2012年考研数学二试题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. (1) 曲线221
x x y x +=-渐近线的条数 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C
【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞
=，b 为常数）、垂直渐近线（0
lim ()x x f x →=∞）和斜
渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞
-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果
（1）()
lim
x f x x
→∞不存在；
（2）()
lim x f x a x
→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221
x x y x +=-的间断点只有1x =±.
由于1
lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.
（而1
1(1)1
lim lim
(1)(1)2
x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.
又2
1
1lim lim
11
1x x x y x
→∞→∞+
==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)
()x
x
nx f x e e
e n =---,其中n 为正整数,则(0)
f '= ( )
(A) 1
(1)
(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -
【答案】A
【考点】导数的概念 【难易度】★★
【详解一】本题涉及到的主要知识点：
0000
0()()()lim
lim
x x f x x f x y
f x x x
→→+-'==. 在本题中，按定义
200()(0)(1)(2)
()
(0)lim lim
0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-
1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-?-?
?--=--.故选A.
【详解二】本题涉及到的主要知识点：
()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.
在本题中，用乘积求导公式.含因子1x
e -项在0x =为0，故只留下一项.于是
20
(0)[(2)
()]
x x nx x f e e e n ='=--1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-?-?
?--=--
故选（A ）.
(3) 设0(1,2,)n a n >=，123n n S a a a a =+++
+，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )
（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件
（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B
【考点】数列极限 【难易度】★★★
【详解】因0(1,2,)n a n >=，所以123n n S a a a a =++++单调上升.
若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞
存在，于是
11lim lim()lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞
→∞
→∞
→∞
=-=-=
反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n =，则n S n =是无
界的.
因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设2
0sin (1,2,3)k x K e xdx k π
==?I 则有 ( )
(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D
【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+?
??.
在本题中，
2
10
sin x I e xdx π
=?，2
220
sin x I e xdx π
=?，2
330
sin x I e xdx π
=?
2
22121sin 0x I I e xdx I I π
π
-=
2
332322sin 0x I I e xdx I I π
π
-=>?>?，
2
2
2
323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx π
π
π
π
π
π
-==+???
2
2
33()22sin()sin t x e
t dt e xdx π
π
ππ
π
π-=-+??22
3()312[]sin 0x x e e
xdx I I π
ππ
-=->?>?
因此213I I I <<.故选D.
（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有
(,)
0f x y x
?>?，
(,)0f x y y ?
（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D
【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.
①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因
(,)
0f x y x
?>?，当y 固定时对x 单调上升，故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因
(,)
0f x y y
?时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.
（6）设区域D 由曲线sin y x =，2
x π
=±，1y =围成，则5(1)D
x y dxdy -=??( )
（A ）π
（B ）2
（C ）-2
（D ）π-
【答案】D
【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
1
0,(,)(,)2(,),
(,)D
D f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ?
?
=?????
??对或为奇函数，对或为偶函数
在本题中，1
1
555222sin sin 221
(1)(1)()2x x D
x y dxdy dx x y dy x y y dx π
π
ππ--
-=-=-?????
52
2222
1(1sin )(1sin )2x x dx x dx π
π
πππ--=---=-?? 其中
5
21(1sin )2
x x -，sin x 均为奇函数，所以 52
2
21(1sin )02x x dx π
π--=?，22sin 0xdx π
π-=? 故选（D ）
(7)设1100c α??
?= ? ?
??
,2201c α?? ?= ? ??? ,3311c α?? ?=- ? ??? ,4411c α-?? ?= ? ??? ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量
组线性相关的为( )
(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C
【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
n 个n 维向量相关12,,
,0n ααα?=
在本题中，显然
1341
2
3
011,,0
110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.
(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -?? ?= ? ???
.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )
(A) 100020001?? ? ? ??? (B) 100010002?? ? ? ??? (C) 200010002?? ? ? ??? (D)200020001??
? ? ???
【答案】B
【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
设A 是一个m n ?矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有