数学分析 第一讲 函数详讲
第一讲 函 数
§1.1 初等函数和非初等函数
一、知识结构
1、基本初等函数
(1)常函数 C x f =)(，其中函数的定义域为+∞<<∞-x ,C 为常数，值域为C y =.
(2)幂函数 αx x f =)(，其中函数的定义域为+∞< (3)指数函数 x a x f =)(，其中1,0≠>a a ，函数的定义域为 +∞<<∞-x ，值域为+∞< (4)对数函数 x x f a log )(=，其中1,0≠>a a ，函数的定义域为 +∞< (5) 三角函数 ①正弦函数 x y sin =，其中函数的定义域为+∞<<∞-x ，值域为 11≤≤-y . ②余弦函数 x y cos =，其中函数的定义域为+∞<<∞-x ，值域为 11≤≤-y . ③正切函数 x y tan =，其中函数的定义域为Z k k x ∈+≠,2 ππ ，值 域为+∞<<∞-y . ④余切函数 x y cot =，其中函数的定义域为Z k k x ∈+≠,ππ，值域 为+∞<<∞-y . ⑤正割函数 x x y cos 1sec = =，其中函数的定义域为 Z k k x ∈+≠ ,2 ππ ，值域为+∞<<∞-y . ⑥余割函数x x y sin 1csc ==,其中函数的定义域为 Z k k x ∈+≠,ππ，值域为+∞<<∞-y . (6)反三角函数 ①反正弦函数x y arcsin =，其中函数的定义域为11≤≤-x ，值域为 2 2 π π ≤ ≤- y . ②反余弦函数x y arccos =，其中函数的定义域为11≤≤-x ，值域为 π≤≤y 0. ③反正切函数x y arctan =，其中函数的定义域为+∞<<∞-x ，值域为2 2π π < <- y . ④反余切函数x y arccot =，其中函数的定义域为+∞<<∞-x ，值域为π< 以上函数称为基本初等函数，互为反函数的两个函数的定义域、值域互 换. 例如，函数x a x f =)(（1,0≠>a a ）的定义域为+∞<<∞-x 、值 域为+∞< +∞< 常用的非基本初等函数如下： (1) 双曲正弦函数 2 x x e e y --= ，其中函数的定义域为 +∞<<∞-x ，值域为+∞<<∞-y . (2)双曲余弦函数 2 x x e e y -+=，其中函数的定义域为+∞<<∞-x ， 值域为+∞<≤y 1. (3)双曲正切函数 x x x x e e e e x x y --+-= = ch sh ，其中函数的定义域为 +∞<<∞-x ，值域为11<<-y . (4)双曲余切函数 x x x x e e e e x x y ---+= = sh ch ，其中函数的定义域为 +∞<<∞-x ，值域为+∞< 2、初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算及复合运算得到的函数称为初等函数. 例如，函数2 )(x x e e x f --= 为初等函数，但非基本初等函数。再 例如，狄利克雷函数? ??=为无理数当，为有理数， 当x x x D 0,1)(不是初等函数，当然也 不是基本初等函数。 常用的非初等函数如下： (1) 狄利克雷函数?? ?=为无理数 当，为有理数， 当x x x D 0 , 1 )(. 狄利克雷函数)(x D 是黎曼不可积函数. 理由如下,由定积分的定义()i n i i T x D dx x D ?=∑?=→1 1 lim )(ξ,i i ?∈ξ,当 i ξ为有理数时，有()11lim lim 1 1 =??=?∑∑=→=→i n i T i n i i T x x D ξ，当i ξ为有理数时， 有()00lim lim 1 1 =??=?∑∑=→=→i n i T i n i i T x x D ξ，所以，极限()i n i i T x D ?∑=→1 lim ξ不存 在，进而狄利克雷函数函数)(x D 在定义域上有界，但不可积. (2)黎曼函数(定义在[]10，上) ?????=, 0, 1 )(q x R . ）内的无理数，和（，当为既约真分数，，当1010==x q p q p x (3) 取整函数 []x y =, R x ∈, []x 表示不超过x 的最大整数. 狄利克雷函数、黎曼函数和取整函数均是非初等函数.上述函数无法通过基本初等函数经过有限次的四则运算及复合运算得到. 3、复合函数 函数)(u f y =，D u ∈和)(x g u =，E x ∈复合成函数))((x g f ，{}* =∈∈∈E E x D x g x x 且,)(.复合函数的求导是《高等数学》中的学习 重点和难点之一. 如, 函数x e y 1sin =是由三个基本初等函数u e y =，v u sin =，1 -=x v 复合而成，所以 () ()() ()x e x x v e x v e e y x u u x 1cos cos sin 1sin 2 2 11sin ??-=-??='?'?'='??? ? ? ?='---, 简化运算表述为： x e x x x e x e e x x x x 1cos 11cos 1sin 1 sin 2 1sin 1 sin 1sin ??-='??? ????='??? ??='??? ? ? ?- . 这叫“层层求导, 不能遗漏”. 4、反函数 )()()(1 1 x f y y f x x f y --=→=→= 设函数)(x f y =，D x ∈满足：对于)(D f 中的每一个值y ，D 中有且只有一个值x 使得y x f =)(，则按此对应法则得到一个定义在)(D f 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作1 -f ：D D f →)(，或)(1 y f x -=， 其中)(D f y ∈。习惯上记作)(1 x f y -=，其中)(D f x ∈。 反函数的求导是《高等数学》中的学习难点之一，也是考研的主要内容之一. 例如,用求导公式()x x y cos sin =' ='得到求导公式 ()2 11a r c s i n x x -=' .具体过程如下: 令x y sin =,则其反函数为 y x a r c s i n =.进而()2 11c o s 11a r c s i n y x dx dy dy dx y x -===='='(应用 x y s i n =的求导公式),习惯上表示为()2 11arcsin x x y -= ' ='. 再例如,用求导公式()a a a y x x ln ='='得到求导公式 ()a x x y a ln 1log = ' ='.具体过程如下:令x a y =,则y x a log =.进而 ()a y a a dx dy dy dx y x x a ln 1ln 11log = ==='=',习惯上表示为 ()x e a x x y a a log ln 1log = = '='. 5、多元函数),,(21n x x x f y = 6、隐函数和隐函数组 (1)方程所确定的隐函数 ①由方程0),(=y x F 可确定函数)(x f y =,方程0),(=y x F 确定的函数)(x f y =(未求出)为隐函数. ②由方程0),,(=z y x F 可确定函数),(y x f z =,方程0),,(=z y x F 确定的函数),(y x f z = (未求出)为隐函数. 很多隐函数用显示)(x f y =、),(y x f z =表示困难. 隐函数求导是《高等数学》中的难点之一，也是考研的主要内容之一.确定隐函数的自变量是谁是隐函数求导的关键. (2)方程组所确定的隐函数组 ①由方程组?? ?==0 ),,(0),,(z y x G z y x F 可确定的隐函数组?? ?==) ()(y z z x z z 或 ?? ?==)()(z y y x y y 或???==) () (y z z y x x . 方程组?? ?==0 ),,(0),,(z y x G z y x F 所确定的隐函数组究竟是谁? 我们要在分析考 题的基础上确定,如果在分析考题的基础上还不能确定, 要采取逐一试验的方法去确定.如,已知???=+=++ax y x a z y x 2 22222,求dx dz dx dy ,. 由题意知, ???=+=++ax y x a z y x 2 22222确定隐函数组???==)() (y z z x z z . ②由方程组?? ?==0 ),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 可确定的隐函数组为?? ?==) ,(),(y x v v y x u u . 隐函数组求导也是《高等数学》中的难点之一，也是考研的主要内容之 一. 方程组???==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 可确定的隐函数组为? ??==),(),(y x v v y x u u 时，求x u ??； y u ??； x v ??； y v ??. 因为???=?+?+=?+?+00x v x u x x v x u x v G u G G v F u F F ，且v u x F F F ,,，v u x G G G ,,已知，所以 由???=?+?+=?+?+00x v x u x x v x u x v G u G G v F u F F 可求得x u ??；x v ??.类似可求y u ??;y v ??(由同学完 成). 二、解证题方法 例1 判别下列函数是否为初等函数，并说明原因。 (1) 函数 )( x f , 其中函数)(x f 是初等函数; (2) 函数{})( , )(max )(x g x f x =Φ 和 {})( , )(min )(x g x f x =φ，其中函数)(x f 和)(x g 都是初等函数； (3) 幂指函数 ()()0)( )() (>x f x f x g ,其中函数)(x f 和)(x g 都是初等 函数. 解 ⑴ )( x f 是初等函数, 因为 ().)( )( 2x f x f = ⑵ {})( , )(m a x )(x g x f x =Φ 和 {})( , )(min )(x g x f x =φ都是初等函数, 因为 {}[])()()()(21 )( , )(max )(x g x f x g x f x g x f x -++ ==Φ , {}[])()()()(2 1)( , )(min )(x g x f x g x f x g x f x --+ ==φ . ⑶ 幂指函数 ()()0)( )() (>x f x f x g 是初等函数, 因为 ()() . )() (ln )()(ln )() (x f x g x f x g e e x f x g == §1.2 几种特殊的函数 一、知识结构 1、积分上下限函数 (1)不含参量的积分函数 ① 积分上下限函数? = x a dt t f x F )()(，? = a x dt t f x F )()( 若函数)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 在],[b a 上可微，对],[b a x ∈?，有)()()(x f dt t f x F x a ='??? ??='?，)()()(x f dt t f x F a x -=' ?? ? ??='? 用导数的定义和积分第一中值定理推出)()()(x f dt t f x F x a ='??? ??='?，)()()(x f dt t f x F a x -='?? ? ??='?. ② 积分函数? = ) ()())((x a dt t f x F ??, ?= a x dt t f x F ) ()())((ψ ψ 若函数)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 在],[b a 上可微，)(x f 和)(x ?可复合为))((x f ?，对],[)(b a x ∈??，有 )())(()())(() (x x f dt t f x F x a ????'='??? ??='?， )())(()())(()(x x f dt t f x F a x ψψψψ'-='?? ? ??='?。 用上面①的结论和复合函数)(),(x u u F ?=的求导法则推出)())(()()()()()())((x x f x u f x dt t f u u F x F u a ?????'='='?'?? ? ??='?'='?,其中? = u a dt t f u F )()(, )(x u ?=. )())(()())(()(x x f dt t f x F a x ψψψψ'-='?? ? ??='?的推导由同学完成。 ③ 积分函数?= ) () ()())(),((x x dt t f x x F ?ψ ψ? 若函数)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 在],[b a 上可微，)(x f 和 )(),(x x ψ?可复合为))(()),((x f x f ψ?，对],[)(),(b a x x ∈?ψ?，有 )())(()())(()())(),(() ()(x x f x x f dt t f x x F x x ψψ??ψ??ψ'-'='?? ? ??='?。 用上 面 ② 的 结 论 和 积分运算性质（ ? ? ???+ -=+ = ) () () () () () (x c x c x c c x x x ?ψ?ψ ?ψ） 的 可 推 出 )())(()())(()()() ()(x x f x x f dt t f x F x x ψψ???ψ'-'='?? ? ??='?. （2）含参量的积分函数 ① 积分函数? = d c dy y x f x I ),()(, d c ,为常数. 可微性 若函数),(y x f 和 ),(y x f x ??在[][]d c b a R ,,?=上连续，则 )(x I 在[]b a ,上可微，并且? ???='?? ? ??='d c d c dy y x f x dy y x f x I ),(),()(. 用导数的定义、拉格朗日中值定理和在闭域上连续的函数一定一致连续的结论推出? ???= ='d c d c dy y x f x dy y x f x I ),()'),(()(. 连续性 若函数),(y x f 在[][]d c b a R ,,?=上连续，则)(x I 在[]b a ,上连续，即对[]b a x ,0∈?，有? ? →→= d c x x d c x x dy y x f dy y x f ),(lim ),(lim . 可积性 函数),(y x f 在[][]d c b a R ,,?=上连续，则)(x I 在[]b a ,上可 积，即积分dx dy y x f b a d c ???? ??? ?),(（??b a d c dy y x f dx ),(）存在（二次积分或累 次积分）. 交换性 函数),(y x f 在[][]d c b a R ,,?=上连续，则 dy dx y x f dx dy y x f d c b a b a d c ? ????? ????=?? ????),(),(. ② 积分函数? = ) () (),()(x d x c dy y x f x I 可导性 若函数),(y x f x ??和 ),(y x f y ??在[][]q p b a R ,,?=上连续， )(),(x d x c 为定义在[]b a ,上其值含于[]q p ,的函数，则)(x I 在[]b a ,上可 微，并且 ) ())(,()())(,(),(),()() () () ()(x c x c x f x d x d x f dy y x f x dy y x f x I x d x c x d x c '-'+??= ' ? ? ? ??='? ?. 则用复合函数的求导法则和活动上限的求导法则推出 ) ())(,()())(,(),(),()() () ()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f x dy y x f x I x d x c x d x c '-'+??= ' ?? ? ??='? ?. 连续性 函数),(y x f 在在[][]q p b a R ,,?=上连续，)(),(x d x c 为定义在[]b a ,上其值含于[]q p ,的连续函数，则)(x I 上连续，即对[]b a x ,0∈?，有? ? →→→→= ) (lim )(lim ) () (0 ),(lim ),(lim x d x c x x x d x c x x x x x x dy y x f dy y x f . 可积性 若函数),(y x f 在[][]q p b a R ,,?=上连续，)(),(x d x c 为定义在[]b a ,上其值含于[] q p ,的函数，则 dx dy y x f b a x d x c ???? ????)()(),(（?? b a x d x c dy y x f dx ) () (),(）存在，且等于一个常数。 2、格马（Gamma ）函数和贝塔（Beta ）函数 (1)格马函数 ① 定义：0,)(0 1>= Γ-+∞ -? s dx e x s x s ， 0,2 )(2 1 2>= Γ-+∞ -? s dx e x s x s . 要格马函数0,)(0 1>=Γ-+∞ -? s dx e x s x s 的定义科学、合理，必须对无穷 限积分0,0 1 >-+∞ -? s dx e x x s 的收敛性作出说明. ②0,)(0 1>= Γ-+∞ -? s dx e x s x s 的收敛性 仅对格马函数0,)(0 1>=Γ-+∞ -?s dx e x s x s 收敛性作出说明. (1)当1≥s 时 显然? ? ? +∞ -----+∞-+= 1 11 10 1dx e x dx e x dx e x x s x s x s , 因为当1≥s 时, 积分 ?--1 1 dx e x x s 是黎曼积分, 所以 ? --1 1 dx e x x s ,1≥s 收敛. 而对积分 ? +∞ --1 1 dx e x x s , 该无穷限积分收敛， 原因如下：因为 2 11 111x e x e x x s x s < = ---， ()()0lim lim lim 11 1 2 == = ++∞ →-++∞ →--+∞ →x s x x s x x s x e x e x e x x , 并且dx x ? +∞ 1 2 1收敛, 所以?+∞ --1 1 dx e x x s 收敛. ②当10< ? ? +∞ -----+∞ -+= 1 1 1 10 1dx e x dx e x dx e x x s x s x s . 因为 ? ? ? ----< = 1 11 11 1 1 11dx x dx e x dx e x s x s x s , (11<-s )收敛. 而对积分 ? +∞ --1 1 dx e x x s , 该该无穷限积分收敛，原因如下：因为 2 11 111x e x e x x s x s < = ---，且()()0lim lim lim 11 1 2 == = ++∞ →-++∞ →--+∞ →x s x x s x x s x e x e x e x x , 并且dx x ? +∞ 1 2 1收敛, 所以?+∞ --1 1 dx e x x s 收敛. ③递推 公式：s s s ) 1()(+Γ= Γ, 0>s .对 dx e x dx e x s x b a s a b x s -→+∞→-+∞ ? ? + = = +Γ0 ,0 lim )1(中的dx e x x b a s -?用分步积分 法可得s s s ) 1()(+Γ= Γ,0>s .具体推导如下: 因为 ()()()()s s s s e s s s s s e b s dx x e s e b s dx x e s x e s de x s x e s dx e s dx e x s b b b s b s x b s b s x b s x b x s s x s x x s 111 21lim 11lim 11 0lim 111lim 111)(0 1 +Γ= +Γ+ ?-= +Γ+ =+???? ??-=+??? ??=- = = = Γ+∞ →+∞ →∞ +-+∞→∞ +--+∞ →+∞ -∞+-+∞ --+∞ -? ? ? ? ? , 所以s s s ) 1()(+Γ= Γ,0>s . ④1)1(=Γ π=?? ? ??Γ21. 由递推公式：s s s ) 1()(+Γ=Γ,0>s 得!)1(n n =+Γ,其中1)1(=Γ. 由公式 () ππ s s s s i n )1()(= -Γ?Γ得 π =?? ? ??Γ21.公式 () ππ s s s s i n )1()(= -Γ?Γ的证明非常繁琐,在此省略其证明过程. ⑤递推公式的延拓：s s s ) 1()(+Γ=Γ,0>s 可延拓到 s s s )1()(+Γ=Γ, ,3,2,1,0---≠s .如22 1) 21 ()21(π-=-Γ= -Γ， 1582325) 21 (25)23 ()2 5(π-=?? ? ??-??? ??-- Γ=--Γ= - Γ. 为什么可以延拓，因为01<<-s 时，s s s ) 1()(+Γ=Γ的右边有意义， 所以我们可定义)(s Γ，01<<-s 为s s s ) 1()(+Γ= Γ，110<+ 因为)1(+Γs ，110<+ s s ) 1()(+Γ= Γ， 011<+<-s .……. (2)贝塔函数 ①定义：dx x x q p B q p ? ---= 1 1 1 ) 1(),(，0,0>>q p . 对称性: ),(),(p q B q p B =,用变量替换y x -=1证明. ② 递推公式: )1,(1 1),(--+-=q p B q p q q p B , 1,0>>q p ; ),1(1 1),(q p B q p p q p B --+-= , 0,1>>q p ; ()() ()() )1,1(2111),(---+-+--= q p B q p q p q p q p B , 1,1>>q p . 证明: 用分步积分公式(1,0>>q p )证明. [] ()) ,(11,1) 1(1) 1(1)1()1(1) 1(1) 1(1) 1(1) 1(1 1 1 1 2 1 2 10 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 q p B p q q p B p q dx x x p q dx x x p q dx x x x x p q x d x p x x p dx x p dx x x q p q p q p p q p q p p q q p -- --= --- --=----=-- -=-= -? ? ?? ? ? ------------或(0,1>>q p ) [] ()) ,(1,11) 1(1 ) 1(1)1() 1(1) 1(1)1(1 )1(1) 1(1)1(1 10 1 2 1 1 2 1 01 1 1 2 1 1 10 1 1 1 1 1 1 q p B q p q p B q p dx x x q p dx x x q p dx x x x x q p dx x x q p dx x q x x q x d x q dx x x p q p q p q q p q p q q p q p q p -- --= --- --=----=--=-+ --=-- =--------------????? ? ? 或(1,1>>q p ) () () 1,12 1 1 11,1 1) 1(1 1 1 ---+-? -+-= --+-=-? --q p B q p p q p q q p B q p q dx x x q p . 该题的证明思想与方法十分重要. 由递推公式：()() ()() ) 1,1(2111),(---+-+--= q p B q p q p q p q p B , 1,1>>q p 得()()()! 1! 1!1),(-+--= m n m n n m B ,其中m m B 1)1,(= ,n n B 1),1(= . (3)贝塔函数和格马函数之间的关系 ) ()()(),(q p q p q p B +ΓΓΓ= , 0,0>>q p . 3、向量函数 (1)梯度函数 ① 函数)(x f y =的梯度函数 ())(grad x f f '=(函数)(x f y =在点 x 的梯度); ② 函数),(y x f z =的梯度函数 ()),(),,(grad y x f y x f f y x =(函数 ),(y x f z =在点()y x ,的梯度); 注意：梯度与法向量的联系与区别.函数),(y x f z =(),(y x z z =)在点 ),(y x 处的梯度为 ()),(),,(grad y x f y x f f y x =，而空间中的曲面 0),(),,(=-=z y x f z y x F 在点),,(z y x 处切平面的法向量为 () ),,(),,,(),,,(z y x F z y x F z y x F z y x 或 () 1),,(),,(-y x f y x f y x 或 ()()()1,,,,-y x z y x z y x .函数),(y x f z = 在点),(y x 处的梯度是xoy 面上以 点),(y x 为起点的向量函数()),(),,(grad y x f y x f f y x =, 而曲面 0),(),,(=-=z y x f z y x F 在点),,(z y x 处切平面的法向量 ()()() 1,,,,-y x z y x z y x 为空间中以点),,(z y x 为起点的向量 ()()()1,,,,-y x z y x z y x 函数，向量函数()),(),,(y x f y x f f grad y x =是向 量函数()1),,(),,(-y x f y x f y x 在xoy 面上的投影函数. ③ 函数),,(z y x f u =的梯度函数 ()),,(),,,(),,,(grad z y x f z y x f z y x f f z y x =。 (2)变力作功中的向量函数 ①质点M 在变力()),(),,(),(y x Q y x P y x F = 的作用沿平面有向曲线:L )(x f y =，（起点为()11,y x P ，终点为()22,y x Q ）从点()11,y x P 运动到点()22,y x Q 变力所作的功? ??+= ?L L dy y x Q dx y x P s d y x F ),(),(),(.函 数()),(),,(),(y x Q y x P y x F = 和()dy dx y x s d ,),(= 均是向量函数.这些函 数主要用于二型曲线积分. 注意: dx ，dy 可正可负，当x 到dx x +的方向与PQ 在x 轴上的投影向量同向时0>dx ，反向时0 ② 质点M 在变力()),,(),,,(),,,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F = 的作 用沿空间有向曲线:L ?? ?==0 ),,(0),,(z y x G z y x F (起点为()111,,z y x P ，终点为 ()222,,z y x Q )从点()111,,z y x P 运动到点()222,,z y x Q 变力所作的功dz z y x R dy z y x Q dx z y x P s d z y x F L L ?+?+=?? ? ),,(),,(),,(),,( .函数 ()),,(),,,(),,,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F = 和() dz dy dx z y x s d ,,),,(= 均是向量函数. 注意: dx ，dy ,dz 可正可负，当x 到dx x +的方向与PQ 在x 轴上的投影向量同向时0>dx ，反向时0 (3)变速流动的流体)),,(),,,(),,,((),,(z y x R z y x Q z y x P z y x v = 在单位时间内流过有向曲面S :),(y x z z =(S 为双侧曲面，即封闭曲面的外侧 和内侧，非封闭曲面的上侧和下侧)的流量 dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P S d z y x v S S ?+?+=???),,(),,(),,(),,( . 函数 )) ,,(),,,(),,,((),,(z y x R z y x Q z y x P z y x v = 和 ),,(dxdy dzdx dydz S d = 均是向量函数.这些函数主要用于二型曲面积分. 注意: dxdy ，dydz ,dzdx 可正可负，当有向曲面S 的积分侧向量与z 轴的正向成锐角时,有0>dxdy , 当S 的积分侧向量与z 轴的正向成钝角 时, 有0 二、解证题方法 例1 求曲面1222=++z y x （0>z ）在点()000,,z y x 处的法向量. 解法 1 令1),,(222-++=z y x z y x F （0>z ）,则曲面 12 22=++z y x （0>z ）在点()000,,z y x 处的法向量为 ()()(){}{}000000000000 2,2,2,,,,,,,,z y x z y x F z y x F z y x F z y x =或 ()()(){}{}0000000000002,2,2,,,,,,,,z y x z y x F z y x F z y x F z y x ---=-. 说明 将1),,(222-++=z y x z y x F 看作函数,而不能看作方程. 解法2 曲面方程1222=++z y x （0>z ）确定函数()y x z z ,=.对方程12 2 2 =++z y x 两端分别对y x ,求导, 有? ??=?++=?++02200 202y x z z y z z x , 则曲 面1222=++z y x （0≥z ）在点()000,,z y x 处的法向量为 ()(){}??????---=-1,,1,,,,,,00 000 00000z y z x z y x z z y x z y x 或 ()(){}? ?????=--1,,1,,,,,,00 00 000000 z y z x z y x z z y x z y x . 说明 ①向量??????---1,,0 000z y z x 是双侧曲面下侧的法向量, 向量 ? ?? ???1,, 0000z y z x 双侧曲面上侧的法向量.②向量 ()()(){}000000000 ,,,,,,,,z y x F z y x F z y x F z y x 是双侧曲面下侧的法向量 (()0,,000 §1.3函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性 一、 知识结构 1、 有界函数 设f 为定义在D 上的函数，若存在数M （L ），使得对每一个D x ∈有()M x f ≤（()L x f ≥） ，则称f 在D 上有上（下）界。 设f 为定义在D 上的函数，若存在数M ，使得对每一个D x ∈有()M x f ≤，则称f 在D 上有界。 2、 函数的单调性 设f 为定义在D 上的函数，若对21x x >?，D x x ∈21,，有()()21x f x f ≥(()()21x f x f >)，则称f 是D 上的单调增函数(严格单调增 函数)。 设f 为定义在D 上的函数，若对21x x >?，D x x ∈21,，有()()21x f x f ≤(()()21x f x f <)，则称f 是D 上的单调减函数(严格单调减 函数)。 3、 函数的奇偶性 设f 为定义在[]L L ,-(0>L )上的函数，若对[]L L x ,-∈?,有 )()(x f x f =-，则称f 为定义在[]L L ,-(0>L )上的偶函数。 设f 为定义在[]L L ,-(0>L )上的函数，若对[]L L x ,-∈?,有 )()(x f x f -=-，则称f 为定义在[]L L ,-(0>L )上的奇函数。 4、函数的周期性 设f 为定义在数集D 上的函数，若存在0>σ，使得对D x ∈?，有()()x f x f =±σ，其中D x ∈±σ，则称f 为定义在数集D 上的周期函数， σ称为f 的一个周期。若在周期函数f 的所有周期中有一个最小的周期， 则称此最小的周期为函数f 的基本周期，简称为周期。 二、解证题方法 例1 验证函数 3 25)(2 += x x x f 在R 内有界. 解 由,62322 )3()2(322 2 2 x x x x =?≥+=+ 所以，当 0≠x 时, 有 36 256253 253 25 )( 2 2 ≤= ≤ += +=x x x x x x x f ， 30 )0( ≤=f , 进而，对,R ∈?x 总有 ,3 )( ≤x f 即)(x f 在R 内有 界. 解法二 令 3 252 ?+=x x y 关于x 的二次方程 0 3522 =+-y x yx 有实数根. 22245 y -=?∴.2 424 25 02 ≤?≤≤ ?≥y y 解法三 令 ?? ? ??-∈= 2,2 ,tan 23 ππt t x 对应). , (∞+∞-∈x 于是 t t t t t t t x x x f 2 2 2 2 sec 1 cos sin 651 tan tan 233 53 tan 23 2tan 2 353 25)(= += +??? ? ? ?=+= 6 252s i n 6 25 )( 2s i n 6 25 ≤ =?= t x f t ，进而，对,R ∈?x 总有 6 25 )( ≤ x f ，即)(x f 在R 内有. 例2 证明函数x x x f sin )(+=不是周期函数。 证明 如果函数x x x f sin )(+=不是周期函数，则存在正数0>T ，使得对R x ∈?，有)()(x f T x f =+，即x x T x T x sin )sin(+=+++。所 以x T x T sin )sin(=++，取0=x ，则0s i n =+T T ，进而0=T 与0 >T 矛盾，所以函数x x x f sin )(+=不是周期函数。 例 3 证明定义在对称区间()l l ,-内的任何一个函数)(x f 都可表示成一个奇函数与一个偶函数的和。 证明 令[])()(2 1)(x f x f x F -+= ，[])()(2 1)(x f x f x G --= ，则 )()()(x G x F x f +=，因为[])()()(2 1)(x F x f x f x F =+-=-，即)(x F 为 偶函数，[])()()(2 1)(x G x f x f x G -=--=-，即)(x G 为奇函数，所以结 论成立。 例4设()f x 在(),-∞+∞上可导，则（D ） A 、当()f x '为单调函数时，()f x 一定为单调函数； B 、当()f x 为单调函数时，()f x '一定为单调函数； C 、当()f x '为偶函数时，()f x 一定为奇函数； D 、当()f x 为奇函数时，()f x '一定为偶函数. 解 当()f x 为奇函数时，则)()(x f x f -=-。方程)()(x f x f -=-两边对x 求导得 )()(x f x f '-=-'-，即)()(x f x f '=-'，所以()f x '一定为偶函数. (A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解..14159.3==*πx ,1103142.0?=a 时,1=m ,3102 1...00041.0)(-*?≤ =-=a x a E m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当1103141.0?=a 时,1=m , 2102 1005.0...00059.0)(-*?=≤=-=a x a E ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差，在计算表达式19992001-时，应该改为 199920012+计算，是属于（）来避免误差。（避免误差危害原则） A.避免两相近数相减； B.化简步骤，减少运算次数； C.避免绝对值很小的数做除数； D.防止大数吃小数 解：由于2001和1999相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则） A.计算123460.60.612345++- B.计算 25612520000450?- C.计算10.99994- D.计算11x x +- 解:A 会有大数吃掉小数的情况C 中两个相近的数相减，D 中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解：51021)(-?= a E 即m-n= -5,2103400.0-?=a ，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设*x 的近似数为40.32710a =?，如果a 具有3位有效数字，则a 的相对误差限为 ()（有效数字与相对误差的关系） A ． 35103-g B. 33105-g C. 53105-g D. 5103 g -2 解：因为40.32710a =?所以31=a ,因为a 有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a 的相对误差限为 31103510.5--?== n r a δ 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 《数学分析》10第三章-函数极限 第三章 函数极限 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两 部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。 通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极 限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势。 我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即 :() n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =. 研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时， 函数()f n 变化趋势。 此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变 量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞。但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？ 为此，考虑下列函数: 1,0;()0,0.x f x x ≠?=?=? 类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋 势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势, L 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得 多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。 下面，我们就依次讨论这些极限。 §1 函数极限的概念 一、x →+∞时函数的极限 １． 引言 设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研 究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。 例如 1(),f x x x =无限增大时，()f x 无限地接近于 ０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2 π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势。 The Real and Complex Number Systems Written by Men-Gen Tsai email:b89902089@https://www.wendangku.net/doc/0815390889.html,.tw 1. 2. 3. 4. 5. 6.Fix b>1. (a)If m,n,p,q are integers,n>0,q>0,and r=m/n=p/q,prove that (b m)1/n=(b p)1/q. Hence it makes sense to de?ne b r=(b m)1/n. (b)Prove that b r+s=b r b s if r and s are rational. (c)If x is real,de?ne B(x)to be the set of all numbers b t,where t is rational and t≤x.Prove that b r=sup B(r) where r is rational.Hence it makes sense to de?ne b x=sup B(x) for every real x. (d)Prove that b x+y=b x b y for all real x and y. 1 Proof:For(a):mq=np since m/n=p/q.Thus b mq=b np. By Theorem1.21we know that(b mq)1/(mn)=(b np)1/(mn),that is, (b m)1/n=(b p)1/q,that is,b r is well-de?ned. For(b):Let r=m/n and s=p/q where m,n,p,q are integers,and n>0,q>0.Hence(b r+s)nq=(b m/n+p/q)nq=(b(mq+np)/(nq))nq= b mq+np=b mq b np=(b m/n)nq(b p/q)nq=(b m/n b p/q)nq.By Theorem1.21 we know that((b r+s)nq)1/(nq)=((b m/n b p/q)nq)1/(nq),that is b r+s= b m/n b p/q=b r b s. For(c):Note that b r∈B(r).For all b t∈B(r)where t is rational and t≤r.Hence,b r=b t b r?t≥b t1r?t since b>1and r?t≥0.Hence b r is an upper bound of B(r).Hence b r=sup B(r). For(d):b x b y=sup B(x)sup B(y)≥b t x b t y=b t x+t y for all rational t x≤x and t y≤y.Note that t x+t y≤x+y and t x+t y is rational. Therefore,sup B(x)sup B(y)is a upper bound of B(x+y),that is, b x b y≥sup B(x+y)=b(x+y). Conversely,we claim that b x b r=b x+r if x∈R1and r∈Q.The following is my proof. b x+r=sup B(x+r)=sup{b s:s≤x+r,s∈Q} =sup{b s?r b r:s?r≤x,s?r∈Q} =b r sup{b s?r:s?r≤x,s?r∈Q} =b r sup B(x) =b r b x. And we also claim that b x+y≥b x if y≥0.The following is my proof: 2 云南大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 姓名、学号： 任课教师： 时间： 2009-12-26 摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的 重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基 础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用 的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知 识； 在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数： a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，…. 通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N (， ), n n f∈故也称之为整标函数。 b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f， 得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为) f y=。 (x (x f，即) 称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值) f的全体所组成的范围叫作 (x 函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一） 数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 >n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg 第一章复习题 一.填空 1、数集,...}2,1:)1({=-n n n 的上确界为 1 ，下确界为 -1 。 2、 =∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 3、)(lim 2 n n n n -+∞ → = _______ 1 2 ________。 4、设数列}{n a 递增且 a a n n =∞ →lim （有限）. 则有a = {}sup n a . 5. 设,2 12,21221 2n n n n n n x x +=-=- 则 =∞→n n x lim 1 二． 选择题 １、设)(x f 为实数集R 上单调增函数，)(x g 为R 上单调减函数，则函数 ))((x g f 在R 上( B )。 Ａ、是单调递增函数; Ｂ、是单调递减函数; Ｃ、既非单调增函数，也非单调减函数 ; Ｄ、其单调性无法确定. 2、在数列极限的“δε-”极限定义中,ε与δ的关系是（ B ） A 、 先给定ε后唯一确定δ; B 、 先给定ε后确定δ,但δ的值不唯一; C 、 先给定δ后确定ε; D 、 δ与ε无关. 3、设数列{}(0,1,2,...)n n a a n ≠=收敛,则下列数列收敛的是（ D ） A 、}1 { 2n a ； B 、}1{a n ； C 、 }1{a n ； D 、}{n a . 4. 若数列}{n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ B ） (A) 必不存在； (B) 至多只有有限多个； (C) 必定有无穷多个； (D) 可能有有限多个，也可能有无穷多个. 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ D ） (A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞ →lim ； (C) a x n n -=∞ →lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。 6. 设}{n x 是无界数列，则 （ D ） (A) ∞=∞ →n n x lim ； (B) +∞=∞ →n n x lim ； 设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1 第一章 实数集与函数 §1 实数 Ⅰ.教学目的与要求 1．理解实数的概念,掌握实数的表示方法 2.了解实数的性质, 并在有关命题中正确地加以应用 3.理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并在有关命题中正确地加以应用. Ⅱ.教学重点与难点 重点: 实数的定义及性质、绝对值与不等式. 难点: 实数的定义及其应用. Ⅲ.讲授内容 一 实数及其性质 实数的组成:实数由有理数与无理数两部分组成． 有理数的表示:有理数可用分数形式q p (p ?q 为整数，q ≠0)表示，也可用有限十进 小数或无限十进循环小数来表示. 无理数:无限十进不循环小数则称为无理数．有理数和无理数统称为实数． 有限小数(包括整数)也表示为无限小数．规定如下：对于正有限小数（包括整数）x,当x=a 0.a 1a 2n a 时，其中0,9≤≤i a i=1,2, n, ｎa ,0≠０a 为非负整数，记x=a 0.a 1a 2-n a ( 1)?.999 9, 而当x=a 1为正整数时，则记x=(a 0—1)．999 9…， 例如2．001记为2．000 999 9…；对于负有限小数(包括负整数)y ，则先将—y 表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如—8记为—7．999 9…；又规定数0表示为0．000 0…．于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示． 我们已经熟知比较两个有理数大小的方法．现定义两个实数的大小关系． 定义1 给定两个非负实数 x= 0a .a a 1n a , y=,.210 n b b b b 其中00,b a 为非负整数，k k b a ,(k=1，2，…)为整数，0≤a k ≤9，0≤b k ≤9.若有==k b a k k ,0，1，2，, 则称x 与y 相等，记为x=y ；若00b a >或存在非负整数L ，使得 a k =b k (k=0，1，2，…，L)而11++>l l b a ，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x>y 或y 第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。 XX大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 、学号： 任课教师： 时间：2009-12-26摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的 重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数： a 、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x 1，x 2，x 3，…，x n ，…. 通常记作{x n }，也可将其看作定义在自然数集N 上的函数x n =N n n f ∈),(， 故也称之为整标函数。 b 、函数的定义：如果对某个围X 的每一个实数x ，可以按照确定的规律f ，得到Y 唯 一一个实数y 和这个x 对应，我们就称f 是X 上的函数，它在x 的数值（称为函数值）是y ，记为)(x f ，即)(x f y =。 称x 是自变量，y 是因变量，又称X 是函数的定义域，当x 遍取X 的所有实数 时，在f 的作用下有意义，并且相应的函数值)(x f 的全体所组成的围叫作函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一）数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 > n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg 第三节 函数的极限（一） 教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念； （2）理解无穷小概念，掌握其性质 教学重点：函数极限的概念，无穷小概念 教学难点：函数极限的概念的理解与应用 教学方法：讲授法 教学时数：2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ． 例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近 ． 复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ． 令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 ． 定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =， 或()A x f →，（x →+∞） ． 几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 ． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ． 定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ = 第三章 函数极限 教学目的： 1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限 和 ，并能熟练运用； 4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点： 本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。 教学时数：14学时 § 1 函数极限概念 （2学时） 教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。 教学要求：使学生逐步建立起函数极限的δε-定义的清晰概念。会应用函数极限的δε-定义证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：函数极限的概念。 教学难点：函数极限的δε-定义及其应用。 一、 复习：数列极限的概念、性质等 二、 讲授新课： （一） 时函数的极限： 以时和为例引入. 的直观意义. 介绍符号: 的意义, 定义 ( 和 . ) 几何意义介绍邻域 其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义． 例1 验证 例2 验证 例3 验证 证…… 时函数的极限： （二） 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4 验证 例5验证 例6 验证 证由= 为使需有 为使需有 于是, 倘限制 , 就有 例7 验证 例8 验证 ( 类似有 （三）单侧极限: 1．定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域 然后介绍等的几何意义. 例9 验证 证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系: Th 类似有: 例10 证明: 极限不存在. 例11 设函数 在点的某邻域内单调. 若存在, 则有 = §2 函数极限的性质（2学时） 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 第一章实数集与函数 §1实数 授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点： (1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序： 引言 上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． [问题]为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一、实数及其性质 1、实数 (,q p q p ?≠??????有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示. {}|R x x =为实数--全体实数的集合． [问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 01(1)9999n n a a --0,a =则记表示为无限小数，现在所得的小数之前加负例： 2.001 2.0009999→； 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？ 2、两实数大小的比较 1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =，01.n y b b b =. 其中 3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-； ； 考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限 极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。 引言 在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法. 一、函数极限概念 定义1[]1 设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在 正数M （a ≥），使得当M x >时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →+∞ = 或()().f x A x →→+∞ 定义2[]1 （函数极限的ε-δ定义）设函数f 在点 0x 的某个空心邻域0 U （0x ；'δ）内有定义，A 为定数。若对任给的ε>0，存在正数δ（<'δ），使得当0<0x x δ-<时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →∞ =或0()()f x A x x →→. 定理1[]1 设函数f 在0'0(,)U x δ+（或00(;')U x δ-）内有定义，A 为实数。若 对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有 ()f x A ε-<， 则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作 设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。 ，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．， ； ，．，；， 设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，； ，． ，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=． ，； ，．， ；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，； ， ．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，； ，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<= 数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。 第一章复习题 一.填空 1、数集,...}2,1:)1({=-n n n 的上确界为 ，下确界为 。 2、 =∈-=E R x x x E sup ,|][{则 , =E inf ; 3、)(lim 2n n n n -+∞ → = _______________。 4、设数列}{n a 递增且 a a n n =∞ →lim （有限）. 则有a = . 5. 设,2 12,212212n n n n n n x x +=-=- 则 =∞→n n x lim 二． 选择题 １、设)(x f 为实数集R 上单调增函数，)(x g 为R 上单调减函数，则函数 ))((x g f 在R 上( )。 Ａ、是单调递增函数; Ｂ、是单调递减函数; Ｃ、既非单调增函数，也非单调减函数 ; Ｄ、其单调性无法确定. 2、在数列极限的“δε-”极限定义中,ε与δ的关系是（ ） A 、 先给定ε后唯一确定δ; B 、 先给定ε后确定δ,但δ的值不唯一; C 、 先给定δ后确定ε; D 、 δ与ε无关. 3、设数列{}(0,1,2,...)n n a a n ≠=收敛,则下列数列收敛的是（ ） A 、}1{2n a ； B 、}1{a n ； C 、 }1{a n ； D 、}{n a . 4. 若数列}{n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ ） (A) 必不存在； (B) 至多只有有限多个； (C) 必定有无穷多个； (D) 可能有有限多个，也可能有无穷多个. 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ ） (A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞ →lim ； (C) a x n n -=∞ →lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。 6. 设}{n x 是无界数列，则 （ ） (A) ∞=∞→n n x lim ； (B) +∞=∞ →n n x lim ； 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2．数值分析第1章习题
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