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抛物线性质30条

L 三、抛物线性质总结

20)2(0),,0)a x x y px p ?→=→???

?=>??1y=ay 焦点坐标（，a 4

（1）标准方程：p 焦点坐标（2

12,(,)y B y θ??

?122

212121212122

(2）设过焦点F 的直线l 与抛物线交于A(x ）、x 两点，则y y p ①x x =，②y y =-p . =-4

4x x 2p 112

③AB =x +x +p=

,④+=.sin AF BF P

⑤以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

若C 为抛物线上一点，且BC||x 轴则A,O,C 三点共线.

⑥若直线AO 与抛物线的准线交于一点C ，则BC x 轴.

222(22)02k 0k 0k 0k 0k x kb p x b px

?→+-+=?=???

>???

≠=???

2(3)直线与抛物线的位置关系:

y=kx+b y 当k=0时，有一个交点有两个交点当时直线与抛物线相交直线与抛物线相离

1212(4)k x y ==-=-与弦长公式有关的问题:

①求弦长：AB ②求③求面积

212121212,,x x b c

x x x x a a x x +=-?=

韦达定理：若，是方程ax +bx+c=0的两个根，则求根公式：，

4. '90AC B ∠=;

5. ''90A FB ∠=;

6. 1232

22()2sin p p

AB x x p x α

=++=+=; 7.

112

AF BF P

+=; 8. A 、O 、'

B 三点共线； 9. B 、O 、'

A 三点共线；

10. 2

2sin AOB P S α

=；

11. 23()2

AOB S P

AB =（定值）； 12. 1cos P AF α=

-；1cos P

BF α=+；

13. 'BC 垂直平分'

B F ；

14. 'AC 垂直平分'

A F ；

15. '

C F AB ⊥； 16. 2AB P ≥；

17. 11

'('')22

CC AB AA BB ==+； 18. AB 3

P K =

y ； 19. 2p 22

tan =x -α;

20. 2

A'B'4AF BF =?; 21. 1

C'F A'B'2

=. 22.切线方程 ()x x m y y +=00

2124

p x x =

性质深究

一)焦点弦与切线

1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有

何

特殊之处？

结论1：交点在准线上

先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为??

0,2p 在准线上．证明: 从略

结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．

2、上述命题的逆命题是否成立？

结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．

3、AB 是抛物线px y 22

=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有

结论6P A ⊥PB ．结论7PF ⊥AB ．结论8 M 平分PQ ．

结论9 P A 平分∠A

1AB

，PB 平分∠B 1BA ．

结论2

PF = 结论11PAB

S ?2min

p =

二)非焦点弦与切线

思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12 ①p y y x p 221=

，2

1y y y p += 结论13 P A 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．

结论14 PFB PFA ∠

=∠

结论15 点M 平分PQ 结论16 2

(整理)抛物线的概念性质几何意义

抛物线的概念、性质、几何意义【教学内容】抛物线的概念、性质、几何意义及其直线与抛物线的位置关系、抛物线的应用等。【教学目标】 1、掌握抛物线的定义，动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，则动点的轨迹是抛物线。熟练掌握顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线的四种标准形式：y 2=2px 、y 2=－2px 、x 2=2py 、x 2=－2py （p ＞0）及其它们的焦点坐标、对称轴方程。 2、焦参数p （p ＞0）的几何意义为抛物线的焦点到其准线的距离。若已知了抛物线顶点在顶点，焦点在x 轴上，则可设抛物线的方程为y 2=2ax （a ≠0）；若抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，则可设抛物线的方程为x 2=2ay （a ≠0），再由另外一个条件就可以求出抛物线标准方程了。若顶点在原点，焦点在坐标上，则就要分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况来设抛物线的方程。 3、抛物线标准方程中，判别焦点在哪个轴上的方法是看方程的一次项，若一次项的变量为x ，则焦点在x 轴上；若一次项的变量为y ，则焦点在y 轴上。另外，对于抛物线y 2=2ax （a ≠0），焦点坐标为（2a ，0），准线方程为2a x -=；对于抛物线x 2=2ay （a ≠0）焦点坐标为（0，2a ），准线方程为2 a y -=。这一结论对a ＞0及a ＜0均成立。 4、在抛物线中，抛物线上的动点到焦点的距离我们常常转化为动点到准线的距离来处理，这一思想方法在抛物线中有着广泛的应用。我们在学习时要引起重视。【知识讲解】例1、求经过定点A （－3，2）的抛物线的坐标准方程。解：抛物线过第二象限内的点A （－3，2），应考虑开口向上及向左两种情形。（1）若开口向左，设抛物线方程为y 2=－2px ，因为抛物线过点A （－3， 2），∴22=－2p(－3)即342=p ，则抛物线方程为x y 3 4 2-=。（2）若开口向上，设其方程为x 2=2py ，因为抛物线过点A （－3，2）， ∴22)3(2?=-p ，即292=p 综上所述，抛物线的方程为x y 342-=

抛物线及其性质知识点及题型归纳总结

抛物线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ?的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 注若在定义中有l F ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F . 二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：)0(2,2,2,22 2 2 2 >-==-==p py x py x px y px y ，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示） 1. 点),(00y x P 与抛物线)0(22 >=p px y 的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）02 02px y ?. 2. 焦半径抛物线上的点),(00y x P 与焦点F 的距离称为焦半径，若)0(22 >=p px y ，则焦半径2 0p x PF + =，2 max p PF = . 3. )0(>p p 的几何意义

p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大. 4. 焦点弦若AB 为抛物线)0(22 >=p px y 的焦点弦，),(11y x A ，),(22y x B ，则有以下结论：（1）4 2 21p x x =. （2）2 21p y y -=. （3）焦点弦长公式1：p x x AB ++=21，p x x x x =≥+21212，当21x x =时，焦点弦取最小值 p 2，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p 2. 焦点弦长公式2：α 2sin 2p AB = （α为直线AB 与对称轴的夹角）. （4）AOB ?的面积公式：α sin 22 p S AOB =?（α为直线AB 与对称轴的夹角）. 5.抛物线的弦若AB 为抛物线2 2(p 0)y px => 的任意一条弦，1122(x ,y ),B(x ,y )A ，弦的中点为 000(x ,y )(y 0)M ≠ ，则（1）弦长公式：1212(k k 0)AB AB x y y =-=-=≠ （2） 0 AB p k y = （3）直线AB 的方程为000 (x x )p y y y -= - （4）线段AB 的垂直平分线方程为0 00(x x )y y y p -=- - 6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4 A 法）（1）2 (A 0),y Ax =≠ 焦点为(,0)4A ，准线为4 A x =- (2) 2 (A 0),x Ay =≠ 焦点为(0,)4 A ，准线为4A y =- 如24y x =，即2 4y x =，焦点为1(0,)16 ，准线方程为116 y =- 7．参数方程

抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22 =(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1： p x x AB ++=21 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ 2 sin 2p AB = 证: (1)若2 π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2 π θ ≠ 时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y - =即2 cot p y x +?=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-?-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得 θ θθ2 2212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB = +=-+= 结论3：过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 22≥∴ ≤θ θΘ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8 3 2为定值p AB S oAB =? 结论5： (1) 2 21p y y -= (2) x 1x 2=4 2 p 证44)(,2,22 2 221212 22211P P y y x x p y x p y x = =∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1，过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2 2 2 1 11AB BF AF BB AA MM = += += 故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F 同理?=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3） BF AF F M ?=2 1 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5） 2 121214M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 Θ11FB A ?为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点 ∴M 1F ⊥AB BF AF F M ?=∴2 1 Θ AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥?=∠∴Θ又B AM

抛物线知识点与性质大全

抛物线与方程【知识讲解】 1、定义平面，到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹（定点不在定直线上）.其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线. 【注】若定点在直线上，则轨迹为过该点垂直于直线的一条直线. 2、抛物线的方程及其简单性质 3、通径过抛物线的焦点F 作直线⊥l x 轴，交抛物线22y px =于,A B 两点，弦长2=AB p ，此时的弦长称为通径，此为所有的焦点弦中最短的弦. 4、焦点弦的性质（1）过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，则 ①12p AF x =+，22p BF x =+；②12x x ?=定值2 4 p ，12y y ?=定值2 p -； ③ 11||||FA FB +=定值2p ；④()1221122 p x y x y y y +=-+. （2）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为θ（斜率为k ）的直线交抛物线于,A B （A 在B 上方）两点，则 ①1cos p A F θ= -上；②1cos p B F θ=+下；③22 22s 1i 1n p k AB p θ? ?+ =??? =. （3）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线 l 的垂线，垂足分别为,P Q ，设AB 中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则

①AN BN ⊥；②PF QF ⊥；③NF AB ⊥； ④PF AN ⊥；⑤QF BN ⊥； ⑥以AB 为直径的圆与准线相切，切点即为N ； ⑦以()AF BF 为直径的圆与y 轴相切； ⑧2 4PQ AF BF =； 2 4PQF APF BQF S S S ???=?； ⑨2 32sin ABQP p S θ =四边形. （4）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线 l 的垂线，垂足分别为,P Q ，准线l 与x 轴交于H 点，O ①AHF BHF ∠=∠； ②,,A O Q 三点共线； ③,,B O P 三点共线；（5）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于E 点，则 1 2 EF AB = . （6）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，G 为准线上的一动点，且直线GA 、GF 、GB 的斜率均存在，则直线GA 、GF 、GB 的斜率成等差数列，即2GA GB GF k k k +=. 5、过点()(),00M m m >的直线交抛物线()220y px p =>于()()1122,,,A x y B x y 两点，则 ①12x x ?=定值2m ；②12y y ?=定值2pm -； ③2OA OB m p ⊥?=；④m p =时， 2211||||MA MB += 定值2 1 p . 6、设点是抛物线()220y px p =>的焦点，12,,,n P P P 是抛物线上的n 个不同的点，若 120n FP FP FP ++ +=，则12n FP FP FP np ++ +=.

抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质 1 .抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 2.抛物线四种标准方程的几何性质： 3 ?抛物线寸 2 px( p 0)的几何性质： (1)范围：因为p>0,由方程可知x> 0,所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大,

说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.

y kx b y 2 2px k 2x 2 2(kb p)x b 2 (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向. ⑶顶点(0，0)，离心率： e 1，焦点F(E,0)，准线x —，焦准距p. 2 2 2 ⑷ 焦点弦：抛物线 y 2px(p 0)的焦点弦 AB , A(x i , yj , B(X 2,y 2),则 | AB | X i X 2 p . 弦长|AB|=x 1+X 2+P ，当X i =X 2时，通径最短为 2p 。 4.焦点弦的相关性质: 焦点弦AB , A(x i ，y i ), B(x 2,y 2)，焦点F(-,0) 2 2 (1)若AB 是抛物线y 2 2pXp 0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A^,%) , B(x 2, y 2)，则：xp 2 —, 4 2 yy 2 p 。焦点弦中通径最短长为 2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径. (5)两个相切：①以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切 ?②过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线, 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5 ?弦长公式：A(x 1, y 1) , B( x 2, y 2)是抛物线上两点，则 AB .(X 1 X 2)2 (y 1 y 2)2 、1 k 2 |x 1 X 2 | . 1 1 I y 1 y 2 I 6. 直线与抛物线的位置关系直线」-，抛物线? 丫一：", 厂 y -kx￥b ，消 y 得.E +2礙宀 0 (1) 当k=0时，直线I 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； (2) 当k 工0时， △ > 0,直线I 与抛物线相交，两个不同交点； △ =0，直线l 与抛物线相切，一个切点； △ v 0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 (3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定) 7. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 l : y kx b 抛物线- / ， (p 0) ①联立方程法：若AB 是抛物线寸 2p"p 0)的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为a,贝U AB 已知直线AB 是过抛物线y 2 2px(p 0)焦点F ,丄 AF 1 BF AF BF AF ?BF 2 P (aM 0)。 sin 2 AB 2 AF ?BF p

抛物线常用性质总结

结论一：若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则： 2 124 p x x =，212y y p =-。结论二：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：112=AF BF p + 。结论三：（1）若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则 22sin P AB α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

证明结论二：例：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF +为定值。证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+ ，22 p BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2 124 p x x =。则：212 121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++===?+++++ =22 2()424 AB p p p p AB p =+-+（常数证明：结论四：已知AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 切。证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线，垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111 ()()222 QP AM BN AF BF AB = +=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ， ∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ∴∠AFM=∠MFO 。同理，∠BFN=∠NFO ， ∴∠MFN= 1 2 （∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴1 2 MP NP FP MN ===， ∴∠PFM=∠FMP ∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB

抛物线的焦点弦具有以下性质

抛物线的焦点弦具有以下性质: 性质1：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1y 2=-p 2 . 4 2 21p x x = 例：设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则 OA ?OB ＝ . A 、 43 B 、-4 3 C 、3 D 、-3 解析：设弦的两个端点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），x 1 x 2=4 2 P ， 221P y y -=，∴OA ?OB ＝2121y y x x + ＝ 4 2P -2 p ＝43432-=-p ，故答案选B 。性质2：抛物线焦点弦的长度： )(21x x p AB ++== 2p sin 2θ . 证明：如图所示，分别做1AA 、1BB 垂直于准线l ，由抛物线定义有 =+=BF AF AB p x x p x p x ++=+++ 21212 2. 且有p AF AA AF +?==αcos 1,αcos 1?-==BF p BB BF , 于是可得αcos 1-= p AF , α cos 1+=p BF . ∴=+=BF AF AB αcos 1-p +αcos 1+p =α2cos 1-p =α 2 sin p .故命题成立. 例已知圆M ：x 2+y 2-4x=0及一条抛物线，抛物线顶点在O(0,0),焦点是圆M 的圆心F ，过F 作倾斜角为α的直线l ,l 与抛物线及圆由上而下顺次交于A 、B 、C 、D 四点，若sin α= 5 5 ,求|AB|+|CD|. 解：如图，方程x 2+y 2 -4x=0,表示的图的圆心为(2，0)即为抛物线的焦点， ∴抛物线的方程是y 2=8x(其中p=4),|AD|=2p sin 2α=8 1 5 =40,但圆的直径 |BC|=4， ∴|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=40-4=36. 性质3：三角形OAB 的面积公式：θ sin 22p S OAB =? 证法一：当直线倾斜角θ为直角时，公式显然成立。当直线倾斜角θ不是直角时，设焦点弦所在直线方程：)2 (p x k y - = 由?????=-=px y p x k y 2)2(20222=--?p y k p y ? ???? -==+?221212p y y k p y y ||221||22121y p y p S OAB ?-?=?||421y y p -=212214)(4y y y y p -+=2224tan 44p p p +=θ θsin 22 p = 性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切. 性质5：以抛物线y 2=2px(p ＞0),焦点弦PQ 端点向准线作垂线，垂足分别为M 、N ，则FM ⊥FN.(其中F 为焦点). 性质6：设抛物线y 2=2px(p ＞0),焦点为F ，焦点弦PQ ，则1|FP|+1|FQ|=2 p (定值). 证法一：由P 、Q 向准线作垂线，垂足分别为M 、N ，作QA ⊥Ox 于A ，FB ⊥PM 于B ，准线与Ox 交于E ， (如图5)由△AFQ ∽△BPF ，则|AF||QF|＝|BP||FP|,即|EF|-|NQ||QF|= |PM|-|EF| |PF| ,

抛物线焦点弦性质总结30条.doc

抛物线焦点弦性质总结 30 条基础回顾 1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切； p 2 2. x 1gx 2 ; 4 3. y 1gy 2 p 2 ; 4. AC ' B 90o ; 5. A' FB ' 90o ; 6. AB x 1 x 2 p 2( x 3 p 2 p ; ) sin 2 2 1 1 2 7. BF ; AF P 8. A 、 O 、 B ' 三点共线； 9. B 、 O 、 A ' 三点共线； 10. S V AOB P 2 ； 2sin 11. S V 2 AOB P 3 （定值）； AB ( ) 2 12. AF P ； BF P ； cos cos 1 1 13. BC ' 垂直平分 B ' F ； 14. AC ' 垂直平分 A 'F ； 15. C 'F AB ； 16. AB 2P ； 17. CC' 1 AB 1 ( AA' BB') ； 2 2 18. K AB = P ； y 3 19. tan = y 2 p ; x 2 - 2 2 20. A'B' 4 AF BF ;

21. C'F 1 A'B' . 2 切线方程 y 0 y m x 0 x 性质深究一 ) 焦点弦与切线 1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论 1：交点在准线上先猜后证：当弦 AB x 轴时，则点 P 的坐标为证明: 从略结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 p ,0 在准线上． 2 结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB 的弦必过焦点．结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、 AB 是抛物线 y 2 2 px （p ＞ 0）焦点弦， Q 是 AB 的中点， l 是抛物线的准线， AA 1 l ， BB 1 l ，过 A ， B 的切线相交于 P ， PQ 与抛物线交于点 M ．则有结论 6PA ⊥ PB ．结论 7PF ⊥ AB ．结论 8 平分． M PQ 结论 9 PA 平分∠ 1 ，平分∠1． AAB PB B BA 结论 10 FA FB 2 PF 结论 11 S PAB min p 2 二 ) 非焦点弦与切线思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时，也有与上述结论类似结果：

抛物线及其性质知识点大全

3．抛物线) 0(22 >=p px y 的几何性质： (1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2p x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线) 0(22 >=p px y 的焦点弦AB ， ) ,(11y x A ,),(2 2 y x B ,则p x x AB ++=21 ||．弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(1 1 y x A ,),(2 2 y x B ，焦点(,0)2 p F (1) 若AB 是抛物线2 2(0) y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y ，则： 2 124 p x x = ，2 12 y y p =-。 (2) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α =（α≠0）。 (3) 已知直线AB 是过抛物线 22(0) y px p =>焦点 F ,112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径． (5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：),(1 1 y x A ,),(2 2 y x B 是抛物线上两点，则 221212()()AB x x y y =-+-||1 1||12 12 2 12 y y k x x k -+=-+= 6.直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

高中数学抛物线的焦点弦性质教学设计

教学设计流程

教学过程一、复习抛物线定义，焦半径公式，由焦半径公式推导的焦点弦式问题：1、抛物线的定义内容是什么? 2、焦半径公式有哪些？ 3、利用焦半径公式推导的焦点弦弦长有哪些？ AB 为焦点弦.点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) y 2 = 2px （p ＞0）：|AB|＝ y 2 = -2px （p ＞0）：|AB|＝ x 2 = 2py （p ＞0）：|AB|＝ x 2 = -2py （p ＞0）：|AB|＝二、新课引入问题1、利用焦点弦的两端点横坐标和可以求焦点弦的弦长，那么如果知道焦点弦所在直线的倾斜角或是斜率，有没有更简便的方法去直接求出弦长呢？我们来看一道例题。例1、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 做倾斜角为的直线 ,设交抛物线于A,B 两点,求证：问题2、上面的例题的抛物线开口是向右的，那么抛物线开口向左、向上、向下的时候弦长又是多少？我们一起来探究。结论：若过抛物线焦点的直线的倾斜角为θ时,其焦点弦弦长为：当焦点在x 轴上时, 焦点在y 轴上时, 问题3、焦点弦的两个端点的横坐标、纵坐标之间是否有关系呢？如果有关系，又是什么？例2、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求证： 12 p x x ++12()p x x -+12 p y y ++12()p y y -+θ 2sin 2p AB = l θθ 2 sin 2P AB = θ 22COS P AB =22 21p y y -=

(完整版)抛物线的性质归纳及证明

抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦. 性质及证明过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,倾斜角为α,中点为C(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A ’、B ’、C ’. 1.求证：①焦半径αcos 12||1-= + =p p x AF ；②焦半径α cos 12||2+=+=p p x BF ; ③1| AF |＋1| BF |＝2p ； ④弦长| AB |＝x 1＋x 2＋p =α 2sin 2p ；特别地，当x 1=x 2(α=90?)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p ；⑤△AOB 的面积S △OAB ＝α sin 22 p . 证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p 2 ， | AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p 如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为 A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| FA 1 |＝| AF |－| AF |cos θ， ∴| AF |＝ | RF |1－cos θ＝p 1－cos θ 同理，| BF |＝| RF |1＋cos θ＝p 1＋cos θ ∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝ p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2p sin 2θ . S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p 2·(| y 1 |＋| y 1 |) ∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 | ∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝p 4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p 44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2 ＝p 2 2sin θ .

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦的性质 1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。 2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到：当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，(21x x p AB +-= 当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2= 4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理?????=-=px y p x k y 2)2(20222=--?p y k p y 和04 )2(2 2222=++-p k x p p k x k 221p y y -=?和4 21x x = 结论2：p x x AB ++=21 证：p x x p x p x BF AF AB ++=+++ =+=2121)2()2( 结论3：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p AB = 证: (1)若2π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2π θ≠时, 则?????=-=px y p x k y 2)2(20222=--?p y k p y ?????-==+?221212p y y k p y y θsin 24422221p p k p y y =+=-?θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=? 结论4：过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 22≥∴ ≤θ θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =? 011sin sin 22 OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θ????=+=??+?? ()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=?+=??=???22sin p θ=238OAB S P AB ?∴= 结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1，过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2221 11AB BF AF BB AA MM =+=+= 故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠ ∴∠=∠∴∠=∠∴=

抛物线的性质

?抛物线的性质（见下表）: 抛物线的焦点弦的性质：

?关于抛物线的几个重要结论： (1)弦长公式同椭圆． (2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部 (3)抛物线y2=2px上的点P（x1，y1）的切线方程是抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+ (4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是 (5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点M(x0，y0)，则 (6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为 F,又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F．利用抛物线的几何性质解题的方法：

根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明．抛物线中定点问题的解决方法：在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键，在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。利用焦点弦求值：利用抛物线及焦半径的定义，结合焦点弦的表示，进行有关的计算或求值。抛物线中的几何证明方法：利用抛物线的定义及几何性质、焦点弦等进行有关的几何证明是抛物线中的一种常见题型，证明时注意利用好图形，并做好转化代换。

(完整版)抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质 1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向右左上下标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦点位置 X 正 X 负 Y 正 Y 负焦点坐标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准线方程 2 p x =- 2p x = 2 p y =- 2 p y = 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈ 对称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴顶点坐标（0,0）离心率 1e = 通径 2p 焦半径11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦长AB 的补充 11(,)A x y 22(,)B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，2 2sin p AB α = 若AB 的倾斜角为α，则22cos p AB α = 2 124 p x x = 212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质： (1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

抛物线经典性质总结

124=3. 212y y p =-; 4. '90AC B ∠=; 5. ''90A FB ∠=; 6. 123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=; 7. 112 AF BF P +=; 8. A 、O 、'B 三点共线； 9. B 、O 、'A 三点共线； 10. 2 2sin AOB P S α=； 11. 23()2AOB S P AB =（定值）； 12. 1cos P AF α=-；1cos P BF α=+； 13. 'BC 垂直平分'B F ； 14. 'AC 垂直平分'A F ； 15. 'C F AB ⊥； 16. 2AB P ≥； 17. 1 1 '('')22CC AB AA BB ==+；

18. AB 3 P K = y ； 19. 2 p 22y tan =x -α; 20. 2A'B'4AF BF =?; 21. 1C'F A'B'2 =. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00 性质深究一)焦点弦与切线 1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为?? ? ?? -0,2p 在准线上．证明: 从略结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、AB 是抛物线px y 22 =（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6P A ⊥PB ．结论7PF ⊥AB ．结论8 M 平分PQ ．结论9 P A 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论2= 结论11PAB S ?2min p =

[很全]抛物线焦点弦的有关结论附答案

[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）4 2 21p x x =；（2）221p y y -= 证明：如图，（1）若AB 的斜率不存在时，依题意,221p x x ==4 221p x x =∴ 若AB 的斜率存在时，设为,k 则? ? ? =2:k y AB () 04222222 222 2=++-?=?? ? ??-p k px k x k px p x k .4221p x x =∴ 综上：.4 2 21p x x = （2）p y x p y x 2,22 22211== ，,22142221p y y p y y ±=?=∴ 但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2 :p my x AB + =与px y 22=联立，得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α证明：（1）由抛物线的定义知 ,2 ,221p x BF p x AF +=+= p x x BF AF AB ++=+=∴21 （2）若,2,90210p x x = ==则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=??? ? ? -=≠与设α联立，得

() 04222222 222 2=++-?=??? ? ?-p k px k x k px p x k (),22221k k p x x +=+∴() 2 2211 2k k p p x x AB +=++=∴，而αtan =k ， () α αα2 22sin 2tan tan 12p p AB =+=∴ 知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。证明：过点B A 、,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r . 2211r MN MN BB AA BF AF AB r =∴=+=+== ∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则0 1190=∠FB A 。证明借助于平行线和等腰三角形容易证明知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠ 证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为11////BB KF AA B B BF A A AF FB AF K B K A 1111,===∴而 B B A A K B K A 1111=∴ B B K B A A K A 1111=∴，而01190=∠=∠K BB K AA K AA 1?∴∽K BB 1?KB B KA A 11∠=∠∴ BKF AKF ∠=∠∴

抛物线的几何性质

抛物线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质 1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右. 2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴 3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当 0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点. 4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e = 知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02 p x =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p 例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()2 2,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2 ,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为 [)9,+∞ 答案：[)9,+∞