定理和命题解答题专项练习30题(有答案)OK

命题和定理解答题专项练习30题

1．如图所示，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有六个条件，请你在其中选三个作为已知条件，余下的选一个作为结论，编写出一个真命题，并说明理由．①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF；⑤∠ACB=∠DEF；⑥∠A=∠D（填写序号即可）

已知：_________ ；

结论：_________ ；

理由：_________ ．

2．在数学课上，陈老师在黑板上画出如图所示的图形，在△AEC和△DFB中，已知∠E=∠F，点A，B，C，D在同一直线上，并写下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF．请同学们从中再任意选取两个作为补充条件，剩下的那个关系式作为结论构造命题．小明选取了关系式①，②作为条件，关系式③作为结论．你认为按照小明的选法得到的命题是真命题吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请举出反例．

3．已知线段AC与BD相交于点O，连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）．

（1）添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC．

（2）分别将“∠A=∠D”记为①，“∠OEF=∠OFE”记为②，“AB=DC”记为③，

若添加条件②、③，以①为结论构成另一个命题，则该命题是_________ 命题

（选择“真”或“假”填入空格，不必证明）．

4．如果∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α和∠β的度数．

5．如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．

①AB⊥BC、CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1=∠2．

题设（已知）：_________ ．

结论（求证）：_________ ．

证明：_________ ．

6．请你写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请写出已知、求证、证明；若是假命题，则请举反例证明．

7．写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题．

8．已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．

（1）写出逆命题；

（2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．

9．判断“平面上只要有两直线平行，就有内错角相等”这个命题是否为真命题．

10．请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明．

11．判断下列命题的真假，如果是假命题请举一个反例：

①相等的角是对顶角；

②有一个内角相等的两个等腰三角形相似；

③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．

命题、定理与证明

13.1命题、定理与证明 学习目标：了解什么是命题，能正确区分命题的题设和结论，能把命题改写成“如果…那么…”的形式。了解公理和定理的概念及公理与定理的区别。能认识真命题和假命题。 一、自主学习 1.试判断下列句子是否正确． （1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（） （2）两直线平行，同位角相等；（） （3）同旁内角相等，两直线平行；（） （4）平行四边形的对角线相等；（） （5）直角都相等．（） 2.判断一件事情是_______或________的句子叫做命题，其中正确的命题叫做___________,错误的命题叫做_____________. 3.练习：下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？ (1)、猪有四只脚； (2)、三角形两边之和大于第三边； (3)、画一条线段； (4)、四边形都是菱形； (5)、你的作业做完了吗？ (6)、多边形的外角和等于180度； (7)、过点P做线段MN的垂线。 (8)、一个锐角与一个钝角的和等于一个平角。 4.命题由___________和_________两部分组成. 这样的命题常可写成__________________的形式. 二、合作探究 例如：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等; “如果两个角是对顶角”是已知事项，就是命题的题设部分；“那么这两个角相等”是由已知事项推出的事项，就是命题的结论部分； 例1：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论。

练习：把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论。 （1）全等三角形的对应边相等； （2）平行四边形的对边相等； （3）等腰三角形的两个底角相等 定理与公理的判别：___________需要证明，证明之后就可以直接加以运用，而__________则不需要证明，可以直接加以运用，也可以用来证明_____________. 例如下列的真命题作为公理： 1).一条直线截两条平行直线所得的同位角相等； 2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 3)两点之间，线段最短．（阅读教材55-56页） 数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 例2：证明：直角三角形的两个锐角互余。 已知：如图19.1.1，在Rt△ABC中，∠C＝90°求证：∠A＋∠B＝90°． 公理、定理、命题的关系： 真命题 公理（真确性由实践总结） 命题定理（真确性通过推理证实） 三、展示提升 1.下列语句中不是命题的是（） A 延长线段A B B 自然数也是整数 C 两个锐角的和一定是直角 D 同角的余角相等 2 下列四个命题中是真命题的有（） （1）同位角相等；（2）相等的角是对顶角； （3）直角三角形的两个锐角互余；（4）三个内角相等的三角形是等边三角形 图19.1.1

(完整版)初中数学专题命题、定理、证明含答案

5.3.2 命题、定理、证明 要点感知1 __________一件事情的语句叫做命题,命题常可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”后面接的部分是__________,“那么”后面接的部分是__________. 预习练习1-1下列语句中,是命题的是( ) A.有公共顶点的两个角是对顶角 B.在直线AB上任取一点C C.用量角器量角的度数 D.直角都相等吗 1-2 将“两点之间，线段最短”写成“如果……那么……”的形式：______________________________. 要点感知2 题设成立,并且结论一定成立的命题叫做__________；题设成立,不能保证结论__________的命题叫做假命题. 预习练习2-1下列命题中的真命题是( ) A.锐角大于它的余角 B.锐角大于它的补角 C.钝角大于它的补角 D.锐角与钝角之和等于平角 要点感知 3 经过推理证实为正确并可以作为推理的依据的真命题叫做__________.很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能做出判断,这个推理的过程叫做__________. 预习练习3-1如图，BD平分∠ABC，若∠BCD＝70°，∠ABD＝55°.求证：CD∥AB. 知识点1 命题的定义 1.下列语句中，是命题的是( ) ①若∠1=60°，∠2=60°，则∠1=∠2；②同位角相等吗？③画线段AB=CD；④如果a>b,b>c,那么a>c；⑤直角都相等. A.①④⑤ B.①②④ C.①②⑤ D.②③④⑤ 知识点2 命题的结构 2.命题的题设是__________事项，结论是由__________事项推出的事项. 3.把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是____________________. 4.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并分别指出它们的题设和结论： (1)两点确定一条直线； (2)同角的补角相等； (3)两个锐角互余. 知识点3 命题的真假及证明

余弦定理练习题及答案解析

1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是() A．8B．217 C．6 2 D．219 解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝219. 2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为() A. 57 19 B. 21 7 C. 3 38D．－ 57 19 解析：选A.c2＝a2＋b2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19. ∴c＝19. 由a sin A＝ c sin C得sin A＝ 57 19. 3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________． 解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a2 2·2a·2a＝ 7 8. 答案：7 8 4．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解：法一：根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2ac cos B. ∵B＝60°，2b＝a＋c， ∴(a＋c 2) 2＝a2＋c2－2ac cos 60°， 整理得(a－c)2＝0，∴a＝c. ∴△ABC是正三角形． 法二：根据正弦定理， 2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C. 又∵B＝60°，∴A＋C＝120°， ∴C＝120°－A， ∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)， 整理得sin(A＋30°)＝1， ∴A＝60°，C＝60°. ∴△ABC是正三角形． 课时训练一、选择题 1．在△ABC中，符合余弦定理的是() A．c2＝a2＋b2－2ab cos C B．c2＝a2－b2－2bc cos A C．b2＝a2－c2－2bc cos A D．cos C＝a2＋b2＋c2 2ab 解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题． 2．(2011年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是() A.12 13 B. 5 13

5.3.2 命题、定理、证明(教案)

5.3.2 命题、定理、证明 【知识与技能】 1.知道什么叫做命题，什么叫真命题，什么叫做假命题，什么叫定理. 2.理解命题由题设和结论两部分组成，能将命题写成“如果……那么……”的形式或“若……则……”的形式. 【过程与方法】 通过对若干个命题的分析，了解什么叫命题以及命题的组成，知道什么叫做真命题，什么做假命题，什么叫做定理. 【情感态度】 通过本节的学习使同学们明白命题在数学上的重要作用，不仅如此，命题在其它许多学科都有重要作用. 【教学重点】 命题的定义，命题的组成. 【教学难点】 命题的判断，真假命题的判断，命题的题设和结论的区分. 一、情境导入，初步认识 问题1 分析下列判断事情的语句，指出它们的题设和结论. （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. （3）对顶角相等. （4）等式两边加同一个数，结果仍是等式. 问题2 判断下列语句，是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题. （1）画线段AB=5cm. （2）两条直线相交，有几个交点？ （3）如果直线a∥b,b∥c,那么a∥c. （4）直角都相等. （5）相等的角是对顶角.

【教学说明】全班同学合作交流，即先分组完成上面的两个问题，然后交流成果，最后得出正确的答案. 二、思考探究，获取新知 思考 1.真命题与定理有什么样的关系. 2.对题设和结论不明显的命题，怎样找出它们的题设和结论. 【归纳结论】1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题. 2.命题由题设和结论两部分组成 3.真命题与假命题：正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题. 4.定理是经过推理证实的真命题，是在今后推理中经常作为依据的一种真命题.但不是所有经过推理证实的真命题都把它当作定理. 对于题设和结论不明显的命题，应先将它改写成“如果……那么……”的形式或“若……则……”的形式.一般来说，如果前面的部分是题设，那么后面的部分是结论.将这种命题改写成“如果……那么……”的形式时，那么后面的部分一定要简单明了. 三、运用新知，深化理解 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题.举出一个反例. （1）若a＞b,则a2＞b2. （2）两个锐角的和是钝角. （3）同位角相等. （4）两点之间，线段最短. 【教学说明】本环节让同学们分组讨论，在合作交流中深刻理解命题的组成和真假命题的判断. 【答案】略. 四、师生互动，课堂小结 请几名学生口答，然后由教师归纳，可用电脑课件放映到屏幕上. 1.布置作业：从教材“习题5.3”中选取. 2.完成练习册中本课时的练习.

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案教学内容

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案 一、选择题 1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3， cos C ＝－ 41，则c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150° 3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝ 150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 4．在△ABC 中，已知3 2sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)5 12 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝ 1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3 二、填空题 6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝ 45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________.

8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2cos B cos C＝1－cos A，则△ABC形状是________三角形. 9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B ＝60°，则c＝________. 10．在△ABC中，若tan A＝2，B＝45°，BC＝5，则AC＝________. 三、解答题 11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC. 12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13. (1)求角B的大小； (2)若D是BC的中点，求中线AD的长. 13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.

《逆命题与逆定理》教案

《逆命题与逆定理》教案 教学目的 1、理解互逆命题与互逆定理； 2、正确应用互逆命题与互逆定理； 3、线段的垂直平分线定理及逆定理； 4、角平分线定理及逆命题的应用． 重点与难点 区分互逆命题与互逆定理； 线段的垂直平分线定理及逆定理的应用； 角平分线定理及逆命题的应用． 教学过程 【一】 我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”都是命题． 上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置． 一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题． 命题“两直线平行，内错角相等”的题设为____________________________________； 结论为____________________________________． 因此它的逆命题为 _____________________________________________． 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题． 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理． 我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理． 一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理． 练习 1．说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题： (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； (2)等边三角形的每个角都等于60°； (3)全等三角形的对应角相等． 2．举例说明下列命题的逆命题是假命题： (1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除； (2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等． 3．在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命题都正确的例子(即互逆定理)？试举出几对． 课堂小结： 总结一下你所学过的知识． 【二】 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．我们也可用逻辑推理的方法证明这一结论．

《命题、定理、证明》练习题(含答案)

5.3.2 命题、定理、证明 1.下列语句中，是命题的是( ) ①若∠1=60°，∠2=60°，则∠1=∠2；②同位角相等吗？③画线段AB=CD；④如果a>b,b>c,那么a>c；⑤直角都相等. A.①④⑤ B.①②④ C.①②⑤ D.②③④⑤ 2.命题的题设是__________事项，结论是由__________事项推出的事项. 3.下列命题中，是真命题的是( ) A.若|x|=2，则x=2 B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 D.任何一个角都比它的补角小 4.下列命题中，是假命题的是( ) A.相等的角是对顶角 B.垂线段最短 C.同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种 D.两点确定一条直线 5.下列说法正确的是( ) A.“作线段CD=AB”是一个命题 B.过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条 C.命题“若x=1，则x2=1”是真命题 D.“具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义 6.下列三个命题：①同位角相等，两直线平行；②两直线和第三条直线相交，同位角相等； ③过两点有且只有一条直线.其中真命题有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.对于下列假命题,各举一个反例写在横线上. (1)“如果ac=bc,那么a=b”是一个假命题. 反例：______________________________； (2)“如果a2=b2,则a=b”是一个假命题. 反例：______________________________. 8.把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假. (1)等角的补角相等； (2)不相等的角不是对顶角； (3)相等的角是内错角. 9.(1)如图，请在AB∥CD，∠A=30°，∠CDA=30°三项中选择两个作为条件，一个作为结论，写一个命题：如果__________且__________，那么__________.

《命题+定理与证明》教案

《命题、定理与证明》教案 教学目标 知识与技能： 1、了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解；会区分命题的条件和结论；知道判断一个命题是假命题的方法； 2、了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性. 过程与方法： 1、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识； 2、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识. 情感、态度与价值观： 初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值. 重点 找出命题的条件（题设）和结论； 知道什么是公理，什么是定理. 难点 命题概念的理解； 理解证明的必要性. 教学过程 【一】 一、复习引入 教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等.根据我 们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确. 1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 2、两直线平行，同位角相等； 3、同旁内角相等，两直线平行； 4、平行四边形的对角线相等； 5、直角都相等. 二、探究新知 （一）命题、真命题与假命题 学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4是错误的.像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题. 教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式.用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论.例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论. 有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了.例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等.” （二）实例讲解 D C B A

逆命题与逆定理(基础)知识讲解

逆命题与逆定理（基础） 责编：杜少波 【学习目标】 1．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，会区分命题的题设（条件）和结论，并能判断一个命题的真假；会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立； 2．理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题； 3．理解并掌握线段垂直平分线性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题． 【要点梳理】 要点一、互逆命题与互逆定理 1.互逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题. 要点诠释：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的. 2.互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 要点诠释： （1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理； (2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理. 要点二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理 线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 要点诠释： 性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了. 要点二、角平分线性质定理及其逆定理 角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点诠释： 性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 【典型例题】 类型一、互逆命题与互逆定理 1、“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是 . 【答案】轴对称图形是等腰三角形 【解析】根据轴对称图形的概念求解．逆命题是结果与条件互换一下的说法． 【总结升华】掌握好逆命题，及轴对称的概念． 举一反三： 【变式】下列定理中，没有逆定理的是（）． A.全等三角形的对应角都相等 B.全等三角形的对应边都相等 C.等腰三角形的两底角相等 D.等边三角形的三边都相等 【答案】A 类型二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理

余弦定理练习题(含答案)

余弦定理练习题 1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1 3 ，那么AC 等于( ) A ．6 B ．2 6 C ．3 6 D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2 ＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150° ? 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2 )tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) 或5π6 或2π 3 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．2 3 或2 3 D ．2 ~ 9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1 3 ，S △ABC ＝43，则b ＝________. 15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 2 4 ，则角C ＝________. 16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2 －23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长． ` 18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为1 6 sin C ，求角C 的度数． ： 19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π 4 )的值． 20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状． —

命题定理与证明教案完整版

命题定理与证明教案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]

《命题、定理与证明》教案 教学目标 知识与技能： 1、了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解；会区分命题的条件和结论；知道判断一个命题是假命题的方法； 2、了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性. 过程与方法： 1、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识； 2、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识. 情感、态度与价值观： 初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值. 重点 找出命题的条件（题设）和结论； 知道什么是公理，什么是定理. 难点 命题概念的理解； 理解证明的必要性. 教学过程 【一】 一、复习引入 教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180 度”，“等腰三角形两底角相等”等.根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确. D C B A

1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 2、两直线平行，同位角相等； 3、同旁内角相等，两直线平行； 4、平行四边形的对角线相等； 5、直角都相等. 二、探究新知 （一）命题、真命题与假命题 学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4是错误的.像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题. 教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式.用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论.例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论. 有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了.例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等.” （二）实例讲解 1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论. 学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”.这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”. 2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题. （1）对顶角相等； （2）如果a＞b，b＞c，那么a=c；

余弦定理练习题及答案

余弦定理练习题及答案 积累巩固 1. 已知c b a ,,是ABC ?中角C B A ,,的对边,若a =5,4,b c ==则A ＝ . 2. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===?则A ＝ . 3. 在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则 cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 ． 4. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ． 5. 在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，求边C ． 延伸拓展 6. 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝ 2 ，A ＝45°，解此三角形． 7. 已知a 、b 、c 分别是ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对的边，若ABC ?面积 ,60,2,2 3?===?A c S ABC 求a 、b 的值． 8.在 △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .若 2 23cos cos 222C A a c b ?+?=，求证： ． 9. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知222b c a +=，求： （1）A 的大小；（2）2sin cos sin()B C B C --的值． 10. 设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且A=60 ，c=3b.求： （1） a c 的值；（2）cos cos sin sin B C B C +的值. 创新应用 11. 在△ABC 中，a 、b 是方程02322 =+-x x 的两根，且1)cos(2=+B A .求： （1）角C 的度数；（2）c ；（3）△ABC 的面积. 12. 已知A 、B 、C 为ABC ?的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若2 1sin sin cos cos =-C B C B ． （1）求A ； （2）若4,32=+=c b a ，求ABC ?的面积 ．

逆命题与逆定理教案

19.4.2 等腰三角形的判定 主备人：王启彤 教学目标 1.理解等腰三角形的判定方法和证明过程，掌握运用“等角对等边” 证明等腰三角形的方法，提高逻辑推理能力； 2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，掌握分析问题和 解决问题的方法； 3.极度热情、全力以赴，体会数学源于实践，又服务于实践的辩 证唯物主义观点。 教学重点难点重点：等腰三角形的判定方法及其应用。 难点：等腰三角形判定方法的证明中添加辅助线的思想方法以及等腰三角形性质与判定的区别。 教学方法教学过程 一、预习案 1.等腰三角形性质定理的逆命题是什么？勾股定理的逆命题是什么？ 2.等腰三角形性质定理的逆命题可以用来证明它是一个等腰三角形吗？ 3.等腰三角形有几种证明方法？分别是什么？怎样证明一个三角形是直角三角形？ 二、基础知识探究 探究点一等腰三角形的判定定理（重点） 问题1：如图1，在△ABC中，AB=AC，图中必有哪些相等？为什么？ 答案：∠B=∠C，根据的是等腰 三角形的性质定理。 问题2：反过来，若∠B=∠C，一定有AB=AC吗？并证明你的结论. 答案：一定。已知△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. 思路分析：联想证明有关线段相等的知识知道，需先构造以AB、AC为对应边的全等三角形。因为已知∠B=∠C，没有对应边

相等，所以需添加辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线 应从A 点引出.再让学生回想等腰三角形中常添加的辅助线， 学生可以作∠BAC 的平分线AD 交BC 于D 或作BC 边上的高 AD 等，证明三角形全等，从而推出AB=AC. 证明：如图2，作∠BAC 的平分线AD 交 BC 于D.在△BAD 和△CAD 中，因为 ∠B=∠C, ∠1=∠2,AD=AD, 所以△BAD ≌△CAD(A.A.S.).所以 AB=AC （全等三角形的对应边相等）. 问题3：等腰三角形的判定定理是什么？ 答案：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边 也相等.（简写成“等角对等边”） 问题4：还可以用其他方法判定等腰三角形吗？ 答案：直接利用等腰三角形的定义也可以判定等腰三角形. 归纳总结：等腰三角形的判定方法有两种：（1）根据定义，即 在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形为等腰 三角形；（2）等腰三角形的判定定理。 探究点二 勾股定理的定理 问题1：什么是勾股定理？ 答案：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定 等于斜边长的平方. 问题2：勾股定理的逆命题是什么？ 答案：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和， 那么这个三角形是直角三角形. 问题3：如何证明该命题的正确性？ 答案：已知：如图3，在△ABC 中， AB=c ，BC=a ，CA=b,且222a b c +=. 求证：△ABC 是直角三角形. 图1 图2 思路分析：首先构造直角三角形A 1 B 1 C 1 ，使∠C 1 =90°， B 1 C 1 =a ，C 1 A 1 =b ，然后可以证明△ABC ≌△A 1 B 1 C 1 ，从而

5.3.2命题、定理、证明(教案1)

5.3.2 命题、定理、证明 一、教学目标 1．了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据． 2．了解综合法证明的格式和步骤． 3．通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力． 4．通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力． 5．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法． 二、学法引导 1．教师教法：尝试指导，引导发现与讨论相结合． 2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现． 三、重点·难点及解决办法 （－）重点 证明的步骤和格式是本节重点． （二）难点 理解命题，分清其题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证． （三）解决办法 通过学生分组讨论，教师归纳得出证明的步骤和格式，再以练习加以巩固，解决重点、难点及疑点． 四、课时安排 l课时 五、教具学具准备 投影仪、三角板、自制胶片． 六、师生互动活动设计

1．通过引例创设情境，点题，引入新课． 2．通过情境教学，学生分组讨论，归纳总结及练习巩固等手段完成新授． 3．通过提问的形式完成小结． 七、教学步骤 （－）明确目标 使学生严密推理过程，掌握推理格式，提高推理能力。 （二）整体感知 以情境设计，引出课题，引导讨论，例题示范讲解新知，以练习巩固新知． （三）教学过程 创设情境，引出课题 师：上节课我们学习了定理与证明，了解了这两个概念．并以证明“两直线平行，内错角相等”来说明什么是证明．我们再看这一命题的证明（投影出示）． 例1 已知：如图1， ， 是截线，求证： ． 证明：∵ （已知），∴ （两直线平行，同位角相等）． ∵ （对项角相等），∴ （等量代换）． 这节课我们分析这一命题的证明过程，学习命题证明的步骤和格式． ［板书］2.9 定理与证明 探究新知 1．命题证明步骤 学生活动：由学生分组讨论以上命题的证明过程，按自己的理解说出证明一个命题都需要哪几步． 【教法说明】根据上一节“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明过程让学生讨论、分析、归纳命题证明的一般步骤，一是可以加深对命题证明的理解， 二是培养学生归纳总结

逆命题与逆定理(提高)知识讲解

逆命题与逆定理（提高）知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，会区分命题的题设（条件）和结论，并能判断一个命题的真假；会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立； 2．理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题； 3．理解并掌握线段垂直平分线性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题． 【要点梳理】 要点一、互逆命题与互逆定理 1.互逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题. 要点诠释：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的. 2.互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 要点诠释： （1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理； (2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理. 要点二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理 线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 要点诠释： 性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了. 要点二、角平分线性质定理及其逆定理 角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点诠释： 性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 【典型例题】 类型一、互逆命题与互逆定理 1、请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明． 【答案与解析】 解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“全等三角形”，结论是“对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题． 举例证明：

正弦定理和余弦定理练习题

【正弦定理、余弦定理模拟试题】 一. 选择题： 1. 在?ABC 中，a b B ===?232245，，，则A 为（ ） A B C D ....60120603015030??????或或 2. 在?AB C A a B b B 中，若，则sin cos =∠=（ ） A B C D ....30456090? ??? 3. 在?ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（ ） A B C D ....604512030? ??? 4. 在?ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→?→+→=+12523，，，则边||AC →等于（ ） A B C D ....5523523523--+ 5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形 6. 在?ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 7. 在?ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则?ABC 是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 正三角形 8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ） A. 52 B. 213 C. 16 D. 4 二. 填空题： 9. 在?ABC 中，a b A B +==?=?126045，，，则a =_______，b =________ 10. 在?ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________ 11. 在?ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________ 12. 在?ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则?ABC 是_________ 三. 解答题： 13. 已知在?ABC 中，∠=?==A a c 4526，，，解此三角形。 14. 在四边形ABCD 中，BC a DC a ==，，2四个角A 、B 、C 、D 的度数的比为3:7:4:10，求AB 的长。 15. 已知?ABC 的外接圆半径是2，且满足条件2222(sin sin )()sin A C a b B -=-。 （1）求角C 。 （2）求?A BC 面积的最大值。 四大题 证明在△ABC 中A a sin =B b sin =C c sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径 证略 见P159 注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明) 2.正弦定理的三种表示方法(P159) 例 二 在任一△ABC 中求证：

(完整版)命题与证明的知识点总结

命题与证明的知识点总结 一、知识结构梳理 二、知识点归类 知识点一定义的概念对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。 注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。 知识点二命题的概念 叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命 如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是湘教版的”等。 注意：（1）命题必须是一个完整的句子。 （2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。 知识点三命题的结构 每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。 例把下列命题改写成“如果------，那么-------”的形式，并指出条件与结论。 1、同角的余角相等 2、两点确定一条直线 知识点四真命题与假命题 如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。 知识点五证明及互逆命题的定义 1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。 注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。 2、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题 叫作另一个命题的逆命题。 注意：一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。 例说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。 （1）直角三角形的两锐角互余；（2）全等三角形的对应角相等。

逆命题和逆定理教案

八年级数学编者：王丽丽校审：刘晓雪时间：11月12号 13.5逆命题与逆定理 教学目标 1、知道原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理等的含义． 2、会写一个命题的逆命题，并会证明它的真假． 3、知道每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理． 4、增强逆向思维的意识，体会辩证思想． 教学重点及难点 重点：写出一个命题的逆命题． 难点：判断逆命题的真假性． 教学过程 一、回顾旧知，引入新课． 1、回顾 前面我们学习了命题的概念，谁能说一说什么叫命题？ “判断一件事情的句子叫做命题．” 我们还知道，命题都有两部分，即题设和结论， 它的一般形式是“如果…，那么…”． 命题有真假之分. 【说明】通过复习引起学生回忆，巩固命题的概念，同时为本节的学习打下基础． 观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？ 第一个命题的条件和结论与第二个命题的题设和结论是相反的．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题． 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题． 二、反馈练习，巩固知识． 例1:说出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题 (1)两直线平行，同位角相等. (2)同位角相等 (3)同角的余角相等练习1:说出下列各命题的逆命题，并判断互逆命题的真假 (1)如果|a|=|b|，那么a=b. (2)等边三角形的三个内角都是60°. (3)两个全等三角形的面积相等. 【说明】及时的练习可以巩固学生刚刚学到的知识,对于一些层次比较好的同学,教师也可以在这个练习时就提出本题中两个命题的逆命题是真是假?这样可以让这些同学积极地思维,判断命题为真,必须进行证明;判断命题为假,只需举出反例即可. 【说明】每个命题都有逆命题,一个命题的逆命题是真是假难以确定. 三、引入新知. 如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理。 四、巩固新知. 例 2 :下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请说出逆定理 (1)同旁内角互补，两直线平行 (2)对顶角相等 (3)全等三角形对应角相等 【说明】写出原定理的逆命题,如果逆命题经过证明为真,那么这个逆命题就是原定理的逆定理;反之,就说明原定理没有逆定理. 练习3:下列说法哪些正确，哪些不正确？ (1) 每个定理都有逆命题。 (2) 每个定理都有逆定理。 (3)有些定理的逆定理可能是假的。 【说明】每个定理都有逆命题，但不一定有逆定理。 练习4： (1)写出一对互逆定理。 (2)写出一个没有逆定理的定理。 例3:已知命题：“若点P是线段AB的垂直平分线上的任意一点,则PA=PB.”证明这个命题的真假，并写出它的逆命题，判断其逆命题的真假？ 五、课堂小结． 如何写出一个命题的逆命题? 如何证明命题的真假性? 互逆命题与互逆定理的联系与区别？ 六、布置作业．课本练习题第1、2题