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立体图形中的最短距离

立体图形中的最短距离
立体图形中的最短距离

立体图形中的最短距离

1、(2008山东青岛)如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF 长为10cm .母线()OE OF 长为10cm .在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣,且2FA =cm ,一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点.则此蚂蚁爬行的最短距离为412 cm .

2、(2011广安)如图,圆柱的底面周长为6cm ,AC 是底面圆的直径,高BC=6cm ,点P 是母线BC 上一点,且PC=

23BC .一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是( B )

A 、6

(4)π+㎝

B 、5cm

C 、

D 、7cm

3、(预测)如图,圆锥的底面半径为r ,母线长为3r ,底面圆周上有一蚂蚁位于点A ,它从A 点出发沿圆锥表面爬行一周后又回到原出发点,则蚂蚁爬行的最短路径长为r 33。

4、(2011四川凉山)如图,圆柱底面半径为2cm ,高为9cm π,点A B 、分别是圆柱两底面圆周上的点,且A 、B 在同一母线上,用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ,求棉线最短为15πcm 。

A F E O 第14题图 A B A

5、长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?

立体图形中的距离最短问题

立体图形中的距离最短问题 根据新课程标准,培养学生的空间观念主要表现在:“能由实物的形状想像出几何图形,由几何图形想像出实物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化;能根据条件做出立体模型或画出图形;……”。空间图形的建立需要有一个循序渐进的过程,从小学到初中,再到高中,渐渐加强,作为一个初、高中的知识衔接模块,让学生在初中阶段能理解空间图形,特别是空间图形的展开图,夯实基础,显得尤为重要。 立体图形上点点之间的距离最短问题,通过把立体图形转化为平面图形,然后再运用“两点之间,线段最短”来解决。解决这一类距离最短的问题,可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换,把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决。 一、通过平移来转化 1.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少? 析:展开图如图所示,AB= 52 + 122= 13cm 二、通过旋转来转化 2.有一圆柱形油罐,已知油罐周长是12m,高AB是5m,要从点A处开始绕油罐一周建造梯子,正好到达A点的正上方B处,问梯子最短有多长? 析:展开图如图所示,AB= 52 + 122= 13cm 3.有一圆柱体如图,高4cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离。

AB = 4, BC 为底面周长的一半 即BC = 5π AC = AB 2 + BC 2 = 42 + (5π)2 = 16 + 25π2 4.葛藤是一种刁钻的植物,它的腰杆不硬,为了争夺雨露阳光,常常绕着树干盘旋而上,它还有一手绝招,就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的,难道植物也懂数学? 通过阅读以上信息,解决下列问题: (1)如果树干的周长(即图中圆柱体的底面周长)为30cm ,绕一圈升高(即圆柱的高)40cm ,则它爬行一圈的路程是多少? (2)如果树干的周长为80cm ,绕一圈爬行100cm ,它爬行10圈到达树顶,则树干高多少? (1)如图,⊙O 的周长为30cm ,即AC=30cm , 高是40cm ,则BC=40cm ,由勾股定理得AB =50cm . 故爬行一圈的路程是50cm ; (2)⊙O 的周长为80cm ,即AC=80cm , 绕一圈爬行100cm ,则AB = 100cm ,高BC = 60cm .∴树干高=60×10=600cm=6m . 故树干高6m 5.已知O 为圆锥顶点,OA 、OB 为圆锥的母线,C 为OB 中点,一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A ,另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ,它们所爬行的最短路线的 痕迹如右图所示.若沿OA 剪开,则得到的圆锥侧面展开图为 ( ) 要求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆锥的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ,它们所爬行的最短路线. A . B . C . D .

08立体图形上的最短路径问题

第8讲立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题: 1.基本思路:立体图形平面化,即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法: (1)通过平移来转化 例如:求A、B两点的最短距离,可通过平移,将楼梯“拉直”即可 (2)通过旋转来转化 例如:求 两点的最短距离,可将长方体表面展开,利用勾股定理即可求

例如:求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离可将圆锥侧面展开,根据“两点之间,线段最短”即可得解 (3)通过轴对称来转化 例如:求圆柱形杯子外侧点 到内侧点 的最短距离,可将杯子(圆柱)侧面展开,作点 关于杯口的对称点 ,根据“两点之间,线段最短”可知 即为最短距离

3.储备知识点:(1)两点之间,线段最短(2)勾股定理 4.解题关键:准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一通过平移来转化 【例题1】如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想要到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少? 【答案】13cm 【解析】 试题分析:

只需将其展开便可直观得出解题思路,将台阶展开得到的是一个矩形,蚂蚁要从 点到 点的最短距离,便是矩形的对角线,利用勾股定理即可解出答案. 试题解析: 解:展开图如图所示, 所以,蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二通过旋转来转化 【例题2】如下图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C’处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是多少? 【答案】

中考专题1——立体图形中的最短路径问题

中考复习专题1——立体几何中的最短路径问题姓名: (蚂蚁沿阶梯、正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题) 1、台阶问题如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B 是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想, 这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少? 2、圆柱问题有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m,一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B 处吃食物,它爬行的最短路线长为多少? 变式1:有一圆柱形油罐,已知油罐底面圆周长是12m,高AB是5m,要从点A 处开始绕油罐一周建造梯子,正好到达A点的正上方B处,问梯子最短有多长? 变式2:桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖),高为12厘米,底面周长18厘米,在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖,一只小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时,突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。 3、正方体问题如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是(). (A)3 (B)5(C)2 (D)1 A B A B A ’ A B A B c A B A B C A B 5 3 1 A B 5 (3+1)×3=12 A B C A B C2 1

A B D C D 1C 1 ①42 1 AC 1=√42+32=√25;②A B B 1 C A 1C 1412AC 1=√62+12=√37;A 1A B 1 D 1 D 1C 1③42AC 1=√52+22=√29 . 4、长方体问题 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处 (三条棱长如图所示),问怎样走路线最短?最短路线长为多少? 分析:展开图如图所示,372925<< 路线①即为所求。 小结:长、宽、高中,较短的两条边的和作为一条直角边,最长的边作为另一条直角边, 斜边长即为最短路线长。 5、圆锥问题 如图,已知O 为圆锥的顶点,MN 为圆锥底面的直径,一只蜗牛从M 点出发,绕圆锥侧面 爬行到N 点时,所爬过的最短路线的痕迹(虚线)在侧面展开图中的位置是( ). 练习: 1、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带(金丝带的宽度忽略不计), 圆柱体高为6cm ,底面圆周长为16cm ,则所缠金丝带长度的最小值为 。 2、如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物,知圆柱 体的高为5 cm ,底面圆的周长为24cm ,则蚂蚁爬行的最短路径为 。 3、如图是一个棱长为4的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处, 则它爬行的最短路径是 。 4、如图是一个长方体木块,已知AB=3,BC=4,CD=2,假设一只蚂蚁在点A 处,它要沿着木块 侧面爬到点D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是 5、如图,地面上有一个长方体,一只蜘蛛在这个长方体的顶点 A 处,一滴水珠在这个长方形的顶点C ′处,已知长方体的长 为6m ,宽为5m ,高为3m ,蜘蛛要沿着长方体的表面从A 处爬 到C ′处,则蜘蛛爬行的最短距离为( ) A.130 B.8 C.10 D.10米 1A B A 1B 1D C D 1 C 124 第1题 A B A B 第2题 第5题 A B C D 第4题 A B 第3题 A C B D

08 立体图形上的最短路径问题

第8讲 立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题: 1.基本思路:立体图形平面化,即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法: (1)通过平移来转化 例如:求A 、B 两点的最短距离,可通过平移,将楼梯“拉直”即可 (2)通过旋转来转化 例如:求'A C 、两点的最短距离,可将长方体表面展开,利用勾股定理即可求 例如:求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开,根据“两点之间,线段最短”即可得解

(3)通过轴对称来转化 例如:求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离,可将杯子(圆柱)侧面展开,作点A关于杯口的对称点'A,根据“两点之间,线段最短”可知'A B即为最短距离 3.储备知识点:(1)两点之间,线段最短(2)勾股定理 4.解题关键:准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一通过平移来转化 【例题1】如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想要到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?

【答案】13cm 【解析】 试题分析: 只需将其展开便可直观得出解题思路,将台阶展开得到的是一个矩形,蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离,便是矩形的对角线,利用勾股定理即可解出答案. 试题解析: 解:展开图如图所示,13AB cm == 所以,蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二 通过旋转来转化 【例题2】如下图,正四棱柱的底面边长为5cm ,侧棱长为8cm ,一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是多少? 【答案】cm 412 【解析】 试题分析: 解这类题应将立体图形展开,转化为平面图形,把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离,利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析: 解:如图1,设蚂蚁爬行的路径是AEC’(在面ADD’A’上爬行是一样的).将四棱柱剪开铺平 使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连,连接AC’,使E 点在AC’上(如图2) )(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412

08-立体图形上的最短路径问题

08-立体图形上的最短路径问题

第8讲立体图形上的最短路径问题一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题: 1.基本思路:立体图形平面化,即化“曲”为 “直” 2.“平面化”的基本方法: (1)通过平移来转化 例如:求A、B两点的最短距离,可通过平移,将楼梯“拉直”即可 (2)通过旋转来转化 例如:求' A C 、两点的最短距离,可将长方体表面展开,利用勾股定理即可求

例如:求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离 可将圆锥侧面展开,根据“两点之间,线段最短”即可得解 (3)通过轴对称来转化 例如:求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A 的最短距离,可将杯子(圆柱)侧面展 开,作点A关于杯口的对称点'A,根据“两 点之间,线段最短”可知'A B即为最短距

离 3.储备知识点:(1)两点之间,线段最短 (2)勾股定理 4.解题关键:准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一通过平移来转化 【例题1】如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想要到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?

【答案】13cm 【解析】 试题分析: 只需将其展开便可直观得出解题思路,将台阶展开得到的是一个矩形,蚂蚁要从B点到A点的最短距离,便是矩形的对角线,利用勾股定理即可解出答案. 试题解析: 解:展开图如图所示,22 =+= AB cm 51213 所以,蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二通过旋转来转化

立体图形上的最短路径问题

第8讲 立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题: 1.基本思路:立体图形平面化,即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法: (1)通过平移来转化 例如:求A 、B 两点的最短距离,可通过平移,将楼梯“拉直”即可 (2)通过旋转来转化 例如:求'A C 、两点的最短距离,可将长方体表面展开,利用勾股定理即可求 例如:求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开,根据“两点之间,线段最短”即可得解 (3)通过轴对称来转化 例如:求圆柱形杯子外侧点B 到内侧点A 的最短距离,可将杯子(圆柱)侧面展开,作点A 关于杯口的对称点'A ,根据“两点之间,线段最短”可知'A B 即为最短距离 3.储备知识点:(1)两点之间,线段最短 (2)勾股定理 4.解题关键:准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一 通过平移来转化 【例题1】如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ,3cm 和1cm ,A 和B 是这个台阶的两个相对的端点,A 点上有一只蚂蚁,想要到B 点去吃可口的食物,请你想一想,这只蚂蚁从A 点出发,沿着台阶面爬到B 点,最短线路是多少 【答案】13cm

试题分析: 只需将其展开便可直观得出解题思路,将台阶展开得到的是一个矩形,蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离,便是矩形的对角线,利用勾股定理即可解出答案. 试题解析: 解:展开图如图所示,13AB cm == 所以,蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二 通过旋转来转化 【例题2】如下图,正四棱柱的底面边长为5cm ,侧棱长为8cm ,一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是多少 【答案】cm 412 【解析】 试题分析: 解这类题应将立体图形展开,转化为平面图形,把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离,利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析: 解:如图1,设蚂蚁爬行的路径是AEC’(在面ADD’A’上爬行是一样的).将四棱柱剪开 铺平使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连,连接AC’,使E 点在AC’上(如图2) )(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412 【难度】一般 【例题3】如下图所示,圆柱形玻璃容器高18cm ,底面周长为60cm ,在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇,试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度. 【答案】34cm 【解析】 试题分析: 展开后连接SF ,求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径,过点S 作SE CD ⊥于E ,求出SE 、EF ,根据勾股定理求出SF 即可.

数学人教版八年级下册立体图形中的最短路径问题

立体图形中最短路径问题教案 第三实验中学刘春艳 1.教学目标 知识与技能目标 (1)学会观察图形,勇于探索图形间的关系,培养学生的空间观念. 过程与方法目标 (1)经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力. (2)在将实际问题抽象成几何图形过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与态度目标 (1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. (2)在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性. 2.教学重点 探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理,并用它们解决生活实际问题. 3.教学难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理,解决实际问题. 4.教学方法: 引导—探究—归纳 本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识教强,思维活跃,为了实现本节课的教学目标,我力求以下三个方面对学生进行引导: (1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程; (2)从学生活动出发,顺势教学过程; (3)利用探索研究手段,通过思维深入,领悟教学过程. 5、教学过程设计 本节课设计了七个环节.第一环节:情境引入;第二环节:合作探究;第三环节:归纳;第四环节:练习;第五环节:小结;第六环节:课后作业;第七环节:板书. 第一环节:情境引入 内容: 情景1:多媒体展示: 提出问题:为什么人们都喜欢走捷径? 意图:通过情景1复习公理:两点之间线段最短并对学生进 行德育渗透; 第二环节:合作探究情景2:在一个圆柱石凳上,若小明在吃东

西时留下了一点食物在B 处,恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A 处爬向B 处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近? 意图:通过学生的合作探究,找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法,将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解.在活动中体验数学建摸,培养学生与人合作交流的能力,增强学生探究能力,操作能力,分析能力,发展空间观念. 在这个环节中,可引导学生从以下几方面解决 ⑴ 如何找最短路线?在哪个图形中找 ⑵ 哪儿是蚂蚁爬行的起点? 哪是终点? ⑶ 你们画的一样吗?还有不同的画法吗? ⑷ 如何计算? 接下来后提问:怎样计算AB ?得出结论:利用展开图中两点之间,线段最短解决问题. 在Rt △AA′B 中,利用勾股定理可得222'B A A A AB +'=,若已知圆柱体高为12cm ,底面半径为3cm ,π取3,则22212(33),15AB AB =+?∴=. 第三环节:总结归纳 1、 展 ------(立体 平面) 2、找 --------起点, 终点 3、连--------路线 4、 算--------利用勾股定理 5、答 第四环节:练习 练习一:有一圆柱形油罐,底面周长是12米,高是5米,现从油罐底部A 点环绕油罐建梯子,正好到点A 的正上方点B ,问梯子最短需多 少米? 练习二:有一圆形油罐底面圆的周长为16m ,高为7m ,一只蚂蚁 从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物,它爬行的最短路线长为 多少? 练习三:如图,一圆柱高9cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从距上底面1厘米点A 爬到对角B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定

勾股定理应用之立体图形最短距离 (2)

勾股定理应用之立体图形中的最短距离的教学 设计 一、教学目标 (一)知识目标 1.理解回顾直角三角形中三角之间的关系,掌握新知即三边之间关系。 2.会画立体图形展开图 (二)能力目标 1.能用“两点之间线段最短”解决实际问题。 2.通过勾股定理的简单应用,能用数学的眼光观察现实世界和有条理思考与表达的能力。 ﹙三﹚情感与价值观 培养学生参与的积极性,及合作交流的意识。学生通过适当训练,养成数学说理的习惯,逐步体验数学说理的重要性。 在探索勾股定理的过程中,体验获得成功的快乐,锻炼学生克服困难的勇气。引导学生积极探索,注意观察生活,体验生活中的数学。 通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就,激发热爱祖国,热爱祖国悠久文化的思想感情。 二、重点难点剖析 (一)重点 1.勾股定理的简单应用 2.在立体图形中寻找最短距离 (二)难点 1.在立体图形中寻找最短距离 2.理解化曲为直、化曲为平的数学思想 (三)难点突破 为了突出重点,突破难点,在应用勾股定理的过程中,按简单到繁琐、由特殊到一般的思想,引导学生步步深入。在教学中,给学生提供充分实践、探索和交流的时间,鼓励他们积极思考解决问题的办法,并与他人进行合作与交流。另外对练习的精选,也选择学生易错的题型,让他们养成仔细分析问题的习惯。三、教学策略及教法设计 (一)教学策略 课堂组织策略:创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境,开展有效的数学活动,组织学生主动参与、勤于动手、积极思考,使他们在自主探究与合作交流的过程中,熟练运用勾股定理。 学生学习策略:明确学习目标,了解所需掌握的知识,在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动,从而真正有效地理解和掌握勾股定理。 辅助策略:借助多媒体课件,使学生直观形象地观察、动手操作。 (二)教法设计 探索法:让学生在探索中寻找最短距离,积累数学活动经验。

立体图形上最短距离问题

立体图形上最短距离问题

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B C A 立体图形上最短距离问题 金水初中 刘彬 在北师大版数学的七年级和八年级的教材中都涉及到了物体在几何体表面爬行时的最短距离问题,这对于一些刚刚接触几何体的同学是个很难理解的问题。实际在数学上就是在几何体表面点到点的最短距离的问题。结合教学实际,我总结了教材和练习中最常见的几种最短距离问题,主要涉及到了正方体、长方体和圆柱,以及它们几种简单的变形,特总结如下,希望能对这方面的问题,帮助解决学生的困惑,能使学生掌握这方面的知识。 同一个面最短距离最简单,主要是连线,借助勾股定理来解决,在下面的介绍简单介绍,重点说不在同一个面的问题。这几个几何体中正方体最简单,下面先从正方体开始说起。 一、 正方体和长方体中最短距离 例1、 如图,一只蚂蚁在正方体表面爬行 (1)、当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬到顶点B,怎样爬距离最短? 分析:由于顶点A和顶点B 在同一个平面上,所以连接,利用勾股定理直接求解即可。 (2)如图,如果蚂蚁要从边长为1 cm 的正 方体顶点A爬到顶点C,那么爬行的最段距离是多少? 分析:由于顶点A 和顶点C 不在同一个平面上,所以要求最短距离需要将正方体展开,在展开的表面上利用勾股定理求出最短距离。 解:将正方体展开,下面是其四连面的一部分,这是A与C的位置如图所示,

C A 这时AC 的长度就是长方形的对角线的长度。所以 AC 的长度 等于22 21+=5 所以在正方体中求最短距离相对来说还是比较简单的。 (3)如果将正方体换成边长AD=2CM,宽DF=3cm,高AB=1cm 的长方体,蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬到顶点E 的位置,请你说明这只蚂蚁沿怎样的路线爬行距离最短?为什么? 分析:由于 长方体每边的长短不一样,所以在展开图中就有三种不同的形式,三种情况下结果就会不一样 解:方案一:将面AB CD 沿DC 展 开和面C DEF 在同一个平面中,如图,这时BE 的长度为2+3=5,EF 的长度为1,所以AE= 22 51+= 26 方案二:将面AD CF 沿DF 展开和面CDEF 在同一个平面,如图,这 时AC=2+1=3,EF=3 所以AE =2233+= 18 H E F G C B A D E F C B D A C E D F A G

立体图形线路最短问题(最全)

立体图形最短距离问题 1.在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在C 处,恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从圆柱侧面从A 处爬向B 处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近? 2.在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在C 处,恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从圆柱侧面从A 处爬向C 处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近? 3.有一圆形油罐底面圆的周长为16m,高为7m,一只蚂蚁从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物,它爬行的最短路线长为多少? 4.圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面圆的周长为18cm,在杯子内壁离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯子外壁,距离杯子上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少? C A A B B A B A C A C A

5.如图,在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁,现要向顶点B 处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒,且速度保持不变,问蚂蚁能否在20秒内从A 爬到B? 6.已知长方体的长为AC=2cm,宽BC=1cm,高AA′=4.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点,那么沿哪条路最近?最短路程是多少? 7..如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm,A 和B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物,则蚂蚁沿 着台阶面爬到B 点最短路程是多少? 8.有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸,假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深为AE=40cm,在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵,G 在水面线EF 上,且EG=60cm;一小虫想从鱼缸外的A 点沿壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵. (1)小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢?请你在图中画出它爬行的路线,并用箭头标注. (2)求小动物爬行的最短路线长? A B

《勾股定理的应用——立体图形中最短路程问题》教案

教学过程分析 第一环节:情境引入 创设情景:如图一圆柱体底面周长为32cm,高AB为12cm,BC是 上底面的直径。一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的表面 爬行到C点,试求出蚂蚁爬行的最短路线长。 意图: - 创设引入新课,从学生熟悉的生活场景引入,提出问题,学生探究热情高涨,激发学生探究热情. 第二环节:合作探究 内容: 引导学生分析题意,明确已知信息,明确题目问题,引导学生合作探究蚂蚁爬行的最短路线,充分讨论汇总方案,在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法, 四种方案: A A A (1)(2)(3)(4) 通过具体分析,得出最短路线,并计算出最短路线长。让学生发现:沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形,研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题,引导学生体会利用数学解决实际问题的方法.。 意图: 通过学生的合作探究,找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法,将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解.在活动中体验数学建摸,培养学生与人合作交流的能力,增强学生探究能力,分析能力,发展空间观念. 就此问题的解决进行思路小结:将立体图形问题转化为平面图形问题,构建直角三角形利用勾股定理解决此问题,渗透了建模思想。 练习:1.有一圆形油罐底面圆的周长为16m,高为7m,一只蚂蚁从距底面1m的A处

爬行到对角B 处吃食物,它爬行的最短路线长为多少 2. 如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ,A 和B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是多少 第三环节:拓展一:正方体 - 内容:如果圆柱换成如图的棱长为10cm 的正方体盒子,蚂蚁沿着表面从A 点爬行到B 点的最短路线长又是多少呢 1.如图,在棱长为10 cm 的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁,现要向顶点B 处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s ,且速度保持不变,问蚂蚁能否在20 s 内从A 爬到B # 渗透解题思路:即 1、展 -----(立体图形 转为 平面图形) 2、找-----起点A ,终点B 或B ′ 3、连-----最短路线AB 和AB ′ 4、算-----利用勾股定理 总结: 对于正方体展开任意两个面连接起点和终点线段即最短的路线大小相等。 练习:如上图,在棱长为5厘米的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁,现要向顶点B 处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒,且速度保持不变,问蚂蚁能否在10秒内从A 爬到B & 意图:再次渗透将立体图形转化为平面图形来解决问题的思路,构建直角三角形利用勾股定理解决此问题,让学生学会分析问题,发展空间观念. 第四环节:拓展二:长方体 B A

立体图形上最短距离问题

立体图形上最短距离问题 金水初中刘彬 在北师大版数学的七年级和八年级的教材中都涉及到了物体在 几何体表面爬行时的最短距离问题,这对于一些刚刚接触几何体的 同学是个很难理解的问题。实际在数学上就是在几何体表面点到点 的最短距离的问题。结合教学实际,我总结了教材和练习中最常见 的几种最短距离问题,主要涉及到了正方体、长方体和圆柱,以及 它们几种简单的变形,特总结如下,希望能对这方面的问题,帮助 解决学生的困惑,能使学生掌握这方面的知识。 同一个面最短距离最简单,主要是连线,借助勾股定理来解决,在下面的介绍简单介绍,重点说不在同一个面的问题。这几个几何 体中正方体最简单,下面先从正方体开始说起。 一、正方体和长方体中最短距离 例1、如图,一只蚂蚁在正方体表面爬行 (1)、当蚂蚁从正方体的一个顶点A Array爬到顶点B,怎样爬距离最短? 分析:由于顶点A和顶点B在同一个平 面上,所以连接,利用勾股定理直接求解 即可。 (2)如图,如果蚂蚁要从边长为1 cm的 正方体顶点A爬到顶点C 分析:由于顶点A和顶点C不在同一个平面上,所以要求最短距离 需要将正方体展开,在展开的表面上利用勾股定理求出最短距离。解:将正方体展开,下面是其四连面的一部分,这是A与C的位置 如图所示,

这时AC的长度就 是长方形的对角线的 长度。所以 AC的长 所以在正方体中求最短距离相对 来说还是比较简单的。 (3)如果将正方体换成边长AD=2CM,宽DF=3cm,高AB=1cm的长方体,蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬到顶点E的位置,请你说明这只蚂蚁沿怎样的路线爬行距离最短? 为什么? 分析:由于长方体每边的长短 不一样,所以在展开图中就有三 种不同的形式,三种情况下结果 就会不一样 解:方案一:将面ABCD沿DC展 开和面CDEF在同一个平面中,如图,这时BE的长度为2+3=5,EF的 长度为1,所以 AE= = 方案二:将面ADCF沿DF展开和 面CDEF在同一个平面,如图,这 时AC=2+1=3,EF=3 所以 AE= B A B A

勾股定理的应用——立体图形中最短路程问题

勾股定理的应用 ——立体图形中最短路径问题 一、 教学目标 知识目标:1、学生能够展开立体图形运用两点之间线段最短找到最短路径 2、学生能够运用勾股定理解决几何图形中最短路径问题 过程目标:经历探究勾股定理解决几何图形中最短路径问题,让学生体会数形结合思想与数 学建模思想,感受勾股定理的应用方法 情感目标:1、培养学生思维意识,体会勾股定理的应用价值 2、培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见 二、教学重难点 重点:勾股定理的灵活应用 《 难点:实际问题向数学问题的转化 二、 教学过程 (一) 情景导入 通过生活场景图片,让学生回忆以前学习的内容并引入本节课内容。 (二) 回顾旧知 1、勾股定理内容 Rt △ABC 中,a ,b 是直角边,c 是斜边,则 2、常见勾股数 3 , 4 ,__ 6 ,8 ,__ 5 ,12 , __ 7 ,24 ,__ (三) 探究新知 " 1、圆柱体中的最短路径问题 例1 如图 在一个底面周长为20cm,高AA′为4cm 的圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在B 处,恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A 处爬向B 处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近 ? (教师分析,引导学生思考) 变式一: 有一圆形油罐底面圆的周长为24 m ,高为6m ,一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物,它爬行的最短路线长为多少 B A A B

… 变式二 有一圆柱油罐底面圆的周长为24m ,高为7m ,一只老鼠从A 处爬行一圈到B 处吃食物,它爬行的最短路线长为多少 " (学生独立思考,快速完成) 2、正方体中的最短路径问题 例2. 如果圆柱换成如图的棱长为10cm 的正方体盒子,蚂蚁沿着表面从A 到G 需要爬行的最短路程又是多少呢 , (引导学生思考,类比圆柱体解决) 3、长方体中的最短路径问题 例3 在长3dm 、宽5dm 、高4dm 的木箱中,如果在箱内的A 处有一只昆虫,它要在箱壁上爬行到C1处,至少要爬多远 < (小组活动:学生根据手里的长方体盒子小组探究,如何展开获得的路径才是最短,小组代表展示成果,教师点评) A B F G A D H E C ] C A 3 < C

数学课件立体图形上的最短路径问题汇编

立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题: 1.基本思路:立体图形平面化,即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法: (1)通过平移来转化 例如:求A 、B 两点的最短距离,可通过平移,将楼梯“拉直”即可 (2)通过旋转来转化 例如:求'A C 、两点的最短距离,可将长方体表面展开,利用勾股定理即可求

例如:求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离 可将圆锥侧面展开,根据“两点之间,线段最短”即可得解 (3)通过轴对称来转化 例如:求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离,可将杯子(圆柱)侧面展开,作点A关于杯口的对称点'A,根据“两点之间,线段最短”可知'A B即为最短距离

3.储备知识点:(1)两点之间,线段最短 (2)勾股定理 4.解题关键:准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一 通过平移来转化 【例题1】如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ,3cm 和1cm ,A 和B 是这个台阶的两个相对的端点,A 点上有一只蚂蚁,想要到B 点去吃可口的食物,请你想一想,这只蚂蚁从A 点出发,沿着台阶面爬到B 点,最短线路是多少? 【答案】13cm 【解析】 试题分析: 只需将其展开便可直观得出解题思路,将台阶展开得到的是一个矩形,蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离,便是矩形的对角线,利用勾股定理即可解出答案. 试题解析: 解:展开图如图所示,13AB cm == 所以,蚂蚁爬行的最短路线是13cm

类型二 通过旋转来转化 【例题2】如下图,正四棱柱的底面边长为5cm ,侧棱长为8cm ,一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是多少? 【答案】cm 412 【解析】 试题分析: 解这类题应将立体图形展开,转化为平面图形,把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离,利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析: 解:如图1,设蚂蚁爬行的路径是AEC’(在面ADD’A’上爬行是一样的).将四棱柱剪开铺平 使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连,连接AC’,使E 点在AC’上(如图2) )(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412

勾股定理的应用——立体图形中最短路程问题

——立体图形中最短路径问题 一、教学目标 知识目标:1、学生能够展开立体图形运用两点之间线段最短找到最短路径 2、学生能够运用勾股定理解决几何图形中最短路径问题 过程目标:经历探究勾股定理解决几何图形中最短路径问题,让学生体会数形结合思想与数学建模思想,感受勾股定理的应用方法 情感目标:1、培养学生思维意识,体会勾股定理的应用价值 2、培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见 二、教学重难点 重点:勾股定理的灵活应用 难点:实际问题向数学问题的转化 二、教学过程 (一)情景导入 通过生活场景图片,让学生回忆以前学习的内容并引入本节课内容。 (二)回顾旧知 1、勾股定理内容 Rt△ABC中,a,b是直角边,c是斜边,则 2、常见勾股数 3,4 ,__ 6 ,8 ,__ 5 ,12 , __ 7 ,24 ,__ (三)探究新知 1、圆柱体中的最短路径问题 例1 如图在一个底面周长为20cm,高AA′为4cm的圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A 处爬向B处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近? B A

(教师分析,引导学生思考) 变式一: 有一圆形油罐底面圆的周长为24 m ,高为6m ,一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物,它爬行的最短路线长为多少? 变式二 有一圆柱油罐底面圆的周长为24m ,高为7m ,一只老鼠从A 处爬行一圈到B 处吃食物,它爬行的最短路线长为多少? (学生独立思考,快速完成) 2、正方体中的最短路径问题 例2. 如果圆柱换成如图的棱长为10cm 的正方体盒子,蚂蚁沿着表面从A 到G 需要 爬行的最短路程又是多少呢? (引导学生思考,类比圆柱体解决) A B A B F G A D H E C B

八年级数学最短距离问题

八年级数学最短距离问题 最短距离;对称;平移;展开 初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”(以下简称“两点之间,线段最短”)这一公理为原则引申出来的。 初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题,即最短路线问题,它的解决方法归根到底是想方设法运用“两点之间,线段最短”这一公理来解决,常用方法是对称和展开。 一、利用“对称”解决最短路线问题。 对称有一个重要的性质,即“对应点连线段被对称轴垂直平分”,简单地说就是“对称轴垂直平分这条对应点连线段”。而垂直平分线有一条重要的性质,即“垂直平分线上的点到两端点的距离相等”。 所以,我们研究A点到直线l的距离问题,就转化成了A’点到直线l的距离问题,而这个转化是等价的。 例1.(饮马问题)将军在B处放马,晚上回营,需要将马赶到河CD去饮水一次,再回到营地A,已知A到河岸的距离AE=2公里,B到河岸的距离BF=3公里,EF=12公里,求将军最短需要走多远。 分析:本题要求的是将军行走的最短距离,而我们知道两点之间线段最短,所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短,从而求得答案。如果我们设饮水地点是P,所求的距离就是AP+BP两线段长度之和,为了应用“两点之间,线段最短”这一公理,我们利用对称的方法将A点对称到河对岸的A’点,这样AP+BP=A’P+BP,我们连接A’B,与CD的交点P 即为饮水地点,如图利用勾股定理求出结果:A’B2=AG2+BG2,A’B=13公里。 二、利用“平移”解决最短路线问题 例2.A,B两个村子,中间隔了一条小河(如下图),现在要在小河上架一座小木桥,使它垂直于河岸。请你在河的两岸选择合适的架桥地点,使A,B两个村子之间的路程最短。 分析:因为河垂直于河岸,所以最短路程必然是折线。分别是A点到河岸+桥长+河岸到B 点。因为桥长是垂直于桥且长度固定,等于河宽,所以我们可以作A点垂直于河岸的垂线,

四年级 数学最短路线问题

第四讲最短路线 【例1】甲、乙两村之间隔一条河,如图.现在要在小河上架一座桥,使得这两村之间的行程最短,桥应修在何处? 分析:设甲、乙两村分别用点A、B表示.要在河上架桥,关键是要选取一个最佳建桥的位置,使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短.即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长(相当于河的宽度),再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短,这是一个求最短折线的问题.直接找出这条折线很困难,能否可以把它转化为直线问题呢?由于河的宽度不变,不论桥修在哪里,桥都是必经之路,且桥长相当于河宽,是一个定值,所以可以预先把这段距离扣除,只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了。 所谓预先将桥长扣除,就是假设先走完桥长,即先把桥平移到甲村,先过了桥,到C点,如下图,找出C到B的最短路线,实际上求最短折线问题转化为直线问题。 解:如下图.过A点作河岸的垂线,在垂线上截取AC的长等于河宽.连BC交与乙村的河岸于F点,作EF垂直于河的另一岸于E点,则EF为架桥的位置,也就是AE+EF+FB是两村的最短路线。

【例2】如下图,A、B两个学校都在公路的同侧.想在这两校的附近的公路上建一个汽车站,要求车站到两个学校的距离之和最小,应该把车站建在哪里? 分析:车站建在哪里,使得A到车站与B到车站的距离之和最小,仍然是求最短折线问题,同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了.采用轴对称(直线对称)作法。 答案:作点B关于公路(将公路看作是一条直线)的对称点B′,如下图,即过B点作公路(直线)的垂线交直线于O,并延长BO到B′,使BO=OB′.连结AB′交直线于点E,连BE,则车站应建在E处,并且折线AEB为最短。 为什么这条折线是最短的呢?分两步说明: (1)因为B与B′关于直线对称,根据对称点的性质知,对称轴上的点到两个对称点的距离相等,有BE=B′E,所以 AB′=AE+EB′=AE+EB (2)设E′是直线上不同于E的任意一点,如图13—5,连结AE′、E′B、E′B′,可得

立体图形上的最短路径问题

. 第8讲立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题: 1.基本思路:立体图形平面化,即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法: (1)通过平移来转化 A、B两点的最短距离,可通过平移,将楼梯“拉直”即可例如:求 (2)通过旋转来转化 A、C'两点的最短距离,可将长方体表面展开,利用勾股定理即可求例如:求 AA点的最短距离例如:求小蚂蚁在圆锥底面上点处绕圆锥一周回到可将圆锥侧面展开,根据“两点之间,线段最短”即可得解

资料Word . 来转化3)通过轴对称(AB侧面展开,(圆柱)的最短距离,例如:求圆柱形杯子外侧点到内侧点可将杯子B''AAA即为最短距关于杯口的对称点,根据“两点之间,线段最短”可 知作点离 2)勾股定理)两点之间,线段最短(3.储备知识点:(1 解题关键:准确画出立体图形的平面展开图 4. 二、应用举例 通过平移来转化类型一 Acmcmcm,和1【例题1】如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5,3BAB 点去吃可口的食物,请你和点上有一只蚂蚁,想要到是这个台阶的两个相对的端点,BA点出发,

沿着台阶面爬到点,最短线路是多少?想一想,这只蚂蚁从 资料Word . cm 13【答案】【解析】试题分析:AB点蚂蚁要从点到只需将其展开便可直观得出解题思路,将台阶展开得到的是一个矩形,. 的最短距离,便是矩形的对角线,利用勾股定理即可解出答案 试题解析:22cm?AB?513?12解:展开图如图所示, cm 13所以,蚂蚁爬行的最短路线是 通过旋转来转化类型二 cmcm,一只蚂蚁欲从正四棱柱底,侧棱长为8【例题2】如下图,正四棱柱的底面边长为5CA点沿棱柱侧面到点处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是多少?面上的' cm412【答案】【解析】试题分析:把空间两点的距离转化为平面上两点间的距转化为平面图形,解这类题应将立体图形展开,. 离,利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算试题解析:AAECADD将四棱柱剪开铺平',设蚂蚁爬行的路径是解:如图1.'(在

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