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非线性随机系统在博弈问题中的应用研究_吴克晴

非线性随机系统在博弈问题中的应用研究_吴克晴
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非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法

垫拯生』选盆煎!!! 非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法。 苏志霄郑兆昌 (清华大学工程力学系,北京,100084) 谁≮ 'I广 摘要秭4用Taylor级数展开导出了任意自治或非自治非线性动力系统的瞬时线性化方程,该线性方程的连续变化描述了系统的全部复杂动力行为。 进一步求解系统的线性化方程,得到一种非线性动力系统数值计算的新 的递推格式,计算实例表明其精度高于传统的Houbolt、Wilson.o及 Newmark-13等方法,且在计算时间步长较大时,仍然具有足够的计算精 度3文末通过数值计算研究了Duffing方程和vanderPol方程的混沌及 周期特性。 关键词非线性动力系统连续线性化模型Dumng方程vailderPol方程 近年来,非线性动力系统的定性分析方法在低维系统中的应用已逐步完善。然而。由于非线性系统一般不存在解析解,因此通常利用逐步积分法、有限差分法[1,2]及其他方法,如Taylor变换法[3】等数值算法得到其数值解。各种数值方法均是基于时间历程上的差分方法,也即通过各种形式的函数曲线来近似代替时间步长上振动系统的实际响应形式。 运动学研究历史上,静止被认为是运动的瞬时存在状态。与此类似,线性结构可认为是非线性系统的瞬时表现形式,线性系统的连续变化反映了非线性动力系统的全部复杂行为。非线性系统的瞬态响应依赖于该瞬时的线性结构,而该时刻线性结构的确定又依赖于上一连续瞬时非线性系统的响应。因此,非线性系统的响应具有连续递推性。由此观点可发展为非线性动力系统的连续线性模型理论。本文即从此出发,推导了一般自治或非自治非线性动力系统的瞬态线性方程,精确求解该线性化方程得到非线性系统的一种新的数值算法。该方法本质上以瞬态线性结构的精确响应来近似代替离散时间段内非线性系统的响应,区别于传统差分方法中以直线或各种曲线近似代替的思想。计算实例表明该方法较传统方法相比,大大提高了计算精度。文末计算了强迫Duffmg方程与强迫vallderP01方程的混沌及周期特性。 1非线性系统的连续线性化模型 考虑相空间中的,l维自治或非自治非线性系统 ‘国家重点基础研究发展规划项目(编号:G1998020316)。国家自然科学基金资助项目(NO.19972029),中国博士后科学基金资助项目(中博基【1999】)17号。

非线性动力学之一瞥_Lorenz系统

非线性动力学 非线性系统之一瞥——Lorenz系统 2013-01-30

0 前言 0.1非线性系统动力学 线性系统是状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统;非线性系统就是这些量不满足叠加原理的系统。非线性系统在日常生活和自然界中不胜枚举,也远远多于线性系统。 非线性动力学是研究非线性系统的各种运动状态的定性和定量变化规律,尤其是系统的长时期行为。研究的对象主要有分叉、混沌和孤立子等。 0.2洛伦兹方程 洛伦兹方程是美国气象学家洛伦兹在模拟天气这一非周期性现象时确定,这个方程的三个变量分别模拟温度、湿度和压力。可以得出结论,初期微小的差别随着时间推移差别会越来越大,洛伦兹基于此提出长期的天气预报是不可能的。这也被视为研究非线性混沌理论的开始,所以洛伦兹系统在研究非线性系统中具有举足轻重的地位。本文借助洛伦兹系统对非线性进行简单的介绍。洛伦兹方程如下。 方程中,、和都为实参数。实参不同,系统的奇点及数目也是不同的。

1 奇点和稳定性 1.1 奇点 洛伦兹系统含有三个实参数,当参数变化,奇点的数目可能不同。首先,一定是系统的奇点。时,当时,系统仅有一个奇点;当时,系统还有另外两个奇点。 下面仅解时的两个非原点奇点。令 方程第一式得,第三式可得,将两式代入第二式得 即,。 1.2 奇点稳定性判别 下面根据Liapunov稳定性判别方法,找出系统在原点处大围渐进稳定的条件,取Liapunov函数。考虑,的情况。则有 将洛伦兹方程 代入上式,可得 变换为二次型,系数矩阵为

已知,,则系数矩阵负定的条件是。所以该系统是大围渐进稳定的条件是,前提是,。 Liapunov函数V总是存在的,只要构造出合适的Liapunov函数,就可以通过Liapunov稳定性定理直接判断奇点的稳定性,而不需要求解非线性方程组。有的Liapunov函数不易构造,则可以通过奇点处导算子的特征值来判断:若所有的特征值实部都小于0,则方程组在该奇点是局部渐进稳定的;若特征值实部至少有一个为正,该奇点是不稳定的。仍以洛伦兹系统为例,求出导算子的特征值。 特征矩阵的行列式(特征方程)为 特征值 显然,当,时,,,要使方程在原点处渐进稳定,必须小于0,因此 两边同时平方可得 因此

自动控制原理非线性系统习题题库

8-1考虑并回答下面的问题: (a )在确定非线性元件的描述函数时,要求非线性元件不是时间的函数,并要求有斜对称性,这是为什么 (b )什么样的非线性元件是无记忆的什么样的非线性元件是有记忆的它们的描述函数各有什么特点 (c )线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数,有什么是相同的有什么是不同的线性元件可以有描述函数吗非线性元件可以有传递函数吗 (d )非线性系统线性部分的频率特性曲线与非线性元件的负倒描述函数曲线相交时,系统一定能够产生稳定的自激振荡吗 8-2设非线性元件的输入、输出特性为 35135()()()()y t b x t b x t b x t =++ 证明该非线性元件的描述函数为 2413535 ()48 N A b b A b A =++ 式中A 为非线性元件输入正弦信号的幅值。 8-3某非线性元件的输入、输出特性如图所示。 图 习题8-3图 (a )试求非线性元件的描述函数。 (b )将图所示非线性元件表示为有死区继电器和有死区放大器的并联,用非线性元件并联描述函数的求法求它的描述函数,并与(a )中的结果相比较。 8-4滞环继电特性如图(a )所示,证明它的描述函数可以表示为 4()arcsin M a N A A A π??= ∠ ???

且负倒描述函数的虚部为常值,负倒描述函数曲线如图(b )所示。 (a ) (b ) 图 习题8-4图 8-5大对数控制系统的控制器后面都带有限幅器。对图(a )所示PI 调节器输出带有限幅器的情况,在输入信号发生大的阶跃变化时,系统输出将出现比较大的退饱和超调。所谓退饱和超调是指,在大的误差信号e 作用下,PI 调节器的输出将很快将到达饱和值,经限幅器限幅后控制作用u 维持在最大值max u 。在max u 的作用下,输出c 逐渐增大,误差e 逐渐减小,但只要误差未改变符号,PI 调节器的积分项就将继续增大,0e =时积分项的值一般要远大于限幅器的限幅值max u 。当输出超调以后,误差的符号变负,调节器积分项的值开始下降,但在一段时间内仍将维持在很大的数值上,因此会导致很大的超调。 为降低或消除上述系统的退饱和超调,可以有图(b )或图(c )所示的限幅器设计方案,可以保证调节器的积分项被限制在限幅值以内,试分别说明它们的工作原理。 (a ) (b )

《从非线性动力学到复杂系统》

《从非线性动力学到复杂系统》 段法兵 系统理论博士生课程

第一讲动态系统的发展 系统是一些相互关联的客体组成的集合,动态(动力dynamical)系统是系统状态变量,比如温度、位移、价格、信号幅值等,随着时间变化的。它的描述可以用微分方程或者离散方程。 微分方程历史悠久,可追溯到牛顿、伽利略、欧拉、雅克比等人,用以描述行星的运动轨迹。研究中发现即使满足牛顿引力定律的三体运动也非常复杂,其微分方程是非线性的,非线性是指不满足叠加定律的方程,解无法利用已知函数进行描述,如果能够描述的我们称为显式解。因此,庞加莱在1880年-1910年期间,试图利用解的拓扑几何性质来解释动态系统的运动规律,发现即使确定性系统,其运动规律也会出现随机性态,非常复杂(确定性系统是指其外力是确定的不随机,只要知道初始条件和演化方程,其运动是可预先确定的)。 非线性系统运动的复杂性:李雅普诺夫研究了系统平衡点?的稳定性?问题,随后本迪尔松等发现系统的解包含(1)平衡态(静止不动);(2)周期运动(比如行星)(3)拟周期,就是几个频率不可公约周期之和。 接着1975年Li和Yorke提出了混沌的概念,即系统的解是非周期的一种类似随机运动的现象,这其中就包含了洛伦兹提出的“蝴蝶效应”,根源在于这类非线性动力系统对于初始条件的极其敏感性,初始条件的微小变化导致了系统状态的巨大改变,从此有关非线性科学的发展异常迅速,形成了现代动力学理论,其最重要的贡献是揭示了一个简单的模型可能蕴含了无比复杂的动力学性态。 例子:Van der Pol(范德波尔)方程 1920年Van der Pol利用电子震荡管研究心脏的跳动问题,比如人工心脏起

非线性控制理论和方法

非线性控制理论和方法 姓名:引言 人类认识客观世界和改造世界的历史进程,总是由低级到高级,由简单到复杂,由表及里的纵深发展过程。在控制领域方面也是一样,最先研究的控制系统都是线性的。例如,瓦特蒸汽机调节器、液面高度的调节等。这是由于受到人类对自然现象认识的客观水平和解决实际问题的能力的限制,因为对线性系统的物理描述和数学求解是比较容易实现的事情,而且已经形成了一套完善的线性理论和分析研究方法。但是,现实生活中,大多数的系统都是非线性的。非线性特性千差万别,目前还没一套可行的通用方法,而且每种方法只能针对某一类问题有效,不能普遍适用。所以,可以这么说,我们对非线性控制系统的认识和处理,基本上还是处于初级阶段。另外,从我们对控制系统的精度要求来看,用线性系统理论来处理目前绝大多数工程技术问题,在一定范围内都可以得到满意的结果。因此,一个真实系统的非线性因素常常被我们所忽略了,或者被用各种线性关系所代替了。这就是线性系统理论发展迅速并趋于完善,而非线性系统理论长期得不到重视和发展的主要原因。控制理论的发展目前面临着一系列严重的挑战, 其中最明显的挑战来自大范围运动的非线性复杂系统, 同时, 现代非线性科学所揭示的分叉、混沌、奇异吸引子等, 无法用线性系统理论来解释, 呼唤着非线性控制理论和应用的突破。 1.传统的非线性研究方法及其局限性 传统的非线性研究是以死区、饱和、间隙、摩擦和继电特性等基本的、特殊的非线性因素为研究对象的, 主要方法是相平面法和描述函数法。相平面法是Poincare于1885年首先提出的一种求解常微分方程的图解方法。通过在相平面上绘制相轨迹, 可以求出微分方程在任何初始条件下的解。它是时域分析法在相空间的推广应用, 但仅适用于一、二阶系统。描述函数法是 P. J.Daniel于1940

非线性系统学习控制理论的发展与展望

非线性系统学习控制理论的发展与展望 谢振东谢胜利刘永清 摘要:论述了学习控制的基本理论问题,给出了学习与学习控制系统的基本定义,着重讨论了学习控制方法产生的历史背景、目前非线性系统学习控制的研究状况,提出了一些有待继续研究的问题. 关键词:非线性系统;学习控制;发展与展望 文献标识码:A Development and Expectation for Learning Control Theory of Nonlinear Systems XIE Zhendong,XIE Shengli and LIU Yongqing (Depatrment of Automatic Control Engineering, South China University of Technology. Guangzhou, 510640, P.R.China) Abstract:In this paper, the problem for the basic theory of learning control is discussed. After giving the basic definition of learning and learning control, we mainly discuss the background of learning control and the research status for learning control of nonlinear systems, and put forward some problems need to be researched. Key words:nonlinear systems; learning control; development and expectation▲ 1 非线性系统学习控制的研究背景(Research background for learning control theory of nonlinear systems) 1.1 引言(Introduction) 对于高速运动机械手的控制,Uchiyama提出一个思想[1]:不断重复一个轨线的控制尝试,并以此修正控制律,能达到较好的控制效果.日本学者Arimoto[2]等人根据这种思想于1984年针对机器人系统的控制研究,提出了迭代学习控制这一新颖方法.这种控制方法只是利用控制系统先前的控制经验,根据测量系统的实际输出信号和期望信号来寻求一个理想的输入,使被控对象产生期望的运动.而“寻找”的过程就是学习的过程,在学习的过程中,只需要测量系统的输出信号和期望信号,不象适应控制那样,对系统要进行复杂的参数估计[3,4],也不象一般控制方法那样,不能简化被控对象的动力学描述.特别是在一类具有较强的非线性耦合和较高的位置重复精度的动力学系统(如工业机器人、数控机床等)中,学习控制有着很好的应用,如T.Sugie[5],M.Katic[6],H.Park[7]的工作.迭代学习控制方法提出后,受到了控制界的广泛关注,人们不仅针对各种机器人系

地下结构抗震研究现状及其展望

地下结构抗震理论的研究现状及展望 摘要:地下工程的大规模兴起和地震的频发,使得地震对地下工程影响的研究在近几十年得到了很大的发展。无论就世界范围,还是我国的具体情况,该问题的研究都具有十分重要的现实意义。地下结构的震动特性与地面结构有很大差别,地下结构受到周围岩土介质很强的约束作用,在地震作用下自震特性表现的不很明显本文简要总结地下结构抗震的研究现状,并针对现阶段的研究进展进行合理展望。 关键词:地下工程;地震;抗震 研究现状: 地下结构在城市建设、交通运输、能源开发和国防工程等方面获得广泛应用。随着工农业生产的发展和城市化程度的提高,地下结构的重要性日益明显。目前,在世界范围内地下空间开发利用的热潮方兴未艾。我国大部分地区为地震设防区,随着地下结构建设规模的扩大,地下结构的抗震安全对于人民生命财产的保障以及城市生活的正常运行有着极为重要的意义。 在地震作用下,地下结构与地面结构的振动特性有很大的不同。二者作对比如下:(1)地下结构的振动变形受周围地基土壤的约束作用显著,结构的动力反应一般不明显表现出自振特性的影响。地面结构的动力反应则明显表现出自振特 性,特别是低阶模态的影响。 (2)地下结构的存在对周围地基地震动的影响一般很小(指地下结构的尺寸相对于地震波长的比例较小的情况),而地面结构的存在则对该处自由场的地震 动发生较大的扰动。 (3)地下结构的振动形态受地震波入射方向变化的影响很大。地震波的入射方向发生不大的变化,地下结构各点的变形和应力可以发生较大的变化。地面结 构的振动形态受地震波入射方向的影响相对较小。 (4)地下结构在振动中各点的相位差别十分明显。地面结构在振动中各点的相位差别不是十分明显。 (5)一般而言,地下结构在振动中的主要应变与地震加速度大小的联系不很明显,但与周围岩土介质在地震作用下的应变或变形的关系密切。对地面结构 来说,地震加速度则是影响结构动力反应大小的一个重要因素。 (6)地下结构的地震反应随埋深发生的变化不很明显。对地面结构来说,埋深是

自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案

8 非线性控制系统 前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法,然而,对于非线性程度比较严重的系统,不满足小偏差线性化的条件,则只有用非线性系统理论进行分析。本章主要讨论本质非线性系统,研究其基本特性和一般分析方法。 8.1非线性控制系统概述 在物理世界中,理想的线性系统并不存在。严格来讲,所有的控制系统都是非线性系统。例如,由电子线路组成的放大元件,会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。当由电动机作为执行元件时,由于摩擦力矩和负载力矩的存在,只有在电枢电压达到一定值的时候,电动机才会转动,存在死区。实际上,所有的物理元件都具有非线性特性。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件,则称这种系统为非线性系统,非线性系统的特性不能由微分方程来描述。 图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性,图中横坐标u 为电机的控制电压,纵坐标ω为电机的输出转速,如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段,则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性,因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段.那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理,因为其静特性具有明显的非线性。 图8-1 伺服电动机特性 8.1.1控制系统中的典型非线性特性 组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。例如,作为放大元件的晶体管放大器,由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围,超出这个范围,放大器就会出现饱和现象;执行元件例如电动机,总是存在摩擦力矩和负载力矩,因此只有当输入电压达到一定数值时,电动机才会转动,即存在不灵敏区,同时,当输入电压超过一定数值时,由于磁性材料的非线性,电动机的输出转矩会出现饱和;各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷,在传动过程中总存在着间隙,等等。 实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素,所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。 8.1.1.1饱和非线性 控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制,都具有饱和特性。如图8-2所示,其中a x a <<-的区域是线性范围,线性范围以外的区域是饱和区。许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制,也都有饱和非线性特性。有时,工程上还人为引入饱和非线性特

非线性系统最优控制理论综述

非线性系统最优控制理论综述 时间:2015-06-17 作者:马玲珑 摘要:非线性系统,其最优控制求解相当困难,寻求近似的最优控求解方法是当下解决这一问题的主要途径。目前,比较成熟的最优控制求解方法主要有七类,本文对这七种方法进行了详细的阐述,并对其优缺点进行了客观的对比。 论文关键词:非线性,最优控制 近年来,最优控制理论[1,2]的研究,无论在深度和广度上,都有了很大的发展,已成为系统与控制领域最热门的研究课题之一,取得了许多研究成果。同时,也在与其他控制理论相互渗透,出现了许多新的最优控制方式,形成了更为实用的学科分支。例如鲁棒最优控制[3]、随机最优控制[4]、分布参数系统的最优控制[5]、大系统的次优控制[6]、离散系统的最优控制及最优滑模变结构控制[7,8]等。而对于非线性系统,其最优控制求解相当困难,需要求解非线性HJB方程或非线性两点边值问题,除简单情况外[9],这两个问题都无法得到解析解。因此,许多学者都致力于寻求近似的求解方法[10~13],通过近似解得到近似的最优控,即次优控制。 1、非线性最优控制理论研究成果分类 目前,较为流行的近似最优控制求解方法主要有以下几类[6][13]。 1)幂级数展开法:幂级数展开方法通过一个幂级数来构造控制律,得到序列形式的近似最优解,或者将系统中的非线性项以幂级数形式分解,或者通过引进一个临时变量并围绕它展开。 将上式代入HJB方程求得级数近似解,也可利用Adomian分解将非线性项进行分解,由此寻求非线性HJB方程级数的近似解。 2)Galerkin逐次逼近方法:由动态规划得到的一般性偏微分HJB方程,引入一个迭代过程来求解一般非线性HJB方程的一个近似解序列。 3)广义正交多项式级数展开法:其主要思想是将最优控制问题中的状态变量,控制输入,性能指标和各个参数分别用广义正交多项式展开,利用广义正交多项式的积分、乘积运算阵 将描述系统的微分方程转化为一系列的代数方程。然后,得到 ,T非奇异时由得到的控制律是一个多项式级数解。该方法将最优控制问题转化为代数极值问题,从而避免了求解时变非线性Riccati方程。 4)有限差分和有限元方法:经典的有限差分和有限元方法可以用来近似求解非线性

非线性动力系统 MatLab编程简介

M a t L a b 编程简介 一、先介绍MatLab 里几个挺好用,但是大家以前可能没用到的命令,用过MatLab 的从例子都应该能看明白 用法,所以我基本不加注释。 1、 求解初等方程:02 2 =ωλ+ solve('x^2+w^2') ans = i*w -i*w 2、 求解微分方程:x x 2ω-= ,以及求函数的导数。 xt=dsolve('D2x = -w^2*x','t'), yt=diff(xt,'t') xt = C1*sin(w*t)+C2*cos(w*t) yt = C1*cos(w*t)*w-C2*sin(w*t)*w 3、符号作图:)sin(?ω+=t A y syms t;%这个命令用来声明下面要用到的符号变量。 ezplot(sin(t+pi/6),[0,2*pi]); axis([0,2*pi,-1,1]);

目录 4、符号作带等高线曲面图:2222 121x y z ω+= syms x y w; ezsurfc(y*y/2+2*x*x,[-4,4,-8,8]); 5、画向量场x y x Q y y x P sin ),(,),(-== u=-4:0.3:4;

非线性动力系统 [x,y]=meshgrid(u);%这个命令用来先生成一个数据网格以画向量场。 quiver(x,y,y,-sin(x)); 6、极坐标作图:θ 21-+=e r Theta=0:0.01:5*pi; polar(Theta,1./sqrt(1+exp(-2*Theta)),'r'); 7、画等高线:2 2 2 )1(y x x z +-=

综述非线性系统最优控制理论.docx

综述非线性系统最优控制理论 近年来,最优控制理论[1,2]的研究,无论在深度和广度上,都有了很大的发展,已成为系统与控制领域最热门的研究课题之一,取得了许多研究成果。同时,也在与其他控制理论相互渗透,出现了许多新的最优控制方式,形成了更为实用的学科分支。例如鲁棒最优控制[3]、随机最优控制[4]、分布参数系统的最优控制[5]、大系统的次优控制[6]、离散系统的最优控制及最优滑模变结构控制[7,8]等。而对于非线性系统,其最优控制求解相当困难,需要求解非线性HJB方程或非线性两点边值问题,除简单情况外[9],这两个问题都无法得到解析解。因此,许多学者都致力于寻求近似的求解方法[10~13],通过近似解得到近似的最优控,即次优控制。 1、非线性最优控制理论研究成果分类 目前,较为流行的近似最优控制求解方法主要有以下几类[6][13]。 1)幂级数展开法:幂级数展开方法通过一个幂级数来构造控制律,得到序列形式的近似最优解,或者将系统中的非线性项以幂级数形式分解,或者通过引进一个临时变量并围绕它展开。 将上式代入HJB方程求得级数近似解,也可利用Adomian分解将非线性项进行分解,由此寻求非线性HJB方程级数的近似解。 2)Galerkin逐次逼近方法:由动态规划得到的一般性偏微分HJB方程,引入一个迭代过程来求解一般非线性HJB方程的一个近似解序列。 3)广义正交多项式级数展开法:其主要思想是将最优控制问题中的状态变量,控制输入,性能指标和各个参数分别用广义正交多项式展开,利用广义正交多项式的积分、乘积运算阵 将描述系统的微分方程转化为一系列的代数方程。然后,得到,T非奇异时由得到的控制律是一个多项式级数解。该方法将最优控制问题转化为代数极值问题,从而避免了求解时变非线性Riccati方程。 4)有限差分和有限元方法:经典的有限差分和有限元方法可以用来近似求解非线性HJB方程。近年来,这类方法用来近似求取非线性HJB方程的粘性解。 5)状态相关Riccati方程方法:这种方法适用的模型是仿射非线性系统,

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