导数的应用与分类讨论

导数的应用与分类讨论

由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度.利用导数解决函数的单调性和极值问题，经常需要进行分类讨论所以导数与分类讨论结下了不解之缘，要想获得数学高考的高分，必须占领这块“阵地”.

【例１】设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R.

（Ⅰ）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；

（Ⅱ）若f（x）在（-∞，０）上为增函数，求a的取值范围.

解：（Ⅰ）f ′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）.

∵ f（x）在x=3处取得极值，

∴ f ′（３）＝１２（３-a）=0，a=3，检验知成立.

（Ⅱ）由f ′（x）=6（x-a）（x-1）=0得x1=a或x2=1.

若a<1，则当x∈（－∞，a）∪（１，＋∞）时，f ′（x）>0，所以f （x）在（－∞，a）和（１，＋∞）上为增函数，而f（x）在（－∞，０）上为增函数，所以０≤a<1；

若a≥1，则当x∈（－∞，1）∪（a，＋∞）时，f ′（x）>0，所以f （x）在∈（－∞，1）和（a，＋∞）上为增函数，f（x）在（－∞，０）上也为增函数.

综上，所求a的取值范围为［０，＋∞）.

【点评】（Ⅱ）中对a的值进行分类讨论，当a<1时很容易忽视a≥0这个条件，注意这时f（x）在（－∞，０）上为增函数，必须有a≥0.

【例２】设函数y=ax5-bx3+c（c≠0）在x=±1时有极值，且极大值为４，极小值为０.求a、b、c的值. 解：令y′=5ax4-3bx2=0，x2（5ax2-3b）=0.所以极值点可能是０和±1.

因为函数x=±1时有极值，所以5a=3b，y′=5ax２（x２-1）=5ax２（x+1）（x-1）.

若a>0，当x变化时，函数递增与递减及极值情况如下表：

若a<0，用同样的方法得a=-3，b=-5，c=2.

【点评】这里实施的是一个二级分类讨论，使用表格简明清晰；在“０”处，为什么没有极值，要深入理解.

【例３】函数y=f（x）在区间（０，＋∞）内可导，导函数 f′（x）是减函数，且f ′（x）＞０.设x0∈（０，＋∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程，并设函数g（x）=kx+m. （Ⅰ）用x0，f（x0），f ′（x0）表示m；

（Ⅱ）证明：当x0∈（０，＋∞）时，g（x）≥f（x）；

（Ⅲ）若关于x的不等式x2+1≥ax+b≥在［０，＋∞）上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系式.

解：（Ⅰ）易知m=f（x0）-x0f ′（x0）.

（Ⅱ）令h（x）=g（x）-f（x），则h′（x）=g′（x）-f′（x）= f′（x0）-f′（x），且h′（x0）=0.

∵ f′（x）是减函数，∴ h′（x）是增函数，则当x>x0时，

h′（x）>0；当x

（Ⅲ）将x=0代入题设不等式中，得0≤b≤1，则“a>0，且０≤b≤1”是不等式成立的必要条件.

下面在a>0，且0≤b≤1的条件下求a与b所满足的关系式及b的取值范围.

x2+1≥ax+b x2-ax+（1-b）≥0，对任意x ∈［0，＋∞）成立的充要条件是x2-ax+（1-b）在［0，＋∞）上的最小值１－b- ≥0，即a≤2

令S（x）=ax+b- ，则对于任意x ∈［0，＋∞）不等式ax+b≥恒成立 S（x）≥0.

由Ｓ′（x）=a- =0得x=a-3，则当0a-3时，Ｓ′（x）>0，所以当x=a-3时，Ｓ（x）取得最小值.因此Ｓ（x）≥０的充要条件是Ｓ（a-3）≥0，即a?a-3+b- ≥0，解得a≥ .

故a、b所满足的关系式为≤a≤2 .

解不等式≤2 ，得≤b≤，这就是所求的b的取值范围.

【点评】在（Ⅱ）中判断“x0是h（x）惟一的极值点”，在（Ⅲ）中求Ｓ（x）的最小值，都用到了分类讨论.

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答；同时，分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究。以下本人就这一思想在导数的应用，谈谈自己的看法。

有关分类讨论的导数数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归为以下四种：1、因为未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；2、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；3、极值点的大小关系不定而引起的分类；4、极值点与区间的关系不定而引起分类。几种类型都围绕着解方程展开，函数解析式都带有参数，能否解决问题主要是看能否准确的找到分点，对参数进行准确的分类。以下就如何准确的找到以上四种类型的分点进行分析和探讨。

一、未知数的系数与零的关系不定：这一类问题的特点是，求出导函数之后导函数中自变量的系数有参数。

其值可能为零，因此必须分为等于零和不等于零两种，分点为零（如果是二次方程应该更具体的分为三种：①a=0，②a>0,③a<0）

例如：1。设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a -1，求f(x)的单调区间。

分析：求导得：令则ax－1=0要想解此方程，必须分a=0和a≠0,否则无法解方程。因此分点为0

解析如下：由已知得函数的定义域为，且

（1）当时，函数在上单调递减，

（2）当时，由解得

、随的变化情况如下表

—0 +

↘极小值↗

从上表可知

当时，函数在上单调递减.

当时，函数在上单调递增.

综上所述：

当时，函数在上单调递减.

当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增

二、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；

这一类问题的特点是导函数是二次函数或者与二次函数有关，相应方程是一元二次方程或者可以转化成一元二次方程来求解。令△=0，求分点。

例如：2、已知函数。（Ⅰ）设，讨论的单调性；

（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。

分析：求导得：f '(x)= e－ax.，令f '(x)=0则ax +2-a=0，因为未知数的系数与0的关系已经定，所以在这里不需要讨论。然而△与0的关系不定，所以必须分为；①△＞0即a=2，此时方程有没有根。②△=0即0＜a＜2此时方程有一个根③△＜0即a＞2此时方程有两个不同的根，分点为a=2.

解析如下(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e－ax.

(ⅰ)当a=2时, f '(x)= e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数.

(ⅱ)当00, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数.

(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= － , x2= .

当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:

x (－∞, －) (－,) (,1) (1,+∞)

＋－＋＋f

'(x

)

f(x

↗↘↗↗)

f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－,)为减函数.

(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1.

(ⅱ)当a>2时, 取x0= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)

(ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且e－ax≥1,得

f(x)= e－ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.

三、极值点的大小关系不定而引起的分类；这一类问题的特点是导函数为零的方程有解，但是几个根的大

小关系不确定，分不了区间。因此必须分类讨论，令几个根相等求分点。

分析：求导函数令，则

－（x－a）(ax+1)=0解方程得得到，，由于不知道a与0的关系，两个根的大小关系不知道，必须分类，分点为零。

例如：已知函数，其中．，当时，求函数的单调区间与极值．

解析如下：．

由于，以下分两种情况讨论．

（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：

0 0

↘极小值↗极大值↘

所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．

函数在处取得极小值，且，

函数在处取得极大值，且．

（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：

0 0

↗极大值↘极小值↗

所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．

函数在处取得极大值，且．

函数在处取得极小值，且．

四、极值点与区间的关系不定而引起分类：这一类问题的特点是求出极值点后，极值点与定义域的关系不

明确，所以必须分类。通过令极值点等于定义域端点值求分点。

例如：设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．分析：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x＝e a-1－1，令e a－1－1=0得a=1所以分点为1。分为两类。

解析如下：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，

(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，

又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，

即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．

(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a－1－1)是减函数，

又g(0)＝0，所以对0＜x＜e a－1－1，都有g(x)＜g(0)，

即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．

综上，a的取值范围是（－∞，1]．

在导数中的分类讨论问题除了能够准确的找到分点，进行分类讨论之外，还得注意答题顺序

，先易后难，先讨论定义域就是函数的一个单调区间情况即f (x)≥0或者f (x).再其它。

导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。2010高考数学全国卷2第22题师生普遍反映抽象晦涩,难于求解.甚至参考答案看起来都一知半解。笔者认为这道题的解法可以优化。

题目：（22）（2010年数学全国卷2 本小题满分12分）

设．函数．（Ⅰ）证明：当时，；

（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．

命题组的参考答案：（I）当时，当且仅当令

当，是增函数；当

是减函数。于是在x=0处达到最小值，因而当时，

所以当

（II）由题设当不成立；当则当且令当

（i）当时，由（I）知

是减函数，

（ii）当时，由（I）知

当时，

综上，a的取值范围是

上述解答初看似乎非常简单，其实不然。第一问非常简单，这里就不再叙述。我们来分析第二个问，不妨把按上述展开，解: （I）略（II）由题设当

不成立,当

则当且仅当

此时参考答案立刻分下述情况进行讨论（i）当时，由（I）知

是减函数，

（ii）当时，由（I）知

当时，

综上，a的取值范围是

显然上述解法有些突然，令人觉得很费解。那么，上面分类讨论的理由是什么呢？，为什么这样讨论？这一点似乎不大好解释。如果这样解就很自然。

解析：（I）略（II）由题设

当不成立；

比较两种解法不难发现，方法2更好理解。那么在遇到答案看不懂或一种方法做不起’的题目时，应该怎么办呢?平时教学“一题多解导数 ;一题多变”的训练是解决此类问题的好帮手。一题多解有利于提高学生思维的发散性、灵活性,能激发学生的学习兴趣,对于学生从不同角度、不同侧面去分析问题、解决问题,提高学习能力有很大帮助.因此，教师在平时教学过程中多选用一些有多种解法的例题进行训练，并说明解法的优点和局限性。只要平常学习或教学注意一题多解的训练，学生就不会进入解题的死胡同。

含参数导数问题分类讨论

含参数导数的解题策略 导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳． 一、分离参数，转化为最值策略 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出 ()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转 化为函数求最值． 例1、已知函数x x x f ln )(=.（Ⅰ）求)(x f 的最小值； （Ⅱ）若对所有1≥x 都有,1)(-≥ax x f 求实数a 的取值范围. 二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论． 例2.已知a 是实数，函数))(2 a x x x f -=（. （Ⅰ）若3)1(='f ,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 在区间[0，2]上的最大值． 三、导函数为0是否存在，分类讨论策略 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令△=0，求分点，从而引起讨论． 例3、已知函数，，讨论在定义域上的单调性． 四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论． 例4、已知0>m ，讨论函数x e m x m mx x f 6 3)1(3)(2++++=的单调性．

(完整版)导数的综合大题及其分类.

导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用. 题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论． （1）单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值． 已知函数f (x )＝x －1 x ，g (x )＝a ln x (a ∈R )． (1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈? ?? ?? 0，12，求 h (x 1)－h (x 2)的最小 值． [审题程序] 第一步：在定义域内，依据F ′(x )＝0根的情况对F ′(x )的符号讨论； 第二步：整合讨论结果，确定单调区间； 第三步：建立x 1、x 2及a 间的关系及取值范围； 第四步：通过代换转化为关于x 1(或x 2)的函数，求出最小值． [规范解答] (1)由题意得F (x )＝x －1 x －a ln x ， 其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1 x 2， 令m (x )＝x 2－ax ＋1，则Δ＝a 2－4. ①当－2≤a ≤2时，Δ≤0，从而F ′(x )≥0，∴F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a >2时，Δ>0，设F ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－4 2 ，

导数问题中的分类讨论

导数中分类讨论 近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。 （1） 求导)(' x f （2） 令)(' x f =0 （3） 求出)('x f =0的根 （4） 作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像） （5） 由图像写出函数的单调区间，极值，或最值 规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程)(' x f =0的类型引起的讨论、 根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间:或定义域的端点的大小的讨论） 下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述 题型一：单调性的讨论 例1.已知函数))(1ln()(2 R a x a ax x x f ∈---=,求函数)(x f 的单调区间； 例2.已知函数2 ()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论()f x 在定义域上的单调性。

例3.若函数x x ax x f ln 2 )(++=（a ≥0） ，求函数的单调区间。 例4.（2010北京） 已知函数f (x )=In(1+x )-x +2 2 x k (k ≥0)。求f (x )的单调区间。 例5.（2009北京理改编）设函数kx xe x f =)(，求函数()f x 的单调区间

2019年高考导数问题常见的分类讨论典型例题

高考导数问题常见的分类讨论典型例题 1.需对函数c bx ax x f ++=2)(是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判别式进行讨论的问题。由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式，它们对应的二次方程是否有解，就要对判别式讨论。 例1、已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.（Ⅰ）求a ,c 的值； （Ⅱ）求函数f (x )的单调区间. 例2、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. 例3、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->，讨论()f x 的单调性. 例4、已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f ,讨论)(x f 的单调性； 例5、设函数2 ()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数()() x e g x f x =，讨论() g x 的单调性． 例6、函数31()3 f x x kx =-,其中实数k 为常数. (I) 当4k =时，求函数的单调区间； (II) 若曲线()y f x =与直线y k =只有一个交点，求实数k 的取值范围. 练习：设函数()()2 ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值点。 2、需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要解一元二次不等式，要写出它的解，就必须知道它两根的大小，否则就要对两根大小分类讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 例7、设函数（），其中．当时,求函数的极大值和极小值

导数中分类讨论三种常见类型

导数中分类讨论的三种常见类型 高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释. 几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较 实例1：求函数()32 1132 a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间. 分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对 函数()32 1132 a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数 ()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()32 1132 a f x x x ax a -= +--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论： 当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下： 所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -. 当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为 (),-∞+∞，没有单调递减区间. 当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：

单调性的分类讨论--导数

函数-分类讨论 例1、已知函数321()1()3 f x x x ax a R =+++∈，求函数()f x 的单调区间； 例2、设0>a ，讨论函数x a x a a x x f )1()1(ln )(2+--+=的单调性. 例3、已知函数2()2ln f x x a x =-()0a a ∈≠R 且． （1） 求函数()f x 的单调区间； （2）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值

例4、已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． 例5、已知函数()21ln 2 f x x ax x =-+，a ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间; （2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.

练习： 1、求函数)(12 131)(23R a x ax x x f ∈+++= 的单调区间 2、求函数)0(14)1(3 1)(23≠+++-=a x x a ax x f 的单调区间 3、讨论函数单调性)(ln )(R a x ax x f ∈+= 4、已知函数x a x x f -=ln )( (1)求函数()f x 的单调区间; (2)()f x 在[]e ,1上的最小值为 2 3，求a 的值

5、已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .(1)求函数()f x 的单调区间； （2）当1a =时，函数()()1f x g x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 6、(13S2W)已知函数2ln 120f x x ax a x a =--->()()()． （1）求函数f x ()的最大值；)1(f （2）求函数f x ()在区间12e a ( )，上的零点的个数（e 为自然对数的底数）；2

导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧

函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想： 例题1： 讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 三、分离法参数： 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即： （1） 对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。 例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题 含参数导数问题的分类讨论问题 1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 ★已知函数ax x a x x f 2)2(2 131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 )2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+-- =（a>0）求函数的单调区间 2 2 2) )(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22 21 1 ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 ! 解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。 （Ⅱ）由于0a ≠，所以()() 1 2)1(222+-+='x x a x f ,由 ()'0f x =，得121 ,x x a a =-=。这两个实根都在定 ()()()()()() 2 2 ' 2222 122122111a x a x a x x ax a a f x x x ? ?--+ ?+--+??==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 (1)当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ? ? -∞- ??? ，(),a +∞内为减函数， 在区间1,a a ?? - ??? 为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ； 函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 （1） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1 (+∞-a 内为增函数，在区间 )1,(a a -为减函数。故函数()f x 在11 x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ；函数 ()f x 在 2x a =处取得极大值()1f a =。

导数中的分类讨论问题题目

导数中的分类讨论问题 题目 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

导数中的分类讨论问题 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答；同时，分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须遵守分类讨论的原则： (1)不重不漏． (2)标准要统一，层次要分明． (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 同时遵守解分类问题的步骤： (1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类． (3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结，将各类情况总结归纳 有关分类讨论的导数数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归为以下四种：1、因为未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；2、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；3、极值点的大小关系不定而引起的分类；4、极值点与区间的关系不定而引起分类。几种类型都围绕着解方程展开，函数解析式都带有参数，能否解决问题主要是看能否准确的找到分点，对参数进行准确的分类。以下就如何准确的找到以上四种类型的分点进行分析和探讨。 题型一、 未知数的系数与零的关系不定：这一类问题的特点是，求出导函数 之后导函数中自变量的系数有参数。其值可能为零，因此必须分为等于零和不等于零两种，分点为零（如果是二次方程应该更具体的分为三种：①a=0，②a>0,③a<0） 例1.已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)设a ≤－2，求证：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|. 题型二、 在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而 引起的分类； 这一类问题的特点是导函数是二次函数或者与二次函数有关，相应方程是一元二次方程或者可以转化成一元二次方程来求解。令△=0，求分点。 例2.已知函数2()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论()f x 在定义域上的单调性。 题型三、极值点的大小关系不定而引起的分类；这一类问题的特点是导函数为零的方程有解，但是几个根的大小关系不确定，分不了区间。因此必须分类讨论，令几个根相等求分点。

导数常见题型与解题方法总结

导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

导数中的分类讨论依据问题

导数中的分类讨论问题 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 一、导函数为二项式，并且参数独立成项 例：已知函数 ()ln(1)(1)1f x x k x =---+，求函数()f x 的单调区间； 解:（1）'1(),(1)1 f x k x x =->-,所以, 0k ≤当时,'()0;f x ≤0k >当时,由'()0f x >得:11,x k <+所以, 0k ≤当时()()1,f x +∞在上为增函数； 0k >当时1()1,1f x k ??+ ???在上为增函数；在11,k ??++∞ ??? 上为减函数； 二、导函数为三项式时（主要是二次三次式或变形后为二次三项式的含参讨论） 1、二次项系数引起的分类讨论 例：已知函数1)1(ln )(2+-+=x p x p x f , 当0>p 时，讨论函数)(x f 的单调性。 解： ()f x 的定义域为（0，+∞） ，()()()x p x p x p x p x f +-=-+=2'1212， 当 1>p 时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调递增； 当0＜p ＜1时，令'()f x =0，解得() 12--=p p x . 则当()???? ?? --∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()??? ? ??∞+--∈,12p p x 时，'()f x ＜0. 故()f x 在()???? ??--12,0p p 单调递增，在()??? ? ??∞+--,12p p 单调递减. 2、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论 例：已知函数322()233f x x ax x =-++，令()l n (1)3g x x f x =++- ，若()g x 在 1(,)2 -+∞上单调递增，求实数a 的取值范围. 解：由已知得22()ln(1)3(243)ln(1)24g x x x ax x x ax =++--++=++-，

导数问题常见的分类讨论典型例题

导数问题常见的分类讨论典型例题 由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度.利用导数解决函数的单调性和极值问题，经常需要进行分类讨论,所以导数与分类讨论结下了不解之缘，要想获得数学高考的高分，必须占领这块“阵地”. 分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。只有这样在解题时才能做到有的放矢。下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。 1.需对函数c bx ax x f ++=2)(是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判别式进行讨论的问题。由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式，它们对应的二次方程是否有解，就要对判别式讨论。 例1、已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.（Ⅰ）求a ,c 的值； （Ⅱ）求函数f (x )的单调区间.

2、需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要解一元二次不等式，要写出它的解，就必须知道它两根的大小，否则就要对两根大小分类讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 例2、设函数（），其中．当时,求函数的极大值和极小值

帮你归纳总结(五)导数中常见的分类讨论

帮你归纳总结(五）：导数中的分类讨论问题 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 一、参数引起的分类讨论 例：已知函数1)1(ln )(2 +-+=x p x p x f , 当0>p 时，讨论函数)(x f 的单调性。 解： ()f x 的定义域为（0，+∞），()()()x p x p x p x p x f +-= -+=2' 1212， 当1>p 时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调递增； 当0＜p ＜1时，令'()f x =0，解得() 12-- = p p x . 则当()???? ??--∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()??? ? ??∞+--∈,12p p x 时，'()f x ＜0. 故()f x 在()???? ?? -- 12,0p p 单调递增，在()??? ? ??∞+--,12p p 单调递减. 例：已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+，求函数()f x 的单调区间； 解:（1）' 1 (),(1)1 f x k x x = ->-,所以, 0k ≤当时,'()0;f x ≤0k >当时,由'()0f x >得:1 1,x k <+所以, 0k ≤当时()()1,f x +∞在上为增函数； 0k >当时1() 1,1f x k ??+ ???在上为增函数；在11,k ?? ++∞ ??? 上为减函数； 二、判别式引起的分类讨论 例：已知函数2 ()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论()f x 在定义域上的单调性。 解：由已知得22()21,(0)a x x a f x x x x x -+'=-+= >， （1）当180a ?=-≤，1 8a ≥ 时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上为增函数． （2）当180a ?=->，1 8 a <时，

导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳2

一．含参数导数问题的分类讨论问题 求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 ★例1已知函数ax x a x x f 2)2(2 131 )(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 ★★例2已知函数x a x a x x f ln )2(2 )(+--=（a>0）求函数的单调区间 ★★★例3已知函数()()22211 ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 。 练习：已知函数 1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性. 二．已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题； ．例4.已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x 在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 练习：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且 a ＝f ′? ?????23. (1)求a 的值； (2)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．

恒成立分参 例1：设函数f (x )＝kx 3 －3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________． 练习： 当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98] C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]

导数中分类讨论的三种常见类型

导数中分类讨论的三种常见类型

导数中分类讨论的三种常见类型 高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释. 几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较 实例1：求函数()32 1132 a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间. 分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对 函数()32 1132 a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数 ()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()32 1132 a f x x x ax a -= +--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论： 当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下： 所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -. 当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为 (),-∞+∞，没有单调递减区间. 当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：

2020年高考数学导数中分类讨论思想的应用及分类

导数中分类讨论思想的应用及分类 导数之所以难是因为加入了参数使得确定的函数变的不确定，因此对参数进行讨 论进而确定出函数的单调区间、极值、最值、趋势图像是高考中每年必考的内容，分 类讨论思想在任何专题中都可能出现，很多老师反复提醒要做到不重不漏，可是要做 到不重不漏的前提是在做题之前就应该知道该题目分类讨论的依据是什么，今天我们 重点来看看如何把握导数中常见的分类讨论依据。 如果没有参数，我们队复杂函数求最值的程序是： 那么既然设置参数了，导函数也必定含有参数，则分类讨论就出现了，因为导函 数含有参数，那么对导函数求根的时候有没有根？有几个根？如果有两个根，则两根 大小如何确定？如果题目的参数设置不是在函数上而是在定义域上，则函数是能够准 确作出趋势图像的，但是定义域有参数就意味着可以左右移动，在移动的过程中单调 区间和最值都会发生变化。因此在导数中分类讨论题目主要分成这两大类，第一：参 数在函数上，第二：参数在定义域上，若函数和定义域都有参数，如果是相同的参数 还好说，如果是不同的参数，题目就麻烦了。 根据高考出题形式，今天主要讨论参数在函数上的类型，在复杂函数形式设置上 有两种常见的方向，一种是导函数可以转化为二次函数或者类二次函数的形式，另一 种是非二次函数的形式，可能里面涉及了三角函数，指数对数等。 题型一：导函数是二次函数或者类二次函数形式的 既然是二次函数的形式，那么必须考虑二次函数参数的设置，若参数在二次项的 系数上则若系数为零，则导函数就可以转化为一次函数的形式，若不是零，则继续按 照二次函数形式求根；若参数在一次项的系数上，则二次函数开口确定，对称轴不确 定；若参数在常数项上，则开口和对称轴都是确定的，但是?不确定，因此二次函数 是否有根也不确定，故二次函数形式的导函数讨论流程如下： ①如若二次函数或高次函数的最高次系数存在参数，则需对参数是否为零进行讨 论，但是有一类除外，即如果二次函数各项符号均相同（同正同负）时则可以直 接判定，例'221y ax a =++，可直接判断出当0a ≥时，'0y >，再例 '221y ax a =---，则可直接判断出当0a ≥时，'0y <，此时不需要对参数是否 为零进行讨论，除此之外均需对参数是否为零进行讨论；

含参导数问题常见的分类讨论上课讲义

精品文档 精品文档 含参导数问题常见的分类讨论 学生 1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论: 例1.(11全国Ⅱ文21)已知函数f(x)=x 3+3ax 2+(3-6a)x+12a-4 (a ∈R). (1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2): (2)若f(x)在x=x 0处取得极小值,x 0∈(1,3),求a 的取值范围. 2.求导后,需要比较导数等于零的不同实根的大小,从而引发讨论: 例2.(09辽理)已知函数f(x)=0.5x 2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性; （2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有 1212 ()()1f x f x x x ->--。 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211(1)[(1)]()a x ax a x x a f x x a x x x --+----'=-+==--------------2分 （i ）若11a -=，即a=2，则2 (1)()x f x x -'=，故()f x 在(0,)+∞上单调增加。 （ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<； 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>。 故()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。 （iii ）若11a ->，即2a >， 同理可得()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。 -----------------6分 （2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+= -+-+， 则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-， 由于15a <<，故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞上单调增加，从而当210x x <<时，

1、导数中的分类讨论思想

1、导数中的分类讨论思想 1、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠，求函数()f x 的单调区间与极值点． 2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =- +->，讨论()f x 的单调性． 3、已知函数321()3f x x ax bx = ++,且'(1)0f -=，试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间． 4、已知函数22()(1) x b f x x -= -，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间． 5、设函数()(0)kx f x xe k =≠ （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围

2、导数处理函数的零点问题 1.（2009天津卷理）设函数1()ln (0),3 f x x x x = ->则()y f x = ( ) A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。 B 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点。 C 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。 D 在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。 2、设a 为实数,函数.)(2 3a x x x x f +--= (1) 求)(x f 的极值.及单调区间 (2) 当a 在什么范围内取值时, 曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点?两个点？三个点？ 3、已知函数()x x x f 82+-=，()m x x g +=ln 6.是否存在实数m ，使得()x f y =的图像与()x g y =的图像有且只有三个不同的交点；若存在，求出m 的范围，若不存在，说明理由. 4、（2010湖北文数）设函数()c bx x a x x f ++-= 232 31，其中a ＞0，曲线()x f y =在点()()0,0f P 处的切线方程为1=y . （1）确定b 、c 的值。 （2）若过点（0,2）可作曲线()x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围。 5、（2008年，四川卷）已知x x x a x f x 10)1ln()(32-++==是函数的一个极值点. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅲ）当直线)(x f y b y ==与函数的图象有3个交点，求b 的取值范围.

含参导数问题常见的分类讨论

含参导数问题常见的分类讨论 学生 1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论: 例1.(11全国Ⅱ文21)已知函数f(x)=x 3+3ax 2+(3-6a)x+12a-4 (a ∈R). (1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2): (2)若f(x)在x=x 0处取得极小值,x 0∈(1,3),求a 的取值范围. 2.求导后,需要比较导数等于零的不同实根的大小,从而引发讨论: 例2.(09辽理)已知函数f(x)=0.5x 2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性; （2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有 1212 ()()1f x f x x x ->--。 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211(1)[(1)]()a x ax a x x a f x x a x x x --+----'=-+==--------------2分 （i ）若11a -=，即a=2，则2 (1)()x f x x -'=，故()f x 在(0,)+∞上单调增加。 （ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<； 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>。 故()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。 （iii ）若11a ->，即2a >， 同理可得()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。 -----------------6分 （2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+= -+-+， 则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-， 由于15a <<，故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞上单调增加，从而当210x x <<时， 有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212 ()()1f x f x x x ->--； 当120x x <<时，有12211221 ()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---。----------------12分

导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题 含参数导数问题的分类讨论问题 1．求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。 ★已知函数ax x a x x f 2)2(2 131)(23++-=（a>0),求函数的单调区间 )2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+-- =(a>0)求函数的单调区间 2 2 2) )(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22 21 1 ax a f x x R x -+=∈+,其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。 （Ⅱ)由于0a ≠，所以()() 1 2)1(222+-+='x x a x f ，由 ()'0f x =，得121 ,x x a a =-=。这两个实根都在定 ()()()()()() 2 2 ' 2222 122122111a x a x a x x ax a a f x x x ? ?--+ ?+--+??==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 （1）当0a >时,则12x x <。易得()f x 在区间1,a ? ? -∞- ??? ，(),a +∞内为减函数， 在区间1,a a ?? - ??? 为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ; 函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 （1） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1 (+∞-a 内为增函数，在区间)1,(a a -?? 为减函数。故函数()f x 在11 x a =-处取得极小值21f a a ?? -=- ??? ；函数? ()f x 在2x a =处取 得极大值()1f a =。 以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点,在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点