静态电磁场边值问题的求解方法

第20卷第6期2008年12月

六盘水师范高等专科学校学报

Joum al of L i upan s hui T eacher s C ol l e ge

V01．20N O．6

D ec．2008静态电磁场边值问题的求解方法

祝昆

(六盘水师范高等专科学校物理系；贵州六盘水553004)

摘要：阐述了静态电磁场边值问题的三种求解方法一解析法、有限差分法和有限元法原理。通过具体实例利用

肋山b编写程序和PD E工具籀分别采用不同方法将三种求解方法的结果可视彳{；并进行比较。说明了三种求解方法对解决静态电磁场边值问题的共同点和区则。

关键词：电磁场；解析解；数值解；M AⅡ^B

中图分类号：o“1．5；Tp391．75文献标识码：A文章编号：1671一055x(2008)06一()017一05 Sol、，ing t he B ounda r y

V al啪Probl em of St at i c E l e ct r om agnet i c Fi el d

Z H U K un

(D epanm ent of Phys i cs，“upans hui T eacher s C ol l ege，“upans hui553004，C hina)

A bs t r act：The pr e seI l r pap er di8cu8ses凼e pri nc i pl e of st at i c e l e c t r om a gne t i c f i e l d on t he boundar y val ue pr obl em of t he t I l ree m et l l ods t o s ol ve—an al yt i cal m et ho d'f i ni t e di f&rence m et hod and f i n i t e el em ent m et hod．7111r ough t lle use of spe ci f i c exam pl es M A T L A

B pr ogr am and P D E t ool box i t t r i es t o e xpl a i n how t o use t l lr ee di f亿r e nt m et hods t o sol ve t he m e t hod and t he r e sul t s of vi sua l c om par i s on．It m a ke s a des cr i D t i on

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pr obl em s i n com m on and di“．erences．

K ey w ords：el ect r o m agnet i c f i e l ds；anal yt i c al s ol ut i on；num er i c al s ol ut i on；M A TLA B．

0引言

静态场是指场的分布不随时间变化。它的求解对于了解电磁场的分布具有十分重要的意义。这类问题的求解主要是解决在给定区域中电荷分布和边界上的电位或电荷分布，求解区域中场量分布。也称为静电场的边值问题。其求解可归结为在给定区域中的电荷分布和边界条件下，求满足边界的泊松方程或拉普拉

斯方程。其求解方法分为解析法和数值法∽。解析法～般是通过镜像法、分离变量法和格林函数等方法求

出一个对于二维平面来说具有两个变量的场函数；数值法是采用有限差分泫和有限单元法将微分方程离散化再利用计算机计算出一系列表示场量数值。两种方法计算出的结果是完全不同的两种表达形式。往往导

致初学者对电磁场的理解存在障碍。为此，先阐述了三种求解方法一解析法、有限差分法和有限元法原理。

然后，借助M A TLA B语言将不同方法求出的结果可视化并进行比较。说明了三种求解方法对解决静态电磁场

边值问题的共同点和区别。

l三种求解方法的原理及可视化

1．1解析法

利用解析法求解静态场边值问题主要是解决已知场量在场域边界上的值，求场域内场的分布。一般是从M axW el l方程出发，结合具体实例根据边界条件求解出标量函数位函数来表示场的分布。其他场量叮以通过位函数再进一步求出。其结果是一个解析表达式，而且往往是一个复杂的级数表达式。不能形象的体

现场的分布。但是，得出的结果描述了场域中每一点的值是连续，即：能够精确的表示场域中任何一点的

场量。所以也叫精确解。为了形象地表达场的分布，我们将位函数的自变量离散化带入位函数表达式，t求出位函数的离散值；通过M A TL A B绘图命令cont our画}{{等位线。‘

例：如图l所示，横截面为矩形的长槽由三块接地导体板构成，上边的盖板接上直流电压U0(U02100V)，

截面长宽分别为8=10c m和6=5cm，设板的长度为无限长，求矩形槽中的电位分布比。

收稿日期：2008—10一08

V

b 矽=O

作者简介：祝昆，男，讲师，研究向：光波导理论。

矽=0a

图l横截面为矩形的长槽图X

—17一

分析：因板在z方向为无限长，故槽中的电位分布与z无关。由于槽内各点上电荷密度p=0，槽内电势满足二维直角坐标系中的拉普拉斯方程及其边界条件：

骞+鲁=。a2z。a2y

。矽(工，)，)l，：o=o 矽(石，y)I，：。=o 矽(x，)，)I，；。=o 妒(工，)，)l y：。=u。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

将(1)式分离变量得到通解：

妒(工，y)=(A z+风)(co)，+矾)

或写为：+∑(人sm尼。工+玩cos尼。x)(G s iI l h忌。)，+D。cos h足。y) ^=l

妒(z，)7)=(如z+‰)(c0)，+‰)

+∑(A si l l七。』+E cosh忌。功(c。si n|||：^)，+或cos忌。y) n=I

将(2)一(5)带入(6)并利用傅立叶展开确定系数求出电位函数：

∞川=等。盖三丢si nn等ysm等x

乃n为奇数ns i I l A竺竺易““

利用(8)式用M A TL A B可视化如图2，程序如下：

cl ea r

a=幻：

p(，Ⅵ=m esh西d(o：O．05：2，2：O．05：4)；

f br n=l％计算电位函数

b=4木100，pi；

a=b宰si nh(n枣pi术Y y2)．木si n(n奉pi木X／2)．／h书si nh(n木pi木4／2)；

a2a+a：

end

a=a：

fi gur e％打开绘图框

cont ou“a，20)；％画等电位线图

一18一图2：解析解电位分布图

(8)

(6)

(7)

1．2有限差分法

有限差分法以差分原理为基础，基本思想是把场域划分成网格节点。将网格节点电位作为未知数的差分近似替代该点的偏导数，从而把待求的偏微分方程的边值问题转化为一组相应的差分方程问题。然后，由差分方程组解出网格节点电位值，即为所求边值问题的数值解。一般的步骤是：先将的场域离散为一些网格(通常为矩形)；然后应用差分原理，对场域内偏微分方程以及边界上的边界条件进行差分离散化处理，得出相应的有限差分形式计算公式；最后利用计算机编程迭代算法计算出数值解。

仍然以上面为例。由于是无源场，F(x，y)=o，则二维拉普拉斯方程的有限差分形式为：

l，．…

仍，j2百(够。J+l+仍。J—l+仍一l，J+仍+1．J)(9)

．t

上式中仍，，表示所求电位，识√+I；识．，一l；纸一l；纪J-1分别表示仍，，周围上下左右

四个节点的电位。利用(9)式编制的M A l r I．A B程序如下：

cl ea r

l D【=40；hy=40；

V l=ones(hy’hx)；

v1(hy'：)=0nes(1，hx)宰100；’V1(1，：)=．zeros(1，lⅨ)；

f br i_1：hy。

V1(i，1)=O：

V1(i，lI)【)=0：

end

v2=vl；m axt_1：t=0；

k=0

w hj l e(m a】【》l e一9)

鼢l：

m axt=O：％设置网格节点数

％设置行列二维数组

％上下两行的D i r i cI l l et条件边界值

％左右两列的D i r i c hl et条件边界值

％由vl迭代，算出、r2，迭代精度为0．000000001％计算迭代次数

衙i_2：hy-l

f；D r j_2：hx一1

％拉普拉斯方程差分式

v2(i j)=(V l(i j+1)+V l(i+l j卜V2(i-l t j)+V2(i j-1))／4；

t=abs(V2(i J)-Vl(iJ))；

i f(c>m axt)m axt==t；end

end

end

v1==、r2：

end

cont ou“v2，20)％画等电位线图

图3为迭代2989次的电位分布图

一19一

图3有限差分法数值解等电位分布图

若在上面程序后增加以下程序段则可同时显示电位和电力线分布图：

h01d on

x=l：l：hx；y=l：l：hy；

【xx，yy】=rneshgm(x，y)；％形成栅格

【C政，G y】=gr adi en t(一v2，10，10)；％计算梯度

qui v酬xx，yy’G x，(弧8，’r．)％根据梯度数值画箭头

hol d of F

1．3有限元法

有限元法在原理上是有限差分法和里兹法变分法结合的一种数值解法。具体是将所求的电位函数看成为能量泛函的变量，在边界条件下使能量泛函取得极小值的电位函数满足拉普拉斯方程。即：边值问题的求解等价为求解下面的泛函极值问题：

p=丢『『【c静2+c》蚴一

【列L=-厂(z，)，)

式中s为极化常数。数值计算是将由偏微分方程表征的连续函数所在的封闭场域划分成有限个三角形单元，每单元用一个选定的泛函来表示。通过求泛函相对于其变量的极小值，可得到近似解。基本步骤主要包括：区域的离散、插值函数的选择、方程组的建立和方程组的求解嘲。

在二维电磁场的有限元法计算中，用矩阵方程编制的程序长而复杂H1。而M棚，A B是以矩阵运算为基础的交互式语言，并且它提供了基于有限元法求解偏微分方程的工具箱一P D E Tool box。在命令提示符后输入PD E T00l就进入这个工具箱。具体设置如下：

(1)网格设置：X-axi s眦ge设置为【040】，Y-axi s r ange设置为【040】；

(2)区域设置为矩形；

(3)应用模式设置选择El ec缸郴t at i cS(静电学)应用模式；

(4)进入B ouI l da r y M ode设置上边界h_l'仁100，其他设为h=l户0．

(5)方程参数设定：设介电常数epsi l on为l，体电荷密度r ho为0。

然后选择菜单111i t i ahzc M es h进行网格剖分和加密：再单击Pl ot下参设置选择C ont oI l r画出等位线，如图4。也可选A玎ow s 画出电场线。

一20一

图4有限元法数值解等电位分布图

2讨论

对比图2、图3、图4看出，虽然三种方法的解决问题的思想是不相同的，但是通过

M A l几A B软件形象地展示不同求解方法求出的静态场边值问题解的等电位分布图却是一致

的，真实地反映了静态场中场量的分布。各种方法又有各自的特点：解析法求得的并不是一

些数值丽是一个关于x，y的电位函数，将x，y离散后带入电位函数利用M棚，A B的绘图功

能能够得到电位的形象分布。对有限差分法和有限元法得到的数值解本身是离散的，可在迭

加次数足够多和网格足够密集的情况下，所得到的数值越接近解析解的值，也能够形象地表

示场的分布。进一步来说，有限差分法与有限元法虽然同为数值解法但是分别有各自的方法。

有限差分法是将场域用规则的网格分出节点，然后利用(8)式代替偏微分方程得到电位值。

而有限元法是利用三角形离散场域，然后采用泛函变分求极限的方法得到电位值。因此，有

限差分法只能用于规则几何外形的边界条件而有限元法理论上可用于任何不规则的边界条

件。

3结束语

通过上面三种解决静态场边值问题的方法，可以看出求解静态场场分布的办法是多样

的。有些问题用三种方法都可以求解，而有些问题只能求出数值解。但是结果都能够形象展

示电场的分布。为电磁学在工程上的应用提供了理论依据。计算机的发展和计算电磁学研究

的深入为静态场的边值问题的求解开辟了一个广阔的前景。

参考文献：

【1】马海武，王丽黎，赵仙红，等．编著电磁场理论[M】．北京邮电大学出版社，2004．

【2】赵家升．电磁场与波[M]．成都：电子科技大学出版社，1997．

【3】金建铭(美)著，王建国译．电磁场有限元方法[M]．西安电子科技大学出版社，1998．

【4】何红雨编著．电磁场数值计算法与M A TLA B实现[M]．武汉：华中科技大学出版社，2004．

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