趣味数学047：循环小数奇妙性质揭秘

前面，在“我和循环小数”一文中，谈了我和循环小数的一段渊缘。循环小数是我爱上数学的主要诱因之一。此前我已经写过多篇短文，介绍循环小数的许多奇妙性质。其中的一个性质谈到：某些循环小数循环节的位数是偶数，如果把循环节分成位数相等的两段，对应数字的和总是9。比如：1/7化成循环小数后，循环节“142857”有6位，如果分成“142”和“857”两段，1＋8＝9，4＋5＝9，2＋7＝9；

1/23化成循环小数后，循环节“0434782608695652173913”有22位，如果分成“0434*******”和“95652173913”两段，0＋9＝9，4＋5＝9，3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，8＋1＝9，2＋7＝9，6＋3＝9，0＋9＝9，8＋1＝9，6＋3＝9。

这类循环小数，是由分母是质数的分数形成的。循环小数的这个奇妙性质，困惑了我很长时间，百思不得其解。后来，从任现淼先生编著的《趣味数学365》一书中，看到了这条性质的一个证明，喜出望外。不过任先生的文章写得过于精炼，看起来非常吃力。下面，我根据自己的理解，作了一些必要的解释和补充，奉献给有兴趣的网友共享。

证明的基本思路是把循环小数看作无穷等比数列的和。为此，让我们先来复习一下等比数列的求和公式：

＝a(1－q n)/(1设等比数列的首项是a，公比是q。等比数列前n项的和S

n

－q)。对于q＜1的无穷等比数列来说，由于q n趋于0，所以，无穷等比数列的和

S＝a/(1－q)。(1)

下面分四步来证明循环小数的这一奇妙性质：

第一步：

设分数n/p的分母p是质数(n是整数并且小于p)，化成循环小数后的循环节为2s位，前半个循环节为A，后半个循环节为B。于是

n/p＝0.ABAB…＝0.AB＋0.AB×1/102s＋0.AB×(1/102s)2＋…

这个无穷等比数列的首项a＝0.AB，公比q＝1/102s＜1。

因为0.A是s位小数，0.AB是2s位小数，所以a＝0.AB＝A/10s＋B/102s。于是，

n/p＝(A/10s＋B/102s)/(1－1/102s)。(2)

这里作一个说明：为了录入的方便，分数采用了横写形式。如果分子或分母不止一项，就添上括号。

用102s同时乘(2)式右端分数的分子、分母，得n/p＝(A×10s＋B)/(102s －1)。把分母中的1看作12，按照平方差公式分解因式，得

n/p＝(A×10s＋B)/[(10s＋1)×(10s－1)]。(3) 因为(3)式两端分数的分子、分母都是整数，并且p是质数不能分解，所以，右端分数分母的两个因式中，至少有一个能被p整除。

假设10s－1能被p整除，于是10s－1＝kp(k为整数)，p＝(10s－1)/k，n/p＝n÷(10s－1)/k ＝kn/(10s－1)。把kn/(10s－1)的分子、分母同时除以10s，就得到n/p＝(kn÷10s)/[(10s－1)÷10s]，即

n/p＝kn/10s×10s/(10s－1)。(4)

第二步：(这一步非常巧妙又至关重要)

把(4)式右边第二个分数10s/(10s－1)的分子、分母同时除以10s得

1/(1－1/10s)。

对照无穷等比数列的求和公式(1)，如果把上式中的分子1，看作某个无穷等比数列的首项，把1/10s看作数列的公比，这个无穷等比数列就是

1＋1/10s＋1/102s＋…。

于是(4)式就变成

n/p＝kn/10s×(1＋1/10s＋1/102s＋…)。

可是，1＋1/10s＋1/102s＋…的循环节只有s位，因此n/p的循环节也只有s位，这与原设n/p的循环节为2s位相矛盾。所以10s－1不能被p整除，只能是10s＋1能被p整除。

第三步：

回到前面的式(3)，n/p＝(A×10s＋B)/[(10s＋1)×(10s－1)]。两端同时乘以(10s＋1)，得

n/p×(10s＋1)＝(A×10s＋B)/(10s－1)。

对(A×10s＋B)进行等值变换：从10s个A里面取出1个A放到后面，得[(A ×(10s－1)＋(A＋B)]，于是n/p×(10s＋1)＝[A×(10s－1)＋(A＋B)]/(10s－1)＝A＋(A＋B)/(10s－1)，即

n/p×(10s＋1)＝A＋(A＋B)/(10s－1)。(5)

第四步：

因为10s＋1能被p整除，所以式(5)左端的n/p×(10s＋1)是整数，于是右端的A＋(A＋B)/(10s－1)也是整数，而A是整数，(A＋B)/(10s－1)自然也是整数。

当A、B是一位数时，s＝1，101－1＝9；

当A、B是两位数时，s＝2，102－1＝99；

当A、B是三位数时，s＝3，103－1＝999；

……

可见A、B都不会大于10s－1，(A＋B)/(10s－1)就只能等于1。而10s－1等于99…9(s个9)，于是A＋B也只能等于99…9(s个9)。

证完。

从以上证明的过程，使我们再一次认识到，灵活运用知识的重要性，同时，也再一次感受到数学知识的无比精妙。

最后，不无歉意的是：由于文中的分数采用了横写形式，可能会给阅读带来一些不便，请网友们谅解！