射影几何

南京师范大学

毕业设计（论文）

（2009 届）

题目：漫谈射影几何的几种子几何及其关系

学院：数学科学学院

专业：数学与应用数学

姓名：刘峰

学号：0 6 0 5 0 2 1 0

指导教师：杨明升

南京师范大学教务处制

漫谈射影几何的几种子几何及其关系

刘峰

数学与应用数学（师范）06050210

一．摘要

射影几何学是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质. 射影几何集中表现了投影和截影的思想,论述了同一射影下，一个物体的不同截景所形成的几何图形的共同性质，以及同一物体在不同射影下的几何图形的共同性质，一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何联系起来.

概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学. 这门”诞生于艺术的科学”,今天成了最美的数学分支之一.

二．关键词

射影几何，摄影仿射几何，摄影欧氏几何，仿射几何，欧氏几何，射影变换，仿射变换，正交变换，射影变换群，仿射变换群，正交变换群，克莱因变换群.

三．射影几何（projective geometry）的发展简况

十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前. 这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件. 这门几何学就是射影几何学.

基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影. 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形. 那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来. 在这个过程中，被描绘下来

的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变. 这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科.

射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪. 在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念. 稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡.

1639年，笛沙格出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念. 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础. 用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理.

帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线. ”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理. 1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容. 迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标. 帕斯卡接受了这些建议. 后来他写了许多有关射影几何方面的小册子.

不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积). 但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何. 他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了.

射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列. 他是画法几何的创始人蒙日的学生. 蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何. 由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做.

1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作. 他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家. 他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理. 稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的. 为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念. 由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步.

另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展. 首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等. 接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标. 他还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念.

在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法. 还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证. 1882年帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系.

射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系，特别是“群”的概念产生以后，也被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进作用.

四．克莱因（F·Klein）的变换群观点

几何学可以用公理化方法来建立，也可以用变换群的方法给予新的定义. 几何学的群论观点，是由德国数学家克莱因（F·Klein）于1872年在埃尔朗根大学任教授时所作的题为“近代几何学研究的比较评述”的演说中首先提出来的，历史上称为《埃尔朗根纲领》（Erlangen Program）.

克莱因（F·Klein）在“埃朗根纲领”中提出，将几何学看作是图形对某种变换群的不变性质的学问，即关于这种群的不变量理论. 他于第二年发表《论所

谓欧几里得几何》（1873），指出欧氏几何、非欧几何均可用纯射影的办法构造出来. 他还将几种经典几何看作是射影几何的子几何. 例如欧氏几何是仿射几何的子几何，它和仿射几何又都是射影几何的子几何. 两种非欧几何，即椭圆几何和双曲几何也都是射影几何的子几何，非欧平面上的长度和角度概念也可以通过射影方法来引进. 这种研究方法在此后几十年里对射影几何学乃至整个几何学都产生巨大影响.

埃尔朗根纲领可以概括如下：

给出集合S和它的一个变换群G，A和B是空间S的两个子集，若存在变换f ∈G,使得f（A）=B，则称A与B等价，记作A≈B. 可以证明“≈”是一种等价关系：

（1）任何子集A总与自己等价，即A≈A；（反身性）

（2）若A≈B，则B≈A；（对称性）

（3）若A≈B，且B≈C，则A≈C. （传递性）

由于“≈”是一种等价关系，因此它可以确定集合S的一个分类方法，所有等价的子集都属于同一类，不等价的子集属于不同的类，集合S的每一元素恰属于同一类.

设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群. 称S为空间，S的元素称为点，S的子集称为图形，G称为空间S的主变换群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S, G).

现在我们规定，集合S叫做空间，它的元素叫做点，它的子集叫做图形，凡是等价的图形属于同一个等价类，于是同一类里的一切图形共有的性质和几何量必是变换群下的不变性质和不变的量；反之，图形在变换群中一切变换下的不变性质和不变量必是同一个等价类里一切图形所共有的性质. 因此，可以用变换群去研究相应的几何学，这就是克莱因的几何学的群论观点.

因此，若给定一个集合以及此集合上的一个变换群，则空间内的图形对于此群的不变性质的命题系统的研究就称为这空间的几何学，而空间的维数就称为几何学的维数，且称此群为该几何学所对应的变换群.

有一个变换群就相应的有一种研究在此群作用下不变性质理论的几何学.

例如，欧氏平面上正交变换构成群，所以正交变换具有下列三个性质：

射影几何中仿射变换解初等几何题

利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。 平行投影 平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。 例1 P 是ABC ?内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。求证： 1=++CF PF BE PE AD PD . [2] C 图1 证明：如图1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影。P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得， DC DP BD D P AD PD '''==，所以BC P P AD PD ' ''= ， 同理 BC C P BE PE ''=，BC BP CF PF ' = ， 所以 1''''''=++=++BC BP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。（梅涅劳斯定理 ）[3] 分析：如图2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=??NB AN MA CM LC BL 。其逆命题亦成立 。 N B A L'(L) A'C B A M M N A' L C 图2 （1）证明梅涅劳斯定理成立 由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。

如图2(a)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则 1''-=??=??LB L A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立。 （2）证明逆命题成立 证明当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=??NB AN MA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线。 设直线MN 交BC 于L '，如图2(b) ,由已知条件知，1''-=??NB AN MA CM C L BL ， 所以L '与L 重合，故L 、M 、N 三点共线。 三角形仿射等价性 因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形。因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立。而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多。 例3 在ABC ?的中线AD 上任取一点P ，连接BP 、CP ，并延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ，求证：EF ∥BC . [4] D 'C ' D B B' 图3 证明：如图3，作仿射变换T ，使得ABC ?对应正C B A '''?，由仿射性质可知，点D 、P 、 E 、 F 相应地对应D '、P '、E '、F '，且D A ''为正C B A '''?的中线。 在正C B A '''?中D A ''也是C B ''边上的高，且B '、P '、E '与C '、P '、F '关于D A ''对称，E '、F '到C B ''的距离相等，则F E ''∥C B ''， 由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC ?中EF ∥BC . 例4 证明G 为ABC ?重心的充要条件是：BGC AGC AGB S S S ???==.[4]

射影几何

南京师范大学 毕业设计（论文） （2009 届） 题目：漫谈射影几何的几种子几何及其关系 学院：数学科学学院 专业：数学与应用数学 姓名：刘峰 学号：0 6 0 5 0 2 1 0 指导教师：杨明升 南京师范大学教务处制

漫谈射影几何的几种子几何及其关系 刘峰 数学与应用数学（师范）06050210 一．摘要 射影几何学是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质. 射影几何集中表现了投影和截影的思想,论述了同一射影下，一个物体的不同截景所形成的几何图形的共同性质，以及同一物体在不同射影下的几何图形的共同性质，一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何联系起来. 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学. 这门”诞生于艺术的科学”,今天成了最美的数学分支之一. 二．关键词 射影几何，摄影仿射几何，摄影欧氏几何，仿射几何，欧氏几何，射影变换，仿射变换，正交变换，射影变换群，仿射变换群，正交变换群，克莱因变换群. 三．射影几何（projective geometry）的发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前. 这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件. 这门几何学就是射影几何学. 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影. 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形. 那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来. 在这个过程中，被描绘下来

射影几何的诞生与发展

射影几何的诞生与发展 一从透视学到射影几何 1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题： （1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？ （2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？ 2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。 3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。 4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。 5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线 6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。 7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点： 1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状 2）变换与变换不变性 3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量 二射影几何的繁荣 1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到

射影面积法求二面角

射影面积法（cos S S 射影原 q = ） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜 射S S = θ）求出二面角的大小。 例1、 如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， AD ∥BC,∠ABC=90°，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=BC=1， AD=2 1 .求面SCD 与面SAB 所成的角的大小。 解法1：可用射影面积法来求， 这里只要求出S △SCD 与S △SAB 即可， 故所求的二面角θ应满足cos θ= = 1 112 12322 ????= 6 。 例2．（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中， 2AC BC ==，90ACB ∠=o ， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； A C B P 图1 S D C B A

解：（Ⅰ）证略 （Ⅱ）AC BC =Q ，AP BP =，APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=o ，即AC BC ⊥，且AC PC C =I ， BC ∴⊥平面PAC ． 取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =Q ，BE AP ∴⊥． EC Q 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥． ∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影， 于是可求得： 2222=+===CB AC AP BP AB ，622=-=AE AB BE ， 2==EC AE 则1222 121=?=?= =?CE AE S S ACE 射， 3622 1 21=?=?= =?EB AE S S ABE 原 设二面角B AP C --的大小为?，则3 3 3 1cos = = = 原 射S S ? ∴二面角B AP C --的大小为3 3arccos =? 练习1： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的 棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成 锐角的余弦值. （答案：所求二面角的余弦值为cos θ= 3 2）. A B E P A 1 D 1 B 1 1 E D B C A 图5

圆锥曲线和射影几何

圆锥曲线与射影几何 射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理与结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。 例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线12 2=-y x 的左支上，A D ≠,直线 CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直 线2 1= x 上。 如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。 我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据与特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成： 有一点 A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于 B , C , D , E 。连 BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。 又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连 BE ，CD 交于点Q ，连PQ ，先证明：直线PQ 是A 点的极线。 D

证明： 对 C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得： DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线, 同理P ，Q ，N 三点共线 所以 P ，Q ，M ，N 四点共线。 又因为 BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A 的极线，即 PQ 是A 的极线。 回到原图，由极线的定义与性质得 PQ OA ，且FAGH 为调与点列。

射影几何学

在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。 德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计 划书》中提出用变换群对几何学进行分类 在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。 由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。 射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。 在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。

浅析射影几何及其应用讲解

浅析射影几何及其应用 湖北省黄冈中学 一、概述 射影几何是欧几里得几何学的一个重要分支，研究的是在射影变换中图形所具有的性质。在高等数学中，射影几何的定义是根据克莱因的变换群理论与奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（1970-1868）的齐次坐标理论，这一部分已经涉及了群论和解析几何，但是这两位数学家对于射影几何的发展作出的巨大贡献是令人钦佩的。在本次综合性学习中小组成员对于射影几何的纯几何内容进行了探究，对以下专题进行了研究： 1、射影几何的基本概念及交比不变性 2、笛沙格定理（早期射影几何中最重要的定理之一） 3、对偶原理 4、二次曲线在射影几何上的应用 5、布列安桑定理和帕斯卡定理 6、二次曲线蝴蝶定理

二、研究过程 1、射影几何的基本概念及交比不变性 射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点，但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。 射影几何所研究的对象是图形的位置关系，和在射影变换下图形的性质。射影，顾名思义，就是在光源（可以是平行光源或者是点光源），图形保持的性质。在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。此外，射影几何最重要的概念之一——交比也不会发生改变。 在中学的几何中，我们认为两条平行的直线是不相交的。但是在射影几何中，我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。一条直线有且只有一个无穷远点，平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理： 1、过两点有且只有一条直线 2、两条直线有且只有一个交点 这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。这两条公

射影几何学

射影几何学 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。 发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。 射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。

笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。 帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。 不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。 射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。 1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。 另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐

二次曲线的射影理论

第五章 二次曲线的射影理论 本章首先给出射影平面上二次曲线的射影定义，然后在此基础上讨论二次曲线的射影性质及其分类。 §1 二次曲线的射影定义 1.1 二次曲线的射影定义 定义1.1 在射影平面上，若齐次坐标（x 1，x 2，x 3）满足下列三元二次齐次方程 )(03 1 ,ji ij j i j i ij a a x x a ==∑= 其中a ij （i ，j=1，2，3）为实数，并且至少有一个不是零，则这些点的集合称为二阶曲线。 二阶曲线的方程可以写成矩阵形式： ()032133323123222113121132 1 =???? ? ??????? ??x x x a a a a a a a a a x x x 其中（a ij ）用A 表示叫系数矩阵，用| A |或| a ij |表示系数行列式。 定理1.1 两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。 证明 在射影平面上建立射影坐标系后，设两个线束的方程为 α+λβ=0， α′+λ′β′=0， 由于它们是射影对应，所以λ，λ′满足： a λλ′+ b λ+ c λ′+d=0 (a d －bc≠0). 由以上三个式子消去λ，λ′得 ,0)()()( )(=+' ' --''d c b a βαβαβαβα 即 0='-'-'+'βαβαββααc b d a . 因为α，β，α′，β′都是 x 1，x 2，x 3的一次齐次式，所以上式是关于x 1， x 2，x 3的二次齐次方程，它表示一条二阶曲线。而且α=0与β=0的交点和

α′=0与β′=0的交点的坐标都满足这个方程，因此形成此二阶曲线的两个线束中心也在这条二阶曲线上。 定理1.1的逆定理也成立， 定理 1.1 中形成二阶曲线的两个射影对应线束的中心并不具有特殊性，可以证明，二阶曲线上任意两点都可以看作生成这条二阶曲线的射影对应线束的中心。 定理1.2 设有一条二阶曲线，它是由两个成射影对应的线束对应直线的交点构成的，那么以这条二阶曲线上任意两点为中心向曲线上的点投射直线，则可以得到两个成射影对应的两个线束。 证明设二阶曲线是由以O，O′为中心的两射影线束O（P）和O′（P）所生成。在此二阶曲线上任意取定两点A和B，设M为曲线上动点， 我们只须证明出A（M）∧B（M）即可。 如图所示，设AM 与OP，OB交于K，B′，BM与O′P ，O′A 交于点=K′，A′，于是 O（A，B，P，M）∧O′（A，B，P，M） 所以 O（A，B，P，M）∧（A，B′，K，M） （A′，B，K′，M）∧O′（A，B，P，M） 所以 （A，B′，K，M）∧（A′，B，K′，M） 由于两底的交点M是自对应点，因此 （A，B′，K，M）∧（A′，B，K′，M） 所以两点列对应点连线交于一点，也即AA′，BB′，KK′共点于点S。

关于无穷远元素与射影平面

引言 在欧氏平面上，通过引入无穷远元素扩充欧氏平面的方法给出射影平面的概念。 1.中心射影 1.1.直线与直线间的中心射影 设l ，'l 是共面二直线，点o 是此平面内l 与'l 外任一点。若o 与l 上任一点A 之连线OA 交'l 于'A 。 则我们定义： 定义1 'A 叫做 A 点从o 投影到'l 上 的中心射影下的对应点。 OA 叫做投射线，o 叫做 投射中心，简称射心。 图（1） 显然A 也是'A 在l 上以o 为射心的中心射影下的对应点。取不同的射心，就得到不同的中心射影。 如果l 与'l 相交与C 点，则C 位自对应点，如图（1） 在欧氏平面上，中心射影不能建立两直线上点之间的一一对应。如果l 上的一点P 使OP 平行于'l ，则P 的对应点'P 将不存在。同样在'l 上也有一点'Q ，使'OQ 平行于l ，所以'Q 在l 上的对应点也不存在。我们将P 与'Q 分别称为l 与'l 上的影消点。 1.2.平面与平面之间的中心射影 设π与'π是二平面，点o 是平面外一点，若o 与π上任一点A 之连线OA 交 'π与'A 。则我们定义：图（2） 定义2 'A 叫做 A 点从o 投影到平面'π的中心射影下的对应点。OA 叫做 O A ' A B ' B C ' Q l ' l P

投射线，o 叫做投射中心，简称射心。显然A 也是'A 在π上以O 为射心的中心射影下的对应点。 可以看出在中心射影下平面π内的一直线AB 对应平面'π上的直线''A B 。 图（2） 当π与'π相交时，其交线c 为自对应直线，其上的每一点C 都是自对应点。 同样，平面到平面的中心射影也不能建立两平面点之间的一一对应。如图（2），如果平面π上的一点P 与o 的连线OP 平行于平面'π，那么P 在'π上的对应点便不存在，我们也称点P 为影消点。若通过o 作与'π平行的平面a 交平面π于直线m 。则直线m 在'π上的对应直线也不存在，我们称直线m 为影消线。类似的可以定义平面'π上的影消点与影消线。显然，影消点的轨迹是影消线。 2.无穷远元素 为了使中心射影是一一对应，我们必须将欧氏平面加以扩拓广。所以我们引进了无穷远元素。为此约定，这约定是我们欧氏平面里的概念决不矛盾。 约定— 在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点，此点 在组中每一直线上而不在此组之外的任何直线上。无穷远点记以P ∞，为区别起 O π A B C ' A ' B ' πc Q α m p

高考数学2投影画与射影几何专题1

高考数学2投影画与射影几何专题1 2020.03 1,通过椭圆22 143x y +=的焦点且垂直于x 轴的直线l 被该椭圆截得的弦长 等于（ ） A. 23 B. 3 C. 3 D. 6 2,抛物线过直线 0x y += 与圆 22 40x y y ++= 的交点，且关于y 轴对称， 则此抛物线的方程为 . 3,过点A （4，8）且与点B （1，2）距离为3的直线方程为 . 4,在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一 个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：.2 22b a c += 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN ，如果用321,,s s s 表示三个侧面面积，4s 表示截面面积，那么你类比得到的结论是 . 5,分别在已知两个平面内的两条直线的位置关系是（ ） A ．相交或异面 B ．平行或相交 C ．异面或平行 D ．非以上答案 6,点（4，0）关于直线54210x y ++=的对称点的坐标是（ ） A. （－6，8） B. （－8，6） C. （6，8） D. （－6，－8）

7,与定圆2222()()4()x a y b a b -+-=+及 2222 ()()4()x a y b a b +++=+都相切且半径为22a b +的圆有且仅有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 5 D. 8,已知定点 A （0，6）、B （0，3），点C 为x 轴正半轴上的点，当∠ACB 最大时，求点C 的坐标。 9,已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为4的正方形，⊥PD 平面ABCD ，且PD=6，M 、N 分别是PB 、AB 的中点。 （1）求证：CD MN ⊥ （2）求三棱锥P-DMN 的体积 （3）求二面角M-DN-C 的平面角的正切值 10,曲线 1xy x y +=+ 所围成图形的面积等于（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. π 11,平面直角坐标系有点)cos ,1(x P ，)1,(cos x Q ， ∈x [ 4, 4π π- ]； （1）求向量和OQ 的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ； （2）求θ的最值。 12,如图所示，在正方体AC 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且始终保持1BD AP ⊥，则动点P 的轨迹是 。

射影面积法求二面角

射影面积法求二面角

射影面积法（cos S S 射影原 q = ） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都 可利用射影面积公式（cos 斜 射S S =θ）求出二面角的 大小。 例1、 如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， AD ∥BC,∠ABC=90°，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=BC=1， AD=21 .求面SCD 与面SAB 所成的角的大小。 解法1：可用射影面积法来求， 这里只要求出S △SCD 与S △SAB 即可， 故所求的二面角θ应满足cos θ= = 1 11212322 ????= 6 。 例2．（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中， 2 AC BC ==，90ACB ∠=o ， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 图S D C B A

解：（Ⅰ）证略 （Ⅱ）AC BC =Q ，AP BP =，APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=o ，即AC BC ⊥，且AC PC C =I ， BC ∴⊥ 平面PAC ． 取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =Q ，BE AP ∴⊥． EC Q 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥． ∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影， 于是可求得： 2 222=+===CB AC AP BP AB ， A C B E P A C B P

622=-=AE AB BE ，2 ==EC AE 则 1222 121=?=?= =?CE AE S S ACE 射， 3622 121=?=?= =?EB AE S S ABE 原 设二面角B AP C --的大小为?，则3 33 1cos = = =原 射S S ? ∴二面角B AP C --的大小为3 3arccos =? 练习1： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的 棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成 锐角的余弦值. （答案：所求二面角的余弦值为cos θ=32）. A 1 D 1 B 1 1 E D B C A 图5

位置几何──射影几何学

位置几何──射影几何学 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。 射影几何的发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样

就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。 射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家──笛沙格和帕斯卡。 笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。 帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影

射影几何的起源

射影几何的起源 在欧洲文艺复兴时期，许多著名的画家，包括多才多艺的达·芬奇，以他们非凡的技巧和才能，为透视学的研究，作出了卓越的贡献。他们的成果，很快地影响到几何学，并孕育出一门新的几何学分支——射影几何。 所谓射影是指：从中心O发出的光线投射锥，使平面Q上的图形Ω，在平面P上获得截景Ω1。则Ω1称为Ω关于中心O在平面P上的射影。 射影几何就是研究在上述射影变换下不变性质的几何学。 为射影几何的诞生奠基的，是两位法国数学家：笛沙格（Desargues，1591～1661）和帕斯卡（Pascal，1623～1662）。 公元1636年，笛沙格发表了题为《用透视表示对象的一般方法》一书。 在这本书里，笛沙格首次给出了高度、宽度和深度“测尺”的概念，从而把绘画理论与严格的科学联系起来。 公元1639年，笛沙格在平面与圆锥相截的研究中，取得了新的突破。 他论述了三种二次曲线都能由平截面圆锥而得，从而可以把这三种曲线都看盾成是圆的透视图形。这使有关圆锥曲线的研究，有了一种特别简捷的形式。 不过，笛沙格的上述著作后来竟不幸失传，直到200年后，公元1845年的一天，法国数学家查理斯，由于一个偶然的机会，在巴黎的一个旧书摊上，惊异地发现了笛沙格原稿的抄本，从而使笛沙格这一被埋没了的成果，得以重新发放光辉！ 笛沙格之所以能青史留名，还由于以下的定理：如果两个空间三角形对应顶点的三条联线共点，那么它们对应边直线的交点共线。这个定理后来便以笛沙格的名字命名。 有趣的是：把笛沙格定理中的“点”改为“直线”，而把“直线”改为“点”，所得的命题依然成立。即如果两个空间三角形的对应边直线的三个交点共线，那么它们对应顶点的联线共点。 在射影几何中，上述现象具有普遍性。一般地，把一个已知命题或构图中的词语，按以下“词典”进行翻译： 将得到一个“对偶”的命题。两个互为对偶的命题，要么同时成立，要么同时不成立。这便是射影几何中独有的“对偶原理”。 射影几何的另一位奠基者是数学史上公认的“神童”法国数学家帕斯卡。

第五章 近代数学史

第五章 近代数学史 1． 中世纪的欧洲数学 公元5～11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，直到12世纪欧洲数学才开始复苏。 斐波那契（公元1170年至公元1250年）是第一位有影响的数学家。他的代表作《算经》系统介绍了印度、阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了很大的影响。《算经》中的一个“兔子问题”，产生了著名的斐波那契数列。 2． 向近代数学过渡作准备 ⑴ 代数学的产生 欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，并拉开了近代数学的序幕。特别表现在三、四次方程求解和符号代数两个方面。代表人物有： A ． 塔塔利亚（公元1499年至公元1557年）意大利数学家，给出了形如： n mx x =+2 3 )0,(>n m 三次方程的代数解法 B ． 费罗（公元1465年至公元1526年）波伦亚大学的数学教授，给出了形如： n mx x =+3 )0,(>n m 三次方程的代数解法 C ． 卡尔丹（公元1501年至公元1576年）学者，在其著作中公布了这些解法。并认识到复根是成对出现的。 D ． 邦贝利（公元1526年至公元1573年）意大利数学家，在其著作《代数》中引进了虚数。 E ． 吉拉德（公元1593年至公元1632年）荷兰数学家在《代数新发现》中给出了著名的“代数基本定理” F ． 韦达（公元1540年至公元1603年）法国数学家，是数学符号系统化的先驱和功臣。他使用的代数符号的改进工作由笛卡儿完成。如：a ，b ，c 表示已知量，x ，y ，z 表示未知量。在方程方面有著名的韦达定理（方程的根与系数的关系）。 ⑵ 三角学的形成 在1450年前，三角学主要是球面三角学，15、16世纪，德国人开始对三角学作新的推进。编制了正弦表，给出了三角函数关系，并采用了6个函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。产生了三角恒等式。 在16世纪三角学从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。

圆锥曲线与射影几何

圆锥曲线与射影几何

圆锥曲线与射影几何 射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理和结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。 例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠,直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直线2 1=x 上。 如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。 我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据和特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成： 有一点A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于B ,C ,D ,E 。连BD ，CE 交于点 P ，且P 点在四边形BCDE 外部。

又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连BE，CD交于点Q，连PQ，先证明：直线PQ 是A点的极线。 D

证明： 对C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得： DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于' DB 的交点P 三点共线,同理P ，Q ，N 三点共线 所以P ，Q ，M ，N 四点共线。 又因为BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN

是BC 与DE 的交点A 的极线，即PQ 是A 的极线。 回到原图，由极线的定义与性质得PQ OA ⊥，且 FAGH 为调和点列。 有了前面的铺垫再证例1就简单了。 证明： 过P 点作X PH ⊥轴，则PH 是C 点的极线，AHBC 为调和点列 因为A (-1,0), B (1,0), C (2,0) 所以H （2 1,0） 即P 在直线2 1=x 上 关于极线的知识，下文仍有用到，这里不再叙述。 例2：M 是抛物线)0(22≥=p px y 的准线上的任意点，过M 点作抛物线的切线1l ,2l ，切点分别为 A , B (A 在X 轴的上方)。 （1） 求证：直线AB 过定点。 （2） 过M 作X 轴的平行线l 与抛物线交于P ， 与AB 交于Q . 证明PQ MP =。

射影几何与解析几何

第十章：射影几何与解析几何 第一节射影几何 一、历史背景 1566年，科曼迪诺(F．Commandino，1509—1575)把阿波罗尼奥斯(Apollonius)的《圆锥曲线论》(Conics)前四卷译成拉丁文，引起了人们对几何的兴趣，几何上的创造活动开始复兴．在短短几十年的时间里，便突破传统几何的局限，产生了一门崭新的学科——射影几何．由于新学科把无穷远点及图形连续变动的思想引入数学，它实际上已迈入高等数学的门槛．射影几何直接起源于透视法，而透视法是与绘画艺术分不开的．在中世纪，画家的主要任务是颂扬上帝和为圣经插图．但到了文艺复兴时期，描绘现实世界逐渐成为绘画的目标了．为了在画布上忠实地再现大自然，就需要解决一个数学问题：如何把三维的现实世界反映到二维的画布上．意大利的建筑师兼数学家阿尔贝蒂(L．B．Alberti，1404—1472)认真考虑了这一问题．他在1435年写成的《论绘画》(Dellapittura，1511年出版)一书中阐述了这样的思想：在眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃板，并设想光线从眼睛出发射到景物的每一个点上，这些线叫投影线．他设想每根线与玻璃板交于一点，这些点的集合叫做截景．显然，截景给眼睛的印象和景物本身一样，所以作画逼真的问题就是在玻璃板(实际是画布)上作出一个真正的截景． 例如，人眼在O处观察水平面上的矩形ABCD、(图10．1)时，从O到矩形各点的连线形成一投影棱锥，其中OA，OB，OC，OD是四根典型的投影线．若在人眼和矩形间插入一平面，并连结四条线与平面的交点A′，B′，C′，D′，则四边形A′B′C′D′为矩形ABCD的截景．由于截景对人眼产生的视觉印象和原矩形一样，它们必然有相同之处．但从直观上看，截景和原形既不全等又不相似，也不会有相同的面积，截景甚至并非矩形．那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的 问题． 阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的；如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之间必存在某种关系．于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的数学性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．

数学史(第6章解析几何的诞生)

第6章 解析几何的诞生 主题： 解析几何发展的显著变化 线索问题： 1 斐波那契的主要数学贡献及其意义是什么？ 2在三四次方程求解方面哪些数学家作出了贡献？ 3 代数符号化的发展过程是怎样的及有哪些代表人物？ 4 欧洲三角学的发展过程中哪些主要人物作出了贡献？ 5 射影几何的发展过程及其代表人物是什么？ 6 对数的发明及其代表人物是什么？ 7 解析几何的诞生及其意义？ 概述： 本章概括介绍在向近代数学过渡时期的历史背景和几个领域的数学发展，重点介绍了在代数、射影几何、对数和解析几何等方面的发展。 主要内容： 一 中世纪欧洲数学 中世纪的欧洲，公元5世纪－11世纪，天主教会成为欧洲社会的绝对势力，欧洲文明在整个中世纪处于停滞状态。 12世纪，欧洲是翻译的时代，因此数学开始复苏。 斐波那契（1170－1250）：《算经》，斐波那契数列。 数学的发展与科学的革新紧密结合在一起，直到15、16世纪文艺复兴的高潮中，数学才真正复苏。 二 文艺复兴时期的欧洲数学的发展 （一）代数学：三次、四次方程的求解与符号代数是两个主要的成就。 1 三、四次方程的求解和有关代数方程理论的探索 （1） 三次方程的根式解： 费罗（1465－1520）1515年发现那形如)0,(3>=+n m n mx x 的三次方程的代数解法； 塔塔尼亚发现形如)0,(23>=+n m n mx x 的解法。 卡尔丹（1501－1576）将塔氏方法推广到一般情形的三次方程，并补充了几何证

明。（1545年出版《大法》（Ars Magna ）） 费拉里（卡尔丹学生）解决那一般的四次方程4320ax bx cx dx e ++++=求解，不久也被写入《大法》中。 （2）复数引进：卡尔丹遇“不可约”，邦贝利引进虚数。 （3）代数基本定理：吉拉德推断，18C 高斯最早证明 （4）根与系数的关系：卡尔丹、韦达、牛顿、格列高里 （5）因式分解定理：韦达 2 符号化的发展 过程：韦达引进，吉拉德、奥特雷德继承、韦达改进 意义：韦达系统地引入数学符号，数学符号体现了数学学科的高度抽象与简练，从而导致了代数性质上产生重大变革。他把符号代数称作“类的算术”，代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用广泛。 （二）三角学的发展 1 精确正弦表：波伊尔巴赫 2将三角学独立天文学：雷格蒙塔努斯 3 系统化：韦达 （三）射影几何的发展 1 透视学：阿尔贝蒂《论绘画》（1511），数学透视法； 2 射影几何：德沙格（1591－1661），从数学上直接给予解答的第一个人，包含投影变换下的交比不变性质，从对合点问题出发首次讨论了调和点组的理论。帕斯卡（1623－1662），投射与取景法，帕斯卡定理。 计算技术与对数：苏格兰数学家纳皮尔（1550－1617），发现了对数方法。瑞士工匠比尔吉（1552－1632）1600年耶独立地发明了对数方法简化天文计算。 解析几何：近代数学本质上可以说是变量数学。16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。变量数学的第一个里程碑就是解析几何的发明，其基本思想是在平面上引进“坐标”运算，点与实数对对应，方程与曲线对应，将几何问题化为代数问题。解析几何的前驱是法国数学家奥雷斯姆（1323－1382），《论形态幅度》，解析几何的真正发明者还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿合费马，他们出发点不同，但殊途同归。 笛卡儿（1596－1650）：1637发明解析几何，出发点是一个著名的希腊问题——帕波斯问题。笛卡儿提出了一系列新颖想法，和方法论原则，提出“通用数学的思路”：