文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 数理统计试卷

数理统计试卷

参数估计

一、 知识点

1. 矩估计法;极大似然估计法

2. 估计量的评判标准(会验证一个估计量的无偏性,比较两个无偏估计量的有效性)

3. 区间估计的概念

4. 会求一个正态总体期望μ和方差2

σ的置信区间 二、习题解答

1. 设总体X ~

2

2

()(),0p x a x x a a =

-<<,求参数a 的矩估计。 解:2

200

2()()()3a a

a E X xp x dx ax x dx a ==-=??

令3

a

X =,?3a X =,由矩估计定义知a 的矩估计?3a

X =。 2. 设总体X ~()(1),01,a

p x a x x =+<<求

(1) 参数a 的矩估计,(2)参数a 的似然估计

解:(1)11

21

1000

1()()(1)(1)22a a x a E X xp x dx a x dx a a a +++==+=+=++?? 令

1

2

a X a +=+,?211X a

X -=

-,由矩估计定义知a 的矩估计21

?1X a X

-=-

(2)

似然函数()(;)(1)(1)()a n a

i i i L a p x a a x a x ==+=+∏∏∏

ln ()ln(1)ln i L a n a a x =++∑, 由

ln ()ln 01

i d L a n

x da a =+=+∑

? 1ln i n a x =-

-∑,得a 的极大似然估计?1ln i

n

a x =--∑ 3. 总体X 服从区间[a,b]上的均匀分布,

(1) 求参数a,b 的极大似然估

(2) 设从总体取得样本1.4,2.5,1.6,1.8,2.2,1.8,2.0。分别求a,b 的矩估计值和极大似然估

值。

解:(1)总体X 的密度函数1

,()0,a x b p x b a ?≤≤?

=-???其他

似然函数1

,1,2,,()()(;,)0i n

i a x b i n b a L a b p x a b ?≤≤=?-==???

∏ ,其他

显然, b a -越小,似然函数就越大,但由于,1,2,,i a x b i n ≤≤= ,所以能套住所有的i x 的最短区间(?a

,?b )应为:{}1?min i i n

a x ≤≤=,{}

1?max i

i n

b

x ≤≤=

(2)由课本例题知,a,b

的矩估计为??a X b X ?=-??=+??,代入样本值得矩估计?a

数理统计试卷

数理统计试卷

=1.31,?b =2.49;极大似然估?a

=1.4,?b =2.5 5. 已知总体X 服从参数为θ的泊松分布, 其分布律为:0;,2,1,0,)(!1

>===-θθθ k e k X P k k n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本. 求 θ的最大似然估计量;

解.L (θ;x 1,x 2,...,x n ) =

∏==n

i i x X

P 1

)(= =θθ-=∏e x i x n

i i

1!1=θθn n i i x e x n

i i

-=∏∑=1

!

1

lnL =

∑∑==--n i n

i i

i

n x x 1

1

!ln ln θθ,令

θ

d L d ln =

01

=-∑=n x

n

i i

θ,θ?=X X n n i i =∑=1

1

为θ的最大似然估计量.

6.设总体X 的均值为μ,试证2

=21

1()n i i X n μ=-∑是总体方差2σ的无偏估计量。 证明:E(2?σ

)=E[211()n i i X n μ=-∑]=2

11()n i i E X n μ=-∑=21

1n i n σ=∑=2σ 7. .设对总体X ,有EX=μ,DX=2σ>0,且对样本均值X ,有EX μ=,试证22

EX μ=不成立。

证明:因为DX

=22()()E X EX -=2

22

()0E X n

σμ-=

>, 即22EX μ=不成立。

8.一批零件的长度服从正态分布,从中任取16个测得如下数据2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,

2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。对α=0.05,求总体均值μ的置信区间。 (1)已知总体标准差σ=0.01 (2)总体标准差未知

解:(1)计算出X =2.125

数理统计试卷

=0.0049,μ的1-α置信区间为(2.120,2.130) (2) 总体标准差未知,查表得(15)t 的分位数为2.1315,由公式计算出μ的1-α置信区间为(2.116,2.134)

二、例题与自测题

1.总体)2,(~θθU X , 其中0>θ是未知参数, 又n X X X ,,,21 为取自该总体的样本, X 为样本均值.

证明: 3

2

?=θ

是参数θ的无偏估计.

证明: 因为2

3323232?θ

θ

===EX X E E =θ, 故X 2

?=θ

是参数θ的无偏估计.

2.设321,,X X X 是取自总体x 的样本,试证下列统计量都是总体均值μ

的无偏估计量,并指出哪一个最有效?

(1)32116

1

3121?X X X ++=μ

(2)3212

313131?

X X X ++=

μ(3)32113

2

6161?X X X ++=μ

4. 设总体),0(~θU X , 现从该总体中抽取容量为10的样本, 样本值为:0.5, 1.3, 0.6, 1.7, 2.2, 1.2, 0.8, 1.5,

2.0, 1.6 试求参数θ的矩估计和似然估计. 解: 因为),0(~θU X , 所以EX =

2

θ

, 2EX θ=

故矩估计X

2?=θ

=2×

)6.10.25.18.02.12.27.16.03.15.0(10

1

+++++++++=2.68 似然估计

{}1?max 2.2i

i n

x θ≤≤== 5. 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试, 得到如下数据(单位: 小时):

1 050, 1 100, 1 130, 1 040, 1 250, 1 300, 1 200, 1 080

试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差进行点估计. 解: 设这批元件的平均寿命为u , 寿命分布的标准差为σ,

75.1431)08012001300125010401130110010501(8

1

?=+++++++==X u

,

*?96.06S σ

数理统计试卷

数理统计试卷

==== 6、从均值为μ, 方差为2

σ的正态总体中分别抽取容量为1n 和2n 的两组独立样本, 21,分别为两组样本的样本均值. 试证: 对任何常数)1(,=+b a b a , 21X b X a Y +=都是μ的无偏估计, 并确定b a ,的值使21b a Y +=在此形式的估计量中最有效. 解:因为.)(21u EX EX b a bEX aEX X bE X aE EY

==+=+=+=

所以,对任何常数)1(,=+b a b a , 21X b X a Y +=都是μ的无偏估计.

DX n b n a DX n b DX n a X D b X D a DY )(2

2

12221222

12

+=+=+=

令 f (a ,b )=

2

2

12n b n a +, 求f (a ,b )在a +b =1下的条件极值,可知

当a =

211n n n +, b =

2

12n n n +时, f (a ,b )最小, 从而Y 最有效.

7. 总体),(~2σμN X 分布,n X X X ,,,21 为取自该总体的简单随机样本,试建立总体期望μ的1α-置信区间,假设(1)方差2

σ=20σ已知;(2)方差2

σ未知 8(思考题)设从总体

),(~211σμN X 和总体),(~2

22σμN Y 中分别抽取容量为21,n n 的独立样本X 1,X 2,……,X n1 与Y 1,Y 2,……,Y n2,试建立总体期望12μμ-的1α-置信区间,假设(1)两总体的方差

21σ,22

σ已知; (2)两总体的方差21σ=2

2σ=2σ但2σ未知 答案(1):

1212{())x x u x x u α

α

---+

数理统计试卷

数理统计试卷

2

11

2

数理统计试卷

数理统计试卷

2

2

{()(

x x t n n S x x t n n S αα--+--++-

其中*2*2

2

112212(1)(1)2

W

n S n S S n n -+-=

+-为两总体的合样本方差 9.(思考题)设从总体

),(~2

11σμN X 和总体),(~2

22σμN Y 中分别抽取容量为21,n n 的独立样本

X 1,X 2,……,X n1 与Y 1,Y 2,……,Y n2,试建立总体方差比2

122

σσ的1α-置信区间

10.总体),(~2

σμN X 分布,方差2σ=20σ已知,n X X X ,,,21 为取自该总体的简单随机样本。 总

体期望μ的置信区间的长度L ,随着置信度1α-的增加

(1) 长度不变 (2) 长度增大 (3) 长度减小 (4) 增减不定

11. 已知某种材料的抗压强度),(~2

σμN X , 现随机地抽取10个试件进行抗压试验, 测得数据如下: 482,

493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469. (1) 求平均抗压强度μ的矩估计值;

(2) 求2

σ的矩估计值;

(3) 求平均抗压强度μ的95%的置信区间;

(4) 求2

σ的95%的置信区间;

(5) 若已知σ=30, 求平均抗压强度μ的95%的置信区间;

12.总体),(~2σμN X , 2

σ已知,问样本容量n 取多大时才能保证μ的95%的置信区间的长度不大于k .

解:由于2

σ已知时,μ的95%

的置信区间为:{X X +

数理统计试卷

数理统计试卷

它的长度为:L

=,

数理统计试卷

令L ≤k

,则n ≥

222

22

419.615.37k k σσ=, 故n 至少要取1]37.15[

2

2

+k σ. 13.若两总体的方差2

1σ=2

2σ=2

σ未知时,记

*2*2

2

112212(1)(1)2

W

n S n S S n n -+-=

+-,称其为两总体的合样本方差,证明其为总体方差的无偏估计。 14. 设θ是总体X 中的参数,称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间,即(答案:(A)). A. ),(θθ以概率a -1包含θ B. θ 以概率a -1落入),(θθ

C.

θ

以概率a 落在),(θθ之外

D. 以),(θθ估计θ的范围,不正确的概率是a -1

15.设X 1,X 2,……,X n 是来自总体N (2

,σμ)的S.R.S,X

是样本均值,记

S 12

=2

1

)(11∑=--n i i X X n

S 22

=21

)

(1∑=-n i i X X n S 32=2

1)(11∑=--n i i X n μ S 42

=2

1

)(1∑=-n i i X n μ S 12、S 22、S 32、

、S 42作为总体方差2

σ的四个估计量,其中无偏估计量有 。 16.在总体μ的所有线性无偏估计中,以 最为有效。 17.从去年出生的新生儿随机抽取10名,测得体重值(单位:千克),已计算出X =3.6,

∑=-n

i i

X X

1

2)(=1.6。 已知新生儿体重~N(2,σμ) 分布,2

,σμ的极大似然估计值分别为____

和________,2

σ的无偏估计值为__________。 18.

21?,?θθ都是θ的估计,且)?()?(21θθD D ≤,则1

?θ比2?θ更有效吗?为什么。

19.(02数1考研题)设总体X 的概率分布为

数理统计试卷

其中0<θ<1/2, θ为未知参数,(3,1,3,0,3,1,2,3)是一个样本。求θ的矩估计和似然估计。

20. .(06数3考研题) 设总体X 的概率密度为??

?

??≤≤-<<=其他,021,11

0,),(x x x f θθθ,其中θ

是未知

参数(0<θ<1)。

n X X X ,,21为来自总体的简单随机样本,记N 为样本值

n x x x ,,21中小于

1的个数。求:

(Ⅰ)θ的矩估计;(Ⅱ)θ的最大似然估计。 解:(Ⅰ)θθθ-=-+??==??2

3)1()(2

1

1

dx x dx x X E X ,所以:X -=

2

3

θ

(Ⅱ)对样本n

x x x ,,2

1

按照<1或者≥1进行分类:

pN p p x x x ,,21<1,pn pN pN x x x ,,21++≥1。

似然函数?

??≥<-=++-其他,,01

,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ,

pN

p p x x x ,,21<1,

pn

pN pN x x x ,,21++≥1时,

)1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ,01)(ln =---=θθθθN n N d L d ,所以n

N =最大θ。