数列中裂项求和的几种常见模型
数列中裂项求和的几种常见模型
数列中裂项求和的几种常见模型
数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。
模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ，则
)1
1(111
1++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x =
的图像经过坐标原点，其导函数为
'()62f x x =-，数列{}n a 的前
n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =
的
图像上。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m
T <对所有n N *
∈都成立的最小
正
整
数
m ；
（2006年湖北省数学高考理科试题）
解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2
+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2
－2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =
的图像上，所以n S ＝3n
2
－2n.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （
＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12
－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=
n n n
a a
b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1
61
561(
21+--n n ，
故T n ＝∑=n
i i b 1
＝21
??
????+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使2
1（1－
161
+n ）<20
m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足
21
≤20
m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数
m 为10..
例2在xoy 平面上有一系列点),,(111y x P
),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，（n ∈N *），点P n
在函数)0(2≥=x x y 的图象上，以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切，且圆P n 与圆P n +1又彼此外切. 若n n x x x <=+11,1且. （I ）求数列}{n x 的通项公式； （II ）设圆P n 的面积为123,,:2
n n n n S T S S S T π=
++
+<
求证
解：（I ）圆P n 与P n+1彼此外切，令r n 为圆P n 的半径， ,)()(,||1212111++++++=-+-+=∴n n n n n n n n n n y y y y x x r r P P 即 两边平方并化简得,4)(121++=-n n n n y y x x
由题意得，圆P n 的半径,4)(,212212++=-==n n n n n n n x x x x x y r
),(21
1,2,01
111*++++∈=-
=-∴>>N n x x x x x x x x n
n n n n n n n 即
11
}1{
1=∴x x n 是以数列为首项，以2为公差的等差数列， 所以1
21
,122)1(11-=-=?-+=n x n n x n n 即
（II ）4
4
22)12(-=
===n x y r S n n n n π
πππ，
])12(1
311[2
221-+++
=+++=n S S S T n n π因为 ))12)(32(1
5.313.111(--++++
≤n n π .
2
3)12(223)]1211(211[)]}
1
21
321()5131()311[(211{π
ππππ<--=--+=---++-+-+=n n n n
所以，.2
3π
<
n
T
∴2006
20061
2(2
1)1)221N
n =-<<
不超过1
N
n =的最大整数为200722-。
模型三：2n
(2n+1－1)(2n
－1) = 12n －1 － 1
2n+1－1
例5设数列{}n a 的前n 项的和141223
3
3
n n n S a +=-?+，n=1,2,3,…. （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；
（Ⅱ）设2n
n n
T S =
，n=1,2,3,…，证明：1
32
n
i i T =<∑
（2006年全国数学
高考理科试题）
. 解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+2
3, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1
－13×4+2
3
所以a 1=2. 再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +2
3
, n=2,3，4,…
将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n
),n=2,3, …
整理得: a n +2n
=4(a n －1+2
n －1
),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n
}是首项为
a1+2=4,公比为4的等比数列, 即a n +2n
=4×4
n －1
= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n
, n=1,2,3, …,
(Ⅱ)将a n =4n
－2n
代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1
+ 23 = 13×
(2n+1
－1)(2n+1
－2)
= 23
×(2n+1－1)(2n
－1)
T n = 2n S n = 32×2n
(2n+1－1)(2n
－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1
) 所以, 1
n
i i T =∑= 321(n i =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 32
模型四：k
k a a a n n n )(1+=
+，且),3,2,1(0 =≠n a n ，则
11
11+-=+n n n a a a k
例6设函数3
21()3
g x x ax =
+的图象在1x =处的切线平行于直线
20x y -=.记()g x 的导函数为()f x .数列{}n a 满足：11
2
a =
,1()n n a f a +=. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;
(Ⅱ)试判断数列{}n a 的增减性,并给出证明; (Ⅲ)当2,*N n n ≥∈时,证明:12
11
1
12111n
a a a <+++
<+++. 解：（Ⅰ）∵函数3
21()3
g x x ax =
+的导函数为2()2f x x ax =+，由于在1x =处的切线平行于20x y -=，∴1+22a =?12
a =
，∴
2()f x x x =+
(Ⅱ)∵1()n n a f a +=,∴2211n n n n n n a a a a a a ++=+?-=,∵11
2
a =
,故0n a >,所以
10n n a a +->,所以{}n a 是单调递增.
(Ⅲ) ∵1(1)n n n a a a +=+,∴111(1)n n n a a a +=+=11_
1n n
a a +,∴
1
111
1n n n a a a +=-+
∴
112
111
1a a a =-+,
223
111
1a a a =-+,
334
111
1a a a =-+…
1
111
1n n n a a a +=-+
令n S =
122311
11111122n n a a a a a a ++-+-+???-=-< 当2n ≥时,n S = 12
1211
1112426
111113721
n a a a a a +++
≥+=+=+++++1> ∴12
111
12111n
a a a <
+++
<+++
例7已知数列}{n a 满足n a a a n n 2,111+==+)3,2,1( =n ，}{n b 满足,11=b
n b b b n n n 21
+=+)3,2,1( =n ，证明： 1121111<--+≤∑=++n k k k k k k
b ka b a 。
(2006年全国高中数学联
合竞赛浙江省预赛试题)
证明：记 ∑
=++--+=n
k k k k k n k
b ka b a I 1111
，则 n I I I <<<= 212
1
。 而∑
=++-=n
k k k n k b a I 1
1)
)(1(1∑
∑==++?-≤
n
k k n
k k k
b a 1111
11
。
因为n a a a n n 2,111+==+，所以)1(11+=-+k k a k 。 从而有 1111)
1(11
111
1<+-=+=-∑
∑
==+n k k a n
k n
k k 。 （1）
又因为k
k b b k b b b k k k k k )(21
+=+=+，所以
k b b k b b k b k k k k k +-=+=+1
1)(11，
即
1
1
11+-=+k k k b b k b 。从而有 111111111=≤-=++=∑
b b b k
b n n
k k 。 （2） 由（1）和（2）即得 1 <≤n I 。 左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。 以上我们通过几个典型问题的解析，总结了四类裂项求和的常见模型，可以让我们更清楚的认识到裂项相消的来龙去脉，而这些模型是近几年高考中普遍采用的，要求我们注重培养学生的化归、转化的能力。 数列中裂项求和的几种常见模型 数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。 模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且 ) ,3,2,1(0,0 n a d n ，则 )1 1(111 1 n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x 的图像经过坐标原点，其导函数为' ()62f x x ，数列 {}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N 均在函数()y f x 的图像上。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20 n m T 对所有n N 都成立的最小正整数m ； （2006年湖北省数学高考理科试题） 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2 +bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2 －2x. 又因为点(,)()n n S n N 均在函数()y f x 的图像上，所以n S ＝3n 2 －2n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2 －2n ）－ )1(2)132 n n （ ＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12 －2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N ） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13 n n n a a b ＝ 5)1(6)56(3 n n ＝)1 61 561(21 n n ， 数列求和 ------裂项相消法 引例：教材P47 什么是裂项相消法？什么时候使用？ 思考1： 变式： 思考2：在裂项的过程中，是怎样把项裂开的？关键是什么？怎样相互抵消的？ 1.???? 求数列的前n 项和.11111,,,,,13243546n(n +2)222222224142434 2.,,,,,.41142143141n n n ?????-?-?-?- 求数列的前项和222235721 3..(12)(23)(34)[(1)]n n S n n +=++++???+ 求和∑求和：k n n k+1k k=12 4.S =(2-1)(2-1)2n n a a =若数列{}，,可以用裂项相消法求数列前n 项和？11n(n +) 小结：什么是裂项相消法？什么时候使用裂项相消法？在使用的过程当中应当注 意什么？裂项相消法运用的数学思想是什么？ 你是否有新的感受呢？请用一句话总结一下前面的内容。 思维拓展： 思考3：裂项相消法最大的成功--实现了消项，运用错位相减法也是消项，是不 是可以考虑用裂项法相消法可以求等比数列的和吗？可以求{}g 等差等比的和吗？试试看。 在等比数列{}(1)n a q 1中， 试一试：用裂项相消法 练习： 2*1122:{},().(1) 1111(2) .(1)(1)(1)3n n n n n a n S n n n N a n a a a a a a =+∈+++<+++ 例题数列的前项和为求；证明：对一切正整数，有2335721.2222n n n S +=++++ 求和211111-=++++L n n S a a q a q a q 211111-=++++L n n n qS a q a q a q a q 1(1)1-=-n n a q S q 11 (1)-=-n n q S a a q 121321* {},,,,,2.(){}(21)3()(){}.n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n b n N b n T a -----?=∈ 已知数列满足：是首项、公差均为的等差数列 Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ令，求数列的前项和 数列中裂项求和的几种常见模型 数列中裂项求和的几种常见模型 数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。 模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ，则 )1 1(111 1++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x = 的图像经过坐标原点，其导函数为 '()62f x x =-，数列{}n a 的前 n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的 图像上。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1 1 n n n b a a += ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20 n m T <对所有n N * ∈都成立的最小 正 整 数 m ； （2006年湖北省数学高考理科试题） 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2 +bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2 －2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的图像上，所以n S ＝3n 2 －2n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （ ＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12 －2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+= n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1 61 561( 21+--n n ， 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 数列求通项及求和 1.数列{}n a 的前n 项和n s ，且满足1a =1，121+=+n n s a ，（* N n ∈）求{}n a 的通项 公式 2. 数列{}n a 的前n 项和n s ，且满足1a =1，35-=n n s a ，（* N n ∈）求{}n a 的通项 公式 3. 数列{}n a 的前n 项和n s ，且满足1a =1，n n a s 3 21-=，（* N n ∈） （1）{}n n a a 21-+为等比数列；（2）求证? ?? ???n n a 2为等差数列 （3）求{}n a 的通项公式 4. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足1a =1，n n s a 31=+，（* N n ∈）求{}n a 的通项公式 5. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足1a =1，n n s a 3 11=+，（* N n ∈）求{}n a 的通项公式 6. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足1a =1，241+=+n n a s ，（* N n ∈）求{}n a 的通项 公式 7.数列{}n a 的前n 项n s ，且满足1a =1，3431=++n n s a ，（*N n ∈）求{}n a 的通项 公式 8. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足12+=n n a s ，（* N n ∈）求{}n a 的通项公式 9. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足,0>n a ()()216 1 ++=n n n a a s （*N n ∈）求{}n a 的通项 10. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足()1212+=+n n n a a s ，（* N n ∈）求{}n a 的通项 公式 11.数列{}n a 的前n 项n s ，且满足,0>n a ，2 22+=n n a s ，（* N n ∈）求{}n a 的通项公式 12. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足,9 2 1=a 1-=n n n s s a ，,2≥n 求{}n a 的通项公式 13. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足,11=a n n s n n a 21+=+， （* N n ∈）求{}n a 的通项公式 14. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足,0≠n a 12 1 +=n n n a a s ，求{}n a 的通项公式 例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =1 2-n +3n ，求这个数列的前n 项和 例2、求下列数列的前n 项和： 数列求和裂项法错位相减法分组求和法 Modified by JEEP on December 26th, 2020. 数列求和的三种特殊求法 例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ，求这个数列的前n 项和 例2、求下列数列的前n 项和： （1）211，412，813，……n n 21+，…… （2）1，211+，3211 ++…… n +??+++3211 …… （3）5，55，555．……，55……5，……（4）,,，……，……5，…… 例3、已知数列的的通项，求数列的前n 项和： （1） )1(1+= n n a n （2）) 2(1 +=n n b n （3）{a n }满足a n = 1 1++n n ，求S n （4）求和：+?+?= 5 34 3122 2 n S ……+) 12)(12()2(2 +-n n n （5）求和) 2)(1(1 43213211+++??+??+??=n n n S n 例4、求数列 ,,,3,2,32n na a a a （a 为常数）的前n 项和n S 。 练习：求和：21，223，325，……n n 2 1 2-，…… 知识演练： 1. （2009年广东第4题）已知等比数列}{n a 满足 )3(2,,2,1,02525≥=?=>-n a a n a n n n 且 ，则当1≥n 时，=+++-1221212log log log n a a a A ．)12(-n n B ．2)1(+n C ．2n D ．2)1(-n 2. （2010年山东第18题）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 11 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 3. （2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且 .)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n 小结：数列求和的方法 分组求和，裂项相消（分式、根式），错位相减（差比数列） 数列求和的思维策略： 从通项入手，寻找数列特点 数列求和的三种特殊求法 例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ，求这个数列的前n 项和 例2、求下列数列的前n 项和： （1）211，412 ，813，……n n 2 1+，…… （2）1，211+，3211++……n +??+++3211…… （3）5，55，555．……，55……5，……（4）0.5,0.55,0.555，……，0.55……5，…… 例3、已知数列的的通项，求数列的前n 项和： （1） )1(1+=n n a n （2）) 2(1 +=n n b n （3）{a n }满足a n =1 1 ++n n ，求S n （4）求和：+?+?=5343122 2n S ……+)12)(12()2(2+-n n n （5）求和) 2)(1(1 43213211+++??+??+??= n n n S n 例4、求数列ΛΛ,,,3,2,3 2 n na a a a （a 为常数）的前n 项和n S 。 练习：求和： 21，223，32 5，……n n 21 2-，…… 知识演练： 1. （2009年广东第4题）已知等比数列}{n a 满足)3(2,,2,1,02525≥=?=>-n a a n a n n n 且Λ， 则当1≥n 时，=+++-1221212log log log n a a a Λ A ．)12(-n n B ．2 )1(+n C ．2n D ．2 )1(-n 2. （2010年山东第18题）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 3. （2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且 .)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和T n 小结：数列求和的方法 分组求和，裂项相消（分式、根式），错位相减（差比数列） 数列求和的思维策略： 从通项入手，寻找数列特点 裂项法求数列的和 【内容提要】笔者在多年的教学中遇到裂项法求和的题型,加以总结,供师生们参考.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即 )()1(n f n f a n -+=，然后累加时抵消中间的许多项。 【关键词】裂项法 求数列的和 等差数列 1等差数列积的倒数和 已知等差数列{}n a 首项1a ，公差d 。求和：= n s ++322111a a a a …+ 1 1 +n n a a 解： 11+n n a a =n n a a -+11（111+-n n a a ）=d 1（1 1 1+- n n a a ） = n s d 1（+-+-32211111a a a a …+111+-n n a a ）=d 1（1 11 1+-n a a ） 其中nd a a n +=+11 求和：（1）= n s +?+?321211…+)1(1 +?n n (2) = n s +?+?741411…+) 13()23(1 +?-n n 2．含二次根式的数列和 已知正项等差数列{}n a 首项1a ，公差d 。求和：2 11a a s n += + 3 21a a ++… + 1 1++n n a a 。 解： 1 1 ++n n a a =) )((111n n n n n n a a a a a a -+-+++= d 1 （n n a a -+1）。 = n s d 1(+-+-2312…+ n n a a -+1)= d 1()11-+n a 其中nd a a n +=+11 求和：= n s +++ +3 212 11…+ 1 1++n n 3．含对数的数列和 数列中的裂项法求和举例 杨恒运 江苏省扬中高级中学 （212200） 数列中的求和问题是一个基本问题，应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的前 n 项和。裂项法求和的是数列求和中一种常用方法，应用非常广泛,下面就举例说明之。 1. 求通项公式 例1 已知数列｛n a ｝满足： 121321,,n n a a a a a a a ---- 是首项为1公比为 13 的等比数列，求通项n a 由于121321n n n a a a a a a a a -+-+-++-= 很容易求出通项1 13n n a -?? = ? ?? 2. 求等差数列前 n 项和 例2 在数列{}n a 中,若21n n a n n s =+，求前项和 学生在求和中，数列中的基本元素及求和公式都会搞错，若用裂项法就很容易求出其前n 项和 略解:显然22 (1)n a n n =+- 122 22 22 2 2 2 1 (2 1)(3 2)(1) (1)12(1)n n n s a a a n n n n n a a n d =+++=-+-+++-=+-=+=+- 则一般地，若等差数列 ()() 1 122 12 11() 3(21)22 d 3 = n +12231122 =n a (1)2 n n a d n a d d n a d n a d d s n a d n n n d =+-= ++- ????-+- ? ???? ?? ??∴= +-+- ?? ??? +-则 3．求等比数列前n 项和 对于等比数列前n 项和的推导及记忆应用都是一个难点，若用裂项法的思想，就可以化繁为简 裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 1、 特别是对于? ?????+1n n a a c ，其中{}n a 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用 1+n n a a c =??? ? ??-+111n n a a d c ，其中()n n a a d -=+1 2、 常见拆项：1 11)1(1+-=+n n n n )1 21121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n !)!1(!n n n n -+=? )! 1(1!1)!1(+-=+n n n n 例1 求数列1{ }(1)n n +的前n 和n S ． 例2 求数列1{ }(2) n n +的前n 和n S ． 例3 求数列1{ }(1)(2)n n n ++的前n 和n S ． 例4 求数列 ???++???++,11,,321,211n n 的前n 项和. 例5：求数列 311?，421?，531?，…，) 2(1+n n ，…的前n 项和S 例6、 求和) 12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111()n n k a a f n +=-=∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)12 (1)(1)1 n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 高中数学数列中裂项求和测试题及答案 数列中裂项求和的几种常见模型 数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。模型一：数列是以d为公差的等差数列，且，则 例1已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；（2019年湖北省数学高考理科试题）解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n. 当n2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝312－2＝61－5，所以，an＝6n－5 （）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝， 故Tn＝＝＝（1－）. 因此，要使（1－）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.. 例2在xoy平面上有一系列点，…，，…，（nN*），点Pn 在函数的图象上，以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切. 若 . （I）求数列的通项公式； （II）设圆Pn的面积为 解：（I）圆Pn与Pn+1彼此外切，令rn为圆Pn的半径，两边平方并化简得 由题意得，圆Pn的半径 为首项，以2为公差的等差数列， 所以 （II）， 所以， 模型二：分母有理化，如： 例3已知，的反函数为，点在曲线上，且 (I)证明数列{ }为等差数列； (Ⅱ)设 ,记，求 解(I)∵点An( )在曲线y=g(x)上(nN+)， 点( )在曲线y=f(x)上(nN+) ,并且an0 ，，数列{ }为等差数列 数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=3 2 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 - n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = . 解： 原式= 答案： 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(75314 3 2 -+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1 4 3 2 --+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- 一、学情分析： 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节专题探究课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。 二、教法设计： 本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。 在教学过程中采取如下方法： ①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性； ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 三、教学设计： 1、教材的地位与作用： 对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。 2、教学重点、难点： 教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点学习并项分组求和与裂项法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能： 会根据通项公式选择求和的方法，并能运用并项分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。 (3)情感、态度与价值观： ①通过对数列的通项公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神； ②通过对数列通项和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好 思维习惯； ③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。 四、教学过程： 差比型数列的裂项求和法 差比型数列的求和是数列的重点内容之一，也就是形如B n=a n b n，其中{a n}为等差数列，{b n}为等比数列。现在已知B n=a n b n，求B n的前n项和S n。 因为a n为等差数列，所以可以设a n=dn+e，b n=b1p n。则B n=(dn+e)b1p n.现在学夫子要告诉你的是，Bn可以配成下面的形式： 一旦能配成此形,则S n=f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+……+f(n)-f(n-1)=f(n)-f(0),这样就不必涉及到复杂的运算了，直接到位。那么，问题就是如何配成裂项的形式了。我们先要注意的是f(n)的结构与a n的结构是一样的，都是一次多项式与指数函数的乘积，记住这一点，我们就有了明确的目标。下一步就是确定里面的两个参数r和s的值了。 将配成后的B n展开，与题目给出的式子对照，对应系数相等即可求出r和s。这也是我们经常在配凑法里确定参数的方法。 实际上可以看出来，这个方程组很简单的，第一个就直接求出r，带入第二个就求出s，这样就配出了我们的差比型，不过计算后可以发现，要想能够顺利解出r和s，必须要保证p≠1.所以这是一种特殊的情况，不过当p=1的时候，也就没那么复杂，直接等差数列求和公式搞定。不过对于平时的做题，我们完全可以采用偷懒的方法解出r和s。那就是特殊值法，还是以一道题作为例子吧！ 例:已知a n=3n(2n+1),求a n的前n项和S n. 设a n=f(n)-f(n-1),f(n)=3n(rn+s). a1=f(1)-f(0)=3(r+s)-s=2s+3r=9 a2=f(2)-f(1)=9(2r+s)-3(r+s)=15r+6s=45 联立方程求得r=3,s=0,所以a n=f(n)-f(n-1),f(n)=3n(3n) 从而S n=f(n)-f(0)=3n(3n) 经检验，此结论和我们用错位相减法得出的结果是一样的，并且不用检验n=1的时候。因为这是自然成立的。此解法相对于错位相减法来说，唯一的不足就是一开始有点“霸王硬上弓”的味道，但是计算过程却显得简单许多。 最后我还想借此谈谈对裂项求和本质的看法。 数列求和专题(裂项相消) 数列求和专题复习 一、公式法 1.等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2.等比数列求和公式： ?? ? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3.常见数列求和公式： ) 1(21 1 +==∑=n n k S n k n ； ) 12)(1(61 1 2 ++==∑=n n n k S n k n ；2 1 3 )]1(2 1 [+==∑=n n k S n k n 例1：已知3 log 1log 23-= x ，求? ??++???+++n x x x x 32 的前n 项和. 例2：设n S n +???+++=321， + ∈N n ,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、倒序相加法 似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之 和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例3：求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2222 2++???+++的值 例4：求 222 2222222 22123101102938101 +++ +++++的和． 变式1：已知函数 () x f x = （1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求12891010 1010f f f f ????????++++ ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? 的 值. 求数列前n 项和的8种常用方法 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ； （2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ； （4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n 数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(2 1 [+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积 分数裂项求和（一） 裂项求和就是是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项求和法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）。 裂项求和法的具体方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 例1 基础讲解（裂项） 1 2×3= 1 2 - 1 3 = 1 6 1 3×4 = 1 3 - 1 4 = 1 12 1 6×7= 1 6 - 1 7 = 1 42 你发现了什么？ 对于分母可以写作两个连续自然数的乘积，分子都是1的这种形 式的分数，即 1 a×b ，这里我们把较小的数a写在前面，即a < b， 那么有 1 a×b = 1 b - 1 a 。 练1 1 9×10 = - （提示，仿照例题） 199×100 = - 练2 2 2 ×3 = 2 - 2 = 2 （提示：分子不是1的，注意） 3 4 ×5 = 3 - 3 = 3 练3 2 11 ×12 = - = （提示：分子空缺，自己填写） 399 ×100 = - = 例2 深度讲解 11×2 + 12×3+ 13×4 + …… + 198×99+199×100 = (11 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14)+ …… +(1 98 - 199) + (199 - 1100) [此处为基础训练中的裂项] = 11 - 12 + 12 - 13 + 13 - 14+……+198 - 199 + 199 - 1 100 [去括号，括号外面是加号，去括号不变号] = 1 - 1100 [一加一减正好抵消，两两消去，只剩头尾] = 99100 [头减尾，既得最后答案]高二数学数列中裂项求和测试题
数列求和-裂项法
数列中裂项求和的几种常见模型
数列求和7种方法(方法全_例子多)
数列求和7种方法(方法全-例子多)
数列求通项公式求和裂项法-错位相减法-分组求和法
数列求和裂项法错位相减法分组求和法
数列求和裂项法,错位相减法,分组求和法
裂项法求数列的和
数列中的裂项法求和举例
高中数学复习_数列求和_裂项相消法
高中数学数列中裂项求和测试题及答案-精选文档
数列求和7种方法(方法全-例子多)
《并项分组求和与裂项法》教学设计.doc
差比型数列的裂项求和法
数列求和专题(裂项相消)
数列求和的8种常用方法(最全)(1)
数列求和常见的7种方法
小学奥数 裂项求和(一)