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抛物线性质30条

L 三、抛物线性质总结

22

20)2(0),,0)a x x y px p ?→=→???

?=>??1y=ay 焦点坐标(,a 4

(1)标准方程:p 焦点坐标(2

12,(,)y B y θ??

?122

212121212122

(2)设过焦点F 的直线l 与抛物线交于A(x )、x 两点,则y y p ①x x =,②y y =-p . =-4

4x x 2p 112

③AB =x +x +p=

,④+=.sin AF BF P

⑤以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

若C 为抛物线上一点,且BC||x 轴则A,O,C 三点共线.

⑥若直线AO 与抛物线的准线交于一点C ,则BC x 轴.

222(22)02k 0k 0k 0k 0k x kb p x b px

?→+-+=?=???

>???

??

≠=???

??

2(3)直线与抛物线的位置关系:

y=kx+b y 当k=0时,有一个交点有两个交点 当时直线与抛物线相交直线与抛物线相离

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1212(4)k x y ==-=-与弦长公式有关的问题:

①求弦长:AB ②求③求面积

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212121212,,x x b c

x x x x a a x x +=-?=

韦达定理:若,是方程ax +bx+c=0的两个根,则 求根公式:,

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4. '90AC B ∠=;

5. ''90A FB ∠=;

6. 1232

22()2sin p p

AB x x p x α

=++=+=; 7.

112

AF BF P

+=; 8. A 、O 、'

B 三点共线; 9. B 、O 、'

A 三点共线;

10. 2

2sin AOB P S α

=;

11. 23()2

AOB S P

AB =(定值); 12. 1cos P AF α=

-;1cos P

BF α=+;

13. 'BC 垂直平分'

B F ;

14. 'AC 垂直平分'

A F ;

15. '

C F AB ⊥; 16. 2AB P ≥;

17. 11

'('')22

CC AB AA BB ==+; 18. AB 3

P K =

y ; 19. 2p 22

y

tan =x -α;

20. 2

A'B'4AF BF =?; 21. 1

C'F A'B'2

=. 22.切线方程 ()x x m y y +=00

2124

p x x =

性质深究

一)焦点弦与切线

1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有

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特殊之处?

结论1:交点在准线上

先猜后证:当弦x AB ⊥轴时,则点P 的坐标为??

?

??

-

0,2p 在准线上. 证明: 从略

结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴.

2、上述命题的逆命题是否成立?

结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点

先猜后证:过准线与x 轴的交点作抛物线的切线,则过两切点AB 的弦必过焦点. 结论5过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径.

3、AB 是抛物线px y 22

=(p >0)焦点弦,Q 是AB 的中点,l 是抛物线的准线,l AA ⊥1,l BB ⊥1,过A ,B 的切线相交于P ,PQ 与抛物线交于点M .则有

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结论6P A ⊥PB . 结论7PF ⊥AB . 结论8 M 平分PQ .

结论9 P A 平分∠A

1AB

,PB 平分∠B 1BA .

结论2

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PF = 结论11PAB

S ?2min

p =

二)非焦点弦与切线

思考:当弦AB 不过焦点,切线交于P 点时, 也有与上述结论类似结果: 结论12 ①p y y x p 221=

,2

2

1y y y p += 结论13 P A 平分∠A 1AB ,同理PB 平分∠B 1BA .

结论14 PFB PFA ∠

=∠

结论15 点M 平分PQ 结论16 2

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=

相关考题

1、已知抛物线y x 42

=的焦点为F ,A ,B 是抛物线上的两动点,且FB AF λ=(λ>0),过A ,B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M , (1)证明:AB FM ?的值;

(2)设ABM ?的面积为S ,写出()λf S =的表达式,并求S 的最小值.

2、已知抛物线C 的方程为y x 42

=,焦点为F ,准线为l ,直线m 交抛物线于两点A ,B ; (1)过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ,求证:DF AF =;

(2)若直线m 过焦点F ,分别过点A ,B 的两条切线相交于点M ,求证:AM ⊥BM ,且点M 在直线l 上. 3、对每个正整数n ,()n n n y x A ,是抛物线y x 42

=上的点,过焦点F 的直线F A n 交抛物线于另一点()n n n t s B ,, (1)

试证:4-=?n n s x (n ≥1)

(2)取n

n x 2=,并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点,求证:

122121+-=++++-n n n FC FC FC (n ≥1)