第九章习题
第九章习题
9.1 卢瑟福试验证明，当两个原子核之间的距离小到15
10
m -时，他们之间的排斥力仍遵守
库伦定律。金的原子核中有79个质子，氦的原子核中有两个质子。已知每个质子带电量为：
191.6010C e -=?，α粒子的质量为276.6810kg -?，当α粒子与核相距为156.910m -?时，
求：⑴
α粒子所受的力；⑵ α粒子的加速度。
解：α粒子的带电量为：2Q e α=，金核的带电量为：19Q e =金 15
6.910
m r -=?，276.6810kg M α-=?
2
22
279764N Q Q e F k k r r
α?===金 加速度()2921.1410m s F
a M α
=
=? 9.2 两个相同的小球，质量都是m ；带等量同号电荷q ，各用长l 的细线挂在一起，设平衡时两线夹角为2θ很小。
⑴ 证明下列近似等式：13
202q l x mg πε??
= ???
式中x 为两球平衡时的距离。
⑵ 如果 1.2m l =，2
1.010kg m -=?，2510m x -=?，则每个小球上的电荷q 是多少库
仑？
解：⑴ 对m 进行受力分析列方程为：
cos mg T θ=， sin F T θ=电
tan 2F x
mg l
θ=
=电（θ很小时，tan 2x l θ≈）
即：13
2232
02002422q x q l mgx q l x mgx l mg πεπεπε??=?=?= ???
⑵ 132
32
8002
022 2.3810C 42mgx q x mgx q l q mgx l l πεπεπε-??=?=?==? ???
9.3 两个点电荷带电量为2q 和q ，相距为l ，将第三个电荷放在何处，所受库仑力为零？
解：01201214qq F r πε=
，0
22
02
14qq F r πε= 方向相反
当所受合力为零时，12122212
21:F F r r r r =?=?=
)1221r r l r l +=?=
（2r 为距q 的位置）
(1
2r l =- （1
r 为距2q 的位置）
9.4 两个点电荷，618.010C q -=?，621610C q -=-?，相距0.2m ，求离它们都是0.2m 出
的电场强度E
。
解：由图中可得，1q ，2q 产生的电场强度应该是1E
和2E
的合成。
()966
1
12
0910810 1.810N C 40.04
q E r πε-???===? ()96
62
12
09101610 3.610N C 40.04
q E r πε-???===? 电场强度为：()6
12cos60cos60 2.710
N C x E E E =+=?
()6
12sin60sin60 1.5610N y E E E =-=-?
大小为：()63.110V m E =
=?，方向：与12q q 连线成30 ，右斜向下。
9.5 有四个正点电荷，电量都是q ，分别放在边长为a 的正方形的四个顶点。求正方形中心 放一个什么样的电荷，可以使每个电荷都达到平衡。
解：正方形中心处的电荷为'
q ，四个顶点处的为q ，正方形的边长为a ，则右下顶点处
的电荷所受的电荷力为：2
12
014q F a πε=方向竖直向下
222014q F a πε=方向水平向右，2
32
0142q F a πε=方向沿着对角线向外
这四个力的合力为：2
312
01142q F F a πε?==
??合方向沿着对角线向外
此电荷所受中心电荷的力为：'222001211442qq q F F a a πεπε?==-=-+??合
12
因此中心所放的电荷应为：'
14
q +=-
9.6 有一均匀带电的细棒，长度为L ，所带总电量为q 。求：⑴ 细棒中垂面上到棒的距离为a 处的电场强度；⑵ 细棒延长线上到棒中心的距离为a 处的电场强度大小。 解：
9.7 半径为R 的半球面，均匀带电，电荷密度为σ，求球心处的电场强度。
解：分析：将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O 点
处的电场就是所有这些带电圆环在O 点的电场的叠加。
今取一半径为r ，宽度为Rd θ的带电细圆环。
带电圆环在P 点的场强为：()
3
22201?4qx
E r a x πε=+ 在本题中，cos x h R θ==，a r = 所以可得：()
3
3
2
2
2
0044hdq hdq
dE R r h
πεπε=
=
+
上式中()2
22sin dq r Rd R d σπθπσθθ==
即：33
00
2sin cos sin cos 42R d dE d R σπθθθσ
θθθπεε== 整个半球面为：200
0sin cos 24E dE d π
σ
σθθθεε===??
??
，方向沿半径向外
9.10 半径为R 的无限长圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求电场强度分布。 解：无限长圆柱体带电所激发的电场具有轴对称性，可用高斯定理。
取高斯面为：半径为r ，长为l 的圆柱体，轴线为圆柱带电体的轴线。 当r R <时，高斯定理为： 2110
1
22r E rl r l E ρπρπεε?=
?=
当r R >时，高斯定理为：
2
2
22001
22R E rl R l E r
ρπρπεε?=?=
9.11 在半径为1R 和2R 的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷1Q 和2Q ，求：⑴ Ⅰ， Ⅱ，Ⅲ三个区域内的电场强度分布；⑵ 若12Q Q =-，情况如何。
解：⑴ 电荷激发的电场为球对称，取高斯面为雨带电球面同球心，半径为r 的球面，由
高斯定理可得：1
2
112012
20
04r R Q E r R r R Q Q r R πεε??
??=<
??+>?
?
所以可得到电场强度的表达式为：10E =，10r R << 1
22
014Q E r πε=
，12R r R <<
12
32
014Q Q E r
πε+=
，2r R > ⑵ 若12Q Q =-，10E =，10r R <<，
1
22
014Q E r
πε=
，12R r R << 30E =，2r R > 9.12 两无限大的平行平面均匀带电，面电荷密度分别为σ±，求各区域的电场强度分布。
解：忽略板外表面及边缘处的电荷分布带来的不均匀性，电场只分布在两极板之间，而
且场强的方向垂直于极板。
取一圆柱形高斯面，其中一底面在极板，另一底面在两板之间。由高斯定理可得：
1
i i
S
E dS q ε?=
∑? 00
S ES E σσ
εε?=
?= 当在板外时，正负电荷相互抵消，则0E = 所以在两无限大的平行平面的电场分布为：0
E σ
ε=
（板间区域） 0E = （板外区域）
9.13 两平行平板相距为5mm ，均匀带电后，电势差为30V ，求两板之间的电场强度。
解：W qU Fs qEd U Ed ===?=， 因此两板之间的电场强度为： ()3306000V m 510
U E d -=
==? 9.14 在一电荷面密度为σ的无限大均匀带电平板的电场中，求：⑴ 与平板的距离为d 的一点A 和平板之间的电势差；⑵ 与平板相距分别为1d ，2d 的两点B ，C 之间的电势差
()12d d <；⑶ 有一质量为m ，带电e -电荷的尘粒，从点A 开始向平板移动，问达到平板
上时的速率为多少？
解：⑴ 0
00
22AO
A O d d d U U U Edl dl σσεε=-===-
???? ⑵ ()2
2
1
1210
022d
d BC B C d d U U U Edl dl d d σ
σεε=-=
==-????
⑶ 电场力所作的功等于动能的增量。
20122AO e d eU mv v σε-=
=?=
9.15 如图所示，在点电荷q +和q -产生的电场中，若将一点电荷0q +，沿箭头所示路径由a 点移至b 点，求外力所作的功。
解：000488a q q q U U U l
l
l
πεπεπε+-=+=-
=
0b U =
电场力所作的功为：()00008ab a b a q q
A q U U q U l
πε=-==
外力应克服电场力作功：008q q
A l
πε=-
外 9.16 求题9.10中无限长带电直圆柱体的电势分布（以轴线为零电势参考点）
解：电场强度分布为：10
2r
E ρε=
，0r R << 2
202R E r
ρε=，r R >
并由题意可知，电势为零的点为轴线处，即0r =处。 当0r R <<时，电势为：2
110
4r
r
r U Edr E dr ρε=
==-?
?
当r R >时，电势为：220
22100ln 42R
r
r
R R R R
U Edr E dr E dr r
ρρεε=
=+=-+?
?
?
9.17 求题9.11中同心均匀带电球面在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个区域内的电势分布。
解：电场强度的分布为：10E =，10r R << 1
22
014Q E r πε=
，12R r R <<
12
32
014Q Q E r
πε+=
，2r R > 当10r R <<时，12
1
2
1123R R r
r
R R U Edr E dr E dr E dr ∞
∞
=
=++?
???
2
12
112001144R R R Q Q Q r r πεπε∞
+????
=-- ? ????? 1201
02
44Q Q R R πεπε=
+
当12R r R <<时，22
223R r
r
R U Edr E dr E dr ∞
∞
==+?
??
112
0202
1144Q Q Q r R R πεπε??+=
-+
??? 12002
44Q Q r
R πεπε=+
当2r R >时，12
12332001144r
r r Q Q Q Q U Edr E dr dr r
r πεπε∞
∞
∞
++=
===????
? 9.18 电荷Q 均匀分布在半径为R 的球体内，求球体内外的电势分布。
解：电场强度分布：由高斯定理得到：0
S
q
EdS ε=
?
2
3302013444314Q r E r r R R r E Q r R
ππεππε?=
??=>??
电场强度的表达式为：()13
04Qr
E r R R πε=
< ()22
04Q E r R r πε=
>
当r R <时，112R
r
r
R
U Edr E dr E dr ∞
∞
=
=+?
??
222
33
00003422488Q
R r Q Q Qr R R R
πεπεπεπε??=-+=- ???
当r R >时，2204r
r
Q U Edr E dr r
πε∞
∞
=
==
?
?
9.19 已知某静电场的电势函数为()22667SI U x x y y =--。求空间某点()2,3,0处的电场强度。
解：22667U x x y y =-- 612x U E xy x ?=-
=-+?， 2614y U
E x y y
?=-=+? 在（2，3，0）处，2,3,0x y z ===，66x E =，66y E =
所以电场强度：??6666E i j =+
9.20 若有一电场，其电势表达式为()()122
222
ax b
U x y x y =+++，式中a 和b 为恒量，求空间任意点的电场强度。
解：
()()
()
12
2
2
2
2
2222222a x y ax
bx x y U x x y x y +--+?=+?++
()
()()
222
32
2
22
2a y x bx
x
y
x
y
-=
-
++
()()232
22222U axy by y x y x y ?-=-?++ ()()()
22
2322222x a x y U bx
E x x y x y -?=-=+?++ ()()
23222222y U axy by
E y x y x y ?=-
=+?++
第9章习题答案
习题 1. 在HTML中，