河北南宫中学2020届高三数学上学期第7次周测试卷 理(实验班)

南宫中学实验班2020届高三（上）理科数学第7次周测试题（实验班用）

一、选择题（共12小题，满分60分） 1．已知a ＜b ＜|a|，则

A ．＞

B ．ab ＜1

C ．＞1

D ．a 2

＞b 2

2．已知0a b =≠r r

，且a r 与b r 不共线，则a b +r r 与a b -r r 的关系为

A ．相等

B ．相交但不垂直

C ．平行

D ．垂直 3．已知3

cos(

)45

x π

-=，则sin 2x = A ．1825 B ．7

25 C ．725- D ．1625-

4．已知直线m l 、，平面αβ、，且,m l αβ⊥?，下列命题中正确命题的个数是

①若//αβ，则 m l ⊥ ②若αβ⊥，则//m l ③若m l ⊥，则//αβ ④若//m l ，则αβ⊥ Ａ．1 B.2 C.3 D.4

5．菱形ABCD 边长为2，∠BAD=120°，点E ，F 分别别在BCCD,DC u DF BC BE ==,λ,若

3

1,2

AE AF CE CF ?=?=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则=+u λ

A.21

B.23

C.45

D.12

7 6．在等差数列{}n a 中，9a =121

62

a +,则数列{}n a 的前11项和11S =

A ．24

B ．48

C ．66

D ．132 7．如图，某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为 A ．2 B ．3 C ．5 D ．6

8．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos β

αβ+=，则下列关系成立的是

A.32π

αβ-=

B.22παβ-=

C.32παβ+=

D.22

παβ+=

9．把函数)3

2sin()(π

-

=x x f 的图像向左平移(0)??π<<个单位可以得到函数()g x 的图像，

若()g x 的图像关于y 轴对称，则?的值为

A ．

56π B ．6π C ．56π或6π D ．5111212

ππ

或 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足65S S <且876S S S >=，则下列结论错误．．

的是（ ）. A ．6S 和7S 均为n S 的最大值 B ．07=a C ．公差0d <

D ．59S S >

11．点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，2AB BC ==，AC=2，若球的表面积为

254

π

，则四面体ABCD 体积最大值为 A ．

14 B ．12 C ．2

3

D ．2 12．已知ABC ?的内角2

1

)sin()sin(2sin ,+

--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式一定成立的是

A.8)(>+c b bc

B.()162ac a b +>

C.126≤≤abc

D.1224abc ≤≤

二、填空题（共4小题，满分20分） 13．数列{}n a 满足*12211131,333

n n a a a n n N L +

++=+∈，则=n a . 14．设z y x ,,为正实数，满足023=+-z y x ，则2

y xz

的最大值为 ．

15．正方体1111ABCD A B C D -中,E 是棱1CC 的中点,F 是侧面11BCC B 内的动点,且1//A F 平面1D AE ,若正方体1111ABCD A B C D -的棱长是2,则F 的轨迹被正方形11BCC B 截得的线段长是________.

16．已知数列 {}n a 的前n 项和为 n S ，满足 1

(1)2

n n n n S a =-+

， {}n S 的前n 项和为 n T ，则1

1

1 1

主视图

左视图

俯视图

2014T =_________．

三、解答题（共6小题，满分70分） 17． （本小题满分10分）

若关于x 的实系数方程20x ax b ++=有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,3)内，记点

(,)a b 对应的区域为S ．

（1）设2z a b =-，求z 的取值范围；

（2）过点(5,1)-的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域S ，求反射光线所在直线l 经过区域S 内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l 的方程. 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，点,E F 分别是棱,PC AC 的中点． (1)求证：PA //平面BEF ；

(2)若平面PAB ⊥平面ABC ，PB BC ⊥，求证：BC PA ⊥．

19．（本小题满分12分）如图，在凸四边形ABCD 中，,C D 为定点,3,,CD A B =为动点，满足

1AB BC DA ===.

（I ）写出cos C 与cos A 的关系式；

（II ）设BCD ABD ??和的面积分别为S 和T ，求22S T +的最大值.

20．（本小题满分12分）在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1=1，b 1=2，b n ＞0（n ∈N *

），且b 1，a 2，b 2成等差数列，a 2，b 2，a 3+2成等比数列，数列{b n }的前n 项和为S n ．

（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；

（Ⅱ）若S n +a n ＞m 对任意的正整数n 恒成立，求常数m 的取值范围．

21．（本小题满分12分）如图（1），在三角形ABC 中，BA=BC=22，?

=∠90ABC ，点0，M ，N 分别为

线段的中点，将AABO 和AMNC 分别沿BO ，MN 折起，使平面ABO 与平面CMN 都与底面OMNB 垂直，如图（2）所示．

（1）求证：AB//平面CMN ；

（2）求平面ACN 与平面CMN 所成角的余 （3）求点M 到平面ACN 的距离．

22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足1122n n S a =-.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设31212111()log ,()()...(),...n n n n

f x x b f a f a f a T b b b ==+++=+++，求2014T ；

（3）若()n n n c a f a =?，求{}n c 的前n 项和n U .

参考答案 1．D 【解析】

试题分析：由a ＜b ＜|a|可知||||0a b <≤，由不等式的性质可知22||||a b <，而2

2||,||a a b b ==，所以 a 2

＞b 2

，答案选D. 考点：不等式的性质 2．D 【解析】

试题分析：因为0||))((2

222=-=-=-+｜｜b a b a b a b a ρρρρρρρρ，所以a b +r r 与a b -r r 垂直,答案选D.

考点：向量的数量积运算及应用 3．C 【解析】

试题分析：由于2sin 2cos(

2)cos 2()2cos ()1244x x x x π

ππ=-=-=--，又由已知3

cos()45

x π-=得到237

sin 22()1525

x =?-=-，故选Ｃ．

考点：三角函数公式．

4．B 【解析】

试题分析：对于①由,m l αβ⊥?且//αβ，则β⊥m ，从而m l ⊥，所以正确；对于②由于,m l αβ⊥?且αβ⊥，则ββ?m or m ,,//,不能推出//m l ,所以不正确；对于③由于,m l αβ⊥?且m l ⊥，则不一正有//αβ，故不正确；对于④由于,m l αβ⊥?且//m l ，则α⊥l ，从而有αβ⊥，故正确；所以①④正确，故应选Ｂ．

考点：线面垂直和平行的关系． 5．C 【解析】

试题分析：DC u AD AF BC AB AE +=+=,λΘ,因此()()

DC u AD BC AB AF AE +?+=?λ

12442122=-++??

?

??-??=?+?+?+?=u u DC BC u AD BC DC AB u AD AB λλλλ，因此得

()324=-+u u λλ①，由于DC u DF BC BE ==,λ，得()()DC u CF BC CE 1,1-=-=λ，

因此得()()()()2321221111-=????

?

???? ??-??--=-?-=?u DC u BC CF CE λλ，因此得()41-=+-u u λλ② 联立①②得4

5=

+u λ. 考点：平面向量数量积的运算. 6．D 【解析】

试题分析：由9a =

121

62

a +及等差数列通项公式得，112(8)1112a d a d +=++，解得6a =15a d +=12，所以11S =11111()2a a +=6

1122

a ?=11×12=132，故选D.

考点：等差数列通项公式，等差数列前n 项和公式，等差数列性质

7．C 【解析】

试题分析：由三视图知：四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且高为1，如图：

SA ⊥平面ABCD ，AD=CD=SA=1，AB=2，∴最长的侧棱为SB=5212

2

=+;故选：C ． 考点：三视图

8．B 【解析】

试题分析：Θ1sin tan cos β

αβ

+=

,ββααcos sin 1cos sin +=∴,βααβαsin cos cos cos sin +=∴, αβαβαcos sin cos cos sin =-∴,)2

sin(cos )sin(απαβα-==-∴,)2,0(),2,0(π

βπα∈∈Θ,

)2

,0(2),2,2(παπ

ππβα∈--

∈-∴,απβα-=-∴2,即22π

βα=-.

考点：同角三角函数基本关系式、两角差的正弦关系.

9．D 【解析】

试题分析:将

)3

2sin()(π

-=x x f 的图像向左平移?

个单位后得到

)3

22sin(]3)(2sin[)(π

?π?-+=-+=x x x g ，)(x g Θ的图像关于y 轴对称，即)(x g 为偶函数，

Z k k ∈+=-∴,232πππ?，即Z k k ∈+=∴,2125ππ?，分别取1,0=k 得12

11,

125π

π?=. 考点：三角函数的图像变换.

10．D 【解析】

试题分析：由题知0656>=-a S S ，0767==-a S S ，0878<=-a S S ，因此该等差数列是递减数列，前6项为正，第7项为0，从第8项开始为负值，()028*******<+=+++=-∴a a a a a a S S ，

59S S <∴，选项D 错.

考点：等差数列的性质.

11．C 【解析】

试题分析：由题知222AC BC AB =+，所以∠ABC=90o

,设AC 中点为E ，球的半级为R,过A ，B ，C 三点的

截面圆半径r =AE=12AC=1，由球的表面积为 254π知，24R π=254

π，解得R=54，所以球心到过A ，B ，C 三点的截面d

34，因△ABC 的面积为12

AB BC ?=1，所以要四面体ABCD 体积最大，则D

为直线DE 与球的交点且球心在线段DE 上，所以DE=34+54=2，所以四面体ABCD 体积最大值为1123??=2

3

，

故选C ．

考点：球的体积 12．A 【解析】

试题分析：由题设得：()()1sin 2+sin 2sin 22A B C ππ-=-+1

sin 2+sin2B+sin 22

A C ?=

? ()()1sin 222+sin2B+sin 22B C C π-+=()1

sin2B+sin 2sin 222C B C ?-+=

?()()1sin 21cos 2sin 21-cos2B 2B C C -+=()1

4sin sin sin cos cos sin 2

B C B C B C ?+=

1

sin sin sin 8A B C ?= （1）

由三角形面积公式1sin 2s ab C =及正弦定理得：21

4sin sin sin 2

s R A B C =?

所以2

4s R =

又因为12s ≤≤，所以2

48R ≤≤

所以()338sin sin sin b c b c

bc b c abc R A B C R a a

+++=?

=?>恒成立，所以()8bc b c +> 故选A.

考点：1、两角和与差的三角函数；2、正弦定理；3、三角形的面积公式.

13．???≥==+2,31

,121n n a n n .

【解析】

试题分析：当1=n 时，43

11=a ，121=∴a ；当2≥n 时，由于

*12211131,333n n a a a n n N L +++=+∈，()11331313111221+-=++--n a a a n n ΛΛ， 两式相减得()23,331

1≥=∴=+n a a n n n

n ，121=a 不满足

???≥==∴+2,31,121n n a n n .

考点：由n S 得n a . 14．

89

【解析】

试题分析：由3

2023z

x y z y x +=?=+-,原式989449449)2(222=+≥++=+=

xz xz xz xz xz z x xz z x 考点：基本不等式 15

【解析】

试题分析：取111,BB B C 的中点P ，Q.易证，面1A PQ P 面1AD E ，所以点F 的轨迹即为线段PQ ，所以点F

的轨迹的长度为：11

2

PQ BC =

=

E

A A 1

考点：空间几何体. 16．1007

13(1)4

-

【解析】

试题分析：当n=1时，1a =1S =112a -+

，所以1a =14， 当2n ≥时，n S =11

(1)()2

n n n n S S ---+，

当2n k =（*k N ∈）时，2k S =221212k k k S S --+，即21k S -=21

2

k ，

当21n k =-（*k N ∈）时，21k S -=21222112k k k S S ----++，所以22k S -=21211

22

k k S ---=0，

所以n T =1232014S S S S ++++L =14+0+214+0+ +100714+0=100711(1)

44114

--=100711(1)34-．

考点：数列第n 项与前n 项和的关系，递推数列，分组求和思想，等比数列前n 项和公式 17．（1）112z -<<-；（2）4y x =+。

【解析】(I)本小题根据二次函数零点分布规律可以得到一个关于a,b 的不等式组，然后转化为线性规则的知识求解即可.

(2) 首先明确过点(5,1)-的光线经x 轴反射后的光线必过点(5,1)--,再结合（1）中的可行域先观察可能满足条件的整点，逐个验证，最终找到符合条件的整点.进而确定所求直线的方程.

（1）方程20x ax b ++=的两根在区间(0,1)和(1,3)上的几何意义是：函数2

()y f x x ==ax b ++与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,3)内，由此可得不等式组

(0)0(1)0(3)0

f f f >???

，即010390b a b a b >??

++?，则在坐标平面aOb 内，点(,)a b 对应的区域S 如图阴影部分所示，

易得图中,,A B C 三点的坐标分别为(4,3),(3,0),(1,0)---，．．．．．．4分 （1）令2z a b =-，则直线2b a z =-经过点A 时

z 取得最小值，经过点C 时z 取得最大值，即min max 11,2z z =-=-，

又,,A B C 三点的值没有取到，所以112z -<<-；．．．．．．8分

（2）过点(5,1)-的光线经x 轴反射后的光线必过点(5,1)--，由图可知

可能满足条件的整点为(3,1),(3,2),(2,2),(2,1)----，再结合不等式知点(3,1)-符合条件，所以此时直

线方程为：

1(1)

1(5)3(5)y x --+=?+---，即4y x =+．．．．．．．11分

18．（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】 试题分析：（1）题中条件出现了两个中点，故可考虑利用三角形中位线得到线线平行从而得到线面平行：即有//PA EF ，PA ?平面BEF ，EF ?平面BEF ，//PA 平面BEF ；（2）由题中条件平面PAB ⊥平面ABC ，

故可首先由面面垂直得到线面垂直，因此在平面PAB 内过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，则有PD ⊥平面ABC ，结合条件BC PB ⊥，可得⊥BC 平面PAB ，从而PA BC ⊥. 试题解析：（1）在PAC ?中，∵E 、F 分别是PC 、AC 的中点，∴//PA EF ， 又∵PA ?平面BEF ，EF ?平面BEF ，∴//PA 平面BEF ； 6分 （2）如图，在平面PAB 内过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ．

∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，PD ?平面PAB ， ∴PD ⊥平面ABC ， 8分

又∵BC ?平面ABC ，∴PD BC ⊥， 10分

又∵PB BC ⊥，PD PB P =I ，PD ?平面PAB ，PB ?平面PAB ， ∴BC ⊥平面PAB ， 12分

∵?PA 平面PAB ，∴BC PA ⊥． 14分

考点：1.线面平行的证明；2.线线垂直的证明.

19．（1）cos 3cos 1A C =-；（2）2

2T S +有最大值

8

7

. 【解析】

试题分析：本题主要考查解三角形中的余弦公式、三角形的面积公式、平方关系、配方法求函数的最值等数学知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力、计算能力.第一问，在BCD ?和ABD ?中利用余

a

b

1-A (-4, 3)

B

C O 3

-1

-9

-

弦定理分别求2BD ，两式联立，得到cos C 和cos A 的关系式；第二问，先利用面积公式展开求出S 和T ，化简2

2

T S +，利用平方关系，将sin A ，sin C 转化为cos A ，cos C ，再将第一问的结论代入，配方法求函数最值.

试题解析：（I ）由余弦定理，在BCD ?中，2222cos BD BC CD BC CD C =+-???= 在ABD V 中，2BD =22cos A -.

=22cos A -，即分

（

分 4

3

cos 23cos 23-2++=C C

87)63(cos 232+--=C 10分

由题意易知，)9030(00

，∈C ,所以），（2

30cos ∈C

当63cos =

C 时，2

2T S +有最大值8

7. 12分 考点：1.余弦定理；2.三角形面积公式；3.平方关系；4.配方法求函数最值.

20．（Ⅰ）a n =3n ﹣2，b n =2?3n ﹣1

；（Ⅱ）{m|m<3} 【解析】 试题分析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0）,由已知得

???++=+=+)

23)(1()2(22)1(22

d d q q d ,解得d=q=3,所以a n =3n ﹣2，b n =2?3n ﹣1

；（Ⅱ）由（Ⅰ）知1331)31(2-=--?=n n n S ,从而333-+=+n a S n n n ,则3n +3n ﹣3＞m 对任意的正整数n 恒成立,构造函数f （n ）=3n

+3n ﹣3,则 f （n+1）﹣f （n ）=2?3n

﹣3＞0即f （n ）单调递增，所以m ＜f （1）=3,答案为{m|m<3}.

试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0）．

由题意，得?

??++=+=+)23)(1()2(22)1(22

d d q q

d ，解得d=q=3． ∴a n =3n ﹣2，b n =2?3n ﹣1

；

（Ⅱ）∵S n +a n ＞m 对任意的正整数n 恒成立，

∴3n

+3n ﹣3＞m 对任意的正整数n 恒成立，

令f （n ）=3n +3n ﹣3，则f （n+1）﹣f （n ）=2?3n

﹣3＞0，

∴f （n ）单调递增， ∴m ＜f （1）=3．

∴常数m 的取值范围{m|m<3}

考点：1.

等差数列和等比数列的通项公式;2.等比数列的求和公式;3.与正整数有关的不等式恒成立问题 21．详见解析 【解析】 试题分析：（1）证明线与面平行，可通过证明线线平行，线面平行，或是面面平行，线面平行，此题很显然属于后者，根据已知，易证MN OB CM AO //,//,再根据线面与面面平行的判定定理证得； （2）这一问可通过空间向量，建立平面直角坐标系，易证OM OB

OA ,,两两垂直，所以以O 为原点建立空间直角坐标系，分别求出面ANC 与面CMN 的法向量，利用公式>=<=,cos cos θ,最后又

图像确定钝角还是锐角；

（3）在第二问的基础上，利用点到面的距离公式，d =

.此题比较容易，难点在求解法向量的计

算过程容易出错，所以平时要加大法向量的求解要求.

试题解析：（1）//OB MN ，OB ú平面CMN //OB ?平面CMN

//OA MC ，OA ú平面CMN //OA ?平面CMN

OA OB O =I ，∴平面//OAB 平面CMN ，又AB ?平面OAB ，

∴//AB 平面CMN 4分

（2）分别以,,OB OM OA 为,,x y z 轴建立坐标系，

则(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(0,1,0)M ，(0,1,1)C ，(1,1,0)N ，

∴(0,1,1)AC =-u u u r ，(1,0,1)NC =-u u u r ，设平面ANC 的法向量为(,,)n x y z =r

，

则有0

n AC y z n NC x z ??=-

=???=-+=??r u u u r

r u u u r

，令1x =，得(1,1,1)n =r ，而平面CMN 的法向量为： 1(0,1,0)OM n ==u u u u r u r ，111|cos ,|3||||n n n n n n ?<>==?r u r

r u r u

u r u r 8分 （3）(0,0,1)MC =u u u u r ，由（2）知平面ANC 的法向量为：(1,1,1)n =r

，

∴||||

MC n d n ?==

u u u u r r r 分 考点：1.平行的判定；2.空间坐标系解决二面角与点的面的距离的问题. 22．（1）1

()3n n a =；（2）201440282015T =-；（3）133131

()()44323

n n n U n +=-++. 【解析】

试题分析：（1）条件中1122

n n S a =-是前n 项和n S 与第n 项n a 之间的关系，考虑到当2n ≥时，

1n n n a S S -=-，因此可得1111111()22223n n n n n a a a a a --=

---?=，又由1111111223a S a a ==-?=，从而可以证明数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，∴通项公式1

()3

n n a =；（2）由（1）结合

3()log f x x =，可得331

()log log ()3n n f a x n ===-，

从而12(1)

()()...()1232n n n n b f a f a f a n +=+++=----???-=-

，因此考虑采用裂项相消法求1{}n

b 的前n 项和，即有1

2

1111111112...2[(1)()()]2(1)2

2

3

1

1

1

n n

n T b b b n

n n n -=+++=--+-+???+-=--=+++；（3）由（2）

及()n n n c a f a =?，可得1

()()3

n n c n =-，因此n c 可看作是一个等比数列与一个等差数列的积，可以考虑采用错位相减法求其前n 项和，即有1212111[1()2()()]333

n n n U c c c n =++???+=-?+?+???+?①，

2311111

[1()2()()]3333

n n U n +=-?+?+???+?②， ①-②：1211211111111

[()()()()]()()333332233n n n n n U n n ++=-++???+-=-++，

从而133131

()()44323

n n n U n +=-++.

（1）在1122n n S a =-中，令1n =，可得1111111

223

a S a a ==-?=..............2分

当2n ≥时，11111111

()22223

n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---?=，

∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，∴1

()3

n n a =； 4分

由（1）及3()log f x x =，∴331

()log log ()3

n n f a x n ===-，

∴

12(1)()()...()1232

n n n n b f a f a f a n +=+++=----???-=-

，故

1112()1

n b n n =--+，..............6分 又∵121111111112...2[(1)()()]2(1)223111

n n

n T b b b n n n n -=+++=--+-+???+-=--=+++，...... 9分

∴20144028

2015

T =-

10分 （3）由（2）及()n n n c a f a =?，∴1()()3

n n c n =-， 12分 ∴1212111[1()2()()]333

n n n U c c c n =++???+=-?+?+???+?①，

①13?可得：2311111

[1()2()()]3

333

n n U n +=-?+?+???+?②，

①-②：1211211111111

[()()()()]()()333332233n n n n n U n n ++=-++???+-=-++，

∴133131

()()44323

n n n U n +=-++， 16分

考点：1.求数列的通项公式；2裂项消法求数列的和；3.错位相减法求数列的和.