③A型2辆，B型3辆，租车费用为400×2+280×3=1640元，但载客量为45×2+30×3=180＜195，故不合题意舍去；

④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2=1760元，但载客量为45×3+30×2=195=195，符合题意；

⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400×4+280×1=1880元，但载客量为45×4+30×1=210，符合题意；

故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆．

故答案为：30（5﹣x）；280（5﹣x）．

23．我们引入如下概念，

定义；到三角形的两条边的距离相等的点，叫做此三角形的准内心，举例：如图1，PE⊥BC，若PE=PD则P为△ABC的准内心

（1）填空；根据准内心的概念，图1中的点P在∠BAC的平分线上上．

（2）应用；如图2，△ABC中，AC=BC=13，AB=10，准内心P在AB上，求P到AC边的距离PD的长．

（3）探究；已知△ABC为直角三角形，AC=BC=6，∠C=90°，准内心P在△ABC的边上，试探究PC 的长．